close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Нелокальная задача для уравнения смешанного типа порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2013, № 8, c. 57–65
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
О.А. РЕПИН, С.К. КУМЫКОВА
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА,
ПОРЯДОК КОТОРОГО ВЫРОЖДАЕТСЯ
ВДОЛЬ ЛИНИИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА
Аннотация. Исследована однозначная разрешимость нелокальной задачи с операторами Сайго в краевом условии для уравнения смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль
линии изменения типа. При ограничениях вида неравенств на известные функции доказана
теорема единственности. Существование решения задачи доказано эквивалентной редукцией
к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши. Выписано условие, гарантирующее
существование регуляризатора, приводящего полученное уравнение к уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения
задачи.
Ключевые слова: уравнение смешанного типа, нелокальная задача, операторы дробного
интегро-дифференцирования, сингулярное уравнение с ядром Коши, уравнение Фредгольма,
регуляризатор, задача Дирихле, задача Коши.
УДК: 517.946
1. Введение. Рассмотрим уравнение
y 2m uxx + yuyy + αuy = 0,
(1)
≤ α < 1, в конечной области Ω
где m — натуральное число, α = const, причем 1−2m
2
плоскости переменных x, y, ограниченной кривой σ:
2
2
2
y 2m+1 − x = 0
x +
2m + 1
с концами в точках A(0, 0), B(1, 0), расположенной в верхней полуплоскости, и характеристиками
2m+1
2m+1
2
2
(−y) 2 = 0, BC : x +
(−y) 2 = 1
AC : x −
2m + 1
2m + 1
уравнения (1) в нижней полуплоскости.
Пусть Ω1 = Ω ∩ (y > 0), Ω2 = Ω ∩ (y < 0) — соответственно эллиптическая и гиперболическая части смешанной области Ω, I — интервал 0 < x < 1 прямой y = 0.
Задача. Найти решение u(x, y) уравнения (1) из класса C(Ω) ∩ C 1 (Ω1 ∪ I) ∩ C 1 (Ω2 ∪ I) ∩
1 ∪ Ω2 ), удовлетворяющее условиям
C 2 (Ω
u(x, y)|σ = ϕ(x, y),
(2)
α1 ,β1 ,η1
α2 ,β2 ,η2
δ(x)u[Θ0 (x)] + b(x)I1−
w(x)u[Θ1 (x)] + c(x)u(x, 0) + d(x)ν(x) = γ(x) ∀ x ∈ I
a(x)I0+
(3)
Поступила 12.04.2012
57
58
О.А. РЕПИН, С.К. КУМЫКОВА
и условию сопряжения
lim y α
y→+0
∂u(x, y)
∂u(x, y)
= lim (−y)α
≡ ν(x),
y→−0
∂y
∂y
(4)
α,β,η α,β,η ϕ (x) и I1−
ϕ (x) — обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования,
где I0+
введенные японским математиком М. Сайго [1] ([2], с. 326–327) и имеющие при действительных α, β, η и x > 0 вид
α,β,η x−α−β x
t
α−1
f (t) dt (α > 0),
(x − t)
F α + β, −η; α; 1 −
I0+ f (x) =
Γ(α) 0
x
n
α+n,β−n,η−n α,β,η d
f (x) (α ≤ 0, n = [−α] + 1);
I0+
I0+ f (x) =
dx
α,β,η (1 − x)−α−β 1
t−x
α−1
f (t) dt (α > 0),
(t − x)
F α + β, −η; α;
I1− f (x) =
Γ(α)
1−x
x
α,β,η d n α+n,β−n,η−n f (x) (α ≤ 0, n = [−α] + 1).
I1−
I1− f (x) = −
dx
Заметим, что при α > 0 справедливы формулы
α −α,α,η α α,−α,η f (x) = I0+
f (x), I0+
f (x) = D0+
f (x),
I0+
α −α,α,η α α,−α,η f (x) = I1− f (x), I1−
f (x) = D1− f (x),
I1−
α α α α f (x), D0+
f (x) и I1−
f (x), D1−
f (x) — операторы дробного интегрирования и
где I0+
дифференцирования Римана–Лиувилля порядка α > 0 ([2], сс. 42, 44),
x
α 1
(x − t)α−1 f (t) dt (α > 0, x > 0),
I0+ f (x) =
Γ(α) 0
n
x
α d
1
(x − t)n−α−1 f (t) dt (α > 0, n = [α] + 1);
D0+ f (x) =
dx Γ(n − α) 0
1
α 1
(t − x)α−1 f (t) dt (α > 0, x > 0),
I1− f (x) =
Γ(α) x
1
α d n
1
(t − x)n−α−1 f (t) dt (α > 0, n = [α] + 1),
D1− f (x) = −
dx Γ(n − α) x
а [α] означает целую часть α; Θ0 (x) и Θ1 (x) — точки пересечения характеристик уравнения
(1), выходящих из точки (x, 0) ∈ I с характеристиками AC и BC соответственно; ϕ(x, y) ∈
C(σ), a(x), b(x), c(x), d(x), γ(x) ∈ C (1,λ) (I) ∩ C 2 (I), λ = const > 0, причем
a2 (x) + b2 (x) + c2 (x) + d2 (x) = 0.
Сразу же отметим, что на функции a(x), b(x), c(x), d(x) и параметры αi , βi , ηi (i = 1, 2)
ниже будут наложены необходимые условия, при которых исследуемая задача однозначна
разрешима.
Допускается также, что функция ν(x) из (4) может обращаться в бесконечность порядка
ниже единицы на концах интервала (0, 1).
В случаях, когда α = 0 и α = 12 − m, а условие (3) заменено условием
1−β
1−β
u[Θ0 (x)] + b(x)D1−
u[Θ1 (x)] = c(x),
a(x)D0+
(5)
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА
59
1−β
1−β
где D0+
, D1−
— операторы дробного в смысле Римана–Лиувилля дифференцирования
2m−1+2α
[2], β = 2(2m+1) , существование и единственность решения задачи (1), (2), (5) доказаны
А.В. Бицадзе [3].
Условие, более общее чем (5), представлено в статье С.К. Кумыковой [4].
В данной работе существенно обобщаются результаты, полученные в [3], [4].
2. Единственность решения задачи. При
уравнения (1), удовлетворяющее условиям
u(x, 0) = τ (x),
lim (−y)α
y→−0
1−2m
2
< α < 1 регулярное в Ω2 решение
∂u(x, y)
= ν(x),
∂y
0 < x < 1,
единственно и имеет вид ([3], с. 48)
β−1
2m+1 Γ(2β) 1
2(1 − 2t)
2
u(x, y) = 2
(−y)
τ x+
dt−
t(1 − t)
Γ (β) 0
2m + 1
1 −β
2m+1 Γ(1 − 2β)
2(1 − 2t)
2
· 2
(−y)1−α
(−y) 2
ν x+
dt. (6)
t(1 − t)
−
2m + 1 Γ (1 − β)
2m + 1
0
Найдем u[Θ0 (x)] и u[Θ1 (x)]. Получим
2 2m+1
2m + 1
x
Γ(2β) x x1−2β ξ β−1 τ (ξ) dξ
x
−
= 2
u[Θ0 (x)] = u , −
2
4
Γ (β) 0
(x − ξ)1−β
2(1−α) x 2β−1 −β
2m+1
Γ(1 − 2β) 2m + 1
x
ξ ν(ξ) dξ
2
· 2
x
,
−
2m + 1 Γ (1 − β)
4
(x − ξ)β
0
2 2m+1
2m + 1
1+x
Γ(2β) 1 (1 − x)1−2β (1 − ξ)β−1 τ (ξ) dξ
,−
(1 − x)
−
= 2
u[Θ1 (x)] = u
2
4
Γ (β) x
(ξ − x)1−β
2(1−α) 1
2m+1
Γ(1 − 2β) 2m + 1
(1 − ξ)−β ν(ξ) dξ
2
· 2
(1 − x)
,
−
2m + 1 Γ (1 − β)
4
(ξ − x)β
x
или в укороченном виде
β,0,β−1
1−β,2β−1,β−1
τ (x) + k2 I0+
ν(x),
u[Θ0 (x)] = k1 I0+
β,0,β−1
1−β,2β−1,β−1
τ (x) + k2 I1−
ν(x),
u[Θ1 (x)] = k1 I1−
где
Γ(2β)
Γ(1 − 2β) 2m + 1 −2β
, k2 = −
.
k1 =
Γ(β)
2Γ(1 − β)
4
Из формулы (6) при β → 0 получим функцию ([3], с. 51)
2m+1
2m+1
2
2
1
1
(−y) 2
(−y) 2 −
+ τ x+
u(x, y) = τ x −
2
2m + 1
2
2m + 1
1 2m+1
2m+1
2(1 − 2t)
2
· (−y) 2
(−y) 2
ν x+
dt, (7)
−
2m + 1
2m + 1
0
являющуюся регулярным в области Ω2 решением уравнения (1), удовлетворяющим условиям
1−2m ∂u(x, y)
= ν(x), 0 < x < 1,
u(x, 0) = τ (x),
lim (−y) 2
y→−0
∂y
60
О.А. РЕПИН, С.К. КУМЫКОВА
где заданные τ (x) и ν(x) функции два и один раз непрерывно дифференцируемые соответственно.
Вычислим u[Θ0 (x)] и u[Θ1 (x)] в случае α = 1−2m
2 . Получим
1
x 1
1
u[Θ0 (x)] = τ (0) + τ (x) −
ν[x(1 − t)] dt.
2
2
2 0
В результате замены ξ = x(1 − t) будем иметь
1
1
1
u[Θ0 (x)] = τ (0) + τ (x) −
2
2
2
Аналогично
1
1−x
1
u[Θ1 (x)] = τ (x) + τ (1) −
2
2
2
Произведя замену ξ = 1 − t(1 − x), получим
x
ν(ξ) dξ.
0
1
ν[1 − t(1 − x)] dt.
0
1
1
1
u[Θ1 (x)] = τ (x) + τ (1) −
2
2
2
1
ν(ξ) dξ.
x
< α < 1 решение u(x, y) задачи (1)–(4) при
Теорема (принцип экстремума). При 1−2m
2
γ(x) = 0 положительный максимум и отрицательный минимум в области Ω1 принимает
на дуге σ, если
либо
либо
α1 = α2 = β − 1,
α1 = α2 = β − 1,
σ(x) = x2β−1 ,
β1 = β2 = 1 − 2β, η1 = η2 = 0,
β1 = β2 = 0, η1 = η2 = 1 − 2β,
σ(x) = w(x) = 1,
w(x) = (1 − x)2β−1
(8)
(9)
и выполняется любое из двух условий:
a(x) ≥ 0,
b(x) ≥ 0,
c(x) ≥ 0,
d(x) ≤ 0 ∀x ∈ I
(10)
a(x) ≤ 0, b(x) ≤ 0, c(x) ≤ 0, d(x) ≥ 0 ∀x ∈ I;
нужно выполнить условия (10), (11).
(11)
или
при α =
1−2m
2
Доказательство. Пусть выполняются условия (8). Удовлетворяя u[Θ0 (x)] и u[Θ1 (x)] условию (3), опираясь на формулы композиций ([2], с. 327; [5], с. 15–17)
α+γ,β+δ,η α,β,η γ,δ,α+η f (x) = I0+
f (x) (γ > 0),
(12)
I0+ I0+
α+γ,β+δ,η α,β,η γ,δ,α+η f (x) = I1−
f (x) (γ > 0),
(13)
I1− I1−
получим
β−1,1−2β,0 β,0,β−1
1−β,2β−1,β−1
τ (x) + k2 I0+
ν(x) +
k1 I0+
a(x)I0+
β−1,1−2β,0 β,0,β−1
1−β,2β−1,β−1
τ (x) + k2 I1−
ν(x) + c(x)τ (x) + d(x)ν(x) = γ(x).
k1 I1−
+ b(x)I1−
Отсюда с учетом (12), (13) будем иметь
2β−1,1−2β,0
2β−1,1−2β,0
τ (x) + k2 ν(x) + b(x) k1 I1−
τ (x) + k2 ν(x) +
a(x) k1 I0+
+ c(x)τ (x) + d(x)ν(x) = γ(x).
Воспользуемся формулами
α −α,α,η f (x) = D0+
f (x),
I0+
α −α,α,η I1−
f (x) = D1−
f (x),
α > 0,
(14)
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА
61
и в результате получим
1−2β
1−2β
τ (x) + k1 b(x)D1−
τ (x) + c(x)τ (x) = γ(x).
k2 (a(x) + b(x)) + d(x) ν(x) + k1 a(x)D0+
Перепишем последнее соотношение в виде
Γ(β)
1−2β
d(x) ν(x) = a(x)D0+
τ (x)+
k0 (a(x) + b(x)) −
Γ(2β)
1−2β
τ (x) +
+ b(x)D1−
Γ(β)
c(x)τ (x) − γ(x), (15)
Γ(2β)
где
k0 = −k2 /k1 > 0.
Функция u(x, y) свои экстремальные значения не может достигать в области Ω1 . Пусть
положительный максимум (отрицательный минимум) в области Ω1 достигается в точке
(ξ, 0) ∈ I. При выполнении условий (10), (11) и γ(x) = 0 в силу принципа экстремума для
операторов дробного дифференцирования ([6], с. 105) из (15) имеем ν(ξ) > 0 (ν(ξ) < 0), что
противоречит принципу Заремба–Жиро ([7], с. 26).
Полученное противоречие при выполнении условий (8) доказывает сформулированный
принцип экстремума и единственность решения задачи.
Пусть теперь выполняются условия (9). Тогда, подставляя u[Θ0 (x)] и u[Θ1 (x)] в (3), получим
β−1,0,1−2β 2β−1 β,0,β−1
1−β,2β−1,β−1
x
τ (x) + k2 I0+
ν(x) +
k1 I0+
a(x)I0+
β,0,β−1
β−1,0,1−2β
1−β,2β−1,β−1
(1 − x)2β−1 k1 I1−
τ (x) + k2 I1−
ν(x) +
+ b(x)I1−
+ c(x)τ (x) + d(x)ν(x) = γ(x). (16)
Отсюда, учитывая известные равенства
α,−α−η,−α−β α,β,η f (x) = I0+
f (x) (α > 0),
xα+β+η I0+
α,β,η
α,−α−η,−α−β
f (x) (α > 0),
(1 − x)α+β+η I1− f (x) = I1−
будем иметь
β,0,β−1
β,1−2β,−β
τ (x) = I0+
τ (x),
x2β−1 I0+
β,0,β−1
β,1−2β,−β
τ (x) = I1−
τ (x),
(1 − x)2β−1 I1−
1−β,2β−1,β−1
1−β,0,−β
ν(x) = I0+
ν(x),
x2β−1 I0+
1−β,2β−1,β−1
1−β,0,−β
ν(x) = I1−
ν(x).
(1 − x)2β−1 I1−
Подставляя в (16), находим
β−1,0,1−2β β,1−2β,−β
1−β,0,−β
τ (x) + k2 I0+
ν(x) +
k1 I0+
a(x)I0+
β−1,0,1−2β β,1−2β,−β
1−β,0,−β
τ (x) + k2 I1−
ν(x) +
k1 I1−
+ b(x)I1−
+ c(x)τ (x) + d(x)ν(x) = γ(x).
Отсюда
2β−1,1−2β,1−2β
2β−1,1−2β,1−2β
τ (x) + k2 ν(x) + b(x) k1 I1−
τ (x) + k2 ν(x) +
a(x) k1 I0+
+ c(x)τ (x) + d(x)ν(x) = γ(x).
62
О.А. РЕПИН, С.К. КУМЫКОВА
С учетом (14)
1−2β
1−2β
τ (x) + k2 ν(x) + b(x) k1 D1−
τ (x) + k2 ν(x) + c(x)τ (x) + d(x)ν(x) = γ(x).
a(x) k1 D0+
Получили соотношение (15), и все сказанное относительно единственности решения задачи справедливо.
В случае, когда α = 1−2m
2 , β = 0, условие (3) примет вид
a(x)
d
d
u[Θ0 (x)] − b(x) u[Θ1 (x)] + c(x)τ (x) + d(x)ν(x) = γ(x),
dx
dx
откуда
a(x)
или
1
1 x
1
1 1
d 1
d 1
τ (0) + τ (x) −
τ (x) + τ (1) −
ν(ξ) dξ − b(x)
ν(ξ) dξ +
dx 2
2
2 0
dx 2
2
2 x
+ c(x)τ (x) + d(x)ν(x) = γ(x),
2d(x) − a(x) − b(x) ν(x) + a(x) − b(x) τ (x) + 2c(x)τ (x) = 2γ(x).
При γ(x) = 0 перепишем (17) в виде
a(x) + b(x) − 2d(x) ν(x) = a(x) − b(x) τ (x) + 2c(x)τ (x).
(17)
Отсюда видно, что при выполнении (10) или (11) принцип экстремума также имеет место.
≤ α < 1 доказана.
Таким образом, единственность решения задачи в случае 1−2m
2
≤ α < 1 решение задачи u|σ = ϕ(x, y),
3. Существование решения задачи. При 1−2m
2
∂u(x,y)
α
= ν(x) выписывается в квадратурах по формуле ([7], сс. 184–185, 201–202)
lim y
∂y
y→+0
1
ν(ξ)G(ξ, z) dξ +
u(x, y) =
0
ζ ∈ σ, функция Грина
0
G(ζ, z) = g(ζ, z) − 1
∂
m dη ∂
−
G(ζ, z) dξ,
ϕ(ξ) η
dξ ∂ξ ∂η
(18)
z − 12
1 2β
g
ζ,
,
2z − 1 |2z − 1|2
где
2β
z − ζ 2
4
Γ2 (β)
1
−β
,
|z − ζ| F β, β, 2β; 1 − ·
g(ζ, z) =
4π 2m + 1
Γ(2β)
z −ζ
2m − 1 + 2α
.
β=
2(2m + 1)
Не ограничивая общности, во избежание технической сложности далее будем полагать
ϕ(x, y) ≡ 0. Пусть α = 1−2m
2 .
Для значения τ (x) = u(x, 0) решения задачи (1), (2),
lim y α
y→+0
∂u(x, y)
= ν(x)
∂y
(19)
имеем ([3], с. 51)
1 1
log |t − x| − log(t + x − 2tx) ν(t) dt.
π 0
Дифференцируя (20), получим
1 − 2t
1 1
1
+
ν(t) dt.
τ (x) = −
π 0 t − x t + x − 2tx
τ (x) =
(20)
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА
63
Подставляя τ (x) и τ (x) в (17), будем иметь
1 1
1 − 2ξ
1
+
ν(ξ) dξ = R[ν]+2γ(x), (21)
2d(x)−a(x)−b(x) ν(x)− a(x)−b(x)
π 0 ξ − x ξ + x − 2ξx
где
2c(x) 1 log |ξ − x| − log(ξ + x − 2ξx) ν(ξ) dξ.
R[ν] = −
π
0
Произведя замену переменных [8]
t=
ξ2
,
1 − 2ξ + 2ξ 2
y=
x2
1 − 2x + 2x2
и вводя обозначение ρ(y) = (1 − 2x + 2x2 )ν(x), придадим уравнению (21) вид
B(y) 1 ρ(t) dt
= (1 − 2x + 2x2 )R[ρ] + 2(1 − 2x + 2x2 )γ(x),
A(y)ρ(y) +
πi 0 t − y
где
√
y
√
,
A(y) = 2d(x) − a(x) − b(x), B(y) = b(x) − a(x) i, x = √
y+ 1−y
(22)
√y 1
c √y+√1−y
t(1 − y) − y(1 − t) 2
√
√
−
log √
(1 − 2x + 2x )R[ρ] = √
√
√
π( y + 1 − y)2 0
( t + 1 − t)( y + 1 − y) t(1
−
y)
+
y(1 − t) ρ(t) dt
√
√
,
− log √
√
( y + 1 − y)( t + 1 − t) t(1 − t)
√
y
2
2
√
√
.
·γ √
2(1 − 2x + 2x )γ(x) = √
( y + 1 − y)2
y+ 1−y
Так как γ(x) ∈ C (1,λ) (I) ∩ C 2 (I), λ > 0 и в R[ρ] ядро имеет слабую особенность (при t = y
— логарифмическую, а при t = 0 и t = 1 — особенность порядка 1/2), то при α = (1 − 2m)/2
задача (1)–(3) эквивалентна в смысле разрешимости сингулярному интегральному уравнению (22) [9].
Условие
A2 (y) − B 2 (y) = 0
гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнение (22) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода [9]. Из возможности приведения задачи (1)–(3)
к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода и единственности
искомого решения следует существование решения задачи (1)–(3) в требуемом классе функций.
В случае α = 0 и m = 1 уравнение (1) является уравнением Трикоми и решение u(x, y)
задачи (1),
∂u(x, y)
= ν(x), 0 < x < 1,
(23)
u(x, 0) = τ (x),
lim
y→−0
∂y
дается формулой ([7], с. 286)
1 2
3/2
τ x + (−y) (1 − 2t) [t(1 − t)]−5/6 dt+
u(x, y) = γ1
3
0
1 −1/6
2
4 2/3
3/2
γ2 y
ν x + (−y) (1 − 2t) t(1 − t)
dt, (24)
+
3
3
0
64
О.А. РЕПИН, С.К. КУМЫКОВА
где
2/3
Γ( 53 )
3
γ2 =
.
4
Γ2 ( 56 )
Γ( 13 )
,
γ1 =
Γ( 16 )
Отсюда
2/3 x
x
3
x
τ (t) dt
ν(t) dt
−
γ
,
= γ1 x2/3
u[Θ0 (x)] = u , − x
2
5/6
1/6
2
4
0 [t(x − t)]
0 [t(x − t)]
2/3 3
1+x
, − (1 − x)
=
u[Θ1 (x)] = u
2
4
1
= γ1 (1 − x)
2/3
x
или
τ (t) dt
− γ2
[(1 − t)(t − x)]5/6
1
x
ν(t) dt
,
[(1 − t)(x − t)]1/6
1 1/6, 0, −5/6
5 5/6, −2/3, −5/6
I0+
I
τ (x) − γ2 Γ
ν(x),
u[Θ0 (x)] = γ1 Γ
6
6 0+
1 1/6, 0, −5/6
5 5/6, −2/3, −5/6
I1−
I
τ (x) − γ2 Γ
ν(x).
u[Θ1 (x)] = γ1 Γ
6
6 1−
Далее, при α = 0, m = 1, β =
α1 = α2 = −5/6,
2m−1+2α
2(2m+1)
=
1
6
β1 = β2 = 2/3,
η1 = η2 = 0,
δ(x) = w(x) = 1
либо
α1 = α2 = −5/6,
β1 = β2 = 0,
η1 = η2 = 2/3,
δ(x) = x−2/3 ,
w(x) = (1 − x)−2/3
и при условиях (9) или (10) доказательство единственности и существования решения исследуемой задачи проводится аналогично случаю α = 1/2 − m.
При (1 − 2m)/2 < α < 1 и при условиях теоремы единственности вопрос существования
решения задачи также редуцируется к вопросу разрешимости сингулярного интегрального
уравнения относительно ν(x) подобно тому, как это указано в работах А.В. Бицадзе [3], [7].
По обычной схеме, восходящей к Ф. Трикоми [10], можно выписать условие, гарантирующее существование регуляризатора, сводящего полученное сингулярное интегральное уравнение к уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует
из единственности решения задачи.
Литература
[1] Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function, Math. Rep. Kyushu
Univ. 11 (2), 135–143 (1978).
[2] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их
приложения (Наука и техника, Минск, 1987).
[3] Бицадзе А.В. К теории уравнений смешанного типа, порядок которых вырождается вдоль линии
изменения типа, Сб. тр., посвящ. 80-летию Н.И. Мусхелишвили (Наука, М., 1972), с. 48–52.
[4] Кумыкова С.К. Задача со смещением для уравнения смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа, Тр. 7-й Всероссйск. научн. конф. “Матем. моделиров. и краевые
задачи” (Самара, 2010), ч. 3, c. 147–149.
[5] Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов (Издво Саратов. ун-та, Саратов, 1992).
[6] Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение (Физматлит, М., 2003).
[7] Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных (Наука, М., 1981).
[8] Manwell A.R. On general conditions for the existence of certain solutions of the equations of plane transonic
flow. I: The Dirichlet problem (Arch. Rat. Mech. Anal. 12, 249-272 (1963).
[9] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения (Наука, М., 1968).
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА
65
[10] Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа (Пер.
с итал. Ф.И. Франкля. Гостехтеориздат, М.–Л., 1947).
О.А. Репин
профессор, заведующий кафедрой математической статистики и эконометрики,
Самарский государственный экономический университет,
ул. Советской Армии, д. 141, г. Самара, 443090, Россия,
e-mail: Matstat@mail.ru
С.К. Кумыкова
доцент, кафедра теории функций и функционального анализа,
Кабардино-Балкарский государственный университет,
ул. Чернышевского, д. 173, г. Нальчик, 360004, Россия,
e-mail: bsk@rect.kbsu.ru
O.A. Repin and S.K. Kumykova
A nonlocal problem for a mixed-type equation whose order degenerates along the line of
change of type
Abstract. We consider a mixed-type equation whose order degenerates along the line of change
of type. For this equation we study the unique solvability of a nonlocal problem with Saigo
operators in the boundary condition. We prove the uniqueness theorem under certain conditions
(stated as inequalities) on known functions. To prove the existence of a solution to the problem,
we equivalently reduce it to a singular integral equation with the Cauchy kernel. We establish a
condition ensuring the existence of a regularizer which reduces the obtained equation to a Fredholm
equation of the second kind, whose unique solvability follows from that of the problem.
Keywords: mixed-type equation, nonlocal problem, fractional integro-differentiation operators,
singular integral equation with Cauchy kernel, Fredholm equation, regularizer, Dirichlet problem,
Cauchy problem.
O.A. Repin
Professor, Head of the Chair of Mathematical Statistics and Econometrics,
Samara State Economic University,
141 Sovetskoi Armii str., Samara, 443090 Russia,
e-mail: Matstat@mail.ru
S.K. Kumykova
Associate Professor, Chair of Function Theory and Functional Analysis,
Kabardino-Balkarian State University,
173 Chernyshevskogo str., Nalchik, 360004 Russia,
e-mail: bsk@rect.kbsu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
184 Кб
Теги
типа, уравнения, вдоль, линия, смешанной, вырождается, задачи, изменения, нелокальные, порядок, которого
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа