close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Некоторые формулы среднего для дифференциальных уравнений со спектральным параметром.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №5(124). Вып. 26 245
УДК 517.9
НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ СРЕДНЕГО
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ
И.П. Половинкин
18 )
Воронежский государственный университет,
Университетская пл., 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: polovinkin@yandex.ru
19)
Аннотация. Рассмотрены некоторые способы получения формул среднего для уравнений
со спектральным параметром из известных формул среднего.
Ключевые слова: формула среднего, теорема о среднем.
Определение. Пусть P (w) – многочлен порядка m. Финитное распределение (см. [1]) Φ
назовем сопровождением уравнения
P (D)u = 0
с дифференциальным оператором P (D), если для любого решения u(x) ∈ C ∞ (Rn ) имеет место
равенство
⟨Φ, u⟩ = 0 ,
называемое формулой среднего для этого уравнения.
∑
Далее, ∆ = nk=1 ∂ 2 /∂x2k – оператор Лапласа в Rn , ϵ(ρ) = 1/(|Sn |(2 − n)ρn−2 ), если n ≥ 3,
ϵ(ρ) = ln ρ /(2π), если n = 2, ϵ(|x|) — фундаментальное решение оператора Лапласа, SR (x0 )
– сфера в Rn с центром в точке x0 и радиусом R, BR (x0 ) – шар с границей SR (x0 ), |Sn | –
площадь сферы S1 (0). Через δ(x − x0 ) обозначается мера Дирака, сосредоточенная в точке x0 ,
через δSR (x0 ) (x) – мера Дирака, сосредоточенная на сфере SR (x0 ).
Теорема 1 [2]. Для того, чтобы финитное распределение Φ являлось сопровождением оператора P (D), необходимо и достаточно, чтобы имело место представление Φ̂(w) = P (−w)ψ̂(w), w ∈
Cn , где ψ̂(w) – целая аналитическая функция, Φ̂(w) – образ Фурье распределения Φ.
Далее P (w) – сумма одночленов с одинаковой четностью.
Теорема 2 [2]. Пусть известно некоторое сопровождение Φ(x) оператора P (D). Пусть
u0 (x) ∈ C ∞ (Rn ) – решение в Rn уравнения P (D)u0 + λu0 = 0. Тогда справедлива формула
среднего ⟨Φ + (−1)m λψ, u0 ⟩ = 0, где ψ(x) – прообраз Фурье функции ψ̂(w).
Эти теоремы позволяют вывести формулу среднего для собственных функций оператора,
зная формулу среднего для самого оператора. Ниже приводится пример, в котором предложенная схема реализуется.
Теорема 3. Решение уравнения Гельмгольца
∆u + λu = 0
18
Половинкин И.П., канд.физ.-мат. наук, доцент Воронежского государственного университета.
Старооскольский технологический институт (филиал «Московского института стали и сплавов»),
мк р-он Макаренко, 42, г. Старый Оскол, Белгородская область, 309516, Россия
19
246 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №5(124). Вып. 26
удовлетворяет формуле среднего значения
∫
∫
1
u(x0 ) −
u(y) dSy + λ
|Sn |Rn−1
SR (x0 )
(ϵ(|x − x0 |) − ϵ(R)) u(y) dy = 0 .
BR (x0 )
Хорошо известна формула среднего для гармонической функции
∫
1
u(x) dSx .
u(x0 ) =
|Sn |Rn−1
SR (x0 )
Из нее следует, что распределение
Φ(x) = δ(x − x0 ) −
1
δ
(x)
|Sn |Rn−1 SR (x0 )
является сопровождающим оператор Лапласа ∆. Поэтому для оператора (∆ + λ) можно указать сопровождающее распределение вида Φ0 = Φ + λψ, где
(
)∨
b
Φ(ξ)
ψ(x) = − 2
= ϵ(|x|) ∗ Φ(x) .
|ξ|
Имеем
(
ψ(x) = ϵ(|x|) ∗ δ(x − x0 ) −
)
1
δ
(x) =
|Sn |Rn−1 SR (x0 )
= ϵ(|x − x0 |) −
1
ϵ(|x|) ∗ δSR (x0 ) (x) .
|Sn |Rn−1
Вычислим второе слагаемое. Пусть
∫
1
1
g(x) =
ϵ(|x|) ∗ δSR (x0 ) (x) =
n−1
|Sn |R
|Sn |Rn−1
ϵ(|x − y|) dSy .
SR (x0 )
Если |x − x0 | > R, то функция v(y) = ϵ(|x − y|) гармонична в окрестности шара (круга)
|y − x0 | ≤ R. Поэтому по теореме о среднем гармонической функции g(x) = ϵ(|x − x0 |), а
значит ψ(x) = 0.
Пусть теперь |y − x0 | < R. Обозначим через x
e точку, симметричную точке x относительно
сферы SR (x0 ), то есть точку, лежащую на луче x0 x, для которой
|x − x0 | · |e
x − x0 | = R 2 ,
Последнее равенство означает еще и подобие треугольников x x0 y и y x0 x
e, что позволяет переписать его в расширенном виде:
|e
x − x0 |
R
|y − x
e|
=
=
.
R
|x − x0 |
|y − x|
Отсюда
|y − x| =
|x − x0 | · |y − x
e|
,
R
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №5(124). Вып. 26 247
а, следовательно,
(
∫
1
g(x) =
|Sn |Rn−1
ϵ
|x − x0 | · |y − x
e|
R
)
dSy .
SR (x0 )
Функция ϵ (|x − x0 | · |y − x
e|/R) , рассматриваемая как функция переменной y, является гармонической в окрестности шара (круга) |y−x0 | ≤ R. Поэтому по теореме о среднем гармонической
функции
)
(
|x − x0 | · |x0 − x
e|
= ϵ(R) .
g(x) = ϵ
R
Поэтому при |y − x0 | < R
ψ(x) = ϵ(|x − x0 |) − ϵ(R) .
Отсюда вытекает утверждение теоремы. Еще один способ получения формул среднего значения основан на методе спуска Адамара.
Приведем пример его использования. Рассмотрим уравнение
∂2u ∂2u
− 2 + c2 u = 0 .
∂x2
∂t
Пусть функция u(x, t) является регулярным решением этого уравнения. Тогда функция
v(x, z, t) ≡ ecz u(x, t)
является регулярным решением двумерного волнового уравнения
∂2v
∂2v
∂2v
+
=
,
∂x2 ∂z 2
∂t2
что проверяется непосредственной подстановкой. Из формулы Пуассона решения задачи Коши
для волнового уравнения с двумя пространственными переменными вытекает равенство
√
z+ t2 −(ξ−x)2
∫x+t
∫
1
ec(η−z) dη
√
u(x, t) + u(x, −t) =
u(ξ, 0) dξ
.
π
2 − (ξ − x)2 − (η − z)2
√
t
x−t
2
2
z−
t −(ξ−x)
Внутренний интеграл в последней формуле вычисляется и с учетом этого мы получим формулу
среднего для функции u(x, t)
u(x, t) + u(x, −t) =
1
=
π
∫x+t
( ( √
)
( √
))
u(ξ, 0) I0 c t2 − (ξ − x)2 − L0 c t2 − (ξ − x)2 dξ ,
x−t
где
Iν (z) =
∞
∑
m=0
(z/2)2m+ν
m!Γ(m + ν + 1)
– модифицированная функция Бесселя первого рода порядка ν,
Lν (z) =
∞
∑
m=0
(z/2)2m+ν+1
Γ(m + 3/2)Γ(m + ν + 3/2)
248 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2012. №5(124). Вып. 26
– модифицированная функция Струве порядка ν.
Литература
1. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.1 / М.: Мир, 1986. – 464 с.
2. Мешков В.З., Половинкин И.П. О получении новых формул среднего значения для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. – 2011. – 47;12. – С.1724-1731.
SOME MEAN VALUE FORMULAS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS
WITH SPECTRAL PARAMETER
I.P. Polovinkin
Voronezh State University,
Universitetskaya pl., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: polovinkin@yandex.ru 20)
Abstract. Some methods of mean value formulas obtaining based on known ones are proposed.
It is done for equations with a spectral parameter.
Key words: mean value formulas, mean value theorems.
20
Technological Institute (department of Moscow Institute of Steel and Alloys) at Stary Oskol, district
Makarenko, 42, Stary Oskol, Belgorod region, 309 516, Russia.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
156 Кб
Теги
среднего, уравнения, дифференциальной, формула, спектральная, некоторые, параметры
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа