close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Методы регуляризации для нелинейных некорректных уравнений содержащих m-аккретивные отображения в банаховых пространствах.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2013, № 2, c. 67–74
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
НГУЕН БЫОНГ, НГУЕН ТХИ ХОНГ ФЫОНГ
МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ
УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ m-АККРЕТИВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Аннотация. В статье доказывается сильная сходимость метода регуляризации Браудера–Тихонова и инерционного алгоритма проксимальной точки для решения нелинейных некорректных уравнений, содержащих m-аккретивные отображения в вещественных, рефлексивных и
строго выпуклых банаховых пространствах с равномерно дифференцируемой по Гато нормой,
без использования слабой секвенциальной непрерывности отображения двойственности.
Ключевые слова: аккретивное отображение, метод регуляризации, алгоритм проксимальной
точки.
УДК: 517.988
1. Введение
Пусть E — вещественное банахово пространство и E ∗ — двойственное пространство. Для
краткости будем обозначать нормы в пространствах E и E ∗ , а также значение x∗ ∈ E ∗ в
точке x ∈ E символами · и x, x∗ соответственно. Отображение J : E → E ∗ называется
нормализованным отображением двойственности для E, если
x, J(x) = x2 ,
J(x) = x ∀x ∈ E.
Пусть A — m-аккретивное однозначное отображение в E, т. е. A отвечает условиям:
(i) A(x) − A(y), j(x − y) ≥ 0, где j(x − y) ∈ J(x − y) для всех x, y ∈ D(A) ⊆ E, и D(A)
— область определения отображения A;
(ii) R(A + λI) = E для всех λ > 0, где символы R(A) и I обозначают соответственно
область значений отображения A и тождественное отображение в E.
Заметим, что если существует положительная константа α такая, что
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ αx − y2 ∀x, y ∈ D(A),
то A называется α-сильно аккретивным; при α = 0 отображение A называется аккретивным.
Будем искать решение операторного уравнения
A(x) = f,
f ∈ E,
(1)
где A — m-аккретивное однозначное отображение в E. Здесь и далее считаем, что множество
всех решений уравнения (1) (обозначим его через S) непусто.
Поступила 22.12.2011
Работа выполнена при поддержке Вьетнамского национального Фонда научного и технологического развития (грант 101.01-2011.17).
67
68
НГУЕН БЫОНГ, НГУЕН ТХИ ХОНГ ФЫОНГ
Уравнение (1) с m-аккретивными отображениями играет важную роль в изучении уравнений в частных производных в пространствах Lp или Wpm ([1]–[3] и цитированные там
работы).
Без каких-либо дополнительных требований к структуре отображения A (например,
условия сильной или равномерной аккретивности) уравнение (1), вообще говоря, некорректно. Для его решения необходимо использовать устойчивые методы. В работе [4] Я.И. Альбер
и И.П. Рязанцева предложили следующий вариант метода регуляризации Браудера–Тихонова:
(2)
A(x) + α(x − x+ ) = fδ , fδ − f ≤ δ → 0,
где x+ ∈ E — данное начальное приближение, и доказали, что единственное решение xδα
уравнения (2) сходится к p∗ при δ/α, α → 0, если J слабо секвенциально непрерывно и сильно непрерывно. В [5] И.П. Рязанцева предложила алгоритм проксимальной регуляризации,
представляющий собой сочетание алгоритма проксимальной точки и регуляризации,
ck (A(xk+1 ) + αk xk+1 − fk ) + xk+1 = xk ,
x0 ∈ E,
(3)
и доказала, что последовательность {xk }, построенная по правилу (3), сильно сходится к
решению уравнения (1) при условии, что J имеет те же свойства, последовательность {xk }
ограничена, и последовательности ck и αk отвечают некоторым дополнительным условиям.
В [6]–[10] доказана сильная сходимость последовательности xδα без использования условия слабой секвенциальной непрерывности отображения двойственности J, но при дополнительном условии
A(y) − A(p∗ ) − QA (p∗ )∗ J(y − p∗ ) ≤ τA(y) − A(p∗ ) ∀y ∈ E,
(4)
где τ — некоторая положительная константа, Q — нормaлизованное отображение двойственности в E ∗ и
(5)
A (p∗ )z = x+ − p∗
для некоторого z ∈ E, где A — производная Фреше от A. В недавно опубликованной работе [11] Ванг и др. получили оценки скорости сходимости для xδα в рефлексивном строго
выпуклом банаховом пространстве при условии (5) и условии слабой секвенциальной непрерывности отображения J.
Ниже докажем сильную сходимость последовательности {xδα } без использования условий (4), (5) и условия слабой секвенциальной непрерывности отображения J. Кроме того,
докажем, что ограниченность последовательности {xk } в (3) автоматически вытекает из
свойств регуляризованного варианта
ck (A(xk+1 ) + αk xk+1 − fk ) + xk+1 − xk = γk (xk − xk−1 )
(6)
инерционного алгоритма проксимальной точки
ck (A(xk+1 ) − fk ) + xk+1 − xk = γk (xk − xk−1 ),
x0 , x1 ∈ E.
(7)
При γk = 0 для всех k ≥ 0 формула (6) превращается в (3). Заметим, что инерционный
проксимальный алгоритм (7) был предложен A. Альваресом в [12] в контексте выпуклой минимизации. Позднее в [13] Х. Аттуш и Ф. Альварес обобщили его для случая максимальных
монотонных операторов.
Приведем некоторые необходимые сведения.
Пусть E — вещественное нормированное линейное пространство. Положим S1 (0) := {x ∈
E : x = 1}. Говорят, что пространство E имеет дифференцируемую по Гато норму (или
МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ УРАВНЕНИЙ
69
является гладким), если предел
x + ty − x
t
существует для всех x, y ∈ S1 (0). Говорят, что пространство E имеет равномерно дифференцируемую по Гато норму, если этот предел достигается равномерно для x ∈ S1 (0).
Пространство E называется строго выпуклым, если для x, y ∈ S1 (0) таких, что x = y,
выполняется условие
(1 − λ)x + λy < 1 ∀λ ∈ (0, 1).
Известно [14], что если пространство E является гладким, то нормaлизованное отображение
двойственности однозначно. При этом, если норма пространства E равномерно дифференцируема по Гато, то на любом ограниченном подмножестве пространства E нормализованное отображение двойственности является звездно-равномерно непрерывным в том смысле,
что непрерывность по норме в одном из двойственных пространств влечет слабую непрерывность в другом. Далее будем обозначать однозначные нормaлизованные отображения
двойственности через j.
Пусть µ — непрерывный линейный функционал на l∞ , и пусть (a1 , a2 , . . . ) ∈ l∞ . Вместо
µ((a1 , a2 , . . . )) будем писать µk (ak ). Напомним, что µ является банаховым пределом, если
µ = µk (1) = 1 и µk (ak+1 ) = µk (ak ) для всех (a1 , a2 , . . . ) ∈ l∞ . Для банахова предела µ
известно свойство:
lim inf ak ≤ µk (ak ) ≤ lim sup ak
lim
t→0
k→∞
k→∞
l∞ , b
l∞ .
для всех (a1 , a2 , . . . ) ∈
Если a = (a1 , a2 , . . . ) ∈
= (b1 , b2 , . . . ) ∈ l∞ и ak → c
(соответственно ak −bk →0) при k→∞, то µk (ak )=µ(a)=c (соответственно µk (ak )=µk (bk ));
подробности в [15]–[17].
Лемма 1 ([17]). Пусть C — выпуклое подмножество банахова пространства E с равномерно дифференцируемой по Гато нормой. Пусть {xk } — ограниченное подмножество
пространства E, z — элемент множества C, и µ — банахов предел. Условие
µk xk − z2 = min µk xk − u2
u∈C
выполняется тогда и только тогда, когда µk u − z, j(xk − z) ≤ 0 для всех u ∈ C.
Лемма 2 ([18]). Пусть {ak }, {bk } и {ck } — три последовательности вещественных положительных чисел, удовлетворяющие условиям:
(i) ak+1 ≤ (1 − bk )ak + bk ck , bk < 1,
∞
bk = +∞, lim ck = 0.
(ii)
n=0
k→+∞
Тогда lim ak = 0.
k→+∞
Заметим, что отображение A, определенное на банаховом пространстве E (т. е. D(A)=E),
является m-аккретивным, если выполнено одно из следующих условий:
(1) отображение A аккретивно и слабо непрерывно, пространство E рефлексивно [19];
(2) A аккретивно и полунепрерывно, E допускает аппроксимацию [20] с равномерно выпуклым E ∗ ;
(3) A аккретивно и непрерывно по Липшицу [21].
Для любого m-аккретивного отображения A в пространстве E и фиксированного элемента f ∈ E определим однозначное отображение u = Tf (x) по правилу
u + Af (u) = x
и Af (·) = A(·) − f
(8)
70
НГУЕН БЫОНГ, НГУЕН ТХИ ХОНГ ФЫОНГ
для произвольного x ∈ E. Очевидно, что отображение Af также является m-аккретивным
в E, а значит, доказано существование Tf . Нетрудно убедиться, что для Tf выполнены
условия:
(i) D(Tf ) = E;
(ii) Tf – нерастягивающее отображение, т. е. Tf x − Tf y ≤ x − y;
(iii) Fix(Tf ) = S, где Fix(Tf ) — множество неподвижных точек отображения Tf , т. е.
Fix(Tf ) = {x ∈ E : x = Tf (x)}.
Напомним, что отображение T в E называется псевдосжимающим, если
T x − T y, j(x − y) ≤ x − y2
для всех x, y ∈ D(T ). Очевидно, любое нерастягивающее отображение является псевдосжимающим, и если A является аккретивным, то T = I −A также является псевдосжимающим.
2. Основные результаты
Теорема 1. Пусть E — вещественное рефлексивное строго выпуклое банахово пространство с равномерно дифференцируемой по Гато нормой, A — m-аккретивное однозначное
отображение в E. Пусть f и fδ — элементы пространства E такие, что fδ −f ≤ δ → 0.
Тогда
(i) для любого α > 0 уравнение (2) имеет единственное решение xδα ;
(ii) если множество решений уравнения (1) непусто и параметр α удовлетворяет условию δ/α → 0 при α → 0, то xδα сильно сходится к элементу p∗ ∈ E, являющемуся решением вариационного неравенства
p∗ ∈ S,
p∗ − x+ , j(p∗ − p) ≤ 0
для всех
p ∈ S;
(9)
(iii) для всех положительных чисел αi и δi , i = 1, 2, выполняется
xδα11 − xδα22 ≤ M1
|α1 − α2 | δ1 + δ2
+
,
α1
α1
где M1 – положительная константа.
Доказательство. (i) Поскольку отображение A m-аккретивно, уравнение (2) имеет решение (обозначим его через xδα ) при всех α > 0 и δ. Это решение единственно, поскольку
отображение A + α(I − x+ ) является α-сильно аккретивным.
(ii) Из соотношений (1) и (2) вытекает
A(xδα ) − A(p), j(xδα − p) + αxδα − x+ , j(xδα − p) = fδ − f, j(xτα − p)
для всех p ∈ S, откуда, учитывая, что отображение A аккретивно, получаем
xδα − x+ , j(xδα − p) ≤ fδ − f, j(xδα − p)/α.
Следовательно,
xδα − p2 ≤ x+ − p, j(xδα − p) + xδα − pδ/α
для всех
p ∈ S.
Тогда {xδα } ограничена, а значит, для всех α, δ > 0 таких, что δ/α → 0, существует положительная константа M1 , удовлетворяющая условию xδα ≤ M1 . Отсюда с учетом последнего
неравенства вытекает, что
xδα − p2 ≤ x+ − p, j(xδα − p) + (M1 + p)δ/α ∀p ∈ S.
И опять из уравнения (2) вытекает, что
A(xδα ) − f ≤ αxδα − x+ + fδ − f ≤ α(M1 + x+ ) + δ.
(10)
МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ УРАВНЕНИЙ
71
Таким образом,
lim A(xδα ) − f = 0.
δ
α, α
→0
(11)
Далее, рассмотрим отображение T f := I − Af . Очевидно, p ∈ S тогда и только тогда, когда
p ∈ Fix(T f ). Более того, заметим, что для отображения 2I−T f существует нерастягивающее
обратное отображение; обозначим его через A. Действительно, поскольку
2I − T f = I + I − T f = I + Af ,
из соотношений (8) вытекает A = Tf = (I + Af )−1 , т. е. отображение является однозначным
нерастягивающим. Таким образом, получаем Fix(A) = Fix(Tf ) = S. Следовательно, из
условий
xδα − T f xδα = (2I − T f )xδα − xδα = A(xδα ) − f
и
A(2I − T f )xδα = (I + Af )−1 (I + Af )(xδα ) = xδα
вытекает
xδα − Axδα = A(2I − T f )xδα − Axδα ≤ (2I − T f )xδα − xδα = A(xδα ) − f .
Отсюда, учитывая соотношение (11), получаем xδα − Axδα → 0 при α, αδ → 0. Пусть {xk }
— подпоследовательность последовательности {xδα } такая, что αk , αδkk → 0 при k → ∞.
Рассмотрим функционал ϕ(x) = µk xk − x2 для всех x ∈ E. Очевидно, ϕ(x) → ∞ при
x → ∞, и ϕ является непрерывным выпуклым, а поскольку пространство E рефлексивно,
существует элемент p ∈ E такой, что
ϕ(
p) = min ϕ(x).
x∈E
Нетрудно убедиться, что множество
C ∗ := {u ∈ E : ϕ(u) = min ϕ(x)} = ∅
x∈E
— ограниченное замкнутое выпуклое подмножество в E. Учитывая условие xk −Axk → 0,
получаем
p2 = µk Axk − A
p2 ≤ µk xk − p2 = ϕ(
p),
ϕ(A
p) = µk xk − A
∗
∗
∗
откуда вытекает AC ⊂ C . Покажем, что C содержит неподвижную точку отображения
A. Поскольку E – рефлексивное строго выпуклое банахово пространство, то C ∗ — чебышевское множество [22], а значит, для точки p ∈ Fix(A) существует единственный элемент
p ∈ C ∗ такой, что
p − p = inf ∗ p − x.
x∈C
Учитывая условия p = Ap и A
p ∈ C ∗ , имеем
p − A
p = Ap − A
p ≤ p − p.
В силу единственности p получаем A
p = p. Значит, существует точка p ∈ Fix(A) ∩ C ∗ .
Согласно лемме 1 точка p минимизирует ϕ(x) на E тогда и только тогда, когда
µk x − p, j(xk − p) ≤ 0 ∀x ∈ E.
(12)
Из неравенства (10) при p = p, учитывая, что в (12) x = x+ , получаем µk xk − p2 =
0. Следовательно, существует подпоследовательность {xki }, сильно сходящаяся к p при
i → ∞. И снова, учитывая неравенство (10) и звездную непрерывность нормaлизованного
отображения двойственности j (в том смысле, что непрерывность по норме в одном из
72
НГУЕН БЫОНГ, НГУЕН ТХИ ХОНГ ФЫОНГ
пространств влечет слабую непрерывность в другом) на ограниченных подмножествах в
пространстве E, получим
p − p) ≤ 0 ∀p ∈ Fix(A).
p − x+ , j(
(13)
Поскольку p и p принадлежат замкнутому выпуклому подмножеству Fix(A), заменяя в
формуле (13) p на sp + (1 − s)
p для s ∈ (0, 1), с помощью известного свойства j(s(
p − p)) =
sj(
p − p) для s > 0, после деления на s и предельного перехода s → 0 получим
p − x+ , j(
p − p) ≤ 0 ∀p ∈ Fix(A) = S.
Единственность p∗ в формуле (9) гарантирует, что p = p∗ . Таким образом, вся сеть {xδα }
сильно сходится к p∗ при α, δ/α → 0.
(iii) Пусть xδαii — единственное решение уравнения (2) с α = αi и δ = δi , где i = 1, 2. Тогда
A(xδα11 ) − A(xδα22 ), j(xδα11 − xδα22 ) + α1 xδα11 , j(xδα11 − xδα22 )−
− α2 xδα22 , j(xδα11 − xδα22 ) = fδ1 − fδ2 , j(xδα11 − xδα22 ),
откуда вытекает
xδα11 − xδα22 ≤ M1
|α1 − α2 | δ1 + δ2
+
,
α1
α1
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Пусть E, A и f в теореме 1 таковы, что S = ∅. Пусть fk — элементы
пространства E такие, что fk − f ≤ δk → 0 при k → ∞. Предположим, что параметры
ck , αk и γk выбраны из условий
(i) C0 > ck > c0 > 0, γk ≥ 0, C0 и c0 — некоторые положительные константы;
∞
∞
τk = +∞, τk = αk ck /(1 + αk ck ),
γk τk−1 xk − xk−1 < +∞;
(ii)
k=1
k=1
(iii) αk > 0, lim αk = 0 и lim Dk /τk = 0, где
k→+∞
k→∞
|αk − αk+1 | δk + δk+1
+
.
αk
αk
Тогда последовательность {xk }, определенная по формуле (6), сильно сходится к точке p∗ ,
являющейся решением вариационного неравенства (9), при k → +∞.
Dk = M1
Доказательство. Обозначим через x
k единственное решение уравнения (2), где α и fδ заменены на αk и fk соответственно и x+ = 0. Это позволяет переписать соотношения (6)
и (2) в эквивалентном виде
λk (A(xk+1 ) − fk ) + xk+1 = βk xk + βk γk (xk − xk−1 ),
xk ) − fk ) + x
k = βk x
k ,
λk (A(
где λk = βk ck , βk = 1/(1 + ck αk ). Таким образом,
xk ), j(xk+1 − x
k ) + xk+1 − x
k , j(xk+1 − x
k ) =
λk A(xk+1 ) − A(
k , j(xk+1 − x
k ) + βk γk xk − xk−1 , j(xk+1 − x
k ).
= βk xk − x
Следовательно,
k 2 ≤ (βk xk − x
k + βk γk xk − xk−1 )xk+1 − x
k .
xk+1 − x
k , то по теореме 2.1
Если xk+1 = x
k = p∗ .
lim xk+1 = lim x
k→∞
k→∞
(14)
МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ УРАВНЕНИЙ
73
Без ограничения общности будем считать, что xk+1 = x
k . Тогда согласно (14) получаем
k ≤ βk xk − x
k + βk γk xk − xk−1 ,
xk+1 − x
откуда
k+1 ≤ xk+1 − x
k + xk+1 − x
k ≤
xk+1 − x
k + βk γk xk − xk−1 + Dk = (1 − τk )xk − x
k + dk ,
≤ βk xk − x
где
dk = βk γk xk − xk−1 + Dk ≤ γk xk − xk−1 + Dk .
Поскольку второй ряд в (ii) сходится, то γk τk−1 xk − xk−1 → 0 при k → +∞. Тогда
dk
= 0.
τk
k+1 → 0 при k → +∞. Поскольку xk − p∗ → 0 при k → +∞,
По лемме 2 xk+1 − x
заключаем, что xk → p∗ при k → +∞.
lim
k→0
Замечание. Известно, что пространства Lp и Wpm (где 1 < p < ∞ и p = 2), нормализованное отображение двойственности для которых не является слабо секвенциально непрерывным, удовлетворяют условиям теорем 1 и 2, поскольку они являются равномерно выпуклыми и равномерно гладкими; подробности в [4].
Если δk = δ0 (1 + k)−δ и αk = α0 (1 + k)−α , то можно положить
1
,
γk = γ0 (1 + k)−γ
1 + xk − xk−1 где δ0 , α0 , γ0 , δ, α — некоторые положительные константы и
1 δ
,
, γ > α + 1.
0 < α < min
2 2
Мы выражаем благодарность д.ф.-м.н., профессору И.П. Рязанцевой за полезные замечания.
Литература
[1] Showalter R.E. Monotone operators in Banach spaces and nonlinear partial differential equations, Math.
Surveys Monographs AMS 49 (1997).
[2] Li W., Zhen H. The applications of theories of accretive operators to nonlinear elliptic boundary value problems
in Lp -spaces, Non. Anal. 46 (1), 199–211 (2011).
[3] Saddeek A.M. Generalized iterative process and associated regularization for J-pseudomonotone mixed
variational inequalities, Appl. Math. and Comput. 213 (1), 8–17 (2009).
[4] Alber I.Ya., Ryazantseva I.P. Nonlinear ill-posed problems of monotone type (Springer-Verlag Publishers,
2006).
[5] Рязанцева И.П. Регуляризованный проксимальный алгоритм для нелинейных уравнений монотонного
типа в банаховом пространстве, Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 42 (9), 1295–1303 (2002).
[6] Быонг Н., В. Хунг В. Итерационный метод регуляризации Ньютона–Канторовича для нелинейных
некорректных уравнений, содержащих аккретивные операторы, Укр. матем. журн. 57 (2), 323–330
(2005).
[7] Buong Ng. Projection-regularization method and ill-posedness for equations involving accretive operators,
Vietnamese Math. J. 20 (1), 33–39 (1992).
[8] Buong Ng. Generalized discrepancy principle and ill-posed equations involving accretive operators, J. Nonl.
Funct. Anal. Appl. 9 (1), 73–78 (2004).
[9] Быонг Н. Скорость сходимости процесса регуляризации для нелинейных некорректных уравнений при
наличии аккретивных возмущений, Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 44 (3), 397–402 (2004).
[10] Buong Ng. On nonlinear ill-posed accretive equations, Southeast Asian Bull. Math. 28 (1), 1–6 (2004).
74
НГУЕН БЫОНГ, НГУЕН ТХИ ХОНГ ФЫОНГ
[11] Wang J., Li J., Liu Z. Regularization method for nonlinear ill-posed problems with accretive operators, Acta
Math. Sci. 28b (1), 141–150 (2008).
[12] Alvarez F. On the minimizing property of a second order dissipative system in Hilbert space, SIAM J. Control
and Optim. 38 (4), 1102–1119 (2000).
[13] Alvarez F., Attouch H. An inertial proximal method for maximal monotone operators via discretization of a
nonlinear oscillator with damping, Set-Valued Anal. 9 (1), 3–11 (2001).
[14] Cioranescu I. Geometry of Banach spaces, duality mappings and nonlinear problems (Kluwer Acad. Publ.,
Dordrecht, 1990).
[15] Takahashi W. Nonlinear functional analysis (Yokohama Publishers, 2000).
[16] Goebel K., Reich S. Uniform convexity, hyperbolic geometry, and nonexpansive mappings (Marcel Dekker,
New York and Basel, 1984).
[17] Takahashi W., Ueda Y. On Reich’s strong convergence theorem for resolvents of accretive operators, J. Math.
Anal. Appl. 104 (2), 546–553 (1984).
[18] Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией (Наука, Екатеринбург, 1993).
[19] Fitzgibbon W.E. Weak continuous accretive operators, Bull. Amer. Math. Soc. 79 (2), 473–474 (1973).
[20] Webb J.R. On a property of dual mappings and the A-properness of accretive operators, Bull. London Math.
Soc. 13 (4), 235–238 (1981).
[21] Browder F.E. Nonlinear mapping of nonexpansive and accretive type in Banach spaces, Bull. Amer. Math.
Soc. 73 (6), 875–882 (1967).
[22] Конягин С.В. Аппроксимативные свойства замкнутых множеств в банаховых пространствах и характеристики строго выпуклых пространств, ДАН СССР 251 (2), 276–280 (1980).
Нгуен Быонг
Институт информационных технологий Вьетнамской академии наук и технологий,
Хоанг Куок Вьет, 18, Ханой, Вьетнам,
e-mail: nbuong@ioit.ac.vn
Нгуен Тхи Хонг Фыонг
9/5, Тран Хоан, район Кау Зэи, Ханой, Вьетнам
Nguyen Buong and Nguyen Thi Hong Phuong
Regularization methods for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings
in Banach spaces
Abstract. In this paper we prove strong convergence of the Browder–Tikhonov regularization
method and the regularization inertial proximal point algorithm to a solution of nonlinear ill-posed
equations involving m-accretive mappings in real, reflexive and strictly convex Banach spaces with
a uniformly Gâteaux differentiable norm without weak sequential continuous duality mapping.
Keywords: accretive mapping, regularization method, proximal point algorithm.
Nguyen Buong
Vietnamese Academy of Science and Technology,
Institute of Information Technology,
18, Hoang Quoc Viet, Hanoi, Vietnam,
e-mail: nbuong@ioit.ac.vn
Nguyen Thi Hong Phuong
9/5, Tran Quoc Hoan, Cau Giay, Ha Noi, Viet Nam
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа