close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Начальное послекритическое поведение трансверсально-изотропной упругой среды при потере устойчивости.

код для вставкиСкачать
УДК 517.9:539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2011. Вып. 1
НАЧАЛЬНОЕ ПОСЛЕКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ
ПРИ ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ∗
Н. Ф. Морозов1 , П. Е. Товстик2
1. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, академик РАН, morozov@nm1016.edu
2. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, peter.tovstik@mail.ru
Введение. Рассматривается трансверсально-изотропная однородная упругая среда
при однородном сжатии в плоскости изотропии. При достижении определенного уровня
начальной деформации среда теряет устойчивость по Адамару [1]. При этом установлено [2–4], что критическая деформация однозначно определяется из системы уравнений
бифуркации равновесия, однако этой деформации соответствует множество форм потери устойчивости. В работах [2–4] решение системы уравнений бифуркации построено
в виде двоякопериодических функций вида sin r1 x1 sin r2 x2 . Неоднозначность формы
потери устойчивости заключается в том, что волновые числа r1 и r2 остаются произвольными. В задаче об устойчивости
пластины на упругом основании [5] однозначно
p
определяется величина r = r12 + r22 . Величину r также можно найти для неоднородного в вертикальном направлении пространства [3], для полупространства с учетом
объемной и поверхностной диффузии [6]. Однако соотношение между волновыми числами r1 и r2 , определяющее форму потери устойчивости, остается неопределенным. В
последние годы возрос интерес к ее определению. В ряде экспериментальных работ
(см. [7]) указывается появление «шахматной» формы потери устойчивости. Теоретически для пластины на упругом основании шахматная форма (r1 = r2 ) была впервые
получена [8] в результате рассмотрения начального послекритического поведения пластины. В работе [5] эти исследования были продолжены.
В настоящей работе сделана попытка определить соотношение между волновыми
числами r1 и r2 в результате рассмотрения начального послекритического поведения
материала. Был исследован один из двух возможных типов потери устойчивости. При
этом оказалось, что возможными явлаются только формы типа шахматной доски при
r1 = r2 и формы типа стиральной доски или гофра, при которых одно из волновых
чисел r1 или r2 обращается в нуль. Будем для краткости называть эти формы шахматными или гофровыми.
1. Нелинейные уравнения возмущенного движения и равновесия. Упругий
потенциал трансверсально-изотропного материала возьмем в виде
U=
3
X
1 X
Eij εii εjj +
Gij ε2ij ,
2 i,j=1
(1.1)
i6=j
∗ Работа
выполнена
при
финансовой
09-01-92002-HHC-a).
c Н. Ф. Морозов, П. Е. Товстик, 2011
64
поддержке
РФФИ
(гранты
№ 10-01-00244-a,
где
1
εij =
2
3
∂ui
∂uj X ∂uk ∂uk
+
+
∂xj
∂xi
∂xi ∂xj
k=1
!
,
(1.2)
ui — проекции перемещений, Eij , Gij — модули упругости, удовлетворяющие для трансверсально изотропного материала соотношениям
E11 = E22 = E12 + 2G12 ,
E13 = E23 ,
G13 = G23 . Eij = Eji ,
Gij = Gji .
(1.3)
Рассмотрим однородное докритическое состояние:
ei =
∂u0i
,
∂xi
1
ε0ii = ei + e2i ,
2
σi0 =
3
X
Eik ε0kk ,
i = 1, 2, 3,
(1.4)
k=1
где u0i — докритические перемещения. Пусть
e2
ε011 = ε022 = −e + ,
ε0ij = 0, i 6= j,
2
r
2
2E13
4E13 0
σ10 = σ20 = σ 0 = E11 + E12 −
ε011 ,
e3 = 1 −
ε − 1,
E33
E33 11
σ30 = 0,
e1 = e2 = −e,
(1.5)
причем e > 0 — параметр нагружения.
Введем возмущения vi докритического состояния по формулам
ui = u0i + li vi ,
l1 = l2 = 1 − e,
l3 = 1 + e 3 .
(1.6)
Тогда деформации (1.2) перепишутся в виде
εij =
ε0ij
1
+
2
3
li2
∂vi
∂vj X 2 ∂vk ∂vk
lk
+ lj2
+
∂xj
∂xi
∂xi ∂xj
k=1
!
.
(1.7)
Плотность лагранжиана равна
L = T − U,
ρ0
T =
2
2 2 2 !
∂v1
∂v2
∂v2
l1
+ l2
+ l3
,
∂t
∂t
∂t
(1.8)
где ρ0 — плотность материала до деформации.
Варьирование функционала L по vk дает уравнения движения
3
1 X ∂
∂U
∂ 2 vk
Mk (v) ≡ 2
= ρ0 2 ,
lk i=1 ∂xi ∂(∂vk /∂xi )
∂t
k = 1, 2, 3.
(1.9)
Оператор Mk (v) разложим по степеням v:
(0)
(1)
(2)
(3)
Mk = Mk + Mk + Mk + Mk ,
(n)
Mk
= O(vn ),
k = 1, 2, 3.
(1.10)
(0)
Уравнения Mk = 0 дают уравнения равновесия докритического состояния, использованные при написании формул (1.5).
65
(1)
Уравнения Mk
(1)
Mk
= 0, k = 1, 2, 3, суть уравнения бифуркации, причем
2
2
2
X
2
0 ∂ vk
2
0 ∂ vk
2 ∂ vi
Gki lk + σi ) 2 + (Eki + Gki )li
.
= (Ekk lk + σk ) 2 +
∂xk
∂xi
∂xk ∂xi
(1.11)
i6=k
Запишем нелинейные операторы
(2)
Mk
+
+
(3)
Mk
3
X
∂ X
Gij
∂xi
i=1
j6=i
3
2 !
∂vk X 2 ∂vp
δki +
l
+
∂xi p=1 p ∂xj
!
3
∂vk 2 ∂vj
∂vk X 2 ∂vp ∂vp
2 ∂vi
l
+ li
+ 1 − δki +
l
, (1.12)
∂xj j ∂xi
∂xj
∂xj p=1 p ∂xi ∂xj
3
3
X
∂ X
=
Ekj
∂xi j=1
i=1
lj2
∂vj ∂vk
1
+
∂xj ∂xi
2
где δki — символ Кронекера. При анализе системы (1.9) следует иметь в виду соотношения (1.3)–(1.6).
2. Асимптотическое интегрирование системы (1.9) в случае малой послекритической деформации. Запишем систему уравнений бифуркации равновесия
M(1) (v, e) = 0,
(2.1)
M(1) (v0 , e0 ) = 0,
(2.2)
и пусть
где e0 — критическое значение параметра нагружения, v0 6= 0. Построим стационарное
решение системы (1.9) при e = e0 + δ в виде
v = εv0 + ε2 v1 + ε3 v2 + O(ε4 ).
(2.3)
Здесь δ > 0 и ε > 0 — малые параметры. Тогда функции v1 и v2 будут удовлетворять
уравнениям
M(1) (v1 , e0 ) + M(2) (v0 , e0 ) = 0,
M(1) (v2 , e0 ) + M(2) (v1 , e0 ) + M(3) (v0 , e0 ) +
где
M(1)
e =
∂M(1) ,
∂e e=e0
δ (1) 0 0
Me (v , e ) = 0,
ε2
(2.4)
δ
= O(1).
ε2
Имея в виду построить периодическое решение, запишем среднюю плотность Π′
потенциальной энергии на ячейке периодичности:
Z
1
′
U dS, U = U (2) + U (3) + U (4) ,
(2.5)
Π =
S S
где S — площадь ячейки периодичности, U (k) — однородные функции степени k по отношению к ∂vi /∂xj . По теореме Эйлера об однородных функциях
U=
3 X
1 ∂U (2)
∂vk
1 ∂U (3)
∂vk
1 ∂U (4)
∂vk
+
+
.
2 ∂(∂vk /∂xi ) ∂xi
3 ∂(∂vk /∂xi ) ∂xi
4 ∂(∂vk /∂xi ) ∂xi
k,i=1
66
(2.6)
После интегрировния по частям находим
Z 1
1 (1)
1
1
Π′ = −
M (v, e) + M(2) (v, e) + M(3) (v, e) · vdS.
S S 2
3
4
(2.7)
С учетом формул (2.3), (2.4) получаем (с учетом самосопряженности операторов
M(n) )
Z ε4
1 (1)
1
δ
M (v1 , e0 )v1 + M(3) (v0 , e0 )v0 + 2 M(1)
(v
,
e
)v
(2.8)
Π′ = −
0 0 0 dS.
e
S S 2
4
2ε
Считая, что упругие модули (1.3) системы уравнений бифуркации (2.1) не зависят
от горизонтальных координат x1 и x2 , ненулевое решение этой системы ищем в виде
их двоякопериодических функций
v1 (x1 , x2 , z) = v1 (z) cos(r1 x1 ) sin(r2 x2 ),
v2 (x1 , x2 , z) = v2 (z) sin(r1 x1 ) cos(r2 x2 ),
w(x1 , x2 , z) = w(z) sin(r1 x1 ) sin(r2 x2 ),
(2.8)
w = v3 ,
где ri — искомые волновые числа. Как и в [2–4], после введения вспомогательных неизвестных функций
U (z) =
r1 v1 + r2 v2
,
r
V (z) =
r2 v1 − r1 v2
,
r
r2 = r12 + r22 ,
(2.9)
система уравнений бифуркации распадается на две подсистемы
G13 l2 V ′
′
G13 l2 U ′
− r2 (G12 l2 + σ 0 )V = 0,
′
l = l1 = l2 ,
( )′ =
d( )
;
dz
(2.10)
′
− (E11 l2 + σ 0 )r2 U + (G13 l3 rw) + E13 l3 rw′ = 0,
′
′
− rE13 l2 U − rG13 l2 U ′ + E33 l32 w′ − r2 (G13 l32 + σ 0 )w = 0.
(2.11)
При решении краевых задач (2.10) и (2.11) вместо граничных условий выполняем
условия существовавния ненулевых ограниченных решений. Каждая из задач (2.10),
(2.11) порождает критическое занчение параметра нагружения e. Задача (2.10) порождает форму типа 1 (вращательную), а задача (2.11) — форму типа 2 (объемную).
Критические значения деформации e01 и e02 для форм типа 1 и типа 2 определяются
соответственно из соотношений
G12 l2 + σ10 = 0,
G13 l32 + σ20 = 0.
(2.12)
В работах [2–4] установлено, что в зависимости от параметров анизотропии (1.3)
реализуется либо форма типа 1 либо форма типа 2.
3. Плоский случай. Форма типа 1 (вращательная). Ограничимся здесь рассмотрением более простого случая, когда потеря устойчивости происходит по форме
типа 1, причем дополнительные перемещения не зависят от x3 = z (в этом случае
дополнительная деформация является плоской, и результаты применимы также для
потери устойчивости полупространства). Тогда V 6= 0, U = w = 0, σ 0 l1−2 = −G12 и
v10 = (r2 /r)V cos(r1 x1 ) sin(r2 x2 ),
v20 = −(r1 /r)V sin(r1 x1 ) cos(r2 x2 ),
(3.1)
67
(1)
а операторы M1
(1)
и M2
принимают вид
(1)
M1 (v, σ 0 ) = l12 (E12 + G12 )
(1)
M2 (v, σ 0 )
=
l12 (E12
+ G12 )
∂ 2 v1
∂ 2 v2
+
2
∂x1
∂x1 ∂x2
∂ 2 v2
∂ 2 v1
+
2
∂x2
∂x1 ∂x2
,
(3.2)
.
По формуле (1.12) находим
(2)
M1 (v0 ) = sin 2r1 x1 (a1 − b1 cos 2r2 x2 ),
(2)
M2 (v0 ) = sin 2r2 x2 (a2 − b2 cos 2r1 x1 ), (3.3)
где
V 2 l12 r1 r22
((E11 + G12 )r12 − E11 r22 ),
2r2
V 2 l12 r12 r2
a2 =
((E11 + G12 )r12 − E11 r12 ),
2r2
V 2 l12 r1 r22
((E11 + G12 )r2 + G12 r12 ),
2r2
V 2 l12 r12 r2
b2 =
((E11 + G12 )r2 + G12 r22 ).
2r2
(3.4)
Теперь первое векторное уравнение (2.4) дает систему
a1 =
(2)
∂ 2 v11
∂ 2 v21
M (v0 )
+
=− 2 1
,
2
∂x1
∂x1 ∂x2
l1 (E12 + G12 )
b1 =
(2)
∂ 2 v21
∂ 2 v11
M (v0 )
+
=− 2 2
,
2
∂x2
∂x1 ∂x2
l1 (E12 + G12 )
(3.5)
которая совместна лишь при r1 = r2 либо при r1 r2 = 0.
При r1 = r2 получаем
(1)
v1 = sin 2r1 x1 (c − d(1 + ξ) cos 2r1 x2 ),
(1)
v2 = sin 2r1 x2 (c − d(1 − ξ) cos 2r1 x1 ),
(3.6)
где величина ξ произвольна, а
c=
a1
4r12 l12 (E12
+ G12 )
=
V 2 r1 G12
,
16(E12 + G12 )
d=
b1
8r12 l12 (E12
(1)
+ G12 )
=
V 2 r1 (2E11 + 3G12 )
.
32(E12 + G12 )
(3.7)
(1)
Если r1 = 0, r2 6= 0 или r2 = 0, r1 6= 0, то v1 = v2 = 0.
Вычисляя при r1 = r2 слагаемые, входящие в энергию (2.8), находим
−
ε4
S
4
S
Z
1 (1) 1
(2E11 + 3G12 )2 + 4G212
M (v , e0 )v1 dS = l12 ε4 V 4 r14
= k1 ε4 V 4 r14 ,
2
1024(E12 + G12 )
1 (3) 0
1 2 4 4 4
M (v , e0 )v0 dS =
l1 ε V r1 (5E11 + 6G12 ) = k2 ε4 V 4 r14 ,
4
32
S
Z
2
ε4
δ
l1 2 2 2
E13
(1) 0
0
−
M (v , e0 )v dS = − ε δV r1 E11 + E12 − 2
= −k3 ε2 δV 2 r12
S S 2ε2 e
8
E33
−
ε
S
Z
(3.8)
Теперь по формуле (2.8) получаем
Π′ = (k1 + k2 )ε4 V 4 r14 − k3 ε2 V 2 δr12 .
68
(3.9)
Из условия ∂Π′ /∂V = 0 получаем равновесную амплитуду перемещения εV0 при
послекритической деформации (δ > 0) и соответствующую величину дополнительной
потенциальной энергии Π′0 :
ε2 V02 =
k3 δ
,
2(k1 + k2 )r12
Π′0 = −
δ 2 k32
.
4(k1 + k2 )
(3.10)
В случае r1 6= 0, r2 = 0 возьмем v10 = 0, v20 = V sin r1 x1 . Формулы (3.9), (3.10)
сохраняют свой вид, однако, теперь
3
1
E2
k1 + k2 = l12 E12 , k3 = l1 E11 + E12 − 2 13 .
(3.11)
8
4
E33
Исходя из формулы (3.9), находим
d2 Π′ = 4k3 ε2 δr12 > 0,
dV 2 V =V0
(3.12)
откуда следует, что начальное послекритическое положение равновесия является устойчивым.
В зависимости от упругих модулей материала (1.3) дополнительная потенциальная
энергия Π′0 будет меньше либо для случая (a) r1 = r2 , либо для случая (b) r1 6= 0, r2 = 0.
Иными словами, может реализоваться либо шахматная форма (a) потери устойчивости,
либо гофровая форма (b). Рассмотрим пример.
4. Пример расчета типа и формы потери устойчивости в зависимости от
модулей упругости. В качестве примера зададим модули (см. [2–4]) трансверсально
изотропного материалa соотношениями
E11 (1+η 2 )(1−2ν)+2η((1−ν)2 +ν 2 )
=
,
E
2(1 + η)(1 − ν 2 )(1 − 2ν)
E13
2ην
=
,
E
(1 + η)(1 + ν)(1 − 2ν)
G12
1+η
=
,
E
4(1 + ν)
E12
(1 + η 2 )ν(1 − 2ν) + 2ην
=
,
E
2(1 + η)(1 − ν 2 )(1 − 2ν)
E33
2η(1 − ν)
=
,
E
(1 + η)(1 + ν)(1 − 2ν)
G13
η
=
,
E
(1 + η)(1 + ν)
(4.1)
0 < η ≤ 1,
где E — характерное значение модулей упругости, ν — коэффициент Пуассона, а параметр η описывает степень анизотропии. При η = 1 формулы (4.1) дают упругие модули
изотропного материала, с уменьшением η степень анизотропии растет.
Для материала с модулями упругости (4.1) формулы (2.12) принимают вид
s
r
1+ν
(1 − η)2 (1 + ν)
0
0
e1 = 1 −
,
e2 = 1 −
.
(4.2)
2
2
(1 + η )(1 + ν) + η(2 − 6ν)
√
Независимо от величины ν имеем e01 = e02 при η = 3 − 8 = 0.1716. Следовательно,
рассматривая форму потери устойчивости типа 1 (вращательную), считаем
r
1+ν
0
0
,
0.1716 < η ≤ 1.
(4.3)
e = e1 = 1 −
2
69
Перепишем формулу (3.1) виде
Π′0 = AK,
A=
δ
> 0,
4
K=−
k32
,
k1 + k2
(4.4)
где множитель A одинаковый для обоих возможных форм (a) и (b) потери устойчивости. Величины k1 , k2 и k3 для шахматной формы (a) определяются формулами (3.8), а
для гофровой формы (b) — формулами (3.11) соответственно. Значения коэффициента
K обозначим через Ka и Kb .
Расчеты показали, что для упругих модулей (4.1) при всех значениях параметров
0 ≤ ν < 0.5, 0.1716 < η ≤ 1 имеет место неравенство
Ka > Kb ,
(4.5)
следовательно, гофровой форме (b) соответствет меньнее значение дополнительной потенциальной энергии, чем шахматной форме (a), и для упругих молулей (4.1) нужно
ожидать потери устойчивости по гофровой форме. Этот же результат имеет место и
для изотропного материала, ибо его модули упругости получаются из формул (4.1) при
η = 1.
6. Обсуждение. Определение форм потери устойчивости при однородном сжатии
трансверсаньно-изотропного пространства, полупространства, а также лежащей на нем
пластины является предметом обсудения в ряде работ [2–6, 8]. Для пространства и полупространства в линейном приблидении неопределенными являются как длина волны,
так и форма потери устойчивости. Для пластины на упругом основании и для неоднородного в вертикальном направлении пространства удается определить длину волны.
При рассмотрении начальных послекритических деформаций пластины на упругом основании установлен шахматный характер потери устойчивости [5, 8].
Выше была сделана попытка определить форму потери устойчивости сжатого пространства в результате рассмотрения начальных послекритических деформаций. Рассмотрен один из двух возможных типов потери устойчивости (вращательный тип 1),
причем оказалось, что возможными являются только шахматная и гофровая форма, а
формы с промежуточными значениями волновых чисел не реализуются. Для изотропного пространства и для рассмотренного выше частного вида тренсверсальной изотропии форма потери устойчивости является гофровой. Отметим, что неопределенной
осталась длина волны, ибо волновое число r не входит в выражение дополнительной
потенциальной энергии Π′0 .
Неизвестно, будет ли реализована шахматная форма для других видов трансверсальной изотропии при потере устойчивости по форме типа 1 (вращательной). Предстоит также исследовать начальное закритическое поведение при потере устойчивости
по форме типа 2 (объемной). Это важно, ибо шахматная форма отмечена [7] во многих
интерфейсных средах, а поверхностная устойчивость полупространства описывается
теми же уравнениями, что и устойчивость пространства по форме типа 2.
Литература
1. Ciarlet P. S. Mathematical Elasticity. Amsterdam etc.: North-Holland; 1988.
2. Морозов Н. Ф., Товстик П. Е. О формах поверхностной устойчивости // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела. Казань, 2009. С. 270–273.
70
3. Morozov N. F., Tovstik P. E. Volume and surface stability of transversely isotropic material
// Advanced Problems in Mechanics. 38 summer school. St.Petersburg, 2010.
4. Morozov N. F., Tovstik P. E. Bulk and surface stability loss of materials // Multiscaling of
syntethic and natural systems with self-adaptive capacity. Taiwan, 2010. P. 27–30.
5. Морозов Н. Ф., Товстик П. Е. О формах потери устойчивости пластины на упругом
основании // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 4. С. 30–42.
6. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., Товстик П. Е. Влияние объемной диффузии на потерю
устойчивости поверхностного слоя при термонагружении // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 4. С. 96–
101.
7. Панин Л. Е., Панин В. Е. Эффект «шахматной доски» и процессы массопереноса в интерфейсных средах живой и неживой природы // Физическая мезомеханика. Т. 10. 2007. № 6.
С. 5–20.
8. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., Товстик П. Е. Устойчивость поверхностного слоя при
термонагружении // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 1. С. 130–139.
Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.
71
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
203 Кб
Теги
поведения, начальной, среды, потерь, изотропной, послекритическое, устойчивость, упругом, трансверсальной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа