close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическое моделирование отсеков гиперповерхностей сложной формы.

код для вставкиСкачать
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (140) 2015
УДК 514.185:512.7
В. Ю. ЮРКОВ
Омский государственный
педагогический университет
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ОТСЕКОВ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
Формулируются условия, позволяющие получать математические модели отсеков
гиперповерхностей, топологически эквивалентных гиперкубу и симплексу. Приводятся
соответствующие уравнения отсеков. Описанный метод позволяет выполнять процедуру нелинейной интерполяции при построении аналитической модели.
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Ключевые слова: гиперповерхность, гиперкуб, симплекс, отображение, математическая
модель.
8
В инженерной геометрии часто приходится решать задачу математического описания гиперповерхностей различной, часто большой, размерности
и различных, иногда высоких, порядков. Как правило, они являются конечным результатом научных
исследований сложных систем, зависящих от нескольких факторов. Построение их математических
моделей возможно только экспериментальным путём. При этом возникает необходимость учитывать
некоторый набор предварительно заданных условий,
различного геометрического и технического характера. В качестве таких условий могут задаваться
множества точек, линий, поверхностей и многообразий разных размерностей, которым должна
быть инцидентна конструируемая гиперповерхность
[1, 2].
С другой стороны, над математическим моделированием сложных гиперповерхностей довлеет «проклятие размерности», заключающееся в быстром
росте технических и вычислительных трудностей
при решении задачи. Трудности возрастают ещё
в большей степени, если учитывать нелинейность
объекта моделирования. Поэтому при обработке
экспериментальных данных для систем с большим
количеством факторов ограничиваются второй или
третьей степенью уравнения модели с последующими
процедурами определения оптимальной формы уравнения. Кроме того, во всех случаях любые используемые математические модели описывают моноидальные гиперповерхности, то есть гиперповерхности вида y=f(x1, x2, …, xn).
Целью настоящей статьи является описание возможности учёта априорной информации геометрического характера при построении математической
модели отсека гиперповерхности. Такой информацией может стать предполагаемое свойство аппроксимируемости гиперповерхности линейными полиэдрами и преобразование каждого линейного полиэдра в нелинейный.
Предположим, что в n-мерном пространстве
с системой x1, x2, …, xn в результате предварительной
работы определены следующие множества: точки
Ai(x1, i, …, xn, i); одномерные рёбра AiAj, i¹j; двумерные
грани AiAjAk Am , i¹j¹k¹m; трёхмерные грани; …;
гиперграни. Предположим, что объединение этих
множеств образует полиэдр, топологически эквивалентный единичному гиперкубу: u1´u2´ … ´un–1 ´un,
uiÎ[0, 1]. Определённость полиэдра означает следующее:
— точки Ai(x1, i, …, xn, i) являются образами вершин
гиперкуба (u1, u2, …, un) при ui равно 0 или 1;
— рёбра AiAj являются образами рёбер гиперкуба, то есть любая точка А полиэдра, AÎAiAj,
определяется как А=Ai(1–ui)+Aj ui при условии, что
её положение на ребре определяется только параметром ui;
— двумерные грани AiAjAkAm полиэдра являются
образами двумерных граней гиперкуба, то есть любая
точка А полиэдра, AÎAiAjAkAm, определяется как
А=Ai(1–ui)(1–uj)+Aj (1–ui) uj+
+Ak ui(1–uj)+Am ui uj
при условии, что её положение на грани определяется только параметрами ui, uj, и так далее.
Продолжая процесс таким образом, мы получим
известную полиэдральную (n-линейную) аппроксимацию отсека гиперповерхности, при которой точка
отсека гиперповерхности будет определяться как
образ соответствующей точки единичного гиперкуба
A=A00…0(1–u1)(1–u2)…(1–un)+
+A10…0 u1(1–u2)…(1–un)+…
...+A0…01(1–u1)(1–u2)…un+A110…0u1u2…
...(1–un)+…+A0…011(1–u1)(1–u2)…un–1 un+…
...+ A1…1u1 u2 … un–1 un.
Сам отсек гиперповерхности будет аппроксимирован отсеком линейчатой (во всех размерностях
от нуля до n) гиперповерхности n-го порядка.
Предположим, что на каждом ребре единичного
куба выбрано конечное число точек, кроме уже известных крайних, и найдены их образы. Последние
уже не будут лежать на отрезке — образе соответствующего ребра, но могут быть аппроксимированы
кривой xi=xi(uj), i=1, …, n, где хотя бы одна из
параметрических функций — нелинейная. Таким
образом, будут аналитически описаны все одномерные рёбра отсека гиперповерхности.
Для того, чтобы описать грани отсека гиперповерхности, поступим следующим образом.
Предположим, что выбрана двумерная грань
гиперкуба
Известны образы её вершин — точки А00(0, 0)=
=y00, А10(1, 0)=y00, А01(0, 1)=y00, А11(1, 1)=y00; её
рёбер — кривые y(0, u2), y(1, u2), y(u1, 0), y(u1, 1).
Тогда образ двумерной грани можно представить при
помощи билинейной интерполяции в виде
y(u1, u2)=y(0, u2)(1–u1)+y(1, u2) u1+
+y(u1, 0)(1–u2)+y(u1, 1) u2–
–[y00(0, 0) (1–u1) (1–u2)+y10(1, 0) u1 (1–u2)+
+y01(0, 1) (1–u1) u2+y11(1, 1) u1 u2].
Предположим, что выбрана трёхмерная грань
гиперкуба
n
å[y(U,u = u = u
i
i=1
j=1
k=1
i¹ j¹k
k
= 0)(1- u i )(1- u j )(1- u k )+ ...
... + y(U,ui = u j = uk =1)u i u juk ]- ...
n
n
é
ù
...+(-1)n+1 ê y(0, ..., 0)Õ(1- u i )+ ...+ y(1, ..., 1)Õ u i ú.
ë
i =1
i =1
û
Предположим, что в n-мерном пространстве
объединение таких же множеств образует полиэдр,
топологически эквивалентный единичному симплексу с системой барицентрических координат:
u1+u2+…+un+un+1=1, 0£ui£1. Осуществляя аналогичный процесс моделирования полиэдрального
отсека, получим n-мерное нелинейное симплициальное отображение со следующей формулой
n -1
Cn
C
y(U)= å u i[ å y(U,u i ¹ 0,u j = 0)n+1
u1´u2´u3=[0, 1]´[0, 1]´[0, 1], u4=…=un=0.
Известны образы её вершин – точки y000, y100,
y010, y110, y001, y101, y011, y111; её рёбер — кривые
y(0, u2, 0), y(1, u2, 0), y(u1, 0, 0), y(u1, 1, 0), y(0, u2, 1),
y(1, u2, 1), y(u1, 0, 1), y(u1, 1, 1), y(0, 0, u3), y(1, 0, u3),
y(0, 1, u 3), y(1, 1, u 3); её двумерных граней —
y(u1, u2, 0), y(u1, u2, 1), y(u1, 0, u3), y(u1, 1, u3), y(0, u2, u3),
y(1, u2, u3). Тогда образ трёхмерной грани можно
представить при помощи трилинейной интерполяции
в виде
j
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (140) 2015
u1´u2=[0, 1]´ [0, 1], u3=u4=…=un=0.
+
i =1
j=1
n -2
Cn
)- å y(U,u i ¹ 0,u j = u k = 0, j ¹ k)+
j=1
k =1
n -3
+
Cn
å y(U,u ¹ 0,u = u
i
j=1
k=1
m=1
j
k
= u m = 0, j ¹ k ¹ m)+ ...
n -p
y(u1, u2, u3)=y(0, u2, u3)(1–u1)+y(1, u2, u3) u1+
+y(u1, 0, u3)(1–u2)+y(u1, 1, u3) u2+
+y(u1, u2, 0) (1–u3)+y(u1, u2, 1) u3–
–[y(0, 0, u3) (1–u1)(1–u2)+y(0, 1, u3) (1–u1) u2 +
+y(1, 0, u3) u1(1–u2)+y(1, 1, u3) u1 u2]–
–[y(0, u2, 0)(1–u1)(1–u3)+y(0, u2, 1)(1–u1) u3+
+y(1, u2, 0) u1(1–u3)+y(1, u2, 1) u1 u3]–
–[y(u1, 0, 0)(1–u2)(1–u3)+y(u1, 1, 0) u2 (1–u3)+
+y(u1, 0, 1) (1–u2) u3+y(u1, 1,1) u2 u3]+
+[y000 (1–u1) (1 u2) (1–u3)+y100 u1 (1–u2) (1–u3)+
+y010 (1–u1) u2 (1–u3)+y001 (1–u1) (1–u2) u3 +
+y110 u1 u2 (1–u3)+y101 u1 (1–u2) u3+
+y011 (1–u1) u2 u3+y111 u1 u2 u3].
Продолжая этот процесс, в итоге получим следующую интерполяционную формулу
y(U)= å[y(U,u i = 0)(1- u i ) + y(U,u i =1)u i ]-
... +
Cn
å(-1)
j=1
...
p+1
y(U,ui ¹ 0,u j = ...= 0, j ¹ k ¹ ...)+ ...
+ ... + (-1)n+1 y(u i ,0,...,0)].
Таким образом, полученные формулы позволяют
осуществить многомерную полиэдральную нелинейную интерполяцию моноидальной гиперповерхности, разбитой на гиперкубы или симплексы, с вычислением значения в любой точке, не лежащей на
границах.
Библиографический список
1. Математика и САПР. В 2-х кн. Кн. 1 / П. Шенен [и др.]. –
М. : Мир, 1988. – 204 с.
2. Математика и САПР. В 2-х кн. Кн. 2 / П. ЖерменЛакур [и др.]. – М. : Мир, 1989. – 264 с.
n
i =1
n
- å[y(U,u i = u j = 0)(1- u i )(1- u j )+ y(U,u i =1,u j = 0)u i (1- u j )+
i =1
j=1
i¹ j
+ y(U,u i = 0,u j =1)(1- u i )u j + y(U,u i = u j =1)ui u j ]+
ЮРКОВ Виктор Юрьевич, доктор технических наук,
профессор (Россия), профессор кафедры прикладной информатики и математики.
Адрес для переписки:viktor_yurkov@mail.ru
Статья поступила в редакцию 26.02.2015 г.
© В. Ю. Юрков
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
9
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
114 Кб
Теги
отсеков, моделирование, математические, гиперповерхностей, формы, сложное
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа