close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод решения обратных задач использующий дополнительную априорную информацию.

код для вставкиСкачать
УДК 517.948
МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ
ДОПОЛНИТЕЛЬНУЮ АПРИОРНУЮ ИНФОРМАЦИЮ
О.В. Григорьева
Во многих обратных задачах математической физики имеется дополнительная априорная информация о точном решении, которую необходимо
использовать для качественного улучшения приближенного решения. В работе дано обобщение метода невязки, предложенного В.К. Ивановым в работе [1]. Метод невязки позволяет использовать дополнительную априорную информацию.
Ключевые слова: операторное уравнение, некорректно поставленная задача, гильбертово пространство, метод невязки.
I. Постановка задачи. Пусть U , F и V – гильбертовы пространства, A – инъективный линейный ограниченный оператор, отображающий U в F , а L – линейный замкнутый оператор с
областью определения D ( L ) ⊂ U и множеством значений R ( L ) ⊂ V , причем D ( L ) = U . Обозначим через K выпуклое замкнутое множество из U и предположим, что K ∩ D ( L ) ≠ ∅ . Рассмотрим операторное уравнение первого рода
Au = f
(1)
и предположим, что при f = f 0 существует решение u0 уравнения (1), которое принадлежит
множеству K ∩ D ( L ) , но точное значение f 0 нам не известно, а вместо него даны fδ ∈ F и
δ > 0 такие, что
fδ − f 0 ≤ δ .
(2)
Требуется, используя априорную информацию fδ , δ , D ( L ) и K , построить приближенное ре-
шение uδ уравнения (1) и оценить его уклонение uδ − u0 от точного решения u0 .
Метод решения поставленной задачи будет заключаться в сведении ее к вариационной задаче
{
inf u
2
}
+ Lu : u ∈ D ( L ) ∩ K , Au − fδ ≤ δ .
2
(3)
II. Обоснование метода (3).
Теорема 1. При любых значениях δ > 0 и fδ ∈ F вариационная задача (3) разрешима.
Доказательство.
Ωδ = {u : u ∈ D ( L ) ∩ K , Au − fδ ≤ δ } .
Пусть
u0 ∈ K ∩ D ( L ) и соотношения (2) следует, что Ωδ ≠ ∅ .
{
Таким образом, числовое множество Gδ = u
числом 0 . Если
2
2
+ Lu : u ∈Ωδ
Тогда
из
того,
что
} непустое и ограничено снизу
fδ ≤ δ , то θ ∈ Ωδ и является решением вариационной задачи (3). Если
fδ > δ , то из ограниченности снизу множества Gδ следует существование нижней грани
{
inf u
2
}
+ Lu : u ∈ D ( L ) ∩ K , Au − fδ ≤ δ . Из определения нижней грани следует существова2
ние минимизирующей последовательности {un } ⊂ Ωδ такой, что
un
2
+ Lun
2
{
→ inf u
2
2
}
+ Lu : u ∈Ωδ .
(4)
Из (4) следует ограниченность последовательностей {un } и { Lun } , а ввиду гильбертовости пространств U и V – их слабая предкомпактность.
{ } такая, что
Таким образом, существует подпоследовательность unk
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 2
9
Математика
сл
unk → uˆ при k → ∞,
(5)
а
сл
Lunk → v при k → ∞.
(6)
Так как оператор L линеен и замкнут, то из (5) и (6) следует, что û ∈ K ∩ D ( L ) и
v = Luˆ.
Из линейности и ограниченности оператора A и соотношения (5) следует, что
(7)
сл
Aun → Auˆ при k → ∞,
(8)
а из (8), что
сл
Aunk − fδ → Auˆ − fδ при k → ∞.
Из (9) по свойству нормы слабого предела имеем, что
Auˆ − fδ ≤ lim Aunk − fδ ,
(9)
(10)
k →∞
а из того, что для любого k unk ∈Ωδ , а, следовательно, Aunk − fδ ≤ δ , на основании (10) получим, что
Auˆ − fδ ≤ δ .
(11)
Таким образом, учитывая соотношение (11) и то, что û ∈ K ∩ D ( L ) , получим
uˆ ∈Ωδ .
На основании свойства нормы слабого предела и соотношений (5)–(7) получим, что
2
uˆ + Luˆ
2
{
≤ lim unk
k →∞
2
+ Lunk
2
}.
(12)
(13)
Из соотношений (4), (12), (13) следует, что û является решением задачи (3). Тем самым теорема
доказана.
Наряду с задачей (3) рассмотрим задачу
{
2
inf u
}
+ Lu : u ∈ D ( L ) ∩ K , Au − fδ = δ .
2
(14)
Теорема 2. Если для любых u ∈ K и λ ∈ [0;1] λ u ∈ K , а fδ > δ , то задачи (3) и (14) эквивалентны.
Доказательство. Чтобы не проверять разрешимость задачи (14), докажем, что любое из решений задачи (3) является решением задачи (14).
Предположим противное, то есть существует точка û ∈ K ∩ D ( L ) такая, что Auˆ − fδ < δ и
uˆ
2
+ Luˆ
2
{
= inf u
2
2
}
+ Lu : u ∈Ωδ .
(15)
Рассмотрим числовую функцию ϕ ( λ ) , определяемую формулой
ϕ ( λ ) = Aλ uˆ − fδ , λ ∈ [ 0;1].
(16)
Из (16) следует непрерывность функции ϕ ( λ ) на отрезке [ 0;1] и что
ϕ (1) = Auˆ − fδ < δ .
(17)
Тогда из (17) следует существование числа τ > 0 такого, что для любого значения λ , удовлетворяющего условию λ − 1 < τ , выполняется неравенство
ϕ (λ ) < δ .
10
(18)
Вестник ЮУрГУ, № 9, 2010
Григорьева О.В.
Метод решения обратных задач, использующий
дополнительную априорную информацию
 τ  
 τ
Таким образом, из (18) следует, что ϕ 1 −  = A 1 −  uˆ  − fδ < δ
 2
 2  
2
и, следовательно,
2
τ
 τ
2 
2
2
2
 τ ˆ
1 −  u ∈ Ωδ , а 1 −  uˆ + 1 −  Luˆ < uˆ + Luˆ , что противоречит тому, что û реше 2
 2
 2
ние задачи (3).
Таким образом, Auˆ − fδ = δ и û является решением задачи (14).
То, что любое решение задачи (14) является решением задачи (3) очевидно.
Теорема 3. Если для любых u ∈ K и λ ∈ [0;1] , λ u ∈ K , то решение задачи (3) единственно.
Доказательство. Предположим, что fδ > δ и теорема неверна. Тогда существуют точки û1
и û2 ∈Ωδ такие, что uˆ1 ≠ uˆ2 и
uˆ1
Пусть uˆ =
2
+ Luˆ1
2
2
= uˆ2
+ Luˆ2
2
{
2
}
2
= inf u + Lu : u ∈Ωδ .
(19)
uˆ1 + uˆ2
. Тогда из соотношения (19) будет следовать, что
2
2
uˆ
2
+ Luˆ
{
≤ inf u
2
}
2
+ Lu : u ∈Ωδ .
(20)
Так как из теоремы 2 следует, что Auˆ1 − fδ = δ и Auˆ2 − fδ = δ , то из строгой выпуклости
гильбертова пространства F следует, что
Auˆ − fδ < δ .
(21)
 τ  
Из (21) следует существование числа τ > 0 такого, что A 1 −  uˆ  − fδ < δ , а, следовательно,
 2  
 τˆ
(22)
1 −  u ∈Ωδ .
 2
Тогда из (20) и (22) будет следовать, что
2
{
2
}
τ
 τ
2 
2
2
2
(23)
1 −  uˆ + 1 −  Luˆ < inf u + Lu : u ∈Ωδ .
 2
 2
Соотношение (23) противоречит нашему предположению о существовании двух различных решений задачи (3).
Если fδ ≤ δ , то единственным решением задачи (3) является элемент θ . Тем самым теорема доказана.
Решение задачи (3) обозначим через uδ и определим оператор Pδ , отображающий F в U
формулой
Pδ fδ = uδ .
(24)
Теперь
исследуем
непрерывность
оператора
Pδ
на
множестве
AK + Sδ 0 ,
где
Sδ0 = { f : f ∈ F , f ≤ δ 0 ,0 < δ 0 < δ } . Для этого наряду с задачей (3) рассмотрим аналогичную задачу
{
inf u
2
}
+ Lu : u ∈ D ( L ) ∩ K , Au − fδ ( n ) ≤ δ ,
2
(25)
где fδ ( n ) ∈ F . Из теорем 1–3 будет следовать существование единственного решения uδ ( n ) задачи (25).
В дальнейшем мы будем предполагать, что множество K является выпуклым, замкнутым и
удовлетворяет условию: для любых u ∈ K и λ ∈ [0;1] , λ u ∈ K .
Теорема 4. Если fδ и
при n → ∞ , то uδ ( n ) − uδ
{ fδ ( n )} ⊂ AK + Sδ
2
+ Luδ ( n ) − Luδ
0
2
, fδ > δ и для любого n fδ ( n ) ≥ δ , а fδ ( n ) → fδ
→ 0 при n → ∞ .
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 2
11
Математика
Доказательство. Предположим противное. Тогда существует число ε 0 > 0 и подпоследова-
тельность {nk } такие, что для любого k fδ ( nk ) > δ и
uδ ( nk ) − uδ
2
+ Luδ ( nk ) − Luδ
2
≥ ε 02 .
(26)
Так как fδ ∈ AK + Sδ 0 , то существует точка u ∈ D ( L ) ∩ K такая, что
Au − fδ < δ .
(27)
Из того, что fδ ( nk ) → fδ при k → ∞ , следует существование номера k1 такого, что для любого
k ≥ k1
δ − Au − fδ
.
2
Из (27) и (28) следует существование номера k2 > k1 такого, что для любого k ≥ k 2
fδ ( nk ) − fδ ≤ Au − fδ +
δ − Au − fδ
.
2
Таким образом, из (28) и (29) следует, что при k ≥ k 2
fδ ( nk ) − fδ <
(28)
(29)
fδ ( nk ) − Au ≤ δ ,
(30)
а из (30), что для любого k ≥ k 2
uδ ( nk ) + Luδ ( nk ) ≤ u
2
2
2
2
+ Lu .
(31)
{ } и {Lun } , а так как опера-
Из (31) следует слабая предкомпактность последовательностей unk
k
тор L линеен и замкнут, то без ограничения общности можем считать, что существует точка
û ∈ D ( L ) ∩ K такая, что
сл
uδ ( nk ) → uˆ при k → ∞
(32)
и
сл
Luδ ( nk ) → Luˆ при k → ∞.
Так как оператор A линеен и ограничен, то из соотношения (32) следует, что
(33)
сл
Auδ ( nk ) − fδ ( nk ) → Auˆ − fδ при k → ∞.
Из соотношения (34) по свойству нормы слабого предела будем иметь, что
Auˆ − fδ ≤ lim Auδ ( nk ) − fδ ( nk ) .
k →∞
Из того, что для любого k
(34)
(35)
Auδ ( nk ) − fδ ( nk ) ≤ δ , а fδ ( nk ) → fδ при k → ∞ , на основании (35)
будем иметь, что
Auˆ − fδ ≤ δ .
Из (32) и (33) по свойству нормы слабого предела будет следовать, что
2
uˆ + Luˆ
2
{
≤ lim uδ ( nk ) + Luδ ( nk )
k →∞
2
2
}.
(36)
(37)
Теперь введем в рассмотрение последовательность {uˆk } , определяемую формулой
uˆk = γ k uδ + (1 − γ k ) u ,
(38)
Auˆk − fδ = δ − fδ ( nk ) − fδ .
(39)
где γ k ∈ [0;1] и удовлетворяет условию
Из (38) и (39) следует, что для любого k
Auˆk − fδ ≤ γ k Auk − fδ + (1 − γ k ) Au − fδ ,
а из (40), что для любого k
12
(40)
Вестник ЮУрГУ, № 9, 2010
Григорьева О.В.
Метод решения обратных задач, использующий
дополнительную априорную информацию
Auˆk − fδ ≤ γ k δ + (1 − γ k ) Au − fδ < δ .
(41)
Так как fδ ( nk ) → fδ при k → ∞ , то из (41) следует, что
γ k → 1 при k → ∞.
Из (38) и (42) следует, что uˆk → uδ при k → ∞ и Luˆk → Luδ при k → ∞ .
Таким образом,
uˆk
2
2
+ Luˆk
2
→ uδ
2
+ Luδ
(42)
,
(43)
а из определения uδ ( nk ) и теоремы 2, что для любого k
Auδ ( nk ) − fδ ≥ δ − fδ ( nk ) − fδ .
(44)
Из определения uδ ( nk ) и формулы (44) следует, что для любого k
uδ ( nk )
2
+ Luδ ( nk )
2
{
2
≤ inf u
+ Lu
: u ∈ D ( L ) ∩ K , Au − fδ ≤ δ − fδ ( nk ) − fδ
2
а из (39), что для любого k
{
inf u
2
2
+ Lu : u ∈ D ( L ) ∩ K , Au − fδ ≤ δ − fδ ( nk ) − fδ ≤ uˆk
Из (43), (45) и (46) следует, что
uδ
2
2
+ Luδ
{
≥ lim uδ ( nk ) + Luδ ( nk )
k →∞
2
2
2
+ Luˆk
2
},
}.
},
(45)
(46)
(47)
а из определения uδ и (36), что
2
uδ
+ Luδ
2
2
Из (37), (47) и (48) следует, что
uδ
2
+ Luδ
2
= uˆ
2
2
+ Luˆ
2
≤ uˆ + Luˆ .
{
(48)
= lim uδ ( nk ) + Luδ ( nk )
k →∞
2
2
}.
(49)
Таким образом, из (36), (49) и теоремы 3 следует, что
uδ = uˆ.
Из (32), (33) и (50) следует, что
(50)
сл
uδ ( nk ) → uδ при k → ∞,
(51)
сл
Luδ ( nk ) → Luδ при k → ∞,
(52)
uδ ≤ lim uδ ( nk )
(53)
Luδ ≤ lim Luδ ( nk ) .
(54)
uδ ( nk ) → uδ при k → ∞
(55)
Luδ ( nk ) → Luδ при k → ∞,
(56)
а из (51) и (52), что
k →∞
и
k →∞
Из (49), (53) и (54) следует, что
и
а
из
(51),
(52),
(55)
и
(56),
uδ ( nk ) → uδ ,
что
а
Luδ ( nk ) → Luδ
или
uδ ( nk ) − uδ + Luδ ( nk ) − Luδ → 0 при k → ∞ , что противоречит (26) и доказывает теорему.
Теорема 5. Если
fδ
и
{ fδ ( n )} ⊂ AK + Sδ
0
,
fδ ≤ δ , а
fδ ( n ) → fδ
при n → ∞ , то
uδ ( n ) + Luδ ( n ) → 0 при n → ∞ .
2
2
Доказательство. Как отмечалось ранее, при условии fδ ≤ δ задача (3) имеет единственное
решение uδ = θ . Рассмотрим два случая.
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 2
13
Математика
1-й случай. Пусть
место
fδ < 0 . Тогда существует номер N такой, что для любого n ≥ N имеет
соотношение
fδ ( n ) < δ
а,
следовательно,
при
n≥ N
uδ ( n ) = θ
и
uδ ( n ) + Luδ ( n ) = 0 .
2
2
2-й случай. Предположим, что fδ = δ . Тогда без ограничения общности можем считать, что
fδ ( n ) > δ .
(57)
Из (57) и теорем 1–3 следует, что для любого n существует единственное решение uδ ( n ) ≠ 0 вариационной задачи (3).
Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют число ε 0 > 0 и подпоследовательность {nk } такие, что для любого k
uδ ( nk ) + Luδ ( nk ) ≥ ε 02 .
2
2
(58)
Так как fδ ∈ AK + Sδ 0 , где δ 0 < δ , то существует элемент u ∈ D ( L ) ∩ K такой, что
Au − fδ < δ .
(59)
Из (59) и того, что fδ ( nk ) → fδ при k → ∞ , следует существование номера k0 такого, что для
любого k ≥ k0
δ − Au − fδ
.
2
Теперь введем в рассмотрение последовательность {uk } , определяемую формулой
uk = λk u ,
fδ ( nk ) − fδ <
(60)
(61)
где для любого k ≥ k0 λk ∈ ( 0;1) и
Auk − fδ = δ − fδ ( nk ) − fδ .
(62)
Из (60) следует существование числа λk , удовлетворяющего соотношениям (61) и (62), а из (62)
следует, что для любого k ≥ k0
Auk − fδ ( nk ) ≤ δ .
(63)
Из (63) и того, что uk ∈ D ( L ) ∩ K следует, что для любого k ≥ k0
uδ ( nk ) + Luδ ( nk ) ≤ uk
2
2
2
+ Luk
2
,
(64)
а из (61), (62) и того, что fδ ( nk ) → fδ при k → ∞, следует, что
λk → 0 при k → ∞.
(65)
Таким образом, из (65) следует, что
uk
2
+ Luk
2
→ 0 при k → ∞,
(66)
а из (64) и (66), что
uδ ( nk ) + Luδ ( nk ) → 0 при k → ∞.
2
2
(67)
Соотношение (67) противоречит (58) и доказывает теорему.
Из теорем 4, 5 следует, что оператор Pδ, определяемый формулой (24), непрерывен на множестве AK + Sδ0 ,
Pδ ∈ C  AK + Sδ 0  .
(68)
III. Решение одной обратной задачи физики твердого тела. Следуя [2], задача определения энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости может быть сведена к интегральному уравнению первого рода типа свертки
Au =
+∞
∫ G(τ − ξ )u(ξ )dξ = f (τ ) , −∞ < τ < +∞,
(69)
−∞
14
Вестник ЮУрГУ, № 9, 2010
Григорьева О.В.
где G (τ ) =
Метод решения обратных задач, использующий
дополнительную априорную информацию
e−3τ
(
4sh 2 e −τ 2
)
, а u и f ∈ L2 ( −∞; +∞ ) .
Предположим, что при f (τ ) = f0 (τ ) существует точное решение u0 (ξ ) уравнения (69), которое удовлетворяет следующим условиям:
u0 ( ξ ) ≥ 0
(70)
и
+∞
∫
u0 ( ξ ) d ξ +
2
−∞
+∞
∫
2
u0/ (ξ ) d ξ ≤ r 2 ,
(71)
−∞
где u0′ (ξ ) – производная от функции u0 (ξ ) , а r – некоторое число.
Предположим, что вместо функции f 0 (τ ) нам известны функция fδ (τ ) ∈ L2 ( −∞, +∞) и δ > 0
такие, что
fδ − f 0 ≤ δ .
(72)
Требуется, используя исходную информацию, определить приближенное решение uδ (ξ ) .
Введем следующие обозначения:
K = {u ( ξ ) : u (ξ ) ∈ L2 ( −∞; +∞ ) , u (ξ ) ≥ 0 п.в.}
и
Lu (ξ ) =
du (ξ )
, u и Lu ∈ L2 ( −∞; +∞ ) .
dξ
Используя для задачи (69)–(72) метод, изложенный в первом пункте настоящей статьи, сведем ее к вариационной задаче
+∞
+∞
2


inf  ∫ u 2 (ξ ) dξ + ∫ u / (ξ ) dξ : u (ξ ) ≥ 0, u ( ξ ) ∈W21 ( −∞; +∞ ) , Au − fδ ≤ δ .
(73)
−∞
 −∞

Решив задачу (73), мы получим приближенное решение uδ (ξ ) задачи (69)–(72).
Литература
1. Иванов, В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода /
В.К. Иванов// Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1966. – Т. 6, № 6. – С. 1089–1094.
2. Лифшиц, И.М. Об определении энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости / И.М. Лифшиц // ЖЭТФ. – 1954. – Т. 26. – Вып. 5. – С. 551–556.
Поступила в редакцию 1 декабря 2009 г.
METHOD OF THE INVERSE PROBLEM SOLUTION USING AN ADDITIONAL
A PRIORI INFORMATION
There is additional a priori information about the exact solution useful for qualitative improvement
of the approximate solution in many inverse problems of the mathematical physics. In this article the
generalization of the discrepancy method suggested by V.K. Ivanov in the article [1]. The discrepancy
method allows using additional a priori information.
Keywords: Hilbert space, an operational equation, an improperly posed problem, a discrepancy
method.
Grigorieva Olga Vladimirovna – Post-Graduate Student, the South Ural State University.
Григорьева Ольга Владимировна – аспирант, Южно-Уральский государственный университет.
e-mail: zvezdolya@mail.ru
Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 2
15
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
204 Кб
Теги
обратный, решение, метод, использующих, априорную, дополнительные, задачи, информация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа