close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическое моделирование гибридных систем с дескрипторными динамическими подсистемами.

код для вставкиСкачать
УДК517.9
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИБРИДНЫХ
СИСТЕМ С ДЕСКРИПТОРНЫМИ
ДИНАМИЧЕСКИМИ ПОДСИСТЕМАМИ
ний даже в линейном случае требует специальных
ограничений на начальное состояние системы, кото­
рое должно принадлежать допустимому начальному
многообразию [7-9].
2. Модельный пример эколаго-экономической
системы
Рассмотрим систему трех полулинейных дифферен­
циальных уравнений
РУТКАС A.A.____________________________________
Изучается динамика гибридной системы с конечным
множеством дескрипторных подсистем, описываемых
дифференциально^алгебраическими уравнениями. Воз­
растание количества алгебраических уравнений в подси­
стемах происходит в дискретные моменты времени при
встречах траектории с гиперповерхностями захвата. Дока­
зывается теорема существования и единственности тра­
ектории, начинающейся в заданной точке фазового про­
странства. Приводится эколого-экономическая модель, в
которой захваты траектории гиперповерхностями и пере­
ключения на новые подсистемы связаны с ограничения­
ми экологии и ресурсов.
Х1(0+Ьц|% + 1>12х 2 +Ь13х 3 =^(1) + ф1(х1,х 2,х 3) , (1)
о
Х 2 ( 1 ) + Ь 2 1Х1 + Ь 22х 2 + Ь 2зХ з = Г2 (1) + ф 2 ( х 1, х 2 , х 3 ),(2)
о
хз(1)+Ь 31х 1 +Ь32х 2 +Ь33х 3 =13(1) + ф3(х1,х 2.х 3),(3)
векторная форма которой в пространстве К.3 имеет
вид
х(1) + Вх(1) = :ОД + ф(х).
(4)
Согласно [10, п.2] уравнения (1)-(3) при ф^ = 0 опи­
1. Введение
сывают динамику основных производственных фон­
Понятие гибридной системы имеет много толков аний,
так что для каждого конкретного объекта исследова­
ний признак«гибридности» требуетотдельного разъяс­
нения. Например, непрерывные динамические систе­
мы при импульсных внешних воздействиях трактуют­
ся некоторыми авторами как гибридные системы.
Аналогично к гибридным можно отнести системы с
переменной структурой, теория которых разработана
специалистами по автоматическому управлению [13 ]. Мы будем исходить из точки зрения авторов статьи
[4], согласно которой гибридная система состоит из
конечного семейства классических непрерывных ди­
намических подсистем (звеньев) и дискретного алго­
ритма мгновенного переключения с одной подсисте­
мы на другую, либо мгновенной перестройки текуще­
го состояния на другое допустимое состояние, либо
одновременно переключения подсистем и перестрой­
ки состояний.
дов \ | (Ч). \ 2 (I).х3(I) трех предприятий, образующих
Траектория гибридной системы является непрерыв­
ной или даже непрерывно дифференцируемой между
двумя соседними моментами времени t|4 < 1|ч+| , в
которых происходит переключение или (и) перестрой­
ка, а соответствующая непрерывная динамическая
подсистема называется активированной в интервале
I^ t < t|4+] . Частный случай кусочно-линейной гиб­
ридной системы изложен в [5, 6], где динамика каждойподсистемы описываетсялинейными обыкновен­
ными дифференциальнымиуравнениями.
В данной работе рассматриваются отличающиеся от
[4,6] гибридные системы, состоящие из непрерывных
дескрипторных подсистем, динамика которых описы­
вается дифференциально-атгебраическими уравнени­
ями в отличие от явных диф ференциальных уравнений
из [4,6]. В отличие от системы явных дифференциаль­
ных уравнений разрешимость начальной задачи для
системы дифференциально-алгебраических уравне­
22
корпорацию и совместно осуществляющих погаше­
ние долгов, реинвестирование основных фондов, ис­
пользование внешних инвестиций. Производственная
функция каждого предприятия в [ 10 ] предполагалась
линейной однофакторнойтипа Леонтьева. Если исхо­
дить из нелинейных производственных функций, то в
уравнениях динамики развития предприятий возника­
ют дополнительные нелинейные члены вида
Фк(х 1>х 2- х3) = и )кШ(%) + а 2§2 (х 2 ) + а 3§3<х3 ) •
к = 1,2,3,
которые мы учитываем в уравнениях (1)-(3). При
надлежащих ограничениях на функции Г|ч(1).ф|ч( \) [13,
гл.II] задача Коши для уравнения (4) ~ ( 1)-(3) с
начальным условием
х(0) = х 0
(5)
(для произвольного начального вектора х0 е К ) имеет
единственное решение:
х ф = ( х ^ х х ^ о .х з а ) ) 1"
(6)
на некотором временном интервале
0 < 1 < 1 1Л 1 >0.
(7)
В частном случае линейной системы
х(1) + Вх(1) = ОД
(8)
решение находится явно по формуле вариации
I
х(1) = е“шх 0 + |е ~ В(
о
%(8р8, ХЛ > 0.
РИ, 2011, № 3
В нелинейном случае решение х(г) удовлетворяет
интегральному уравнению
Замечание. Выбирая С’, < С, ■в случае необходимо­
сти можно обеспечить для третьего предприятия объем
используемых производственных фондов:
I
.4(1) = е_В,Х0 + | е _В^_^|Т(8) + ф(х(8))]с15.
О
х 3 (1) = р3 (х 1(1).х 2 а ) . с 1),
что снизит загрязнение среды до уровня С ].
Предположим, по технологии производства пред­
приятий корпорации происходитзагрязнение окружа­
ющей среды вредным веществом 71 в зависимости от
объемов производства и, в конечном счете, от объе­
мов эксплуатируемых производственных фондов
Приуказанном ограничении производства уравнение
динамики (3) третьего предприятия не может выполнятьсяпри 1>
одновременно суравнениями(1),( 2 ).
Поэтому дифференциальное уравнение (3) должно
3%Ж2 „Хд, так- что суммарное удельное загрязнение
быть исключено при I >
вредным веществом определяется значением функ­
ционала
нено алгебраическим уравнением (13). В результате
Ф1 = Ф1(х 1,х 2 ,х 3) = Ф1(х).
(9)
Пусть С| -максимальный допустимый уровень заг­
рязнения; тогда решение (6 ) должно удовлетворять
условию
Ф1(х( 1))< С 1 . 0 < 1 < 11.
( 10 )
из системы (1)-(3) и заме­
при I > ^ мы получаем систему дифференциально­
алгебраических уравнений ( 1), (2 ), (13), которая име­
ет векторную форму
^ ( А 1х( 1))+ В 1х( 1) = 81( ш | (% ^ 1 < 12„
(16)
где 8 1.=(11гВ Д ) * г. Рк = 4 ( 1 ) + Фк(х)-к = 12, функ­
ция Р3 (х) есть правая часть в (13):
В частности, и начальный вектор Хд должен удовлет­
ворять условию
%Сх 0-)^С |,
( 11 )
А1 -
"1
0
о"
0
1
0 •
0
0
0
Ьц
^12
^13
в , = Ь21
0
^22
1*23
1
0
Предположим, уравнение
Ф1(хь х 2 ,х з) = С1
( 12 )
позволяет выразить переменную Х3 через остальные
переменные:
х 3 =Р 3 (х 1.х 2 ;С1)
(13)
(см. ниже линейный случай).
По соображениям, которые понятны из дальнейшего
моделирования гибридной системы, можно считать,
что момент времени ^ из интервала (7) оказывается
критическим для корпорации в том смысле, что
Ф1<М11.» = <1)|(\|(11) . \ : (11).х.?0 ,)) = С!
(14)
и в дальнейшем функционал загрязнения (9) возрас­
тает:
Матрица А| является вырожденной (необратимой), но
характеристический пучок матриц /.А] + В] линейной
части уравнения (16) регулярен в смысле [ 11 ]: много­
член р(/_) = с1сК/_А| + В |) не есть тождественный ноль
( р(Х) Ф 0 ).
Отметим важный частный случай линейного уравне­
ния ( 8 ) и линейного функционала загрязнения (9):
(х) = оцх! + а 2.х2 + а 3х 3 .
При этом (1), (2), (13) представляет собой систему
линейных дифферснциально-алгсбраичсских уравне­
ний
о
м(П гЬп х, +Ь 12х 2 +Ь 13х 3
Г|(К-
( 17)
Х2(1) + Ь 21Х! + Ь 22 х 2 + Ь 23 х 3
Г2 ( 1 )-
( 18)
ОЦХ^ + ОС2 Х 2 “ЬСХ/^Хз —
^ 12-
(19)
( А ^ ) ) + В 1Х(1) = ^(I), 11 < I < 12
(20)
о
Ф](Х(1| +е)) > С! , 8 > 0.
Чтобы не допустить превышение допустимого уровня
загрязнения С] после момента ^ , руководство кор­
порации может принять решение подчинить объем
х 3 (1) используемых производственных фондов тре­
^
В векторной форме этой системы
тьего предприятия объемам производственных фон­
дов XI (I), х 2 (I) остальных предприятий в соответ­
введены обозначения
ствии с равенством (13) в каждый момент времени
I > ^ . Тогда в дальнейшем предельный допустимый
уровень загрязнения будет обеспечен:
Ф1(ха)) = С1. 1 > 11.
РИ, 2011, № 3
(15)
Ьц
^12
^13
В 1 = 1*21
а!
^22
а2
1*23 ; £ = Г20 )
а3_
П«) '
_
С1
.
23
В качестве начального условия для дифференциаль­
но-алгебраического уравнения (20) или системы (17)(19) следует выбрать такое:
х(11+0) = х(11).
(21)
где х(^ ) - граничное значение решенияуравнения (4)
в интервале 0< 1< % (7). В отличие от явного диффе­
ренциального уравнения, дифференциально-алгебраическое уравнение (16) с вырожденной матрицей
коэффициентов АI может не иметь решения при
произвольном выборе начального значения х(I]) |79], а необходимо выбирать начальное состояние из
некоторого допустимого начального многообразия
П| . В данном случае П ] представляет собой повер­
Ф2(ХЬ Х2,ХЗ) = С2
(25)
разрешимо относительно Х2 :
х 2 =Р2(.хь хз;С2).
(26)
Рассмотрим худший вариант, когда оценки решения х (I) уравнения (16) при 1 = 12 +!: (е > 0) прогно­
зируют превышение допустимого уровня С2 функци­
онала ® 2 :
®2(Х( Ь + е )) > ^2 •
(27)
По аналогии с моментом 1] корпорация принимает
хность 3^ в пространстве К 3 :
П 1 = 3 1 = { х е К 3 :Ф1(х) = С1) .
Как и для (12), предположим, что уравнение
(22)
В силу (14) начальное значение х(^ ) в (21) принад­
лежит двумерному многообразию 3 | : х ((|) е 3 | . При
надлежащих ограничениях на нелинейные функции
Ф1(х). 9 2 (х). Ф] (х) можно доказать с}тцествование и
единственность решения задачи Коши (16),(21). При
этом единственность обеспечивается не только свой­
решение начиная с момента 12 поставить объем ис­
пользуемых основных фондов второго предприятия
(тем самым и объем производства) в зависимость от
объемов первого и третьего предприятий по формуле
(26). Таким образом, будет удовлетворяться ограни­
чение (23) в форме равенства
В случае линейной задачи (20),(21) для существова­
ния и единственности ее решения с математической
точки зрения достаточно, чтобы в функционале заг­
рязнения в левой части уравнения (19) коэффициент
а з был ненулевым (с ц ^ О ), функции Г|Ш. 1\(1)
были интегрируемыми и начальный вектор х СI]) удов­
(28)
х 2'ГО = р2(‘х 1№ хз(1);С 2)Л >12 .
(29)
или
ствами нелинейной правой части 5^(Ж, I ) , но и регу­
лярностью характеристического матричного пучка
линейной части уравнения (16).
С'2 . 1 12
Ф2( \ | ( 1) . \ 2 ( 1).Хз(1))
Динамическое соотношение (2) следует отбросить из
системы при I >12 точно так, как соотношение (3)
при 1 > 11 . В результате при I > 12 состояние х (0
моделируемого экономического объекта будет удов­
летворять системе дифференциально-алгебраических
уравнений
о
Х1(1) + Ьи х, +Ь]2х 2 +Ь13х 3 = е д + ф1{хь х 2,х 1)>(3°)
летворял условию
По смыслу рассматриваемой модели экономическо­
го объекта указанны е свойства параметров
« 3,11 (1)^ 2 ГО заведомо выполнены, поэтому линей­
ная задача (20), (21) имеет единственное решение
х.(1), начинающееся при I = || на плоскости П ] (19)
и остающееся на ней при всех I > ^ .
Пусть при I > ^ вследствие обстоятельств, не завися­
щих от корпорации, возникает еще одно ограничение
С2 на значение функционала Ф^Сх]. \ 2 - х3) , напри­
мер. имеющего смысл загрязнения отходами вида у 2
(32)
х з(1) = Рз(х Ь х 2?С1); 1 > 12 .
Векторна я форма этой системы
с1
(А2ха)) + В2х(1) = $2 (х.О. 1 > 12
Л
(33)
имеет элементы
"1 0 о"
А 2 - 0 0 0 ; В2 =
0 0 0
Ьц
0
^12
1
^13
0
0
0
1
^ГО+ф^х)
или потребления сырья, энергоресурсов и пр.:
®2(ХЬ Х2'Х3) —С2 •
(31)
Х2(1) = Р2(ХЬ ХЗ,С2),
а 1х 1(11) + 0С2Х2 (11) + а ЗхЗ (*1) = ^1 •
(23)
Как и в случае критического момента времени 1| (14)
Б, =
Р2(х)
Р3(х)
для первого ограничения (10), возьмем момент
Характеристический пучок матриц линейной части
12 (>■
/.А 2 + В 2 является регулярным. Поэтому, при надле­
жащих ограничениях на нелинейную правую часть
, критический для второго ограничения (23):
Ф2(х(12)) = С2 .
24
(24)
РИ, 2011, № 3
S2 (x. t ) , уравнение (33), эквивалентное системе (30)(32),будетиметьвнетривиальноминтервале t 2 < t < t3
единственное решение x (t ), начинающееся в точке
x(t2) из допустимого начального многообразия
П 2 = { \ e R 3 :Ф 1(х) = Сь Ф2 (х) = С2 }.
(34)
По построению П 2 с П| (ср.(22) и (34)), причем
многообразие П 2 есть кривая, принадлежащая по­
верхности
.
ле 11 < I < Ь траектория х(1) остается на поверхности
% и является решением уравнения (16) с начальным
условием (21). По терминологии [4] подсистема (4)
активирована в интервале [ОД1] , а подсистема (16)
активирована в интервале |||Л 2) . В момент времени
12 > ^ траектория хЩ достигает поверхности
3 2 = {х : Ф2 (х) = С2}, так что выполняется равенство
(24). В момент Ь происходит переключение подсис­
темы (16) на подсистему (33). Далее при 1> 12 траек­
тория х(1;) изображаете К 3 решение уравнения (33)
с начальным условием
В случае линейной системы ( 1)-(3 ) и линейных фун­
кционалов Ф] и Ф2 (х) = PjXj + Р2х 2 + Р3Х3 система
дифференциачьно-алгебраическихуравнений(30)-(32)
является линейной:
о
XI(t) + b 11x 1 + b 12x 2 + b 13x 3 = fjCt), t > t 2 > (35)
\( Ь • 0)
\(Ь ).
(39)
Поскольку при I > Ь вдоль траектории удовлетворя­
ются алгебраические равенства (31), (32), траектория
х(1:) эволюционирует в пересечении П 2 поверхнос­
тей 3! = {х :Ф 1(х) = С1};3 2 = {х : Ф2 (х) = С2}.
Plx l + Р з х 2 +Рзх з = С2 , р 2 ^ 0 ,
(36)
Условия (21), (39) обеспечивают непрерывность (но
не дифференцируемость) траектории гибридной сис­
, 0,3 Ф0 .
(37)
темы в моменты переключения йр*12 с предыдущей
ajXj + a 2 x 2 + « 3X3 =
активированной подсистемы на последующую. В опи­
Начальное многообразие П 2 (34) есть прямая в R3 .
санной модели перестройки состояния \ (I) гибрид­
Если функция Г| (t) непрерывна илихотя бы локально
ной системы в моменты 1| . 12 не происходит.
интегрируема при t > t 2 и Р2«з ФРза2 , то при на­
чальном значении х ( Ь ) б П 2 существует единствен­
ное решение x(t) системы (35)-(37). Заметим, что
3. Гибридная система с произвольным числом
дескрипторных подсистем
условие Р2осз # РзОс2 гарантирует регулярность ха­
рактеристического матричного пучка /_А2 + В 2 сис­
темы (35)-(37), которая имеет векторную форму
Обобщим предыдущую модель на случай произ­
вольного числа последовательно активируемых под­
систем. В интервале 0 < I. < || активируется первая
динамическая подсистема
4 (A 2x (t)) + ê 2x(t) = (fj (t). С2. С, ),r.
dt
Ьц
где B 2 = Pi
ai
(38)
b 12 Ь13
Р2
ос2
Рз
О бращаясь ктерминологии и конструкции гибридной
системы в [4], можно резюмировать построение на­
шего модельного примера следующим образом. Рас­
смотренная гибридная система состоит из трех раз­
личных подсистем, описываемых векторными урав­
нениями (4), (16), (33), где уравнения (16) и (33)
являются дифференциально-алгебраическими, с вы­
рожденными матрицами
и А 2 п о д знаком произ­
водной. В произвольной точке х 0 е К начинается
непрерывная траектория х (I) гибридной системы,
являющаяся единственным решением уравнения (4)
на интервале О< I I] с начальным условием (5) и
достигаю щ ая в точке жСЩ поверхности
= (\ : Ф| (\) = С |}. так что удовлетворяется равен­
ство (14). В момент ^ происходит переключение
подсистемы(4) на подсистему (16) и далее в интерваРИ, 2011, № 3
Xl + b ^ X j +Ь12х 2 + ... + b lnXn = f1(t)+cp1(x1.„.,xn)
(40)
Хп + ЬЯ % + Ь п2Х2
- Ь ш, \ п = ґ п ( 1 ) + Фп( х 1, . . . , хп ),
векторная форма которой есть
х а ) + Вх(1) = ОД + ф(х),
10 < 1 < 1ь
(41)
где X (X| . X2 ....
В пространстве К.“ задано множество гладких гипер­
поверхностей «захвата»
З к = {х:Ф к(х) = Ск}.
к
1.2.... N.
(42)
и начальное условие
х(0) = х0 ,
(43)
не принадлежащее ни одной из гиперповерхностей
(42). По условию траектория решения \ ( 1) задачи
(41 ),(43), попадающая на любую из гиперповерхнос­
тей захвата (42), остается на ней в течение всего
дальнейшего времени. Для определенности будем
считать, что траектория х ( I) впервые попадает в мо­
25
мент времени |] именно на первую из гиперповерхно­
Тогда при I > Ь подсистема (45) перестает быть ак­
стей (42), перенумеровав их соответственно, если это
необходимо. Предполагается, что в достаточно об­
ширной области из Я11 уравнение Ф] (х) = С| можно
разрешить относительно х п :
тивной, и активируется новая дифференциально-алгебраическая подсистема
х„ = Рп(хь х 2,..,.хп_1) .
(44)
Захваттраекторииповерхностью Ф ](\) = С] при! > I]
обеспечивается заменой последнего дифференциаль­
ного уравнения в системе (40) алгебраическим урав­
^ -(А 2х(1))+ В2х(1) = 5 2(х,1)5 Х2 < I <
получающаяся из подсистемы (45) заменой диффео
ренциального уравнения с производной х» 1 на ал­
гебраическое уравнение (48). Условие
является начальным длярешения подсистемы (49). По
построению в (49) имеем
"1
0
..
0
0
0 “
0
0
..
1
0
0
0
0
..
0
0
0
0
0
..
0
0
0
а 2 -
х п- 1 + ЬП_ЦХ! + Ьп_12х 2 +... + Ьп_1л1х п -
+
(50)
х(12 +0) = х(12)
нением (44). Это эквивалентно тому, при I > ^ дина­
мическая подсистема (41) или (40) становится неак­
тивной, и активируется следующая дифференциаль­
но-алгебраическая подсистема:
(49)
(45)
+ Ф п - 1( Х )
хп = Рп(х1,х 2,..,,хп_1);11 < Х < 1 2 ,
"
Ь ц
•••
Ч п - -2
в 1. 11-1
Ч п
которая имеет векторную форму
В 2 =
_а_
А
( д 1х (1 1) ) + в , х ( 0 =
(х, I ) ,
% < г < г2
(46)
Здесь
•••
- 2.1
1
о
...
0
0“
0
1 ...
0
0
52 =
о
о
...
1
0
о
о
...
0
0
...
Ьц
4
- 2 . 11-1
4
- 2.11
1
0
0
0
0
1
(51)
• ф |(-х )
4 - 2 ( 1) + Ф „ - 2 ( х )
^
х п -1)
Р ц(Х 1 ~ х „ )
Ч,а
Начальный вектор х(Ь ) и траектория подсистемы
(49) принадлежат пересечению П 2 гиперповерхнос­
тей 3! = {х : Ф^х) = С,}: 3 2 = {х : Ф2(х) = С2} .
Ь п-1.я
Далее эволюция траектории х (I) гибридной системы
1
осуществляется рекуррентно аналогично предыду­
щему с переключением в момент ^ с подсистемы на
интервале 1|ч_1 < I < 1|ч на новую активированную в
интервале
< 1 1|ч+1 дифференциально-алгебраи­
ческую подсистему
Ьх11-
в, =
Ьп -и
о
2 „ ,.2
0
Р п - 1( х ;
—
ь„
0
1' [ Н )
Ат
о
11а )+ ф 1(х)
4_1(1) + фп_!(х)
Рп(х'1)
Активированная в интервале 1| <{ <12 подсистема
(45) ~ (46) определяет эволюцию траектории всей
гибридной системы в указанном интервале при на­
чальном условии
х(11+ 0 ) = # 1).
(47)
Пусть в момент \-)_(> 11) траектория подсистемы (46)
попадает на гиперповерхность 3 2 = {х :Ф2(х) = С2}
из множества (42): Ф2(х(Ь )) = С2 . Предполагается,
что уравнение второй гиперповерхности разрешимо
относительно переменной х„_ 1 :
х „-1 =Рп_1(х1,„.,хп_2,х п).
26
4
с!
(Акх а )) + Вкх(1) = 8к(хД),
А
1к
. (52)
Матрицы Ак.В к и вектор-функция 5|ч(х. I) имеют
структуру, аналогичную (51). В частности,
АО) • Ф1(х)
4-к (1) + Фп-к(х)
5к(хЛ) = ^п-к+1(х;:з4:хп_к+1)
к: 1.2.... п —1.
(53)
Р п - 1( Х ; * х п _ ! )
(48)
1„(х, •• хп )
РИ, 2011, № 3
Здесь функция Рп_к+1(х| Ф х п_^+1) является правой
частью решения
х п-к+1 = рп-к+1(>4 * х п_к+1) ,к = и , . . . , п - 1
(54)
уравнения Фк(х) = Ск из системы (42) относительно
переменной Хп_к+1 .
Моменты 1|ч перестройки предыдущей подсистемы
на последующую образуют упорядоченную последо­
вательность с числом элементов не более п - 1 :
О I] - 12 <... < 1к
••• < 1т , т < й.
(55)
М атрица Ак в уравнении (52) вырождена:
ШХ|Ак = и - к . В то же время пучок /.А|ч + Вк
(п х п) -матриц, характеристический для левой части
уравнения (52), является регулярным. Это гарантиру­
ет единственность решения уравнения (52) с началь­
ным условием
х(1к +0) = х(1к)
(56)
при надлежащих ограничениях на нелинейные функ­
ции в правой части (53).
Резюмируем наши построения в виде теоремы суще­
ствования и единственности описанной гибридной
системы.
Теорема. Пусть гибридная система состоит из
начальной динамической подсистемы (41) в К 11 и
дифференциально-алгебраических подсистем (52),
последовательно активируемых на временных ин­
тервалах 1к 1 - 1к+] после попадания траектории
гибридной системы на очередную гиперповерхност ь
захвата З к из множества (42) в момент переклю­
чения 1к;к = 1.2.... т ( < п). Предположим в (40) фун­
кции Г;(I) непрерывны при 1 >0 , фунтцш ф;(х) в
(40) и функции Рп..к в (54) являются глобально
Литиицевыми, а моменты переключений 1к упоря­
дочены согласно неравенствам (55). Тогда для на­
чального условия (43) существует единственная
траектория х (0 гибридной системы, определенная
и непрерывная всюду при 0 < 1 < +оо .
4. Выводы
Рассмотрена эволюция траекторий гибридной систе­
мы, состоящей из любого конечного числа непрерыв­
ных дескрипторных (дифференциально-ал гебраичсских) подсистем. Алгоритм переключения с одной
РИ, 2011, № 3
подсистемы на другую является дискретным, сохра­
няет непрерывность траекторий в фазовом простран­
стве R и в очередной момент переключения обеспе­
чивает вложение траектории в очередную гиперпо­
верхность захвата. Приведены достаточные условия
существования и единственности непрерывной траек­
тории гибридной системы на бесконечном промежут­
ке времени. Описан модельный эколого-экономический пример динамики корпорации из трех предприя­
тий, в котором гибридная система состоит соответ­
ственно из трех подсистем переключения траектории.
Вопросы практических вычислений, дискретизации и
оптимизации для описанных гибридных систем могут
исследоваться с помощью результатов работ [9,12].
Литература: 1. Неймарк ЮЛ. О скользящем режиме
релейных систем автоматического регулирования //Ав­
томатика и телемеханика. 1957. №1. 2. Емельянов С.В.
Системы автоматического управления с переменной
структурой. М.:Наука, 1967. 3. Уткин В.И. Скользящие
режимы и их применения в системах с переменной струк­
турой. М.:Наука, 1974. 4. Куржанстш А.Б., Точшин П.А.
Слабо инвариантные множества гибридных систем//Дифференциальныеуравнения. 2008. Т.44. №11. С.1523-1533.
5. Van der Schaft A., Schumacher H. An introduction to
hybrid dynamical Systems: Lecture Notes in Control and
Information Sciences. № 251. Berlin, 2000. 6. Johansson M.
Piecewise linear control systems: Lecture Notes in Control
and Information Sciences. № 284, Heidelberg. 2003. 7.
Campbell S.L. Singular Systems of Differential Equations San Francisco, London, Melbourne: Pitman Publishing,
Research Notes in Mathematics; I-Vol.40,1980, 176 p.; 1982.
II-Vol.61. 234p. 8.БояринцевЮ.Е.,ДаниловB .A ., Логинов
A.A. Численные методы решения сингулярных систем.
Новосибирск: Наука, 1989. 223 с. 9. Власенко Л.А. Эволю­
ционные модели с неявными и вырожденными диффе­
ренциальными уравнениями. Днепропетровск: Систем­
ные технологии. 2006. 273 с. 10. Власенко Л.А., Лысенко
Ю.Г., Руткас А.Г. Математические модели динамики
корпорации предприятий при использовании инвестиро­
вания // Экономическая кибернетика: Международный
научный журнал. 2009. N5-6 (59-60).С.64-71. И.Гантлюхер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с. 12. Бонда­
ренко М.Ф., Власенко Л.А., Руткас А.Г. Дискретное опти­
мальное управление дескрипторными системами с пере­
менными параметрами // Проблемы управления и ин­
форматики. 2011. №3. С. 5-13. ХЪ.Хартман Ф. Обыкновен­
ные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.
Поступила в редколлегию 15.07.2011
Рецешент: д-р техн. наук, проф. Власенко JI.A.
Руткас Андрей Анатольевич, аспирант ХНУРЭ. Науч­
ные интересы: математическое моделирование. Адрес:
Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.
27
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
182 Кб
Теги
гибридных, дескрипторных, моделирование, система, подсистемами, математические, динамических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа