close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ и численное исследование электрических полей в системах с протяженными электродами.

код для вставкиСкачать
Вестник Башкирского университета.2006.№2
17
УДК 518.5:550.83
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В СИСТЕМАХ С ПРОТЯЖЕННЫМИ ЭЛЕКТРОДАМИ
Болотнов А.М., Глазов Н.П., Киселев В.Д., Хисаметдинов Ф.З.
Предлагается математическая модель и численный метод расчета
электрических полей катодной защиты трубопроводов протяженными
анодами в трехмерной полуограниченной области. С помощью
разработанного алгоритма и программы получены оценки влияния
электрохимических и геометрических параметров на эффективность
катодной защиты магистральных нефтепроводов.
Введение
Катодная защита — наиболее важный и надежный метод борьбы с коррозией, который повсеместно
применяется для продления срока службы подземных и подводных сооружений, в том числе магистральных
нефтепроводов [1, 2]. Проектирование новых линий трубопроводов и оптимизация параметров в
существующих системах защиты требуют как экспериментальных исследований, так и разработки математических моделей и компьютерных программ для проведения вычислительных экспериментов.
Основная сложность моделирования систем катодной защиты трубопроводов протяженными анодами
связана с широким разбросом геометрических параметров исследуемых объектов. Так, например, для трубы
диаметром 1 м и длине защищаемого участка 100 км, отношение характерных размеров составляет 1:100000.
Примерно такой же порядок имеет отношение диаметра протяженного анода к его длине. Так как длина анода,
проложенного вдоль трубы, как правило, в 20 – 40 раз меньше длины защищаемого участка трубы, то свести
задачу к двумерной не представляется возможным.
Указанная особенность значительно осложняет применение традиционных подходов, основанных на
решении граничных задач для потенциала электрического поля с использованием численных методов. Ранее в
работах [3 – 10] были предложены методы решения для некоторых частных случаев рассматриваемой задачи: с
точечными анодами, без учета падения потенциала в аноде и в металле трубы.
В данной статье предложен эффективный алгоритм решения трехмерной задачи расчета электрического
поля с учетом падения потенциалов в системе протяженных электродов. Разработана программа в среде Delphi
и проведены серии вычислительных экспериментов для оценки влияния электрохимических и геометрических
параметров на эффективность катодной защиты магистральных нефтепроводов.
Математическая модель электрического поля протяженных
электродов в трехмерной полуограниченной области
Рассмотрим задачу катодной защиты трубопровода цепью равноудаленных протяженных анодов,
проложенных в грунте параллельно трубе. Известно, что потенциал стационарного электрического поля при
отсутствии точечных источников удовлетворяет уравнению эллиптического типа:
div (σ( p ) grad u ( p) ) = 0 ;
p∈Ω ,
(1)
где σ — удельная электропроводность; u — потенциал; p ≡ ( x, y, z ) — произвольная точка области Ω ⊂ R 3 .
Если удельная электропроводность грунта постоянная ( σ ≡ const ), то (1) превращается в уравнение Лапласа.
Сформулируем граничные условия. На свободной поверхности земли и на плоскостях симметрии Si для
потенциала ставятся условия второго рода:
∂u
=0,
(2)
∂n S
i
где n — вектор нормали.
На границах грунта с боковыми поверхностями анода Sa и трубы St ставятся условия третьего рода,
связывающие плотности тока и потенциалы:
18
раздел МАТЕМАТИКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ и МЕХАНИКА
∂u 

 u ± ce σ 0  = ϕ e ;
∂n  S

e
e = a, t ,
(3)
где u — потенциал грунта на границе с анодом или трубой; ca , ct — удельные сопротивления оболочки анода
и изоляции трубы; σ 0 — удельная электропроводность среды (грунта); ϕa , ϕt — потенциалы сердечника
анода и металла трубы. В данной модели предполагается линейная зависимость плотности тока от разности
потенциалов на границах анода и трубы с грунтом, поэтому ca и ct являются постоянными величинами для
каждого варианта расчета. Ток принят положительным в направлениях «анод – грунт» и «грунт – труба»,
поэтому в условиях (3) этим границам отвечают знаки «+» и «–» соответственно. Здесь и далее нижний индекс
e принимает значение a для анода и t для трубы.
Если задан ток I 0 в цепи «катодная станция – анод – труба», то в сечениях анода и трубы при x = 0
ставятся условия второго рода:
∂ ϕe
∂x
=−
x=0
I0
;
∆ e σe
e = a, t ,
(4)
где σ a , σt — удельные электропроводности сердечника анода и металла трубы; ∆ a , ∆ t — площади их
сечений; x — направление вдоль осей анода и трубы.
Потенциалы металлов ϕa и ϕt не являются постоянными величинами: в данной модели они зависят от
продольной координаты, то есть ϕ a = ϕ a (x) , ϕt = ϕt (x) , поэтому необходимы дополнительные соотношения
для их определения:
Ixe
∂ ϕe
= −σ e
;
e = a, t ,
(5)
∆e
∂x
где Ixa , Ixt — токи, текущие вдоль оси x в сердечнике анода и в металле трубы.
Алгоритм численного решения задачи
Выделим конечный объемный элемент (КОЭ) анода и трубы, в котором будем считать все параметры
постоянными. Будем строить соотношения для средних величин в КОЭ: среднего потенциала металла, среднего
потенциала в грунте на границе с КОЭ, средней плотности тока на границе КОЭ с грунтом.
Пусть число КОЭ равно N для анода и M для трубопровода (рис. 1). Из граничных условий (3)
сформируем 1-й блок уравнений:
Ina , k
U a , k + ca
= Φ a, k ;
k = 1,..., N ,
(6)
∆S a
U t ,l − ct
Int ,l
∆S t
= Φ t ,l ;
l = 1,..., M ,
(7)
где U a , U t — средние значения потенциала грунта на границе с КОЭ ( N + M неизвестных); Ina , Int — токи,
текущие по нормали к боковой поверхности анода и трубы ( N + M неизвестных); ∆S a , ∆St — площади
боковых поверхностей КОЭ анода и трубы; Φ a , Φ t — средние значения потенциала сердечника анода и
металла трубы в КОЭ ( N + M неизвестных).
Применяя первый закон Кирхгофа к каждому КОЭ анода и трубы и реализуя условие (4), сформируем 2-й
блок уравнений:
I 0 / 2 − Ixa,1 − Ina,1 = 0 , Ixa , k − Ixa, k +1 − Ina, k +1 = 0 ; k = 1,..., N − 2 , Ixa, N −1 − Ina , N = 0 ,
(8)
I 0 / 2 − Ixt,1 − Int, 1 = 0 ,
Ixt ,l − Ixt ,l +1 − Int , l +1 = 0 ;
l = 1,..., M − 2 ,
Ixt , M −1 − Int , M = 0 ,
(9)
где Ixa , Ixt — токи, текущие вдоль оси x в сердечнике анода и в металле трубы ( N + M − 2 неизвестных).
На основе закона Ома, реализуя условие (5), сформируем 3-й блок уравнений для токов между соседними
КОЭ, идущих вдоль оси x, и потенциалов металла в средних точках КОЭ :
Φ a , k − Φ a , k +1 = Ra Ixa, k ;
k = 1,..., N − 1 ,
(10)
Φ t ,l +1 − Φ t ,l = Rt Ixt , l ;
l = 1,..., M − 1 ,
(11)
Вестник Башкирского университета.2006.№2
19
где Ra , Rt — продольные сопротивления сердечника анода и металла трубы. Здесь неизвестными являются
Φ a и Φ t , которые входят в уравнения (6) и (7), а также Ixa и Ixt , которые входят в уравнения (8) и (9).
Четвертый блок уравнений формируется для потенциалов в грунте на границах анода и трубы:
Ina , m
Int , n
4πσ( p)U a, k =
−
;
k = 1,..., N ,
R( pk , pm ) n R ( pl , pn )
m
∑
4πσ( p)U t , l =
∑
In
In
∑ R( pka,, mpm ) − ∑ R( plt,, npn ) ;
m
l = 1,..., M ,
(12)
(13)
n
где R( pk , pm ) — расстояние от точки pk , в которой определяется потенциал, до точки pm , которая является
центром КОЭ анода или трубы. Здесь неизвестными являются U a и U t , которые входят в уравнения (6) и (7), а
также Ina и Int , которые входят в уравнения (6) – (9).
Формулами (12) и (13) определяется потенциал системы N + M точечных источников с интенсивностями
Ina , m , Int , n в неограниченном трехмерном пространстве. В правые части уравнений (12) и (13) входят
слагаемые не только от «своего» анода и «своего» защищаемого участка трубы, но и от всех других, а также от
«зеркальных» относительно свободной поверхности земли анода и трубы, введенных для перехода к задаче в
неограниченной области. Последнее обстоятельство практически не усложняет численный алгоритм решения
задачи, так как, во-первых, влияние соседних участков быстро убывает по мере их удаления от исследуемого
анода, и во-вторых, дополнительный учет слагаемых от соседних участков не сказывается на размерности
системы уравнений.
I0
I0/2
Ixt,1
Ixt,2
Ixt,M-1
...
Труба
I0/2
Int,1
Ina,1
I0/2
...
Int,2
Ina,2
...
Int,M
Ina,N
Анод
I0/2
I0
Ixa,1
Ixa,2
...
Ixa,N-1
x
0
la
lt
Рис. 1. Схема токов в системе «анод – труба».
Таким образом, сформирована система линейных алгебраических уравнений (6) – (13), в которой число
уравнений и число неизвестных равно 4 × ( N + M ) − 2 . Матрица системы устойчива к стандартным методам
численного решения. В тестовых расчетах получены численные результаты с нормой невязки, не
превышающей 10-16 для числа КОЭ до 2000. Время счета одного варианта (процессор Pentium – 4 с частотой 3
гГц) не превышает 20 минут.
Вычислительный эксперимент
В качестве иллюстраций приведем результаты некоторых расчетов. Исследовалось влияние различных
параметров на распределение потенциала и плотности тока вдоль анода и трубы. Ток катодной станции
определялся из условия минимума отклонения потенциала металла трубы в наиболее удаленной точке от
заданного значения защитного потенциала (в приведенных примерах защитный потенциал Фz = – 0.3 В ). Шкала
потенциалов приведена относительно потенциала грунта в бесконечно удаленной точке. Значения параметров
приведены в таблице и в подрисуночных подписях.
раздел МАТЕМАТИКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ и МЕХАНИКА
20
Значения основных параметров
Вариант 1 (рис. 2)
Параметр
Глубина от уровня земли до оси трубы, м
Вариант 2 (рис. 3)
2.0
2.0
Внешний диаметр трубы, м
1.22
1.22
Толщина стенки трубы, мм
25
25
2.45E-7
2.45E-7
15000
30000
0.5
0.001; 0.01; 0.1;
0.625; 1.25;
1; 10
2.5; 5.0
5.0
2.82
2.82
36
36
1.75E-8
1.75E-8
5000
2000
Удельное сопротивление стали, Ом*м
Сопротивление изоляции трубы, Ом*м^2
Расстояние между анодом и трубой, м
Длина анода, км
Глубина от уровня земли до анода, м
Внешний диаметр анода, мм
Удельное сопротивление меди, Ом*м
Удельное сопротивление грунта, Ом*м
На рис. 2 представлены зависимости плотности тока на границах «анод – грунт» (а) и «грунт – труба» (б)
от продольной координаты x при различных значениях длины анода. Из рисунка видно, что с увеличением
длины анода плотность анодного тока уменьшается; равномерность плотности тока на границе «грунт – труба»
возрастает.
( а)
(б)
Плотность тока анод-грунт, А/м 2
Плотность тока грунт-труба, А/м2
0.020
1.6E-4
0.016
1.2E-4
0.012
8.0E-5
0.008
4.0E-5
0.004
0.0E+0
0.000
0
1
2
3
4
5
0.0
2.5
5.0
7.5
Расстояние от КС, км
10.0
12.5
Расстояние от КС, км
Рис. 2. Распределение средней плотности тока вдоль боковой поверхности анода (а)
и трубы (б) при значениях длины анода, км (сверху вниз): 0.625; 1.25; 2.5; 5.0.
На рис. 3 представлены зависимости плотности тока на границах «анод – грунт» (а) и «грунт – труба» (б)
от продольной координаты x, при различных значениях расстояния от анода до трубы. Из рисунка видно, что
межэлектродное расстояние практически не влияет на анодное распределение плотности тока; равномерность
плотности тока по поверхности трубы улучшается с увеличением расстояния до анода.
Вестник Башкирского университета.2006.№2
21
( а)
(б)
Плотность тока грунт-труба, А/м2
Плотность тока анод-грунт, А/м 2
0.0016
2.8E-5
0.0014
2.4E-5
0.0012
2.0E-5
0.0010
1.6E-5
0.0008
1.2E-5
8.0E-6
0.0006
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Расстояние от КС, км
0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
Расстояние от КС, км
Рис. 3. Распределение средней плотности тока вдоль боковой поверхности анода (а) и трубы (б)
при расстояниях между анодом и трубой, м (сверху вниз): 0.001, 0.01, 0.1, 1, 10.
Целью данной работы является создание математической модели и алгоритма численного расчета
электрических полей в системах протяженных электродов. Дальнейшее исследование предполагает поиск
оптимальных параметров анода с учетом ограничений, накладываемых на плотность анодного тока и на
диапазон защитного потенциала трубы.
ЛИТЕРАТУРА
Томашов Н. Д. Теория коррозии и защиты металлов. М.: АН СССР, 1959. 592 с.
Глазов Н. П. Подземная коррозия трубопроводов, ее прогнозирование и диагностика. М.: Газпром,
1994. 92 с.
3. Глазов Н. П., Иванов В. Т. Исследование токораспределения на трубопроводе при защите его
протяженными протекторами в неоднородной среде //Методы и средства ЭХЗ магистральных трубопроводов от подземной коррозии. М.: ВНИИСТ, 1980. С. 69 – 87.
4. Иванов В. Т., Болотнов А. М. Автоматизированная система научных исследований электрических
полей в сложных электрохимических системах на основе вычислительного эксперимента //
Электрохимия. 1991. Том 27. Вып. 3. С. 324 – 331.
5. Иванов В. Т., Болотнов А. М. Пакет прикладных программ для численного исследования
электрических полей в неоднородных электрохимических системах //Известия ВУЗов:
Электромеханика. 1991. № 6. С. 21 – 28.
6. Болотнов А. М. Методы граничных элементов в расчетах электрических полей электрохимических
систем. Уфа: БашГУ, 2002. 143 с.
7. Болотнов А. М., Иванов В. Т. Численное моделирование пусковых режимов анодной защиты //
Защита металлов. 2001. Том 37. № 2. С. 197 – 200.
8. Иванов В. Т., Глазов Н. П., Макаров В. А. Математическое моделирование электрохимической
защиты //Итоги науки и техники. Сер. «Коррозия и защита от коррозии». М.: ВИНИТИ, 1987. Том 13.
С. 117 – 194.
9. Bolotnow A. Algorytmy obliczen parametrow ochrony urzadzen technologicznych przed korozja
elektrochemiczna // Bezpieczenstwo elektryczne: XII Miedzynarodowa konf. Wroclaw, 1999. T. 1. S. 461 –
468.
10. Makarov V. A., Ivanov V. T., Glazov N. P. Mathematical modelling of electrochemical protection // Proc.
10th Int. Cong. on metalliccorrosion. Madras, 1987. Vol. 3. P. 927 – 934.
1.
2.
Поступила в редакцию 11.05.06 г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа