close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Критерий полной управляемости линейной нестационарной системы в критическом случае.

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и информатики. Иевск. 2002. Є2(25)
УДК 517.934
Л. И. Родина, Е. Л. Тонков
imiuni.udm.ru, eltudman.ru
КРИТЕРИЙ ?ОЛНОЙ У?РАВЛЯЕМОСТИ
ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ
В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
Ключевые слова:
1
линейные нестационарные управляемые системы,
пространство управляемости, полная управляемость.
Abstrat. We investigate the onditions when the linear nonstationary
system is totally ontrollable at the segment or does not possess this
property.
?усть
Rn
| стандартное евклидово пространство размер-
x y | скалярное произведение векторов x; y из R n
:
x x | норма вектора
| знак транспонирования), x =
(
n
1
r
x
R ; Lin(q : : : q ) | линейная оболочка векторов q1 : : : qr
Rn : Векторы-столбцы обозначаются латинскими буквами, векторы-строки | греческими (таким образом, запись x означает
скалярное произведение векторов и x ). Далее, M (n; m) |
m)-матриц, если n = m; то пишем M (n);
пространство (n
C k (X; Y ) | пространство k раз непрерывно дифференцируемых
функций из X в Y:
ности n;
2
2
jj
p
2
Будем отодествлять систему
2 C (R; M (n)) C (R; M (n; m))
:
t ! S (t) = (A(t); B (t)) 2 M (n; n + m); ее задающей.
x_ = A(t)x + B (t)u;
с функцией
В качестве
(A; B )
допустимых управлений системы S берутся ограниR ! Rm : Допустимым решением
ченные измеримые функции u :
1 Работа
поддерана Конкурсным центром фундаментального естество-
знания (грант E 00{1.0{5).
81
системы S с условием x(t0 ) = x0 называется абсолютно непре-
:
рывная функция x(t) = x(t; t0 ; x0 ); почти всюду на I = [t0 ; t1 ?
удовлетворяющая системе S при некотором допустимом u( ):
Состояние x0 системы S называется
управляемым на I; если
найдется допустимое решение x(t; t0 ; x0 ) системы S; удовлетворяющее условию x(t1 ; t0 ; x0 ) = 0: Все управляемые на I состоя-
ния системы S образуют линейное подпространство L(S ) в
называемое
?усть S
пространством управляемости системы
2 Cn
1 (R; M
Rn ;
S на I:
(n; n + m)): ?остроим матрицы
_
(1)
K0 (t; S ) = B (t); : : : ; Ki (t; S ) = A(t)Ki 1 (t; S ) K
i 1 (t; S )
:
и матрицу K (t; S ) = K0 (t; S ) : : : Kn 1 (t; S ) : Н. Н. Красовским
[1, с. 148? получено следующее достаточное условие полной упра-
вляемости системы S : если найдется момент времени t
rank K (t ; S )
2 I;
= n; то система S вполне управляема на
что
S (t) анаI: В работе [2? показано, что если функция t
литическая, то условие rank K (t ; S ) = n не только достаточно, но и необходимо для полной управляемости системы S: В
!
связи с этими результатами возникает следующий вопрос: если
rank K (t; S )
6
n
1 при всех t
2
I и функция t
!
S (t) не
является аналитической (но имеет достаточное число производных), то при каких дополнительных условиях система S вполне
управляема на I ? Исследование этой задачи содерится в работах А. А. Левакова [3? и С. А. Минюка [4? (см. таке монографию И. В. Гайшуна [5? ). Данная работа дополняет результаты
работ [1{5? и посвящена изучению условий, при которых система
S вполне управляема на I либо не обладает этим свойством.
Т е о р е м а
1.
Имеет место неравенство
> max
rank K (t; S ):
t2I
r>1
rank K (t; S ) rank K0 (t; S ) : : : Kr 1 (t; S ) rm 6 n
dim L(S )
Далее, если при некотором
то
dim L(S ) = rm:
82
m;
b1 (t) : : : bm (t) | столбцы матриi
i
i
i
i
цы B (t); q0 (t) = b (t); q (t) = A(t)q
k 1 (t) q_k 1 (t); k = 2 : : : n 1:
k
I найдутся целые
Если для кадого i = 1 : : : m и для всех t
числа r и r1 : : : rm ; что r
n 1; 1
ri
r
r1 + : : : + r m ;
Т е о р е м а
i
rank K (t; S )
?усть
2
6
6 6 6
i
i
i
1 (t) : : : q0 (t)) rank(qr 1 (t) : : : q0 (t)) ri
rank(qn
и
2.
r;
i
то
dim L(S ) = r:
Системы S = (A; B ) и S 0 = (F; G) называются
матрица подобия
если существует
ренцируемая функция t
F (t) = U
1 (t)A(t)U (t)
! U (t) 2
U
подобными,
U (t); т. е. непрерывно диффеM (n); что det U (t) = 0 и
1 (t)U_ (t);
6
G(t) = U
1 (t)B (t);
2 I:
t
Если системы S и S 0 подобны, то L(S ) = U (t0 )L(S 0 ):
?усть S1:::p = (A; b1 : : : bp ); S1:::p;i = (A; b1 : : : bp ; bi ); где i { одно из чисел p +1 : : : m; K (t; S1:::p ) = (K0 (t; S1:::p ) : : : Kn 1 (t; S1:::p ));
K r (t; S1:::p ) = (K0 (t; S1:::p ) : : : Kr
Т е о р е м а
a) rank K (t; S1 )
3.
1 (t; S1:::p )):
?редполоим, что:
t и для кадого i = 2 : : : m
выполнено неравенство r1 = rank K (t; S1 )
rank K (t; Si ); t
I;
б) для кадого p = 2 : : : m и любого i
p : : : m rank K (t; S1:::p )
не зависит от t и rank K (t; S1:::p )
rank K (t; S1:::p 1;i ); t
I:
?усть rp = rank K (t; S1:::p )
rp 1
r1 ; p = 2 : : : m; ( тем
:
самым 0
ri
r = r1 +
+ rm
n ): Тогда среди систем,
0 вида
подобных S; существует система S
8
m
X
>
1
1
2
m+1
>
+ P1;m+1 (t)y
+
di1 (t)ui ;
> y_ = P11 (t)y +P12 (t)y +
>
>
>
i=1
>
>
>
m
>
X
>
>
2
2
m+1
<
di2 (t)ui ;
y_ =P22 (t)y +
+ P2;m+1 (t)y
+
не зависит от
:
2f
6
6
6
6
6
2
g
2
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
=2
i
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
m
y_ m = Pmm (t)y m + Pm;m+1 (t)y m+1 + dm
(t)um ;
y_ m+1 = Pm+1;m+1 (t)y m+1 ;
83
где
yi
i = 1 : : : m; y m+1
2 Rr ;
i
2 Rn
r
;
Pii (t) |
y_ = Pii (t)y + dii (t)ui
все матрицы
i
верхние треугольные и кадая система
( рассматриваемая в
R ri
i
) вполне управляема на любом от-
I: Тем самым размерность
L(S; I ) системы S на I равна
резке, содеращемся в отрезке
пространства управляемости
:
r = r1 + : : : + r m :
Т е о р е м а
4.
?усть для всех
6
r1 : : : rm ; что 1
rank K (t; Si ) = ri и rank K (t; S )
r:
и dim L(S ) = r:
r
лые числа
Л е м м а
для всех
t
и
1.
2 (t0; t1 );
?усть
ri
t
6
Тогда
2
I найдутся цеr
r1 + : : : + r m ;
L(S ) = K (t0 ; S )R nm
rank K (t; S ) = r;
6
rank K (t; Si ) = ri
тогда
а) матрица K (t; S ) имеет r столбцов ki1 (t) : : : kir (t); линейно независимых в
Rn
для кадого
t
2
I;
за возмоным
исключением не более, чем счетного числа точек
f1; 2 : : : g;
б) L(S ) = Lin(`1 (t0 ) : : : `r (t0 )); где векторы `1 (t) : : : `r (t) получены из
ki1 (t) : : : kir (t)
в результате применения процесса ор-
тогонализации Шмидта.
З а м е ч а н и е
1.
Если rank K (t; S )
r; t 2 I;
то ра-
венство L(S ) = Lin(`1 (t0 ) : : : `r (t0 )) таке выполнено, но в этом
случае для построения пространства управляемости достаточно
найти линейную оболочку векторов ki1 (t0 ) : : : kir (t0 ):
Л е м м а
бит точками
2.
?редполоим, что отрезок
t0 = 0 < 1 <
< m < s+1: = t1
I = [t0 ; t1 ?
раз-
на интервалы
(k ; k+1 ) и для кадого из отрезков Ik = [k ; k+1 ? пространство L(S; Ik ) совпадает с Lin(`1 (k ) : : : `rk (k )): Тогда
L(S; I ) = Lin X (t0 ; k ) `1 (k ) : : : `rk (k ) ;
где
X (t0 ; t)
| матрица Коши системы
Т е о р е м а
и
5.
x_ = A(t)x; k = 0 : : : s:
?усть на кадом из интервалов
(t0 ; )
(; t1 ) для любого i = 1 : : : m ранги K (t; Si ) не зависят от t:
84
Если
rank K (t; S ) = r1 при всех t
при всех
t
2 (; t1 );
Lin `1 (
2 (t0 ; )
rank K (t; S ) = r2
и
то условие
0); `1 ( + 0) : : : `r2 ( + 0) =
0) : : : `r1 (
Rn
является необходимым и достаточным условием полной управляемости системы
S
на отрезке
I:
З а м е ч а н и е
2.
Из теоремы 5 очевидно следует, что
С л е д с т в и е
1.
?усть отрезок
если r1 + r2 < n; то dim L(S; I ) < n:
t0 = 0 < : : : < s+1 = t1
ение точками
валов
ранги
I
допускает разби-
на конечное число интер-
(i ; i+1 ); на кадом из которых rank K (t)
K (t; Si ); i = 1 : : : m не зависят
1 : : : s ; что
j
2f
такая точка
Lin(`1 (j
то система
g
t:
ri
6n
1;
Если существует
0); `1 (j + 0) : : : `rj +1 (j + 0)) =
0) : : : `rj (j
S
от
ri ;
вполне управляема на отрезке
Rn ;
I:
ri
на (i 1 ; i ); то
для кадого фиксированного t
(i 1 ; i ) найдутся n
ri линейно независимых векторов p1 (t) : : : pn ri (t); pj (t) = 1; ортогоОтметим теперь, что если rank K (t; S )
2
j
j
нальных столбцам матрицы K (t; S ): Более того, p1 (t) : : : pn ri (t)
моно выбрать так, что при кадом фиксированном i векторы
:
pj (i + 0) =
lim
! +0
t
i
pj (t);
j = 1:::n
ri
таке линейно независимы (например, их моно взять ортогональными). Аналогичным свойством обладают векторы
pj (i
Т е о р е м а
:
0) =
6.
дом из интервалов
ранг матрицы
lim
! 0
t
i
pj (t);
j = 1:::n
?усть найдется
ri :
2 (t0; t1 );
что на ка-
(t0 ; ) и (; t1 ) для кадого i = 1 : : : m
K (t; Si )
не зависит от
85
t; rank K (t) = r1
при
всех
t
2 (t0 ; )
i = 1; 2:
и
rank K (t) = r2 при всех t
2 (; t1 );
ri
6n
1;
Тогда условие линейной независимости векторов
p1 (
0) : : : pn r1 (
0); p1 ( + 0) : : : pn r2 ( + 0)
является необходимым и достаточным условием полной управляемости системы
S
на отрезке
I:
2.
?редполоим, что отрезок I разt0 = 0 < : : : < s+1 = t1 на конечное число интервалов (i ; i+1 ); на кадом из которых rank K (t)
r i ; ri
n 1; ранги K (t; Si ); i = 1 : : : m не зависят от t: Если существует точка j
1 : : : s ; что векторы
С л е д с т в и е
бит точками
6
2f
p1 (j
0) : : : pn rj (j
6
g
0); p1 (j + 0) : : : pn rj +1 (j + 0)
линейно независимы, то система
S
вполне управляема на
I:
?риведенные здесь утвердения планируется опубликовать
с полными доказательствами в урнале єДифференциальные
уравнения.
Список литературы
1. Красовский Н. Н. Теория управления двиением. М.: Наука, 1968.
476 с.
2. Chang A. An algebrai haraterization of ontrollability // IEEE
Trans. Aut. Control. 1965. Vol. 10, Є 1. P. 112{114.
3. Леваков А. А. К управляемости линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, Є 5. С. 798{806.
4. Минюк С. А. К теории полной управляемости линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, Є 3. С. 414{
420.
5. Гайшун И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем.
Минск: Ин-т матем. НАН Беларуси, 1999. 408 с.
86
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
180 Кб
Теги
критических, линейной, система, полное, управляемость, критерии, нестационарные, случай
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа