close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическое моделирование солевого режима почв с фрактальной структурой.

код для вставкиСкачать
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2007. — № 2 (15). — С. 102–109. — ISSN 1991–8615
УДК 517.958:531.34
С. Ю. Беданокова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЛЕВОГО РЕЖИМА ПОЧВ
С ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ
Предложены и исследованы линейные математические модели солевого режима в почвогрунтах с фрактальной структурой. В основе моделей лежат нагруженные дифференциальные уравнения дробного порядка.
1. Основные уравнения модели и определение начально-краевых условий. Значительный
интерес представляет разработка математических моделей, учитывающих влияние фрактальной структуры почвы на их водный и солевой режимы. На важность установления функциональной связи между водным и солевым режимами почв в процессе совместного движения
воды и солей при полном насыщении почвогрунтов с растворимыми солями обратили внимание
многие исследователи [1, стр. 25].
В качестве уравнения одномерного движения солей рассматривалось дифференциальное
уравнение в частных производных параболического типа
∂2 u
∂u
∂u
= Dk 2 − a
+ b (u m − u) ,
∂t
∂x
∂x
(1)
где u(x, y) — концентрация c(x, t ) [г/л] почвенного раствора в точке x почвенного ±слоя 0 < x < r
мощности r в момент времени t > 0 [сут]; x — расстояние [м] от поверхности; a = c0 m1 — фактическая скорость движения воды в порах грунта; c0 — постоянная скорость фильтрации [м/сут];
m 1 — порозность; u m — предельная концентрация насыщения; b — коэффициент растворимости
[1/сут]; D k — коэффициент конвективной (фильтрационной) диффузии [м2 /сут].
Уравнение (1) предполагает линейное движение солей и воды вдоль оси абсцисс x и независимость интенсивности растворения содержащихся в твёрдой фазе почвы солей от их объёма
и поверхности. Из этого уравнения следует, что изменение во времени концентрации солей
в любой точке x равна поступлению солей в результате разности концентрации почвенного
раствора, переноса солей движущейся водой и вследствие растворения твёрдой фазы солей
и поступления их в раствор.
При малых значениях коэффициента растворимости, когда рассматриваются хорошо растворимые соли и малое их содержание в твёрдой фазе, в уравнении (1) можно пренебречь
числом b (um − u) или заменить его выражением

1
f (u) = b u m −
r
Zr
0

(2)
u(x, t ) d x  .
Известно, что почвенный раствор представляет собой структурированное коллоидное образование. В настоящее время разработаны методы, позволяющие наблюдать коллоидные структуры непосредственно в почвах и получать информацию о фрактальной размерности почв [2].
Уравнение движения (1) не учитывает, что почвогрунт, как правило, имеет фрактальную
структуру [3]. Учёт этого фактора принципиально меняет уравнение движения солей, превращая его в дифференциальное уравнение движения солей дробного порядка следующего вида:
α−n
u t = D f ∂α
0x u(ξ, t ) − aD 0x
∂u(ξ, t )
+ F [u] ,
∂ξ
(3)
где D f — коэффициент фрактальной диффузии;
α−n
∂α
0x u(ξ, t ) = D 0x
∂n u(ξ, t )
,
∂ξn
n − 1 < α É n,
n ∈ N;
¯ ¯
β
¯ ¯
D 0x и ∂α
0x — операторы дробного интегро-дифференцирования порядка β по Риману—Лиувиллю и по М. Капуто порядка α [4], а F [u] = b (um − u) или F [u] = f (u).
При α = 2 и F [u] = b (um − u) уравнение (3) совпадает с моделью (1) движения почвенного
раствора.
102
Математическое моделирование солевого режима почв . . .
Как установлено в [2], «почвенные коллоидные структуры чаще всего представляют собой
массовые фракталы». Показатель Порода, т. е. число χ в соотношении lg J (k) ∼ χ lg k , характеризующем зависимость интенсивности рассеяния нейтронов lg J (k) от передаваемого импульса k , при реализации метода малоуглового рассеяния нейтронов используют для нахождения
фрактальной размерности объектов. Для массовых фракталов число χ совпадает со значением
фрактальной размерности µ = D .
Поскольку фрактальная размерность почв даёт интегральную характеристику их коллоидной структуры, то в первом приближении можно положить, что α как показатель порядка
уравнения (3) пропорционален или совпадает с фрактальной размерностью D .
Анализ данных фрактальных размерностей зональных почв, полученных в работе [2] методом малоуглового рассеяния нейтронов, показывает, что D удовлетворяет неравенству 2 < D < 3,9.
Основная цель этой работы — качественный анализ уравнения в частных производных дробного порядка α как математической модели движения солей для всех α ∈ ]n − 1, n] (n ∈ N) при
этом особый акцент сделан на случае, когда 2 < D < 3,9.
При хорошо растворимых солях и малом их содержании в твёрдой фазе уравнения (1) и (3)
можно заменить следующими уравнениями:
∂u
∂2 u
∂u
= Dk 2 − a
,
∂t
∂x
∂x
∂u
∂u
= D f ∂α
.
0x u(ξ, t ) − a
∂t
∂x
(4)
(5)
В дальнейшем будем предполагать, что реализована процедура обезразмеривания зависимых и независимых переменных, а также всех параметров исследуемых задач. Предполагается
также известным распределение концентрации почвенного раствора в начальный момент времени t = 0:
u(x, 0) = τ(x), 0 É x É r,
(6)
и начальная эпюра солесодержания такова, что τ(x) ∈ C [0, r ] ∩ C 2 ]0, r ] в случае уравнения (4)
и τ(x) ∈ C n ]0, r ], τ(n) (x) ∈ L [0, r ] в случае уравнения (5).
Наряду с условием Коши в задачах оптимального управления водно-солевыми режимами
важную роль играет нелокальное условие вида
1
r
Zr
u(x, t ) d x = δ(t ),
0
(7)
0 É t É T,
где T — расчётное время.
Функция δ = δ(t ) — «математическое ожидание» содержания почвенного раствора (солей)
в слое мощности r . Предполагается, что функция δ(t ) принадлежит классу C 1 [0, T ] функций,
непрерывно дифференцируемых на временном сегменте [0, T ].
В классе достаточно гладких решений u = u(x, t ) из уравнения (3) в силу (7) имеем
′
δ (t ) =
Df
r
Zr
∂α
0x u(ξ,
0
·
¸
Zr
u(0, t )
1
a
α−n
n−α
D 0r u(ξ, t ) −
r
+
t)dx −
F (u) d x.
r
(n − α + 1)
r
(8)
0
Из (8) в случае, когда α = 2 F [u] = f (u) = b um − δ(t ) , непосредственным вычислением получаем
δ′ (t ) =
Df £
r
£
¤
¤ a£
¤ £
¤
u x (r, t ) − u x (0, t ) − u(r, t ) − u(0, t ) + b u m − δ(t ) .
r
(9)
Определяющее уравнение (9) порождает нелокальные краевые условия:
u(r, t ) − u(0, t ) = P 0 (t ),
0 É t É T,
u x (r, t ) − u x (0, t ) = P 1 (t ), 0 É t É T.
(10)
Пусть заданы функции P 0 (t ), P 1 (t ). Тогда среднее солесодержание δ(t ) меняется со временем
по закону
δ′ (t ) + bδ(t ) = bu m +
¤
1£
D f P 1 (t ) − aP 0 (t ) .
r
(11)
103
С. Ю. Беданокова
n−α
Положим в уравнении (3) F [u] = b um − δ(t ) и применим к обеим его частям оператор D 0x
частного дифференцирования дробного порядка n − α, в результате, принимая во внимание,
0
0
n−α α−n
— единичный оператор, получим другую форму записи уравнения
, где D 0x
что D 0x
D 0ξ = D 0x
движения
£
¤
∂ n−α
∂n u(x, t )
∂u(x, t )
n−α
D 0x u(ξ, t ) = D f
−a
+ b [u m − δ(t )] D 0x
1.
∂t
∂x n
∂xn
(12)
Нетрудно показать, что
n−α
D 0x
1=
x α−n
,
Γ (1 + α − n)
1
r
Zr
n−α
D 0x
1dx =
0
x α−n
,
Γ (2 + α − n)
(13)
где Γ(z) — гамма—функция Эйлера.
Так как 0 É n − α < 1, то по определению
n−α
D 0x
u(ξ, t ) =
и, стало быть,
Zr
n−α
D 0x
u(ξ,
t )d x
0
∂ n−α−1
D
u(ξ, t )
∂x 0x
n−α
= D 0r
u(ξ,
1
t) =
Γ (1 + α − n)
Zr
0
u(ξ, t )d ξ
.
(r − ξ)n−α
(14)
Проинтегрируем обе части равенства (12) по x от 0 до r . В результате на основании (10), (13)
и (14) будем иметь
¸
· n−1
b [u m − δ(t )] α−n+1
∂
u(r, t ) ∂n−1 u(0, t )
∂ n−α−1
− aP 0 (t ) +
D 0r
u(ξ, t ) = D f
−
r
.
n−1
n−1
∂t
∂x
∂x
Γ (2 + α − n)
(15)
Уравнение (15) порождает нелокальное условие
¯
¯
∂n−1 u ¯¯
∂n−1 u ¯¯
−
= P n−1 (t ),
∂x n−1 ¯x=r ∂x n−1 ¯x=0
0 É t É T.
(16)
Если допустить, что водно-солевой режим почвенного слоя таков, что
n−α−1
D 0r
u(ξ, t ) = λα δ(t ),
где λα — постоянный коэффициент пропорциональности, то мы приходим к нелокальному условию следующего вида:
u(r, t ) =
λα
r n−1−α δ(t ),
Γ (n − α)
0 É t É T.
(17)
При соблюдении условий (16) и (17) уравнение движения (15) переписывается следующим
образом:
λα δ′ (t ) +
b
bu m
r α−n+1 δ(t ) = D f P n−1 (t ) − aP 0 (t ) +
r α−n+1 .
Γ (2 + α − n)
Γ (2 + α − n)
(18)
2. Установившийся модельный вариант распределения солей в почвенном слое. Стационарные варианты уравнения (4) и (5) соответственно имеют вид
u ′′ (x) − ωu ′ (x) = 0,
′
∂α
0x u(ξ) − ωα u (x) = 0,
a
,
Dk
a
ωα =
.
Df
ω=
(19)
(20)
Из (19) следует, что градиент v(x) = u ′ (x) концентрации солей в почвенном слое толщины r
меняется по следующему экспоненциальному закону:
v(x) = v(0) exp(ωx).
104
(21)
Математическое моделирование солевого режима почв . . .
Уравнение (20) эквивалентно системе:
d n−1 v(ξ)
− ωα v(x) = 0,
d ξn−1
u ′ (x) = v(x), 0 < x É r.
α−n
D 0x
(22)
(23)
n−α
. В результате получим
К обеим частям равенства (22) применим оператор D 0x
d n−1 v
n−α
= ωα D 0x
v(ξ),
d x n−1
(24)
0 É n − α < 1.
Любое решение v = v(x) уравнения (24) при n Ê 2 является решением уравнения
·
¸
d d n−2 v
n−1−α
−
ω
D
v(ξ)
= 0.
α 0x
d x d x n−2
(25)
Рассмотрим алгоритм решения уравнения (25) при
2<αÉ3
(26)
(n = 3).
1. Условие (26) означает, что градиент концентрации солей должен удовлетворять уравнению
¤
d £ ′
2−α
v (x) − ωα D 0x
v(ξ) = 0.
(27)
dx
2. Уравнение (27) редуцируется к уравнению
2−α
v ′ (x) − ωα D 0x
v(ξ) = c 2 ,
(28)
c 2 = lim v ′ (x).
(29)
где
x→0
−1
3. Из равенства (28), после применения к обеим его частям оператора D 0x
, имеем
1−α
v(x) − ωα D 0x
v(ξ) = c 2 x + c 1 ,
(30)
c 1 = v(0).
(31)
причём
4. Через Vα v обозначим левую часть уравнения (30). На основании формулы Хилле—Тамаркина [4], которая обращает интегральный оператор Вольтерра Vα , любое решение v(x) уравнения (30) имеет вид
d
v(x) =
dx
Zx
0
£
¤
(c 1 + c 2 t ) Eα−1 ωα (x − t )α−1 d t .
(32)
Здесь
zj
¡
± ¢,
j =0 Γ µ + j ρ
∞
£
¤ X
Eρ z; µ =
E1/ρ [z] = Eρ [z; 1] ,
ρ > 0,
функция типа Миттаг—Леффлера и функция Миттаг—Леффлера.
Прямые расчёты показывают, что
d
dx
Zx
0
∞
X
£
¤
Eα−1 ωα (x − t )α−1 d t =
j
ωα
d
¡
¢
j =0 Γ 1 + (α − 1) j d x
Zx
0
(x − t )(α−1) j d t =
d
=
dx
Zx
0
dt =
∞
X
j =0 Γ
¡
¡
ωα x α−1
¢j
1 + (α − 1) j
£
¤
¢ = Eα−1 ωα x α−1 ;
105
С. Ю. Беданокова
d
dx
Zx
0
j
∞
X
£
¤
t Eα−1 ωα (x − t )α−1 d t =
ωα
d 2+(α−1) j
¡
¢
x
j =0 Γ 1 + (α − 1) j d x
Z1
ξ (1 − ξ)(α−1) j d t =
0
¡
¢
∞ ω j 2 + (α − 1) j
X
¡
¢
α
¡
¢ x 1+(α−1) j B 2, 1 + α j − j =
=
j =0 Γ 1 + (α − 1) j
¢j
¡
¡
¢
∞
∞ ω j 2 + (α − 1) j
X
X
£
¤
ωα x α−1
α
(α−1) j
¡
¢ x
¡
¢ = xE1/(α−1) ωα x α−1 ; 2 .
=x
=x
j =0 Γ 2 + (α − 1) j
j =0 Γ 3 + (α − 1) j
Поэтому формулу (32) можно переписать в виде
£
¤
£
¤
v(x) = Eα−1 ωα x α−1 c 1 + xE1/(α−1) ωα x α−1 ; 2 c 2 .
(33)
u ′′′ (x) − ω3 u ′ (x) = 0;
(34)
Как замечено в работе [3], «в целом ряде случаев значение фрактальной размерности достигает 3, что является предельной величиной для фрактальных объектов», и «такое значение
может характеризовать переход от массовых к поверхностным фракталам» [6]. Величина 3
является предельной и для уравнений (20) и (22). При α = 3 эти уравнения записываются следующим образом:
′′
(35)
v (x) − ω3 v(x) = 0.
Единственное решение v(x) уравнения (35), удовлетворяющее условию Коши (29), (31), задаётся формулой
¡p
¢
¡p
¢
v(x) = c 1 ch ω3 x + c 2 sh ω3 x .
(36)
В силу (23) и (36) решение u(x) задачи Коши:
u(0) = c 0 ,
u ′ (0) = c 1 ,
u ′′ (0) = c 2
(37)
для стационарного уравнения движения почвенного раствора (33) однозначно определяется
формулой
¢±p
¡
¡p
¢
¡p
¢
u(x) = c 0 + c 1 sh ω3 x + c 2 ch ω3 x − c 2
ω3 .
(38)
В случае же уравнения (19) решение u(x) задачи Коши: u(0) = c0 , u ′ (0) = c1 имеет вид
u(x) = c 0 +
¤
c1 £
exp(ωx) − 1
ω
(39)
Из (37)–(39) следует, что эти решения, будучи близкими на поверхности x = 0 почвы, существенно отличаются вдали от неё.
Приведём теперь схему решения задачи для уравнения (20) в общем случае, когда n > 3
и n − 1 < α < n.
Пусть m = n − 1, β = n − α. Очевидно, 0 < β < 1 и уравнение (22) эквивалентно уравнению
−β d
D 0x
m
v(ξ)
− ωα v(x) = 0,
d ξm
m > 2.
(40)
Известно, что
−β
m−β
D 0x v (m) (ξ) = D 0x
v(ξ) −
x β− j
¢.
u (m− j ) (0) ¡
Γ 1+β− j
j =0
m
X
Поэтому уравнение (40) можно переписать в виде
α−1
D 0x
v(ξ) − ωα v(x) = h(x),
(41)
где
h(x) =
β− j
m c
X
m− j x
¡
¢,
j =1 Γ 1 + β − j
u (m− j ) (0) = c m− j ,
106
j = 1, 2, . . . , m.
(42)
Математическое моделирование солевого режима почв . . .
Уравнение (41) было объектом исследования работы [6], и его решение, удовлетворяющее
условию (42), можно выписать в явном виде через функции типа Миттаг—Леффлера.
3. Нестационарная математическая модель солепереноса. Здесь мы ограничимся рассмотрением модели, в основе которой лежит уравнение
δ′ (t ) = D f ∂α
0x u(ξ, t ) − au x ,
(43)
1 < α < 2,
с граничным условием
D f u x (0, t ) = ϕ(t ),
(44)
0 É t É T.
Решение уравнения (43) принимается за приближенное решение уравнения (5).
Пусть
(45)
w(x, t ) = D f u x .
Тогда уравнение (43) можно переписать в виде
α−1
D 0x
w(ξ, t ) − λw(x, t ) =
δ′ (t )
,
Df
λ=
a
,
Df
(46)
а граничное условие (44), в силу (45), можно записать в форме
w(0, t ) = ϕ(t ),
(47)
0 É t É T,
где ϕ(t ) — непрерывная на сегменте [0, T ] функция.
Схема построения решения уравнения (46) с граничным условием (47) выглядит следующим образом.
1. Поскольку β = α − 1 ∈ ]0, 1],
x β−1
−β β
β−1
D 0x D 0ξ w(ξ1 , t ) = w(x, t ) − ¡ ¢ lim D 0x w(ξ, t )
x→0
Γ β
и предел в правой части равен нулю, то уравнение (46) можно записать в виде
−β
w(x, t ) − λD 0x w(ξ, t ) =
δ′ (t )x β
¡
¢.
Γ 1+β
(48)
2. Из уравнения (48) по формуле Хиле—Тамаркина получим
δ′ (t ) d
¢
w(x, t ) = ¡
Γ 1+β dx
Zx
0
i
h
t β Eβ λ(x − t )β d t .
(49)
−1
К обеим частям равенства (49) применим оператор D 0x
. Тогда согласно (45) будем иметь
δ′ (t )
¢
D f u(x, t ) = ¡
Γ 1+β
Zx
0
i
h
t Eβ λ(x − t )β d t =
β
Отсюда, принимая во внимание, что
Zx
0
где B(x, y) =
Γ(x)Γ(y)
Γ(x+y)
β
βj
t (x − t ) d t = x
β(1+ j )+1
Z1
0
∞
δ′ (t ) X
λj
¡
¢
¡
¢
Γ 1 + β j =0 Γ 1 + β j
Zx
0
i
h
t β Eβ λ(x − t )β d t .
¡
¢
ξβ (1 − ξ)β j d ξ = x β(1+ j )+1 B β + 1, β j + 1 ,
— бета—функция, заключаем, что
¡ β¢ j
∞ λ j x β+1+β j
∞
X
X
λx
′
β+1
¡
¢ = δ (t )x
¡
¢.
D f u(x, t ) = δ (t )
j =0 Γ 2 + β + β j
j =0 Γ 2 + β + β j
′
107
С. Ю. Беданокова
Стало быть,
h
i
D f u(x, t ) = δ′ (t )x β+1 E1/β λx β ; β + 2 .
(50)
3. Равенство (50) приводит к уравнению
β
D f δ(t ) = δ′ (t )a r
Rr
β
(51)
с коэффициентами a r = r1 x β+1 E1/β λx β ; β + 2 d x .
£
0
Число
β
ar
=
∞
X
λj
j =0 r Γ
¡
2+β+βj
¢
Zr
x
¤
β+1+β j
dx = r
0
β+1
∞
X
j =0 Γ
β+1
¡
¡ β¢ j
λr
3+β+βj
h
i
¢ = r β+1 E1/β λr β ; β + 3
r
отлично от нуля при a Ê 0. При a = 0 оно равно Γ(3+β)
.
Согласно (6), (7) условие Коши для уравнения (51) задаётся равенством
(52)
δ(0) = τ,
Rr
где τ = r1 τ(x) d x среднее значение концентрации почвенного раствора.
0
С учетом (52) из (51) получаем
δ(t ) = τ exp
Ã
Df
β
ar
!
t ,
δ′ (t ) =
τD f
β
ar
exp
Ã
Df
β
ar
!
t .
(53)
4. Подставляя найденное значение δ′ (t ) из (53) в равенство (50), приходим к эффективной,
хорошо реализуемой на компьютере, формуле, определяющей распределение солей в почвенном слое мощности r :
)
(
£
¤
τE1/β λx β ;2 + β ³ x ´β+1
Df t
£
¤
£
¤ .
exp β+1
u(x, t ) =
r
E1/β λr β ; 3 + β
r
E1/β λr β ;3 + β
(54)
4. Нестационарный вариант модели (3). За приближенное решение u(x, t ) уравнения (3)
в случае, когда F [u] совпадает с функционалом f (u), определённым по формуле (2), примем
решение уравнения
α−n
δ′ (t ) + bδ(t ) = D f ∂α
(55)
0x u(ξ, t ) − aD 0x u ξ (ξ, t ) + bu m ,
удовлетворяющее соответствующим начальному и краевому условиям типа (6), (16) и (17).
Исследование начально-краевых задач для уравнения (55) приводится по указанным ранее
схемам, выражая функцию w = D f u x через δ′ (t ) + bδ(t ).
В случае, когда задано нелокальное краевое условие
δ(t ) = τ exp (−bt ) ,
0 É t É T,
уравнение (55) переходит в уравнение
α−n
D f ∂α
0x u(ξ, t ) − aD 0x u ξ (ξ, t ) = −bu m ,
которое можно свести к виду уравнений, исследованных в работе [7].
Автор выражает благодарность профессору А.М. Нахушеву за постановку задач и ценные советы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аверьянов, C. Ф. Борьба с засолением орошаемых земель [Текст] / C. Ф. Аверьянов. — М.: Колос, 1978. — 288 c.
2. Сербина, Л. И. Об одной математической модели переноса субстанции во фрактальных средах [Текст] /Л. И. Сербина // Мат. моделирование. — 2003. — Т. 15, № 9. — С. 17–28.
3. Фрактальные коллоидные структуры в почвах различной зональности [Текст] /Г. Н. Федотов, Ю. Д. Третьяков,
В. К. Иванов и др. // Докл. РАН. — 2005. — Т. 405, № 3. — С. 351–354. — ISSN 0869–5652.
108
Математическое моделирование солевого режима почв . . .
4. Нахушев, А. М. Дробное исчисление и его применение [Текст] /А. М. Нахушев. — М.: Физматлит, 2003. — 272 с.
5. Кольцова, Э. М. Нелинейная динамика термодинамики необратимых процессов в химии и химической технологии [Текст] /Ю. Д. Третьяков, Л. С. Гордеев, А. А. Вертегел.— М.: Химия, 2001. — 408 с.
6. Baret, J. N. Differential equation of non-integer [Text] /J. N. Baret // Canad. J. Math. — 1954. — Vol. 6, No. 4. —
P. 529–541.
7. Беданокова, С. Ю. Задача Коши и нелокальная краевая задача для обобщённых дробных осцилляционных уравнений [Текст] /С. Ю. Беданокова // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 9–15.
НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, г. Нальчик
рniipma333@mail.com
Поступила 07.11.2006
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
150 Кб
Теги
режим, структура, моделирование, фрактальная, математические, почва, солевого
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа