close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Моделирование гарантированного управления с интегральным ограничением в линейной управляемой системе.

код для вставкиСкачать
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ГАРАНТИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ
С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ
В ЛИНЕЙНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЕ
С.Р. Алеева, В.И. У╡обо▓ов Чел┐бин▒кий го▒│да░▒▓венн╗й │ниве░▒и▓е▓
Дл┐ линейной │п░авл┐емой ▒и▒▓ем╗ ▒ ин▓ег░ал╝н╗м ог░ани╖ением на в╗бо░
│п░авлени┐ и п░и нали╖ии воздей▒▓ви┐ на нее ▒о ▒▓о░он╗ некон▓░оли░│емой поме╡и об╣его вида излагае▓▒┐ алго░и▓м по▒▓░оени┐ │п░авлени┐, га░ан▓и░│╛╣его в╗вод
┤азовой ▓о╖ки в ┤ик▒и░ованн╗й момен▓ в░емени на заданное множе▒▓во.
Кл╛╖ев╗е ▒лова:
│п░авление, ин▓ег░ал╝ное ог░ани╖ение, поме╡а, ▒▓абил╝-
но▒▓╝.
Введение
В [1] изложен ме▓од погло╣ени┐ обла▒▓ей до▒▓ижимо▒▓и дл┐ по▒▓░оени┐ │п░авлени┐ иг░оков в линейн╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ иг░а╡. Введено пон┐▓ие пе░вого момен▓а погло╣ени┐ и │▒▓ановлен╗ │▒лови┐ ░ег│л┐░но▒▓и, п░и в╗полнении ко▓о░╗╡ п░авило ╜к▒▓░емал╝ного п░и╢еливани┐
га░ан▓и░│е▓ окон╖ание иг░╗ за пе░в╗й момен▓ погло╣ени┐. У▒лови┐ возможно▒▓и окон╖ани┐ за пе░в╗й момен▓ погло╣ени┐ и ░ег│л┐░но▒▓и ░а▒▒ма▓░ивали▒╝ в ░або▓а╡ [2 { 5]. В ░або▓а╡ [6; 7] обоб╣а╛▓▒┐ п░┐м╗е
ме▓од╗ из [8; 9] на ▒л│╖ай ин▓ег░ал╝н╗╡ ог░ани╖ений на │п░авлени┐.
Линейн│╛ зада╖│ │п░авлени┐ ▒ ┤ик▒и░ованн╗м момен▓ом окон╖ани┐ p ▒
помо╣╝╛ замен╗ пе░еменн╗╡ [10] можно ┤о░мализова▓╝ ▒лед│╛╣им об░азом.
1.
По▒▓ановка зада╖и
То╖ка z 2 Rn пе░еме╣ае▓▒┐ из ▒о▒▓о┐ни┐ z (t) в ▒о▒▓о┐ние z ( ) п░и
t < под воздей▒▓вием │п░авлени┐ u : [t; ] ! Rk и поме╡и v по п░авил│
z ( ) = z (t) +
Z
t
M (r)u(r)dr + v :
Рабо▓а в╗полнена п░и подде░жке РФФИ (г░ан▓ ┬ 00-01-00018).
(1.1)
136
С.Р. Алеева, В.И. У╡обо▓ов
Элемен▓╗ ма▓░и╢╗ M (r) на каждом о▓░езке [t; ] име╛▓ ин▓ег░и░│ем╗е
l-е ▒▓епени, где 1=l + 1=m = 1.
На ┤о░ми░ование │п░авлени┐ u(r) ▓░а▓и▓▒┐ нео▓░и╢а▓ел╝ное коли╖е▒▓во ░е▒│░▒ов , о▒▓ав╕ий▒┐ запа▒ ко▓о░╗╡ оп░едел┐е▓▒┐ ┤о░м│лой
( ) = (t) ;
Z
t
ju(r)jmdr 0 :
(1.2)
Зде▒╝ ╢елое ╖и▒ло m 2, juj | но░ма век▓о░а u 2 Rk .
П░едполагае▓▒┐, ╖▓о п░и в╗бо░е поме╡и v ▓акже ▓░а▓и▓▒┐ неко▓о░ое
коли╖е▒▓во ░е▒│░▒ов, запа▒ ко▓о░╗╡ ╡а░ак▓е░из│е▓▒┐ ▓о╖кой y из ме▓░и╖е▒кого п░о▒▓░ан▒▓ва Y . Ог░ани╖ени┐ на ░а▒╡од ░е▒│░▒ов, а ▓акже возможное зна╖ение поме╡и п░и заданн╗╡ на╖ал╝ном y (t) и коне╖ном y ( ) запа▒а╡
░е▒│░▒ов име╛▓ вид
y ( ) 2 Q(t; ; y (t)); v 2 Vt (y (t); y( )) :
(1.3)
Зде▒╝ многозна╖н╗е ┤│нк╢ии Q(t; ; y ) Y и Vt (y; x) Rn оп░еделен╗
п░и в▒е╡ t , y 2 Y , x 2 Q(t; ; y ).
П░о╢е▒▒ │п░авлени┐ окан╖ивае▓▒┐ в ┤ик▒и░ованн╗й момен▓ в░емени p, его ╢ел╝ закл╛╖ае▓▒┐ в в╗воде ▓о╖ки z (p) на заданное замкн│▓ое
множе▒▓во Z Rn .
В ▒л│╖ае имп│л╝▒н╗╡ воздей▒▓вий ▒о ▒▓о░он╗ поме╡ коне╖ное ▒о▒▓о┐ние z (p) може▓ мгновенно измени▓╝▒┐ [11].
Име┐ в вид│ возможно▒▓╝ нали╖и┐ ▓аки╡ поме╡, оп░еделим более ┤о░мал╝но │▒ловие окон╖ани┐ п░о╢е▒▒а │п░авлени┐ [12].
Введем в ░а▒▒мо▓░ение обла▒▓╝ до▒▓ижимо▒▓и поме╡и
V (t; y) =
[ p
Vt (y; x); 8 x 2 Q(t; p; y );
x
t p:
(1.4)
У▒ловие окон╖ани┐ запи╕ем в ▒лед│╛╣ем виде:
z (p) + V (p; y (p)) Z :
(1.5)
За┤ик▒и░│ем на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние t0 < p, z0 2 Rn , 0 0 и y0 2
Y . Уп░авление б│дем ▒▓░ои▓╝, о▒нов╗ва┐▒╝ на п░о╢ед│░е ко░░ек╢ии п░ог░аммн╗╡ │п░авлений [13; 14].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. С▓░а▓егией назовем по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ▓о╖ек
t0 < t1 < ::: < ti ! p и п░авило, ▒▓ав┐╣ее каждом│ ▒о▒▓о┐ни╛
z 2 Rn ,
k
R 0, y 2 Y в ▒оо▓ве▓▒▓вие ┤│нк╢и╛ ui : [ti ; ti+1] ! R , ▓ак│╛, ╖▓о
tt +1 jui(r)jmdr.
i
i
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАРАНТИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ
137
П│▒▓╝ п░и в╗б░анной ▒▓░а▓егии в момен▓ в░емени t = ti ░еализовало▒╝ ▒о▒▓о┐ние zi = z (ti ), i = (ti ), yi = y (ti ). Тогда в момен▓ в░емени ti+1
п░и поме╡е
vi 2 Vtt +1 (yi ; yi+1 ); yi+1 2 Q(ti ; ti+1 ; yi )
(1.6)
░еализ│е▓▒┐ ▒о▒▓о┐ние
i
i
zi+1 = zi + ui + vi; ui =
Z ti+1
ti
M (r)ui(r)dr :
(1.7)
i
P
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 1. П░едел╗ ilim
yi, ilim
vj ▒│╣е▒▓в│╛▓ дл┐
!1
!1 j =0
л╛б╗╡ по▒ледова▓ел╝но▒▓ей ▓о╖ек ti < ti+1 ! p, vi и yi , │довле▓во░┐╛╣и╡ │▒лови┐м (1.6).
О▓ме▓им, ╖▓о ин▓ег░ал╝н╗е ог░ани╖ени┐ вида (1.2) │довле▓во░┐╛▓ ╜▓ом│
п░едположени╛.
Из п░едположени┐ 1 ▒лед│е▓, ╖▓о │ по▒ледова▓ел╝но▒▓и zi (1.7) ▒│╣е▒▓в│е▓ п░едел, зна╖ение ко▓о░ого обозна╖им ╖е░ез z (p).
2.
По▒▓░оение нижней о╢енки необ╡одимого на╖ал╝ного запа▒а
░е▒│░▒ов
Обозна╖им ╖е░ез hz1 ; z2i ▒кал┐░ное п░оизведение век▓о░ов zi 2 Rk .
Опо░н│╛ ┤│нк╢и╛ компак▓а X Rn б│дем обозна╖а▓╝
c( ; X ) = max
hz; i; 2 Rn :
z2X
П░и t обозна╖им
Ut = z =
Z
t
M (r)u(r)dr :
Z
t
ju(r)jmdr = 1 :
(2.1)
Можно показа▓╝, ╖▓о ╜▓о множе▒▓во ┐вл┐е▓▒┐ в╗п│кл╗м компак▓ом в Rn ,
ко▓о░╗й │довле▓во░┐е▓ ▒лед│╛╣ем│ │▒лови╛:
[ 1=m Utp =
Ut + (1 ; )1=mUp :
(2.2)
01
П░и л╛бом ╖и▒ле 0 имее▓ ме▒▓о ░авен▒▓во
z=
Z
Z
ju(r)jmdr = M (r)u(r)dr :
t
t
Опо░на┐ ┤│нк╢и┐ множе▒▓ва Ut ░авна
c( ; Ut ) =
Z cl (r;
t
)dr
1=l
= 1=mUt :
; c(t; ) = max
hM (t)u; i :
juj=1
(2.3)
(2.4)
138
С.Р. Алеева, В.И. У╡обо▓ов
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 2. Множе▒▓ва Z и Vt (x; y ) ┐вл┐╛▓▒┐ компак▓ами в Rn .
Обозна╖им
a( ) = (c( ; Z ) + c(; ; Z )) =2; A( ) = (c( ; Z ) ; c(; ; Z )) =2 ; (2.5)
b(t; ; y; x; ) = (c( ; Vt (x; y )) + c(; ; Vt (x; y ))) =2 ;
(2.6)
B (t; ; y; x; ) = (c( ; Vt (x; y)) ; c(; ; Vt (x; y ))) =2 :
(2.7)
О▓ме▓им, ╖▓о ┤│нк╢ии a и b нео▓░и╢а▓ел╝н╗.
За┤ик▒и░│ем ╖и▒ло t < p и ▓о╖к│ y 2 Y . Воз╝мем ░азбиение
t = t0 < t1 < ::: < tk+1 = p
(2.8)
▒ диаме▓░ом ░азбиени┐ d = 0max
(ti+1 ; ti ) и набо░ ▓о╖ек yi , │довле▓во░┐ik
╛╣и╡ ▒лед│╛╣им │▒лови┐м:
y = y0 ; y1 = Q(t0; t1 ; y0); : : :; yk+1 = Q(tk ; p; yk ); x 2 Q(p; p; yk+1) :
Воз╝мем ╖и▒ла
= 0 1 ::: k+1 0 ;
│довле▓во░┐╛╣ие │▒лови┐м
fi ( ) =
k
X
(2.9)
(2.10)
[(j ; j +1 )1=m c( ; Vtt +1 (yj ; yj +1 )) ;
j =i
;b(tj ; tj+1; yj ; yj+1;
j
j
)] ; b(p; p; yk+1; x; ) + a( ) 0
(2.11)
п░и в▒е╡ i = 1; : : :; k.
Обозна╖им ╖е░ез g(t; y; ; ) нижн╛╛ г░ан╝ ╖и▒ел > 0 ▓аки╡, ╖▓о
дл┐ л╛бого ░азбиени┐ (2.8) ▒ диаме▓░ом ░азбиени┐ d и набо░а ▓о╖ек
yi (2.9) найде▓▒┐ набо░ ╖и▒ел (2.10), │довле▓во░┐╛╣и╡ не░авен▒▓вам (2.11).
С │мен╝╕ением ╖и▒ла ┤│нк╢и┐ g не │б╗вае▓. Обозна╖им
g(t; y) = lim
sup g (t; y; ; ); h ; i = 1 :
!0
(2.12)
Покажем, ╖▓о е▒ли на╖ал╝н╗й момен▓ в░емени t0 и на╖ал╝н╗е запа▒╗
░е▒│░▒ов 0 и y0 ▓аков╗, ╖▓о
0 < g (t0; y0 ) ;
(2.13)
▓о из л╛бого на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ z0 2 Rn невозможно о▒│╣е▒▓ви▓╝ окон╖ание (1.5).
139
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАРАНТИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ
Из ┤о░м│л╗ (2.12) и не░авен▒▓ва (2.13) пол│╖им, ╖▓о дл┐ л╛бого
▒кол╝ │годно малого ╖и▒ла > 0 найде▓▒┐ едини╖н╗й век▓о░ ( ) ▓акой,
╖▓о 0 < g(t0 ; y0; ( ); ). Из оп░еделени┐ ┤│нк╢ии g ▒лед│е▓, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ ░азбиение (2.8), диаме▓░ ко▓о░ого мен╝╕е , и набо░ ▓о╖ек (2.9)
▓акие, ╖▓о дл┐ л╛бого набо░а ╖и▒ел (2.10) б│де▓ на░│╕а▓╝▒┐ одно из не░авен▒▓в (2.11) п░и = ( ).
П│▒▓╝ по каком│-▓о п░авил│ на каждом из о▓░езков [ti ; ti+1 ] ┤о░ми░│е▓▒┐ доп│▒▓имое │п░авление ui (t). Тогда о▒▓ав╕ие▒┐ в момен▓╗ в░емени
ti запа▒╗ ░е▒│░▒ов об░аз│╛▓ набо░ ╖и▒ел (2.10). Дл┐ ╜▓и╡ ╖и▒ел п░и каком▓о номе░е i не░авен▒▓во (2.11) на░│╕и▓▒┐.
П░едположим, ╖▓о до ╜▓ого момен▓а поме╡а ┤о░ми░│е▓▒┐ п░оизвол╝н╗м об░азом, ▓░а▓┐ запа▒╗ в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ набо░ом (2.9). Тогда ░еализовав╕ее▒┐ в ╜▓о▓ момен▓ в░емени ▒о▒▓о┐ние z (ti ) б│де▓ │довле▓во░┐▓╝
не░авен▒▓в│
jhz(ti ); ()i ; A( ()) ;
k
X
i=i
; B(p; p; yk+1; x;
B(ti ; ti+1 ; yi; yi+1; ()) ;
( ))j > fi ( ( )) :
(2.14)
Ф│нк╢ии fi (2.11) ┐вл┐╛▓▒┐ ╖е▓н╗ми, а ┤│нк╢ии A (2.5) и B (2.7) | не╖е▓н╗ми. По╜▓ом│ из не░авен▒▓ва (2.14) пол│╖им, ╖▓о на одном из век▓о░ов
= ( ) б│де▓ в╗полнено
hz(ti ); i > Fi ( ) :
(2.15)
Зде▒╝ обозна╖ено
Fi ( ) =
;
k
X
j =i
k
X
j =i
(j ; j +1 )1=mc( ; Vtt +1 (yj ; yj +1 )) ;
j
j
c( ; Vtt +1 (yj ; yj+1)) ; c( ; Vpp (yk+1 ; x)) + c( ; Z ) :
j
j
(2.16)
Далее поме╡а ┤о░ми░│е▓ ▒вое │п░авление ▓ак, ╖▓об╗ в╗полн┐ло▒╝ ░авен▒▓во
hvi; i = c( ; Vtt +1 (yi; yi+1)) :
(2.17)
Из (2.3) и (2.4) ▒лед│е▓, ╖▓о
i
i
h ;
Z ti+1
ti
M (r)ui(r)dri (i ; i+1 )1=m
Z ti+1
ti
cl (r; )dr
1=l
:
(2.18)
140
С.Р. Алеева, В.И. У╡обо▓ов
Из ╜▓ого не░авен▒▓ва, и▒пол╝з│┐ п░авило пе░е╡ода (1.7), а ▓акже ▒оо▓но╕ени┐ (2.17) и (2.18), пол│╖им, ╖▓о
hz(ti+1); )i hz(ti ); )i ; (i ; i+1)1=m
Z ti +1
cl (r;
ti
)dr
!1=l
+ c( ; Vtt +1 (yi ; yi+1 )) :
i
i
О▓▒╛да, и▒пол╝з│┐ ┤о░м│л╗ (2.15) и (2.16), пол│╖им, ╖▓о
hz(ti+1 ); i > Fi+1( ) :
П░одолжа┐ ╜▓о▓ п░о╢е▒▒ дал╝╕е, пол│╖им, ╖▓о
hz(p); )i > ;c( ; Vpp(yk+1 ; x)) + c( ; Z ) :
Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о вкл╛╖ение (1.5) не в╗полнено.
3.
(2.19)
(2.20)
(2.21)
По▒▓░оение ▒▓абил╝ного мо▒▓а
За┤ик▒и░│ем п░оизвол╝н│╛ ┤│нк╢и╛ g (t; y ) 0, оп░еделенн│╛ п░и
t p, y 2 Y и │довле▓во░┐╛╣│╛ │▒лови╛ моно▓онно▒▓и:
t < ; x 2 Q(t; ; y ) ) g (t; y) g (; y ) и g(t; y ) g (; x) :
(3.1)
О▓ме▓им, ╖▓о ┤│нк╢и┐ (2.12) │довле▓во░┐е▓ ╜▓ом│ │▒лови╛.
Дл┐ на╖ал╝ного запа▒а 0 0 │▒ловие возможно▒▓и ▒ин▓еза │п░авлени┐, ко▓о░ое из ▒о▒▓о┐ни┐ t < p, z 2 Rn , y 2 Y га░ан▓и░│е▓ окон╖ание (1.5), б│дем и▒ка▓╝ в ▒лед│╛╣ем виде:
z 2 10=m ; g (t; y ) Utp + W (t; y); 0 g m(t; y) :
(3.2)
Многозна╖н│╛ ┤│нк╢и╛ W (t; y ) Rn , оп░еделенн│╛ п░и t p, y 2 Y ,
б│дем и▒ка▓╝ из │▒лови┐ ▒▓абил╝но▒▓и [10].
Введем в ░а▒▒мо▓░ение ┤│нк╢и╛
G(t; y ) = 0 ; (10=m ; g(t; y ))m 0; 8t p; y 2 Y; 0 gm(t; y ) : (3.3)
Тогда из │▒лови┐ (3.2) пол│╖им, ╖▓о
z 2 (0 ; G(t; y ))1=m Utp + W (t; y); 0 G(t; y ) :
(3.4)
Запи╕ем дл┐ ╜▓и╡ ▒оо▓но╕ений │▒ловие ▒▓абил╝но▒▓и [10]. Э▓о │▒ловие
озна╖ае▓, ╖▓о дл┐ л╛бого момен▓а в░емени 2 (t; p] и п░оизвол╝ной поме╡и
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАРАНТИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ
141
x 2 Q(t; ; yR), v 2 Vt (x; y ) должна ▒│╣е▒▓вова▓╝ ┤│нк╢и┐ u : [t; ] ! Rk
▓ака┐, ╖▓о t ju(r)jmdr = 0 и
z+
Z
t
M (r)u(r)dr + v 2 (0 ; ; G(; x))1=m Up + W (; x);
0 ; G(; x) :
(3.5)
И▒пол╝з│┐ ┤о░м│л│ (2.3), можно запи▒а▓╝ ╜▓о │▒ловие в ▒лед│╛╣ем виде:
[h
i
(0 ; ; G(; x))1=m Up + 1=mUt +
+W (; x) :
(3.6)
Зде▒╝ об║единение бе░е▓▒┐ по в▒ем 2 [0; 0 ; G(; x)]. Согла▒но ░авен▒▓в│ (2.2), ╜▓о вкл╛╖ение п░инимае▓ вид
z + Vt (y; x) z + Vt (y; x) (0 ; G(; x))1=m Utp + W (; x) :
(3.7)
По▒леднее вкл╛╖ение должно в╗полн┐▓╝▒┐ дл┐ л╛бой ▓о╖ки z из (3.4). Следова▓ел╝но,
(0 ; G(t; y ))1=mUtp + W (t; y ) + Vt (y; x) (0 ; G(; x))1=mUtp +
+W (; x) : (3.8)
Э▓о вкл╛╖ение б│де▓ в╗полнено, е▒ли
W (t; y) + Vt (y; x) [(0 ; G(; x))1=m ; (0 ; G(t; y ))1=m]Utp+
+W (; x) (3.9)
дл┐ л╛б╗╡ y 2 Y , x 2 Q(t; ; y ), 0 G(t; y ).
Под▒▓авим ▒╛да ┤│нк╢и╛ (3.3). Пол│╖им
W (t; y) + Vt (y; x) [g(t; y ) ; g(; x)]Utp + W (; x)
(3.10)
дл┐ л╛б╗╡ y 2 Y , x 2 Q(t; ; y ), 0 G(t; y ).
Ра▒▒мо▓░им ▓о╖к│ z 2 W (t; y ), 0 = g m (t; y ), y 2 Y и запи╕ем │▒ловие
возможно▒▓и попадани┐ в момен▓ в░емени p на ▓е░минал╝ное множе▒▓во
Z . И▒пол╝з│┐ (1.4), пол│╖им
(t; y ) + V (t; y ) g (t; y )Utp + Z :
(3.11)
В дал╝ней╕ем б│дем и▒пол╝зова▓╝ ▒лед│╛╣ее п░едположение.
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 3. Дл┐ п░оизвол╝н╗╡ поcледова▓ел╝но▒▓ей ▓о╖ек
ti < < ti+1 ! p, yi ! y 2 Y и л╛бой ▓о╖ки w 2 V (p; y ) ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓ака┐
по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ wi 2 V (ti ; yi), ╖▓о wi ! w.
142
С.Р. Алеева, В.И. У╡обо▓ов
4.
По▒▓░оение ▒▓░а▓егии
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 4. Дл┐ л╛бого век▓о░а 2 Rn и дл┐ л╛бого
╖и▒ла t < p в╗полнено не░авен▒▓во
c( ; Utp) > 0 :
(4.1)
ЛЕММА 4.1. > 0 ▓акое, ╖▓о
Utp "Up; r ; < t < < r + ; p :
(4.2)
Доказа▓ел╝▒▓во. За┤ик▒и░│ем " > 1 и t < p. Доп│▒▓им, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ▓о╖ек ti < i , ti ! , i ! r, дл┐ каждой из
ко▓о░╗╡ вкл╛╖ение (4.2) не в╗полнено. П░имен┐┐ ▓ео░ем│ о▓делимо▒▓и
дл┐ в╗п│кл╗╡ компак▓ов, пол│╖им, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝
едини╖н╗╡ век▓о░ов i 2 Rn ▓аки╡, ╖▓о c( i; Utp ) > "c( i; Up ). Пе░ейдем к ▒╡од┐╣ей▒┐ подпо▒ледова▓ел╝но▒▓и i ! . Тогда в п░еделе б│дем
име▓╝ не░авен▒▓во c( ; Urp) "c( ; Urp). По▒кол╝к│ c( ; Urp) > 0, ▓о пол│╖им п░о▓иво░е╖ие 1 ".
i
i
k
За┤ик▒и░│ем t0 < p и 0 > 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Семей▒▓во неп│▒▓╗╡ множе▒▓в W (t; y ) Rn ,
оп░еделенн╗╡ п░и
t 2 [t0 ; p]; y 2 Y; 0 g m(t; y );
(4.3)
│довле▓во░┐е▓ │▒лови╛ ▒▓абил╝но▒▓и, е▒ли:
а) ╜▓о ▒емей▒▓во │довле▓во░┐е▓ вкл╛╖ени╛ (3.11);
б) дл┐ л╛бой ▓о╖ки r 2 [t0 ; p) ▒│╣е▒▓в│е▓ ╖и▒ло = (r) ▓акое, ╖▓о
дл┐ в▒е╡ t0 t; r ; < t < < r + , p,
y 2 Y; 0 gm(t; y ); x 2 Q(t; ; y)
(4.4)
в╗полнено вкл╛╖ение (3.10).
С помо╣╝╛ ┤о░м│л╗ (3.3) оп░еделим ┤│нк╢и╛ G(t; y ). Она б│де▓ │довле▓во░┐▓╝ │▒лови╛ моно▓онно▒▓и (3.1).
Обозна╖им G" (t; y ) = "m G(t; y ).
ЛЕММА 4.2. П░едположим, ╖▓о ▒емей▒▓во неп│▒▓╗╡ множе▒▓в
W (t; y ), оп░еделенн╗╡ п░и │▒лови┐╡ (4.3), │довле▓во░┐е▓ │▒лови╛ ▒▓абил╝но▒▓и и 0 g m (t0 ; y0). Тогда дл┐ л╛бого ╖и▒ла " > 1 ▒│╣е▒▓в│е▓
t0 < t1 < ::: < ti ! p ▓ака┐, ╖▓о
W (ti; y) + Vtt +1 (y; x) [( ; G"(ti+1 ; x))1=m ; ( ; G"(ti; y))1=m]Utp+1 + W (ti+1; x) (4.5)
дл┐ в▒е╡ y 2 Y; 0 G(ti ; y ); x 2 Q(ti ; ti+1 ; y ) .
по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ╖и▒ел
i
i
i
143
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАРАНТИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ
Доказа▓ел╝▒▓во. Воз╝мем по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ╖и▒ел t0 = p0 < p1 <
::: < pi ! p. Дл┐ каждой ▓о╖ки r из ┤ик▒и░ованного о▓░езка [pi ; pi+1]
▒│╣е▒▓в│е▓ -ок░е▒▓но▒▓╝, дл┐ в▒е╡ ▓о╖ек t < из ко▓о░ой в╗полнен╗
вкл╛╖ени┐ (4.2) и (3.10). П░имен┐┐ лемм│ Гейне { Бо░ел┐ [15], найдем
коне╖ное ╖и▒ло ▓о╖ек pi = s1 < ::: < sj = pi+1 ▓аки╡, ╖▓о в╗полнен╗
вкл╛╖ени┐ (4.2) и (3.10) п░и t = sk , = sk+1 , k = 1; :::; j ; 1. Из ▓о╖ек
sk ▒▓░оим по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ti ! p. П│▒▓╝ ti = sk , ti+1 = sk+1 . Воз╝мем
y 2 Y , x 2 Q(sk ; sk+1; y), 0 G(sk ; y) и │множим обе ╖а▒▓и вкл╛╖ени┐ (4.2) на нео▓░и╢а▓ел╝ное ╖и▒ло
(0 ; G(sk+1 ; x))1=m ; (0 ; G(sk ; y ))1=m :
Пол│╖им
h
i
(0 ; G(sk+1 ; x))1=m ; (0 ; G(sk ; y ))1=m Usp h
i
("m 0 ; G"(sk+1 ; x))1=m ; ("m 0 ; G"(sk ; y))1=m Usp +1 :
k
k
(4.6)
Тогда из ▒оо▓но╕ени┐ (3.9), ко▓о░ое ┐вл┐е▓▒┐ ▒лед▒▓вием вкл╛╖ени┐ (3.10),
▒лед│е▓, ╖▓о
W (sk ; y) + Vss +1 (y; x) [("m0 ; G" (sk+1 ; x))1=m;
;("m0 ; G"(sk ; y))1=m]Usp +1 + W (sk+1; x)
k
k
k
(4.7)
дл┐ в▒е╡ y 2 Y , 0 G(sk ; y ), x 2 Q(sk ; sk+1 ; y ).
Дл┐ л╛бого 2 [G(sk ; y ); 0] в╗полн┐е▓▒┐ не░авен▒▓во
( ; G" (sk+1 ; x))1=m ; ( ; G" (sk ; y ))1=m ("m0 ; G"(sk+1; x))1=m ; ("m0 ; G"(sk ; y))1=m :
(4.8)
По╜▓ом│ из вкл╛╖ени┐ (4.7) ▒лед│е▓ вкл╛╖ение (4.5) п░и ti = sk , ti+1 =
= sk+1 .
ТЕОРЕМА 4.1. П│▒▓╝ ▒емей▒▓во неп│▒▓╗╡ множе▒▓в W (t; y ), оп░е-
деленн╗╡ п░и │▒лови┐╡ (4.3), │довле▓во░┐е▓ │▒лови╛ ▒▓абил╝но▒▓и, а
на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние │довле▓во░┐е▓ │▒лови┐м
z0 2 (0 ; G" (t0; y0))1=mUtp0 + W (t0; y0); 0 G" (t0; y0);
">1
(4.9)
п░и неко▓о░ом
. Тогда ▒│╣е▒▓в│е▓ ▒▓░а▓еги┐, обе▒пе╖ива╛╣а┐
│▒ловие окон╖ани┐ (1.5).
144
С.Р. Алеева, В.И. У╡обо▓ов
Доказа▓ел╝▒▓во. Б│дем ░а▒▒ма▓░ива▓╝ п░оизвол╝н│╛ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ▓о╖ек t0 < t1 < ::: < ti ! p, │довле▓во░┐╛╣│╛ вкл╛╖ени╛ (4.5).
Ра▒▒мо▓░им ▓о╖к│ z 2 Rn , 0, y 2 Y , │довле▓во░┐╛╣│╛ │▒лови╛
z 2 ( ; G"(ti ; y ))1=mUtp + W (ti ; y); 0 G" (ti ; y) :
i
(4.10)
Н│жно по▒▓░ои▓╝ ┤│нк╢и╛ u : [ti ; ti+1 ] ! Rk ▓ак│╛, ╖▓об╗
= ;
z+
Z ti+1
ti
Z ti+1
ti
ju(r)jmdr G"(ti+1; x) ;
(4.11)
M (r)u(r)dr + Vtt +1 (y; x) i
i
( ; G"(ti+1 ; x))1=mUtp+1 + W (ti+1; x)
дл┐ л╛бого x 2 Q(ti ; ti+1; y ).
i
(4.12)
Из вкл╛╖ени┐ (4.10) ▒лед│е▓, ╖▓о
z = z + w; z 2 ( ; G"(ti ; y ))1=mUtp ; w 2 W (ti ; y ) :
i
Ра▒▒мо▓░им п░облем│ момен▓ов [16]:
Zp
ti
ju(r)jmdr ;! min; z +
Zp
ti
M (r)u(r)dr = 0 :
(4.13)
(4.14)
П│▒▓╝ u : [ti ; p] ! Rk | ░е╕ение зада╖и (4.14). Тогда из ░авен▒▓ва (2.3) и
из вкл╛╖ени┐ (4.13) ▒лед│е▓, ╖▓о
Zp
ti
z +
Z ti+1
ti
ju(r)jmdr ; G"(ti; y);
M (r)u(r)dr = ;
2 ( ; G"(ti; y) ;
Z ti+1
ti
Zp
ti
(4.15)
M (r)u(r)dr 2
ju(r)jmdr)1=mUtp+1 :
i
(4.16)
Из ╜▓и╡ ▒оо▓но╕ений и из обозна╖ени┐ (4.11)
= ;
z +
Z ti+1
Z ti+1
ti
ti
ju(r)jmdr G"(ti; y) G" (ti+1; x) ;
M (r)u(r)dr 2 ( ; G" (ti ; y))1=mUtp+1 :
i
(4.17)
(4.18)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАРАНТИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ
145
Сложим вкл╛╖ение в (4.18) ▒ ▓░е▓╝им вкл╛╖ением в (4.13) и │╖▓ем
│▒ловие (4.5). Пол│╖им, ╖▓о множе▒▓во, ▒▓о┐╣ее в левой ╖а▒▓и доказ╗ваемого вкл╛╖ени┐ (4.12), ▒оде░жи▓▒┐ во множе▒▓ве
( ; G" (ti ; y ))1=mUtp+1 + [( ; G" (ti+1 ; x))1=m ;
;( ; G" (ti; y))1=m]Utp+1 + W (ti+1 ; x) :
i
i
(4.19)
И▒пол╝з│┐ в╗п│кло▒▓╝ множе▒▓в до▒▓ижимо▒▓и (2.1), пол│╖им ▓░еб│емое
вкл╛╖ение (4.12).
Зна┐ в момен▓ в░емени ti ░еализовав╕ее▒┐ ▒о▒▓о┐ние zi , i , yi , ▒▓░оим
на о▓░езке [ti ; ti+1 ] │п░авление по п░авил│ (4.14). По▒кол╝к│ в на╖ал╝н╗й
момен▓ в░емени в╗полнен╗ │▒лови┐ (4.9), ▓о из (4.11) и (4.12) пол│╖им,
╖▓о
i G"(ti ; yi); zi 2 (i ; G" (ti; yi))1=mUtp + W (ti; yi ) 8i :
i
(4.20)
П│▒▓╝ zi ! z (p), yi ! y (p), i ! (p). Воз╝мем л╛бое w 2 V (p; y (p)). Из
п░едположени┐ 3 ▒лед│е▓, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ wi 2 V (ti ; yi )
▓ака┐, ╖▓о wi ! w(p). Из (3.11) и (4.20) пол│╖им, ╖▓о
h
i
zi + wi 2 (i ; G"(ti ; yi))1=m + g (ti; yi ) Utp + Z ;
i
(4.21)
Gi = G"(ti ; yi ), gi = g(ti; yi) и Gi Gi+1 0. Из │▒лови┐ моно▓онно▒▓и (3.1)
пол│╖им gi gi+1 0. Следова▓ел╝но, по▒ледова▓ел╝но▒▓и ╖и▒ел Gi ! G,
gi ! g ▒╡од┐▓▒┐. Далее, i ! (p), Utp ! 0 п░и ti ! p. По╜▓ом│ из (4.21)
пол│╖им, ╖▓о z (p) + w 2 Z . Следова▓ел╝но, │▒ловие окон╖ани┐ (1.5) в╗полi
нено.
Спи▒ок ли▓е░а▓│░╗
1.
К░а▒ов▒кий Н. Н. Об одной зада╖е п░е▒ледовани┐
// П░икл. ма▓ема▓ика и ме╡а-
ника. 1963. Т. 27, в╗п. 2. С. 244 { 254.
2.
К░а▒ов▒кий Н. Н., Репин Ю. М., Т░е▓╝┐ков В. Е. О неко▓о░╗╡ иг░ов╗╡
▒и▓│а╢и┐╡ в ▓ео░ии │п░авл┐ем╗╡ ▒и▒▓ем
// Изв. АН СССР. Те╡н. кибе░не▓ика.
1965. ┬ 4. С. 3 { 23.
3.
Ба▓│╡▓ин В. Д., С│ббо▓ин А. И. Рег│л┐░н╗й ▒л│╖ай в линейной ди┤┤е░ен╢иал╝ной иг░е
4.
// Изв. АН СССР. Те╡н. кибе░не▓ика. 1971. ┬ 6. С. 8 { 12.
П╕ени╖н╗й Б. Н., Оноп╖│к Ю. П. Линейн╗е ди┤┤е░ен╢иал╝н╗е иг░╗ ▒ ин▓ег░ал╝н╗ми ог░ани╖ени┐ми
// Изв. АН СССР. Те╡н. кибе░не▓ика. 1968. ┬ 1.
С. 13 { 22.
5.
Солома▓ин А. М., У╕аков В. Н. Кон▒▓░│и░ование множе▒▓ва пози╢ионно-
// Уп░авление и
о╢енивание в динами╖е▒ки╡ ▒и▒▓ема╡. Све░длов▒к, 1982. С. 74 { 89.
го погло╣ени┐ в линейной иг░е ▒ ин▓ег░ал╝н╗ми ог░ани╖ени┐ми
146
6.
С.Р. Алеева, В.И. У╡обо▓ов
Никол╝▒кий М. С. П░┐мой ме▓од в линейн╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ иг░а╡ ▒ об╣ими ин▓ег░ал╝н╗ми ог░ани╖ени┐ми
// Ди┤┤е░ен╢. │░авнени┐. 1972. Т. 8, ┬ 6.
С. 964 { 971.
7.
Мезен╢ев А. В. О зада╖е п░е▒ледовани┐ ▒ ин▓ег░ал╝н╗ми ог░ани╖ени┐ми на │п░а-
// Ве▒▓н. Мо▒к. │н{▓а. В╗╖и▒л. ма▓ема▓ика. и кибе░не▓ика. 1981.
В╗п. 1. С. 964 { 971.
Пон▓░┐гин Л. С. О линейн╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ иг░а╡ 1 // Докл. АН СССР. 1967.
Т. 174, ┬ 6. С. 1278 { 1280.
Пон▓░┐гин Л. С. О линейн╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ иг░а╡ 2 // Докл. АН СССР. 1967.
Т. 175, ┬ 4. С. 764 { 766.
К░а▒ов▒кий Н. Н., С│ббо▓ин А. И. Пози╢ионн╗е ди┤┤е░ен╢иал╝н╗е иг░╗. М.:
На│ка, 1974.
влени┐ иг░оков
8.
9.
10.
11.
К░а▒ов▒кий Н. Н., Т░е▓╝┐ков В. Е. К зада╖е о п░е▒ледовании в ▒л│╖ае ог░ани╖ений на имп│л╝▒╗ │п░авл┐╛╣и╡ ▒ил
// Ди┤┤е░ен╢. │░авнени┐. 1966. Т. 2, ┬ 5.
С. 587 { 599.
12.
У╡обо▓ов В. И. Линейна┐ ди┤┤е░ен╢иал╝на┐ иг░а ▒ ог░ани╖ени┐ми на имп│л╝▒╗
// П░икл. ма▓ема▓ика. и ме╡аника. 1988. Т. 52, в╗п. 3. С. 355 { 362.
М.:
На│ка, 1978.
│п░авлений
13.
Че░но│▒╝ко Ф. Л., Мелик┐н А. А. Иг░ов╗е зада╖и │п░авлени┐ и пои▒ка.
14.
Д┐▓лов В. П., Чен╢ов А. Г. Об одном кла▒▒е линейн╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ иг░
// Уп░авление и о╢енивание в динами╖е▒ки╡
▒и▒▓ема╡. Све░длов▒к, 1982. С. 9 { 16.
▒ ог░ани╖енн╗м ╖и▒лом ко░░ек╢ий
15.
Колмого░ов А. Н., Фомин С. В. Элемен▓╗ ▓ео░ии ┤│нк╢ий и ┤│нк╢ионал╝ного
анализа.
16.
М.: На│ка, 1972.
К░а▒ов▒кий Н. Н. Тео░и┐ │п░авлени┐ движением.
SUMMARY
М.: На│ка, 1968.
Linear controlled system with integral restriction on choice of control
parameter and with action of noncontrollable general disturbance are considered. Algorithm of construction of guaranted control parameter is explained.
This control parameter provides phase point in xed instant on given set in
xed instant.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
190 Кб
Теги
управляемое, моделирование, линейной, интегральная, система, ограничений, гарантированное, управления
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа