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Методы сглаживания траекторий случайных процессов.

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??? 539.4
?????? ??????????? ??????????
????????? ?????????
?.?. ?????, ?.?. ????????
??????? ??? ?????? ??????????? ?????????? ????????? ?????????.
???? ????? ??????? ?? ?????????? ???????? ?? ????? ?????????? ?????
???? ???????, ?????? ? ?? ?????????? ????? ????? ?? ?????????????
??? ????????.
?????
????????? ?????????
?????? ??????????? ????,
?????????
???????? ?????: ??????????, ????????? ???????, ????? ???,
??????.
Methods of flattening stochastic
processes
A.S. Gusev, S.O. Naydenov
Two methods of flattening trajectories of stochastic processes are described.
One of them is based on averaging the process in the small sliding time window,
and the other ? on rejection of white noises from quasi amplitude spectra.
Keywords: trajectories, stochastic process, white noise, spectrum.
????????
?????? ????????
???????? ???????????
????, ??????
??????? л??????????
????????╗
(???? ??. ?.?. ???????)
email: sergeyn15@gmail.com
?????? ????????? ?????????, ??????????, ?????
???????????
???, ? ????? ????????? ???????? ??????, ??????? ??????????
? ??????? ??????????? ????? ??????? ??????????? ???????? ???????
??? [1]. ??????????? ???????? ????????? ??? ??????? ???????? ??
??????? ????? ???? ??????????? ? ?????????, ????? ?????????
?????? ??????? ????? ? ?? ??????? ???????? ?? ????????????? ????
??????? ??????????? ????, ?????????, ? ????????, ?? ???? ????
????? ???? [2].
????????? ???????? ????????? ??????? x(t), ? ???????? ????????
??? a, ??????? ??? ??????????? ?????????? ?????????? ~
x (t ) ?????????
?????????:
t
1
~
x (t )= Є x ( z )dz.
a t -a
(1)
????? ??????? ??????????? ??????????????? ? ??????????? ????????
???????? ?? ?????????? ????????? (0, a).
????? ????????? ?????????????? ?? (1) ???????, ??? ????????????
????????? ??????????? ???????? S x~ (?) ???????????? ????? ?????????
??? ????????? ????????????? ???????? Sx(w) ?? ??????? [1]:
S x~ (?)=
2
(1- cos(a?))S x (?).
a ?2
2
(2)
??? a о 0 S x~ (?) о S x (?) ? ??????????? ?? ??????????.
2012. ╣ 8
21
??? ?????? ???? ? ?????????????? K 0
K
? ???????????? ?????????? S x (?) = 0 = const
2?
??? ?╬ (-е,+е) ????????? ???????? ?????
?????, ? ????????? ??????????? ?? ?????????
(0, a) ????????
+е
S x~2 = Є S x~ (?)d?.
(3)
-е
????????? ??????? (2) ? (3) ? ???????? ??
??????, ???????:
K
(4)
S x~2 = 0 .
2a
??? a о 0 S x~2 ое, ? ??? a ое S x~2 о 0.
?????????? ??????? (2) ??? ?????? ?????
????????? ??????? ? ????????????? ???????
???????? ???????????.
? ???????? ??????????? (1) ?????? ?????
1
????? ??????? ??????????????? ???? ?????
a
???????????? ????? ?????????? ?? ?????????
(0, ?) ??????? ???? ?(t) ? ???????????
t
Є ?( z )dz =1.
(5)
t -a
????? ?????????? ??????? ???????????? ?? ???
????
ax~& (t )+ ~
x (t )= x (t )
? ???????????? ????????
H (i?) =
Є ?( z ) x ( z )dz.
(6)
x -a
??????????? ????????? ??????? ?????,
???? ???????????? ??????????? (6) ???, ?????
?????? ? ??? ?????????????? ???????? ???
????? ?, ? ???? ?????, ??????? ?????????? ???
???? ??????????? ? ???????? ?? ????????? (0, a).
???? ???????? ???????? ??????? ???? ????
1
a
-
?( z ) = e
t -z
a
, -ег z г t .
??? ???? ??????? ?????????? (5) ???????????,
? ?????????? ??????? ??????????? ????????
t
t -z
a
~
x (t )= Є e
x ( z )dz .
(7)
-е
????????????? ????????? (7) ????????
? ?????????
22
1
.
ia? +1
(9)
? ???????????? ? ???????? (9) ????????????
????????? ??????????? ???????? ????????????
?? ???????????? ????????? ????????? ????????
?? ???????? ?? (2), ?? ????? ??????? ???????:
S x~ (?) =
S x (?)
.
a 2 ? 2 +1
(10)
?? ??????????? (10) ???????, ??? ????????
????? ??????????? ??????? ?? ???????? a ? ???
a = 0 ??????????? ?? ??????????.
?????????? ?? ????????? (a, 0) ????? ???
? ?????????????? K0 ????? ???????????? ????
?????
S x~2 =
K0
1
2 2
2 ? a ? +1
(11)
? ????? ??, ??? ? ? ??????? (4) ?????????.
?????? ????????? ??????????? ??????
???? ????? ?????????? ?????? ??? ?????????
????????????. ???, ?????? ????????? ??????
??????????? ???????? ? ????
S x~2& =
x
~
x (t )=
(8)
K 0 +е ? 2 d?
K
= 03 .
Є
2
2 ? -е (a 2 ? 2 +1)
4a
(12)
?????????? ??????????? ???????????? ??
????????????????? ???????? ? ???????????
??? ???????? K x (? )= e-|?|, ???????????? ????
1 1
? ????????? ??????????.
?????? S x (?)=
? 1+ ? 2
??? ????????? ?????? ??????????? ?????
???????? ?????????? ????????? ????????
???????????. ???????????? ????????? ??????
??????????? ??????????? ?? ????????? (0, a)
???????? ????? ???????????? ???
S x~2& (?) =
1
?2
,
? (1+ ? 2 )(1+ a 2 ? 2 )
(13)
? ?????????
S x~2& =
?
.
a(a +1)
2012. ╣ 8
??????????? ???????? ?? ???????????? ????
?????? (13) ?? ?????????? ? ??? ??????????? ??
????????????? ?????? ?????????? ??????????
????????? ???????? ???????????.
?????????? ?????? ?????? ????????? ????
?????? ?????????? ????????? ?????????.
???????, ??? ???????????? ????????? ??????
??? (????? ???????????? ?????? ?????? ????)
????? ??????????? ? ???? ???????????? ????
?????????? ??????????? ??????? (??????
???????):
S x (?) =C? x (?)? (?),
*
x
(14)
??? C ? ?????????.
?? ????????????? ? (14) ???????? ????? ????
????? ?? ?????? ?? ?????????:
? x (?) = ? x (?) - lim ? x (?);
?ое
? (?) = ? (?) - lim ?*x (?).
*
x
*
x
(15)
?ое
????????? ????????? (15) ? (14), ???????
???????????? ????????? ??????????? ????????.
???
S x (?) =
?
1
2
? ? + ?2
?????
S x& (?) =
?
1
? i? -i?
;
2
2 =
? ? +?
? ? + i? ? - i?
i?
-i?
= lim
=1.
?ое ? + i?
?ое ? + i?
lim
???????????? ????????? ??????????? ??????
?? ? ??? ????????? ?????????? ?? ?????????
????????:
2012. ╣ 8
S x~& (?) =
1
?3
; S x~2& = ? 2 .
2
? ? + ?2
????????????? ? ???????????????????
???????? ? ?????????????? ????????
K x (?) = e-?|?| cos ??,
??? ? ? ? ? ?????????, ????????:
S x~& (?) =
2
2 2
2
? (? + ? ) + ? ( 2? -
?
? 2 + ?2
(? 2 - ?2 - ?2 ) 2 + 4? 2?2
)
2
;
S x~2& = 3? 2 + ? 2 2? - 2? ? 2 + ? 2 .
?????????? ????? ???????? ???????????
? ?????? ?????????????????? ?????????.
??????????? ? ??????????? ???????? ????
?? ???????????? ??????? ?????????? ???????
??????????? ????????? ????????? ? ??????
?? ????? ???? ??????. ?????????? ????????
??? ???????? ??????????, ??? ????? ???????
???? ??????? ?????????? ?? ????? ???????
??? ????????? ???????, ???? ????? ???????
??? ?? ???????????????? ???????? ????? ??
???.
??????????
1. ????? ?.?. ????????????? ?????? ? ???????? ?????
? ???????????. ?.: ?????. ???? ??. ?.?. ???????, 2009.
223 c.
2. ?????????? ???????????? ?????? ? ???????????
??? ????????? ???????????? / ?.?. ?????, ?.?. ???????,
?.?. ???????????? ? ??. ?.: ????? ???? ????, 2000.
283 ?.
?????? ????????? ? ???????? 01.06.2012
23
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процессов, метод, случайных, сглаживания, траектория
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