close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Линейная связность как класс эквивалентности изоморфизмов касательных пространств.

код для вставкиСкачать
Математические
структуры и моделирование
УДК 513.813
2001, вып. 8, с. 59
ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗНОСТЬ КАК КЛАСС
ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ИЗОМОФИЗМОВ
КАСАТЕЛЬНЫХ ПОСТАНСТВ
Ю.Ф. Борисов
In this paper a definition of linear onnetion on smooth manifold is given.
В статье предлагается определение линейной связности как класса эквивалентности изоморизмов касательных пространств.
Введение
ассмотрим гладкое многообразие M n . В каждой точке X имеется касательное
векторное пространство TXn . Возьмем две различные точки X1 6= X2 и соответствующие им касательные пространства TXn1 и TXn2 . Известно, что они изоморны как линейные векторные пространства. Можно ли как-нибудь сравнивать векторы, исходящие из разных точек, т.е. принадлежащие TXn1 и TXn2 ?
Близкий вопрос: можно ли отождествить два вектора из разных касательных
пространств?
Мы желаем найти способы, позволяющие в окрестности U каждой точки
X устанавливать изоморизм между касательными пространствами в точках,
принадлежащих этой окрестности, и касательным пространством в точке X0 ,
определенный диеренциально, т.е. с точностью до бесконечно малых. Иначе
говоря, поскольку вектор это смещение, т.е. класс эквивалентных путей, то
речь идет о равенстве двух смещений в близких точках с точностью до бесконечно малых.
1.
Определение линейной (аинной) связности в точке
гладкого многообразия
Пусть имеется гладкое многообразие M n класса C m (m 2) и X0 2 M n точка,
U координатная окрестность точки X0 . Допустим, что в окрестности U задано
поле изоморизмов fX пространств TXn на TXn0 , где X 2 U ,
!
n на T n :
TX
fX X0
2001
Ю.Ф. Борисов
E-mail: borisovmath.ns.ru
Институт математики СО АН, г. Новосибирск
Статья подготовлена к печати преподавателями каедры математического моделирования на основе записей лекций Ю.Ф. Борисова, сделанных в 1968 г.
6
Ю.Ф. Борисов.
Линейная связность как класс эквивалентности...
Иначе говоря, мы указываем правило, по которому вектор в точке X отождествляется с вектором из TXn0 . Наложим на поле изоморизмом fX следующие
условия:
(i) X
= X0 , то fX тождественный изоморизм.
(ii) Если fxi g локальные координаты в U , то изоморизм fX может быть
записан аналитически следующим образом: он записывается как преоб!
разование, сопоставляющее локальным координатам вектора 2 TXn (в
!
!
данной локальной карте) локальные координаты вектора 0 2 TXn0 ; 0 =
!) 2 T n . Такое преобразование задается при иксировании локаль-
fX ( X0
ной карты несобственной матрицей n-го порядка, коэициенты которой
зависят от локальной карты, т.е. являются ункциями n переменных; полагаем, что независимо от выбора локальной карты элементы указанной
матрицы непрерывно диеренцируемы в точке (x1 ; :::; xn ), соответствующей точке X .
Совсем не очевидно существование таких полей в том смысле, что условия
(i), (ii) справедливы для всех локальных карт. Поэтому покажем, что если (ii)
выполнено в некоторой локальной карте, действующей в окрестности U , то оно
выполняется в любой другой локальной карте, действующей в U .
Каждая локальная карта K , действующая в U , сопоставляет полю fX ; X 2 U
K
матричное поле kaij (x1 ; : : : ; xn )k, (x1 ; : : : ; xn ) = X , задающее изоморизм в K
вида
: 0i = aij (x1 ; : : : ; xn ) j ;
fX
(1)
!
!
где j координаты в K вектора 2 TXn , а 0j координаты в K вектора 0 =
!
n . Допустим, что в U введена новая локальная карта K 0 . Пусть
fX ( ) 2 TX
0
0
полю fX в K 0 сопоставляется новое матричное поле kaij (x1 ; : : : ; xn 0 )k. Тогда
аналогично (1)
0
0
0i
0
Имеем
xi 0 = aij (x1 0 ; : : : ; xn 0 ) j :
0
0
0
0
=
0
xi 0 a
(x1 ; : : : ; xn ) j =
j
x X0
x X0
xi 0 xj 1
n
i
10
n0 =
a
j (x ; : : : ; x ) = a (x ; : : : ; x ) :
0
x X0 x X
Таким образом, ввиду произвольности получаем, что справедлива ормула
0i
=
0
0
0
0
0
0
0
0
ai 0 (x1 ; : : : ; xn )
=
xi 0 xj a (x1 ; : : : ; xn ):
x X0 x 0 X j
(2)
Из этой ормулы видно, что в силу того, что наше многообразие принадлежит
классу диеренцируемости C m (m 2), непрерывная диеренцируемость
0
K0
0
aij 0 доказана (в точке (x1 ; : : : ; xn 0 ) = X0 ). Тем самым независимость условия (ii)
от выбора локальной карты в U установлена.
Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.
7
Пусть имеются два поля изоморизмов fX , заданное в окрестности U точки X , и gX , заданное в окрестности V той же точки X , удовлетворяющие (i) и
(ii). Будем говорить, что поля fX и gX имеют в точке X0 совпадение
1-го поT
рядка, если для любой локальной карты в окрестности W = U V соответствующие этим изоморизмам матричные поля kaij k и kbij k в точке X0 совпадают
вместе с 1-ми производными. Иначе говоря, поля совпадают в 1-м порядке, если
aij
и
= bij = Жij
ai j
xk X0
=
bi j
:
xk X0
Очевидно, что это отношение совпадения, определенное на полях изоморизмов, является отношением эквивалентности.
Линейной связностью в точке X0 2 M n называется любой
класс эквивалентности полей изоморизмов, удовлетворяющих условиям (i) и
(ii), относительно отношения совпадения в 1-м порядке.
Определение 1.
Таким образом, линейная связность в точке X0 есть поле изоморизмов
касательных пространств (с точностью до эквивалентности относительно совпадения полей изоморизмов в 1-м порядке).
2.
Коэициенты линейной связности
Каковы бы ни были система, состоящая из n3 вещественных
чисел
(i; j; k = 1; : : : ; n), и локальная карта в окрестности U точки X0 ,
существует, и притом единственная, линейная связность в точке X0 , обладающая свойством: если A 2 поле изоморизмов, заданное на U , которому
в данной локальной карте соответствует матричное поле kaij (x1 ; : : : ; xn )k, то
имеет место равенство
Теорема 1.
i
jk
ai j
k
x X0
=
i :
jk
Числа ijk называются координатами линейной связности в данной локальной карте, или символами Кристоеля 2-го порядка.
Существование такого поля A тривиально, т.к. в данной
локальной карте U матричное поле можно представить следующим образом
Доказательство.
aij (x1 ; : : : ; xn )
= Жji +
i
jk
(xk
xk0 ):
(3)
Докажем единственность. Допустим, что существует связность , удовлетворяющая тем же условиям. Покажем, что = . Так как класс эквивалентных
объектов, то достаточно установить наличие общего элемента, т.е. что \ 6= ;.
Возьмем элемент B 2 . Поле B задано в координатной окрестности V точки
8
Ю.Ф. Борисов.
Линейная связность как класс эквивалентности...
j
\
2
X0 . ассмотрим сужение B1 = B W , где W = V U поля B . Имеем B1
. Поi
1
n
кажем, что B1
. Заметим, что если bj (x ; :::; x ) матричное поле, задающее
B1 в карте K (исходной), то
2
k
bi j
xk X0
Вместе с тем поле A
(3), для которого
2
k
i :
jk
=
задается в K матричным полем kaij (x1 ; :::; xn )k вида
ai j
k
x X0
i :
jk
=
Поэтому в K имеет место равенство
bi j
xk X0
=
ai j
:
xk X0
(4)
Если покажем, что аналогичное равенство имеет место в любой карте K 0 , действующей в W , то этим будет показана эквивалентность B1 и A, т.е. будет
установлено, что B1 2 . Вспомним ормулу (2) предыдущего параграа
aij
0
Имеем
ai 0
j
k
x
0
0
X0
=
xi 0
x X0
0
=
xi x 0
x X0 xj
0
2 x
a
0
0
xj xk X0
X0
Заметим, что
X
a
:
+
x
:
x xk X0
x a
0
xj X0
0
(a )X0 = Ж :
Поэтому предыдущее равенство примет вид
aij 0
0
0
xk X0
=
xi 0
x X0
2 x 0
0
xj xk X0
+
xi x x a 0
0
0
x X0 xj X0 xk X0 x X0
(5)
Совершенно аналогично
bi 0
j
xk
0
0
X0
=
xi 0
x X0
2 x
0
0
xj xk X0
+
xi x x a 0
:
0
0
x X0 xj X0 xk X0 x X0
Следовательно, сравнивая (5), (6) с учетом (4), получаем
aij 0
xk
Теорема доказана.
0
bij 0
0
X0
=
0
xk
0
X0
:
(6)
Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.
9
Доказанная теорема говорит нам, что если выбрана локальная карта, то мы
можем установить взаимно однозначное соответствие между всевозможными
линейными связностями в точке X0 и n3 вещественных чисел ijk , получая при
3
этом отображение множества линейных связностей в пространство IRn .
Числа ijk , как уже говорилось, называются координатами линейной связности в данной локальной карте, или коэициентами Кристоеля 2-го рода. Легко получить ормулу преобразования координат линейной связности
в зависимости от преобразования координат различных локальных карт. Эта
ормула следует из (5) (или (6)) и имеет вид
i
jk
0
0
0
=
0
xi 2 x
0
0
x xj xk
+
0
xi x x 0
0
:
x xj xk
Пусть ijk коэициенты линейной связности в локальной карте K в U .
Тогда для любого поля изоморизмов из соответствующее ему поле матриц
имеет вид
kЖji +
i (xk
jk
xk0 ) + "ijk (xk
k
xk0 ) ;
где "ijk ! 0 при n ! 1. Нетрудно видеть, что это простое разложение элементов
матрицы kaij (x1 ; : : : ; xn )k в ряд Тейлора. Иначе говоря, матрицы, задающие поле
изоморизмов, принадлежащих данной связности, отличаются от матриц вида
kЖji + ijk (xk xk0 )k
(7)
на величину, меньшую, чем max jxk xk0 j. При этом матрицы (7) однозначно
1kn
находятся в любой локальной карте.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
154 Кб
Теги
линейная, пространство, связность, касательных, эквивалентность, класс, изоморфизм
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа