close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод построения программных движений для нелинейной нестационарной системы.

код для вставкиСкачать
УДК 531.36
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 1 (№ 1)
А. Н. Квитко
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ
ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ∗
1. Введение. В [1] предложен алгоритм, построения управляющей функции, при
которой решение линейной и квазилинейной системы дифференциальных уравнений
переходит из начального состояния в сколь угодно малую окрестность заданного конечного состояния. Ниже решается аналогичная задача для нелинейной управляемой
системы.
Объектом исследования является управляемая система
ẋ = f (x, u, t),
(1.1)
x = (x1 , . . . , xn )∗ , x ∈ Rn ; u = (u1 , . . . , ur )∗ , u ∈ Rr , r ≤ n, t ∈ [0, 1].
(1.2)
где
f ∈ C 3 (Rn × Rr × R1 ; Rn ),
x < C1 ,
f = (f1 , . . . , fn )∗ ,
u < C2 .
(1.3)
Пусть заданы состояния
x(0) = 0, u(0) = 0, x(1) = x1 ; x1 = (x11 , . . . , xn1 )∗ , x1 < C1 .
(1.4)
Задача. Найти функции x(t) ∈ C 1 [0, 1), u(t) ∈ C 1 [0, 1), удовлетворяющие системе
(1.1) и условиям (1.3) так, чтобы были выполнены соотношения
x(0) = 0, u(0) = 0,
x(t) → x1
при t → 1
(1.5)
2. Решение задачи. Выберем u1 ∈ Rr ; u1 = (u11 , . . . , ur1 )∗ , u1 < C2 . Используя
свойства (1.2) систему (1.1) можно записать в виде
n
∂f i
ẋ = f (x1 , u1 , 1) +
(x1 , u1 , 1)(xj − xj1 )+
j
∂x
j=1
i
+
i
r
∂f i
(x1 , u1 , 1)(uj − uj1 ) + R1i (x, u, t) + R2i (x, u, t),
j
∂u
j=1
i = 1, . . . , n.
(2.1)
∗ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №01–01–00319).
c А. Н. Квитко, 2004
14
Здесь
1 ∂2f i
(x̃, ũ, t̃)(xj − xj1 )(xk − xk1 )+
2 j=1
∂xj ∂xk
n
n
R1i =
k=1
1 ∂2f i
(x̃, ũ, t̃)(xk − xk1 )(uj − uj1 )+
k ∂uj
2
∂x
j=1
n
+
r
k=1
1 ∂2f i
(x̃, ũ, t̃)(uj − uj1 )(uk − uk1 )+
2 j=1
∂uj ∂uk
r
+
r
(2.2)
k=1
+
1 ∂2f i
(x̃, ũ, t̃)(xj − xj1 )(t − 1)+
2 j=1 ∂xj ∂t
+
1 ∂2f i
(x̃, ũ, t̃)(uj − uj1 )(t − 1).
2 j=1 ∂uj ∂t
r
r
R2i = f i (x1 , u1 , 1) +
1 ∂2f i ∂f i
(x1 , u1 , 1) (t − 1).
x̃, ũ, t̃ (t − 1)2 +
2 ∂t∂t
∂t
Имеем
x̃ = x1 + θi (x − x1 ), ũ = u1 + θi (u − u1 ), t̃ = 1 + θi (t − 1);
θi ∈ (0, 1),
x̃ < C1 ,
(2.3)
i = 1, . . . , n,
ũ < C2 ,
t̃ < 1.
Будем искать решение поставленной задачи в виде
xi (t) = ai (t) + xi1 ,
i = 1, . . . , n,
(2.4)
uj (t) = bj (t) + uj1 ,
j = 1, . . . , r.
(2.5)
После подстановки соотношений (2.4), (2.5) в систему (2.2) получим систему, которую
запишем в векторном виде:
ȧ = P a + Qb + R1 (a, b, t) + R2 (a, b, t)
P = {Pji },
Q = {qji },
qji =
Pji =
∂f i
(x1 , u1 , 1),
∂xj
∂f i
(x1 , u1 , 1),
∂uj
R1 = (R11 , . . . , R1n )∗ ,
a = (a1 , . . . , an )∗ ,
(2.6)
i, j = 1, . . . , n;
i = 1, . . . , n;
j = 1, . . . , r;
R2 = (R21 , . . . , R2n )∗ ,
b = (b1 , . . . , br )∗ .
Условия (1.3), (1.4), (2.4) дают
a(t) + x1 < C1 ,
b(t) + u1 < C2 ,
a(0) = −x1 ,
b(0) = −u1 .
t ∈ [0, 1);
(2.7)
(2.8)
15
Сделаем преобразование переменной t по формуле
1 − t = e−ατ ;
τ ∈ [0, +∞),
(2.9)
где α > 0 подлежит определению. Тогда система (2.6) и условие (2.7), (2.8) примут вид
dc
= αe−ατ P c + αe−ατ Qd + αR1 (c, d, τ )e−ατ + αR2 (c, d, τ )e−ατ ;
dτ
c(τ ) = a(t(τ )),
d(τ ) = b(t(τ )),
c(0) = −x1 ,
c(τ ) + x1 < C1 ,
τ ∈ [0, +∞)
(2.10)
(2.11)
d(0) = −u1 ,
(2.12)
d(t) + u1 < C2 .
(2.13)
Введем новую управляющую функцию v(τ ), связанную с d(τ ) уравнением
dd(τ )
= αe−ατ v,
dτ
v = (v 1 , . . . , v r ),
v ∈ Rr .
(2.14)
Рассмотрим систему
dc̄
= αe−ατ P̄ c̄ + αe−ατ Q̄v + αR̄1 (c̄, τ )e−ατ + αR̄2 (c̄, τ )e−ατ ,
dτ
P, Q
O3
P̄ =
, Q̄ =
, c̄ = (c, d)∗ ,
O1 , O2 n+r×n+r
Er×r n+r×r
(2.15)
где Oi , i = 1, 2, 3 — матрицы с нулевыми элементами соответственно размерностей [r ×
n], [r×r], [n×r], Er×r — единичная матрица размерности [r×r], R̄1 = (R1∗ , 0, . . . , 0)∗n+r×1 ,
R̄2 = (R2∗ , 0, . . . , 0)∗n+r×1 .
Система (2.15) получена в результате присоединения системы (2.14) к системе (2.10).
Ограничения (2.13) будут выполнены при
c̄ − c̄(0) < C3 ,
C3 = min(C1 , C2 ).
(2.16)
Наряду с (2.15) рассмотрим систему
dc̄
= αe−ατ P̄ c̄ + αe−ατ Q̄v.
dτ
(2.17)
Будем искать функцию v(τ ) так, чтобы обеспечить экспоненциальную устойчивость
системе (2.17). Пусть q̄i , i = 1, . . . , r — i-ый столбец матрицы Q̄. Построим матрицу
S̄ = {q̄1 , . . . , P̄ ki −1 q̄1 , . . . , q̄r , . . . , P̄ kr −1 q̄r }.
(2.18)
Здесь ki , i = 1, . . . , r — максимальное количество столбцов вида q̄i , P̄ q̄i , . . . , P̄ ki −1 q̄i , i =
1, . . . , r таких, что векторы q̄1 , P̄ q̄1 , . . ., P̄ k1 −1 q̄1 , . . ., q̄r , . . ., P̄ kr −1 q̄r линейно независимы.
Если ранг матрицы (2.18) равен n + r, то преобразование
c̄ = S̄y
(2.19)
dy
= αS̄ −1 P̄ S̄e−ατ y + αS̄ −1 Q̄e−ατ v.
dτ
(2.20)
приводит систему (2.17) к виду
16
Согласно [2] матрицы S̄ −1 P̄ S̄ и S̄ −1 Q̄ имеют вид
S̄ −1 Q̄S̄ = {ē2 , ē3 , . . . , ēk1 , ḡk1 , . . . , ēkr−1 +2 , . . . , ēkr , ḡkr },
ēi = (0, . . . , 1, . . . , 0)∗n+r×1 ,
где 1 стоит на i-м месте,
ḡki = (−gk01 , . . . , −gkk1i −1 , . . . , −gk0i , . . . , −gkkii −1 , 0, . . . , 0)∗n+r×1 ;
P̄ ki q̄i = −
k
1 −1
gkj 1 P̄ j q̄1 −, . . . , −
j=0
k
i −1
gkj i P̄ j q̄i ,
i = 1, . . . , r.
(2.21)
j=0
В (2.21) gkj 1 , j = 0, . . . , k1 − 1, . . . , gkj i , j = 0, . . . , ki − 1 являются коэффициентами
разложения вектора P̄ik q̄i по векторам
P j q̄1 ,
j = 0, . . . , k1 − 1, . . . , P̄ j q̄i ,
j = 0, . . . , ki − 1,
S̄ −1 Q̄ = {ē1 , ēk1 +1 , . . . , ēki +1 , . . . , ēν+1 },
ν=
r−1
ki .
i=1
Рассмотрим задачу стабилизации системы вида
dykkii
= {ēk2i , . . . , ēkkii , ḡ¯ki }αe−ατ yki + ēk1i αe−ατ v i ,
dτ
yki = (yk1i , . . . , ykkii )∗ki ×1 ,
i = 1, . . . , r,
(2.22)
ēki i = (0, . . . , 1, . . . , 0)∗ki ×1 ,
где 1 — стоит на i-м месте.
g ki = (−gk0i , . . . , −gkkii −1 )∗ki ×1 ,
v = (v 1 , . . . , v r )∗ .
Система (2.21) в скалярной форме запишется так:
dyk1i
= −αgk0i e−ατ ykkii + αe−ατ v i ,
dτ
dyk2i
= αe−ατ gk1i − αgk1i e−ατ ykkii ,
dτ
..
.
(2.23)
dykkii −1
= αe−ατ ykkii −2 − αgkkii −2 e−ατ ykkii ,
dτ
dykkii
= αe−ατ ykkii −1 − αgkkii −1 e−ατ ykkii .
dτ
17
Пусть ykkii = αki ψ. Используя последнее уравнение системы (2.23) и индуктивный
переход, будем иметь
ykkii =
αki ψ,
ykkii −1 = αki −1 eατ ψ (1) + gkkii −1 αki ψ,
ykkii −2 = αki −2 e2ατ ψ (2) + (αki −1 e2ατ + αki −1 eατ gkkii −1 )ψ (1) + gkkii −2 αki ψ,
..
.
yk1i =
αe(ki −1)ατ ψ (ki −1) + rki −2 (τ )ψ (ki −2) + . . . + r1 (τ )ψ (1) + αki gk1i ψ.
(2.24)
Если продифференцировать последнее равенство (2.23), то из первого уравнения системы (2.23) получим
ψ (ki ) + εki −1 (τ )ψ (ki −1) + . . . + ε0 (τ )ψ = e−ki ατ v i ,
i = 1, . . . , r.
(2.25)
В (2.24) rki −2 (τ ), . . . , r1 (τ ) являются линейными комбинациями экспонент с показателями не больше (ki − 1)ατ . В (2.25) εki −1 (τ ), . . ., ε0 (τ ) — линейные комбинации экспонент
с показателями не больше нуля. Пусть
v̄ i = e−ki ατ v i ,
Положим
v̄ i =
ki
i = 1, . . . , r.
(εki −j (τ ) − νki −j )ψ (ki −j) ,
i = 1, . . . , r,
(2.26)
(2.27)
j=1
где νki −j ; j = 1, . . . , ki выбраны так, чтобы корни уравнения
λki + νki −1 λki −1 + . . . + ν0 = 0,
i = 1, . . . , r,
λ1ki , . . . , λkkii удовлетворяли условиям
λiki = λjki ,
i = j,
λjki < −(2ki + 1)α − 1,
j = 1, . . . , ki ,
(2.28)
i = 1, . . . , r.
Используя (2.19), (2.23), (2.26), (2.27), получим
S̄k−1
v i = eki ατ δki Tk−1
c̄,
i
i
(2.29)
где δki = (εki −1 (τ )−νki −1 , . . . , ε0 (τ )−ν0 ), Tki — матрица равенства (2.24), т. е. yki = Tki ψ,
ψ = (ψ (ki −1) , . . . , ψ)∗ , S̄k−1
— матрица, состоящая из соответствующих ki -строк матрицы
i
S̄ −1 . Если подставить (2.29) в правую часть системы (2.17), то для ее решения c̄(τ ) с
начальными данными
c̄0 = c̄(0) = (−x1 , −u1 )∗
(2.30)
имеет место оценка
c̄(τ ) ≤ M0 c̄0 e−λτ ,
18
λ > 1.
(2.31)
Рассмотрим систему (2.15), замкнутую управлением (2.29), предположив дополнительно, что ее решения удовлетворяют ограничениям (2.16). Ее можно представить в
виде
dc̄
= A(τ )c̄ + αg1 (c̄, τ ) + αg2 (c̄, τ ),
(2.32)
dτ
где
A(τ ) = αe−ατ P̄ + αe−ατ Q̄ekατ δk Tk−1 S̄k−1 ,
S̄k−1
S̄k−1
ekατ δk Tk−1 S̄k−1 = (ek1 ατ δk1 Tk−1
, . . . , ekr ατ δkr Tk−1
)∗ ,
1
1
r
r
g1 (c̄, τ ) = e−ατ R̄1 (c̄, τ ),
g2 (c̄, τ ) = e−ατ R̄2 (c̄, τ ).
Условия (1.2), (2.2), (2.16) гарантируют существование констант L > 0, T > 0 таких,
что
(2.33)
g1 (c̄, τ ) ≤ Lc̄2 , g2 (c̄, τ ) ≤ T1 e−ατ .
Рассмотрим систему
dc̄
(2.34)
= A(τ )c̄ + αg1 (c̄, τ ).
dτ
Пусть φ(τ ), φ(0) = E — фундаментальная матрица системы (2.17), замкнутой управлением (2.29). На основании (2.31)
φ(τ ) ≤ Ke−λτ ,
τ ∈ [0, +∞),
λ > 1,
(2.35)
где K — постоянная величина, вообще говоря, зависящая от λ и α. Решение системы
(2.34) с начальными данными (2.30) и удовлетворяющее ограничению (2.16) примет
вид
τ
c̄(τ ) = φ(τ )c̄0 + φ(τ )φ−1 (t)αg1 (c̄, t)dt.
(2.36)
0
Заменим неравенство (2.16) более жестким
c̄(τ ) < C3 − c̄0 = L1 .
(2.37)
Из (2.33), (2.35), (2.36), (2.37) следует
c̄(τ ) ≤ Ke
−λτ
τ
c̄0 +
e−λ(τ −t) αL2 Kc̄(t)dt,
L2 = LL1 .
(2.38)
0
Откуда в соответствии с [3] имеем
c̄(τ ) ≤ Ke−μτ c̄0 ,
μ = λ − αL2 K.
(2.39)
Предположим, что
μ = λ − αL2 K > 0.
(2.40)
Пусть для констант K, L2 , α имеет место неравенство (2.40). Тогда все решения
системы (2.34) с начальными данными (2.30) такие, что выполнены условия
(K + 1)c̄0 < C3 ,
(2.41)
19
стремятся к нулю при τ → ∞. Причем их нормы удовлетворяют экспоненциальной
оценке (2.39).
Замечание. Нетрудно видеть, что ранг матрицы S̄ будет равен n + r, если ранг
матрицы
(2.42)
S = (Q, P Q, . . . , P n−1 Q)[n×n+r]
равен n.
Из экспоненциальной устойчивости системы (2.34) согласно [4] следует существование в области (2.41) положительно определенной функции V (c̄, τ ) такой, что
ν1 c̄2 ≤ V (c̄, τ ) ≤ ν2 c̄2 ,
dV 2
(2.34) ≤ −ν3 c̄ ,
dτ (2.43)
gradc̄ V ≤ ν4 c̄.
Здесь ν1 , ν2 , ν3 — известные положительные постоянные. С другой стороны,
dV dV (2.44)
(2.32) =
(2.34) + α(gradVc̄ , g2 (c̄, τ )).
dτ dτ Выберем ε > 0 так, чтобы шар радиуса ε с центром в начале координат содержался
в области (2.41). Для этого достаточно положить
ε<
C3
.
K +1
(2.45)
Зафиксируем числа λ, δ:
ν1
ε.
ν2
(2.46)
V (c̄, τ ) < λ ∀c̄ : c̄ < δ.
(2.47)
λ = ν1 ε2 ,
δ<
Очевидно, что
Используя (2.43), (2.44), найдем T > 0 так, чтобы
dV 2
−ατ
T1 ν4 c̄ ∀c̄, τ : δ ≤ c̄ ≤ ε, τ > T.
(2.32) ≤ −ν3 c̄ + αe
dτ (2.48)
Решение системы (2.32) с начальными данными (2.30) при условии, что оно находится в области (2.13), примет вид
τ
c̄(τ ) = φ(τ )c0 +
αφ(τ )φ−1 (t)[g1 (c̄, t) + g2 (c̄, t)]dt.
(2.49)
0
Будем выбирать C0 из области
T
φ(T )(c0 +
0
20
φ−1 (t)α[g1 (c̄, t) + g2 (c̄, t)]dt) ≤ δ.
(2.50)
Очевидно, (2.50) будет иметь место при
K1 (c̄0 + αK2 T ) < δ,
где
(2.51)
K1 = φ(T ), K2 = max φ−1 (t)(g1 (c̄, t) + g2 (c̄, t)),
Ω
Ω = {c̄, t| c̄ ≤ ε, t ∈ [0, T ]}.
В силу (2.46)–(2.50) траектории c̄(τ ) с начальными данными, удовлетворяющими
(2.51), не покинут области c̄ ≤ ε. Из (2.44), (2.48) следует
V (c̄(τ ), τ ) → 0 при
τ → ∞.
В свою очередь, (2.43) гарантирует
c̄(τ ) → 0 при
τ → ∞.
Если подставить (2.9) в (2.49), то согласно выводу уравнений (2.1), (2.15), (2.32),
(2.34), правомерность которых гарантируется выполнением условий (2.51), (2.41),
(2.40), (2.37), (2.16), (2.13), (2.7), (1.3), (1.2) получим решение поставленной задачи.
На основании изложенного справедлива теорема.
Теорема. Пусть для величин C1 , C2 , α, векторов x1 , u1 , константы K и правой
части системы (2.1) выполнены условия (2.40), (2.51), а также пусть матрица (2.42)
имеет ранг n. Тогда существует решение поставленной задачи, которое сводится к
решению задачи Коши для системы (2.15) замкнутой управлением (2.29) с начальными данными (2.30) и последующему переходу к исходной независимой переменной t
по формуле (2.9).
Summary
Kvitko A. N. The method of constructing the program motion for nonliner nonstationary system.
The algorithm for transferring nonlinear system of differential equations from one initial state
to a fixed final state is suggested.
Литература
1.
2.
3.
4.
Зубов В. И. Лекции по теории управления. М., 1975.
Калман З., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., 1971.
Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967.
Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., 1959.
Статья поступила в редакцию 3 декабря 2002 г.
21
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
189 Кб
Теги
нелинейные, построение, движение, метод, система, программное, нестационарные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа