close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическое обоснование вычисления несобственных интегралов встречающихся в аэродинамике для дробных степеней особенности.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА
серия Аэромеханика и прочность
2006
№ 97
УДК 533.6:681.3
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В АЭРОДИНАМИКЕ,
ДЛЯ ДРОБНЫХ СТЕПЕНЕЙ ОСОБЕННОСТИ
В.Ю. СМИРНОВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Барзиловичем Е.Ю.
Изучаются несобственные интегралы по Адамару, встречающиеся в задачах аэродинамики. Рассматривается случай
сильной особенности на конце отрезка интегрирования, а также случай дробных степеней особенностей. Строгое определение интеграла в смысле конечного значения по Адамару в рассматриваемом случае дается на основе доказательства теоремы существования. Приводится также явное выражение для интеграла по Адамару.
В математических моделях, применяемых в аэродинамике, часто встречаются уравнения, содержащие несобственные интегралы. В статье настоящего Вестника [4] был рассмотрен случай, когда
точка, в которой подынтегральная функция имела сильную особенность, лежала внутри отрезка интегрирования. Однако в некоторых задачах численной аэродинамики, например, при моделировании
кромок и отсеков, возникает необходимость вычисления несобственных интегралов с сильной особенностью на конце отрезка интегрирования [3]. Интерес представляет также случай дробных степеней особенностей.
Рассмотрим случай, когда особая точка является граничной точкой интервала интегрирования, а
именно
v(x )
∫ ( x − a ) p dx ,
(1)
L
где L = [a, b]/[a, a+ε), p ∈ R, p ≥ 1.
Пусть функция ν(x) имеет [p]+1 производную в некоторой окрестности точки a. Тогда в этой окрестности она представима в виде
[ p]
1 ( i)
ν (a )( x − a ) i + o(( x − a ) [ p ] ) .
i!
ν( x ) = ∑
i =0
(2)
Рассмотрим интеграл
a+r
I ( ε) =
∫
a +ε
v(x )
(x − a )[ p]
dx ,
(3)
где r – радиус окрестности, в которой функция ν(x) представима в виде (2). С учетом разложения (2)
интеграл (3) будет равен
[p]
I ( ε) = − ∑
i =0
1
1
ν ( i ) (a )
i! ( p − i − 1)
( x − a ) p −i −1
a +r
+
a +ε
a+r
∫
g( x )dx .
a +ε
Здесь g( x ) = O(( x − a ) α ) , где α > 0.
Следовательно, функция g(x) не имеет особенности при x → a. Таким образом, существует предел
lim  I(ε) −
ε→0 
[ p ]−1
∑
i=0
1
1
ν ( i ) (a ) p −i −1  .

i! ( p − i − 1)
ε
Если ν(x) интегрируема на отрезке [a+r, b], то существует предел
lim 
ε→0 
∫
L
ν( x )
(x − a)
p
dx −
[ p ]−1
∑
i =0
1
1
ν ( i ) (a ) p− i −1  .

i! ( p − i − 1)
ε
81
Математическое обоснование вычисления несобственных интегралов…
Этот предел называется интегралом в смысле конечного значения по Адамару от подынтегральной функции и обозначается
ν( x )
b
∗∫
dx .
(x − a) p
a
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть функция v(x) имеет в некоторой окрестности точки a производную порядка
[p]+1 и интегрируема по Риману на отрезке [a, b]. Тогда
b
∗∫
a
ν( x )
dx = lim 
p
ε→0 
(x − a)
ν( x )
∫
(x − a) p
L
dx −
[ p ]−1
1
1
ν ( i ) (a ) p− i −1  .

i! ( p − i − 1)
ε
∑
i =0
(4)
Доказанная теорема существования позволяет считать выражение (4) определением интеграла в
смысле конечного значения по Адамару от подынтегральной функции в случае дробных степеней
особенностей, когда особая точка является граничной точкой интервала интегрирования.
Сформулированная в статье [4] теорема существования, а также интегрирование по частям, являющееся следствием из этой теоремы, в данном случае не применимы. Поэтому возникает вопрос о
вычислении данного интеграла.
Нетрудно видеть, что интеграл
b
ν( x ) − ν(a ) − ... −
I=∫
ν ([ p ]−1) (a )
( x − a ) [ p ]−1
([ p] − 1)!
(x − a) p
a
dx
существует по Риману.
Таким образом, имеем
ν( x )
b
b
I = lim ( ∫
dx − ∫
ε→0 a + ε ( x − a ) p
a +ε
dx +
= lim ( ∫
ε→0 a + ε ( x − a ) p
[ p ] −1
=
∑
i =0
∑
i =0
[ p ] −1
ν( x )
b
[ p ] −1
ν ( i ) (a )
∑
i =0
b
= ∗∫
a
i! ( x − a ) p− i
(x − a ) p
b
i! ( p − i − 1)( x − a ) p− i −1
[ p ] −1
ν( x )
∑
+ lim ( ∫
−
ε→0 a + ε ( x − a ) p
ν( x )
dx ) =
ν ( i ) (a )
b
i! ( p − i − 1)( b − a ) p −i −1
ν ( i ) (a )
[ p ] −1
dx +
∑
i=0
i =0
=
a +ε
ν ( i ) (a )
i! ( p − i − 1)ε p −i −1
ν ( i ) (a )
i! ( p − i − 1)( b − a ) p− i
)=
.
Следовательно, интеграл в смысле конечного значения по Адамару от подынтегральной функции
в случае дробных степеней особенностей, когда особая точка является граничной точкой интервала
интегрирования, можно представить в явном виде
b
*∫
a
ν( x )
(x − a) p
ν( x ) − ν( a ) − … −
b
dx = ∫
a
−
[ p ]−1
∑
i =0
ν ([ p ]−1) (a )
( x − a ) [ p ]−1
([ p] − 1)!
(x − a ) p
ν ( i ) (a )
i! ( p − i − 1)( b − a ) p− i −1
dx −
(5)
.
Таким образом, рассматриваемый несобственный интеграл по Адамару (1) можно понимать в
смысле данного выше определения (4), так как для него доказана теорема существования. Приведенное выражение для интеграла по Адамару (5) не содержит несобственных интегралов и позволяет
82
В.Ю. Смирнов
решать задачи математического моделирования аэродинамической интерференции обычными методами численного интегрирования.
Полученные выше результаты носят универсальный характер, так как могут найти применение
не только в аэродинамике, но и в других областях науки, где встречаются сингулярные интегралы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Адамар Ж. Задачи Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. – М.: Наука,
1978.
2. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. – М.: ТОО "Янус", 1995.
3. Смирнов В.Ю. Расчет нестационарных аэродинамических характеристик грузов на дозвуковых скоростях полета.
Сб.: "Установки и системы управления авиационным вооружением". – М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1994.
4. Смирнов В.Ю. Математическое обоснование вычисления несобственных интегралов, встречающихся в аэродинамике, для целых степеней особенности (статья в данном Вестнике).
MATHEMATICAL SUBSTANTIATION OF CALCULATION OF IMPROPER INTEGRALS THAT
ARE FOUND IN AERODYNAMICS FOR THE FRACTIONAL DEGREES OF SINGULARITIES
Smirnov V.J.
Improper integrals by Hadamard that are found in aerodynamics are studied. The case of a strong singularity at the end of a
segment of integration, and also the case of the fractional degrees of singularities is considered. Strict definition of an integral in
terms of final value by Hadamard in a considered case is given on the basis of the proof of the existence theorem. Explicit expression
for an integral by Hadamard is obtained also.
Сведения об авторе
Смирнов Владимир Юрьевич, 1963 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1985) и ВВИА
им. Н.Е. Жуковского (1987), кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой МАИ, автор более 40
научных работ, область научных интересов – аэродинамическая интерференция самолета и грузов, эксплуатация сложных технических систем, компьютерные технологии.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа