close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Линейная система под воздействием случайных медленно меняющихся импульсов.

код для вставкиСкачать
Естественные науки
УДК 517(519.21,519.216,519.217)
ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СЛУЧАЙНЫХ
МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ ИМПУЛЬСОВ
Д.Н. Жабин, Е.С. Холопова
Томский политехнический университет
Email: Holopowa@yandex.ru, zhabin@mph.phtd.tpu.edu.ru
Рассмотрена произвольная линейная система, находящаяся под воздействием внешних хаотических импульсов. Предполагает
ся, что передача внешнего импульса системе описывается некоторой квадратичноинтегрируемой функцией. Показано, что при
сделанных предположениях можно вполне корректно определить стохастический интеграл.
Будем считать некоторую физическую систему
линейной, если под воздействием внешних возму
щений y(s), 0≤s≤t, её фазовое состояние в момент
времени t определяется как:
t
x(t ) = ∫ ϖ (t , s ) y (s )ds,
(1)
0
где ϖ(t,s), 0≤s≤t – некоторая кусочнонепрерывная
функция, которую обычно называют весовой функ
цией системы. Она описывает поведение системы в
момент времени s выведенной из состояния покоя
случайным независимым импульсом. Далее при
мем ϖ(t,s)=1.
Рассмотрим линейную систему, описываемую
линейным дифференциальным уравнением вида
(2)
x ( n ) (t ) + a1 x (n −1) (t ) + ... + an x(t ) = y (t ),
где коэффициенты ak=ak(t), k=1,2,…,n, могут ме
няться с течением времени.
Интеграл (1) есть решение дифференциального
уравнения (2), удовлетворяющее нулевым начальным
условиям x(k)(0)=0 при k=0,1,…,n–2 и x(n–1)(0)=1.
Обычно предполагается [1], что возмущение ус
ваивается мгновенно. Тогда в качестве внешнего
воздействия выбирается «единичный импульс»:
y(t)=∆η(tk)δ(t–s),
(3)
где под δ(t–s) понимается общеизвестная «дельта
функция».
В результате воздействия хаотических быстро
меняющихся возмущений на «выходе системы» бу
дем иметь случайный процесс ξ=ξ(t) вида:
ξ (t ) = ∑ ∆η (tk ),
0 ≤ tk ≤ t
6
где ∆η(tk), k=1,2,…, – независимые случайные ве
личины, для которых математические ожидания и
дисперсии M∆η(tk)=ak∆tk, D∆η(tk)=bk∆tk, а
∆tk=tk–tk–1 – означают промежуток времени до по
явления очередного импульса.
При max ∆tk→0 мы фактически будем иметь де
ло с непрерывным воздействием на систему беско
нечно малых независимых возмущений. При этом
функции ak и bk имеют предел ak=a(tk) и bk=b(tk) где
a(t) и b(t) кусочнонепрерывные функции.
В этой ситуации естественно от «дискретного»
вида модели можно перейти к соответствующей
«непрерывной» модели. В качестве такой модели
может служить стохастический интеграл вида:
t
ξ (t ) = ∫ dη ( s ).
0
Такое представление воздействия на систему
приемлемо для винеровских и диффузионных про
цессов. Как известно, см. [1, 2], диффузионные
процессы являются частным случаем линейной си
стемы, находящейся под непрерывным воздей
ствием хаотических, быстро меняющихся возму
щений. Винеровские процессы предполагают, что
исследуемые величины подчинены нормальному
закону распределения ~N(0, ∆t) и обладают незави
симостью приращений.
Однако заметим, что выбор возмущения в виде
(3) не всегда оправдан. Воздействие импульсов мо
жет и не быть непрерывным и быстро меняющим
ся. Скорость взаимодействия с внешней средой для
процессов, описываемых уравнениями параболи
ческого типа (уравнения диффузии, теплопровод
ности и т.д.; см. [3]), может быть бесконечна. В
Естественные науки
этом случае воздействие на систему можно рассма
тривать как воздействие случайных медленно ме
няющихся импульсов. В связи с этим построение
моделей, представляющих математический аппа
рат изучения линейной системы под воздействием
случайных медленно меняющихся импульсов, яв
ляется вполне актуальной задачей.
Такие модели могут найти прикладное примене
ние, например, в экономике. Рынок капитала (рынок
ценных бумаг) можно рассматривать как систему, ко
торая быстро реагирует на воздействие некоторых
импульсов, например, поступлений новой информа
ции. В современной финансовой математике широ
кое распространение получила точка зрения, что
процессы рынка капитала адекватно могут быть
представлены в виде диффузионного или винеров
ского процесса. Однако такое предположение опра
вдано в рамках гипотезы эффективного рынка [4],
одним из положений которой является предположе
ние о том, что все участники рынка имеют одинако
вый доступ к информации и вся новая поступающая
информация усваивается рынком и его участниками
мгновенно. Данное положение, по вполне очевид
ным причинам, лишь ограниченно соответствует ре
альности [5, 6]. Действительно, новая информация на
рынке никогда не поступает одновременно ко всем
его участникам. Усвоение информации и дальнейшее
её использование для принятия решения о покупке
или продаже того или иного актива тоже не является
мгновенным процессом. Инвесторы могут не реаги
ровать на информацию сразу после её получения.
Вместо этого они могут откликаться на неё некоторое
время спустя, если она подтверждает изменение в не
давнем тренде, принимая в расчет также всю до того
накопившуюся информацию. Таким образом, рынок
представится системой, которая быстро реагирует на
медленно меняющиеся импульсы.
Для такого типа систем корректнее было бы ис
пользовать вместо единичного импульса (3) класс
квадратичноинтегрируемых функций, которые
отражали бы тот факт, что информация усваивает
ся рынком постепенно. Поэтому в качестве им
пульсов, которые будут воздействовать на поведе
ние рынка как системы, примем импульсы вида:
y (s ) = ∑ ∆η (t ) f (ε , t − t k ),
(4)
tk
возникающего в момент времени tk, где f(ε,t–tk) – неко
торая гладкая квадратичноинтегрируемая функция.
В результате воздействия «на выходе» системы
случайный процесс ξ=ξ(t) представится как:
t
ξ (t ) = ∫
∑
0 0 ≤ tk ≤ t
f (ε , t − t k ) ∆η (t k )ds.
(5)
t
0
0
M ξ (t ) = ∫ F (t , s )a (s )ds, Dξ (t ) = ∫ F 2 (t , s )a (s )ds,
M
где F (t , s ) = tlim
→0
k
∑
0 ≤ tk ≤ t
Взяв в качестве η(t), t≥0 винеровский процесс
[1, 7], для которого приращения ∆η(tk)=η(tk)–η(tk–1)
являются независимыми (некоррелированными)
случайными величинами.
Тогда в условиях непрерывного воздействия на
систему (2) бесконечно малых независимых возму
щений (4) возможно представление системы (5) в
виде стохастического интеграла:
t t
ξ (t ) = ∫ ∫ f (ε , t − s )dtdη ( s).
0 0
Учитывая, что внешнее возмущение имеет вид
t
∫ f (ε , t − s)ds = F (t , s ),
(6)
0
воздействие на систему представим в виде:
t
ξ (t ) = ∫ F (t , s)dη ( s).
(7)
0
Покажем существование интеграла (7). Пусть
для случайного процесса η(t), c1≤t≤c2, его математи
ческое ожидание и дисперсия такие, что
t
t
s
s
M [∆η (t )] = ∫ a(u ) du, D[ ∆η (t )] = ∫ b(u) du.
Сначала будем рассматривать случай, когда a(t)≡0.
Для любой кусочнопостоянной функции ϕ(t),
сохраняющей постоянные значения yκ=ϕ(t) при
tk–1<t≤tk на конечном отрезке [c1,c2], стохастический
интеграл определяется формулой:
c2
n
c1
k =1
∫ ϕ (t )dη (t ) = ∑ yk ∆η (tk ).
Интеграл не зависит от выбора разбиения на
интервалы постоянства (tk–1,tk), k=1,…n и для него
c2
M ∫ ϕ (t ) dη (t ) = 0,
c1
c2
 c2
 c2
M  ∫ ϕ (t )dη (t ) ∫ ψ (t ) dη (t )  = ∫ ϕ (t )ψ (t )b(t ) dt ,
 c1
 c 1
c1
2
c2
M
∫ ϕ (t )dη (t ) =
c1
c2
2
c2
∫ ϕ (t )dη (t ) = ∫ ϕ (t ) b(t )dt.
c1
2
c1
Для среднеквадратичного расстояния между ве
личинами
c2
c2
c1
c1
ξ = ∫ ϕ (t )dη (t ) è ς = ∫ψ (t ) dη (t )
Для этого случайного процесса:
t
Если обратиться к процессу ξ(t), то можно было
бы представить величины ∆η(tk) как
∆η (tk ) = η (tk ) − η (tk −1 ), k = 1, 2,...
t
f ( ε, t − t k )dt k = ∫ f ( ε, t − s )ds.
получаем следующее выражение [8]:
ξ −ς
2
c2
= ∫ ϕ (t ) −ψ (t ) b(t ) dt.
2
c1
0
7
Известия Томского политехнического университета. 2005. Т. 308. № 2
Пусть ϕ(t), c1≤t≤c2 – функция, удовлетворяю
c2
щая условию
∫ ϕ (t )
2
b(t )dt < ∞, такая, что можно
c1
найти последовательность кусочнопостоянных
функций ϕn(t), где n=1,2,…, сходящуюся к ϕ(t) в
среднеквадратичном:
c2
∫ ϕ (t ) − ϕ (t )
2
n
b(t ) dt → 0,
c1
c2
∫ ϕn (t ) − ϕm (t ) b(t )dt → 0, n, m → 0.
2
c1
Соответствующая последовательность стохас
c2
тических интегралов ξ n = ∫ ϕn (t )dη (t ), n=1,2,…, бу
c1
дет удовлетворять условию
ξ n − ξm
2
= lim
n , m →∞
c2
∫ ϕ (t ) − ϕ
n
m
 − (t − t k ) 2 
1
exp 
.
2
2π ε
 2ε

Далее предположим, что a(z)=a=const, b(z)=b=
=const. Тогда
t
t
0
0
F (t , z ) = ∫ f (ε , s − z )ds = ∫
 −( s − z ) 2 
1
exp 
 ds.
2
2π ε
 2ε

Учитывая сделанные предположения, получаем
для случайного процесса ξ(t) его математическое
ожидание и дисперсию:
 ε ( −1 + exp[ −t 2 / ε 2 ])
 t 
+ t ⋅ Erf    ,
M ξ (t ) = a 
π
 ε 

t
1 
s
 −s + t 
Dξ (t ) = b ∫  Erf   + Erf 
 ds.
4 0
ε 
 ε 
2
(t ) b(t ) dt → 0.
c1
Следовательно, существует величина ξ, пре
дельная этой последовательности [см. 1, глава 1],
такая, что ||ξn–ξ||→0 при n→∞.
c2
Этот предел ξ = ∫ ϕ (t )dη (t ) и есть стохастиче
c1
ский интеграл.
Отметим, что понятие стохастического инте
грала можно распространить также на случай
a(t)≠0 и для бесконечного отрезка.
Выберем в качестве ϕ(t) функцию (6) и рассмо
трим в качестве примера следующую квадратично
интегрируемую функцию:
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Розанов Ю.А. Случайные процессы. Краткий курс. – М.: Нау
ка, 1971. – 286 с.
2. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. – М.: Наука,
1975. – 319 с.
3. Багров В.Г., Белов В.В., Задорожный Н.В., Трифонов А.Ю. Ме
тоды математической физики. – Т. 2. – Томск: Издво «НТЛ»,
2002. – 400 с.
4. Fama E.F. Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Em
pirical Work // Journal of Finance. – 1970. – № 25. – С. 18–22.
8
f (ε , t − tk ) =
Для предельных значений математического
ожидания и дисперсии при ε→0 получаем:
lim M ξ (t ) = at ,
ε →0
lim Dξ (t ) = bt.
ε →0
В этом случае процесс становится диффузион
ным (Dξ(t)~t, Mξ(t)~t).
Таким образом, воздействие случайных медлен
но меняющихся импульсов на некоторую линей
ную систему можно представить в виде стохастиче
ского процесса. Для внешнего воздействия в виде
квадратичноинтегрируемой функции показано
существование стохастического интеграла.
5. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. – М.: Мир,
2000. – 333 с.
6. Peters E.E. Fractal market analysis. – N.Y.: Wiley, 1994. – 321 p.
7. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. –
М.: Физматлит, 2003. – 624 с.
8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. – М.: Наука, 1989. – 624 с.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
171 Кб
Теги
линейная, случайных, система, воздействия, импульсов, под, меняющихся, медленно
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа