close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Необходимые условия существования стационарного распределения выходных потоков в системе с приоритетным направлением.

код для вставкиСкачать
Математика
Вестник Нижегородского
университетастационарного
им. Н.И. Лобачевского,
2007, №
1, с. 167–172
Необходимые
условия существования
распределения
выходных
потоков
167
УДК 519.21
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СТАЦИОНАРНОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫХОДНЫХ ПОТОКОВ В СИСТЕМЕ
С ПРИОРИТЕТНЫМ НАПРАВЛЕНИЕМ
 2007 г.
Е.В. Пройдакова
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
pev_1@mail.ru
Поступила в редакцию 26.12.2006
Проведено исследование выходных потоков, возникающих в системе массового обслуживания с
приоритетным направлением. Предложено нелокальное описание и изучены свойства выходных
потоков, возникающих в рассматриваемой неклассической системе. Также приведены необходимые
условия существования стационарного режима функционирования системы массового обслуживания
такого рода.
ℑ — σ -алгебра событий A ⊂ Ω , а P(A) —
Во многих реальных задачах научного, вероятность исхода A ∈ ℑ . В работе изучается
Введение
производственного и экономического характера
действует система массового обслуживания с
преимуществом. В этом случае в систему
обслуживания поступает несколько потоков
требований, причем каждое требование обладает
определенным рангом. Требования с высокими
рангами
пользуются
преимуществом
и
поступают на обработку впереди всех ранее
поступивших требований с более низкими
рангами. На практике очень часто необходимо
знание распределений выходных потоков,
возникающих в
неклассической
системе
массового обслуживания такого рода. Это
связано с тем, что обработанные одним
устройством заявки могут образовывать входной
поток требований для другого обслуживающего
устройства. Но на практике задача исследования
выходного потока в общем случае является
трудноразрешимой. В данной статье в описание
выходного потока требований включены такие
элементы системы массового обслуживания, как
очереди
и
состояния
обслуживающего
устройства, что позволило получить новые
результаты в области изучения свойств
выходных потоков, возникающих в системе
массового обслуживания с преимуществом.
Построение математической модели
Все рассматриваемые случайные объекты
будем задавать на некотором вероятностном
пространстве (Ω, ℑ, P (⋅)) , где Ω — множество
описаний всех элементарных исходов системы,
система массового обслуживания, которая
является математической моделью управления с
помощью автомата-светофора независимыми и
конфликтными транспортными потоками П1,
П2,…, Пm на пересечении m магистралей.
Конфликтность потоков означает, что их нельзя
суммировать, что не позволяет свести задачу к
случаю одного потока. Поступающие в систему
потоки делятся на три типа: П1 – маломощный
поток,
заявки
которого
пользуются
приоритетом при обслуживании; Пm –
интенсивный поток без преимуществ по
обслуживанию; П2,…, Пm – 1 – потоки средней
интенсивности и без преимуществ по
обслуживанию. Приоритет первого потока
состоит в том, что если поступила хотя бы одна
заявка по этому направлению, то она должна
быть обслужена как можно быстрее, но при
этом не прерывая обслуживания других
требований. Обслуживание требований (машин,
заявок) из конфликтных потоков должно
происходить в непересекающиеся промежутки
времени.
Под
обслуживанием
машин
понимается их переезд через перекресток.
Кроме
того,
допускаются
промежутки
переналадок, за счет которых разрешается
проблема конфликтности потоков, например
проблема безопасности движения транспорта. У
каждого из m потоков есть основной этап
обслуживания и этап переналадки, для
интенсивного потока Пm дополнительно введен
дополнительный промежуток времени, в
котором продолжается его обслуживание.
Е.В. Пройдакова
168
Таким образом, обслуживающее устройство
имеет 2m + 1 состояний Г (1), Г (2), ...,
Г (2m),
Г (2m +1), где:
Г(2j – 1) — состояние обслуживающего
устройства, при котором пропускается поток Пj
с интенсивностью µj > 0 и не пропускаются
остальные;
Г(2j)
—
состояние
обслуживающего
устройства, при котором пропускается поток Пj
с интенсивностью µ'j > µj и не пропускаются
остальные;
Г(2m + 1) — состояние обслуживающего
устройства, при котором пропускается только
поток Пm с интенсивностью µ''m > µm. Здесь µj
(µ'j) определяет среднее число заявок,
обслуживающихся в единицу времени в
состоянии Г (2j – 1) (Г(2j)) соответственно, а µ''m
определяет среднее количество требований,
обрабатываемых в единицу времени в
состоянии Г (2m + 1).
Длительности состояний Г (1), Г (2), ..., Г (2m),
(2m +1)
Г
известны и равны соответственно
Т1, Т2, …, Т2m + 1 единиц времени. Граф смены
состояний
обслуживающего
устройства
представлен на рисунке.
Для реальных задач обслуживания машин и
управления
потоками
адекватной
математической моделью являются системы с
переменной структурой [1-2]. Элементами
описания таких систем [1] являются входные
потоки, потоки насыщения, дисциплины
очередей и стратегии механизма обслуживания,
структура обслуживающего устройства и
алгоритм смены его состояний Г (1), Г (2), ..., Г
(2m)
, Г (2m +1). Входные потоки П1, П2,…, Пm
считаем пуассоновскими соответственно с
параметрами λ1, λ2, …, λm. Интенсивность λj,
j = 1, m определяет среднее число машин,
поступивших к стоп-линии перекрестка за
единицу времени. Для нашей системы λ1 << λm.
Заявки, пришедшие в систему, могут или сразу
поступать на обслуживание, или образовывать
неограниченные очереди. В качестве стратегий
механизма
обслуживания
выбраны
экстремальные [1], поскольку они хорошо
согласуются с реальными процессами на
перекрестке. Потоки насыщения П′1, П′2, …, П′m
определяют выходные потоки системы при ее
максимальной загрузке, будем считать их
независимыми.
Г(1)
Г(2)
...
Г(2j)
Нелокальное описание выходных потоков
В случае, когда дополнительно не
определяются
времена
обслуживания
отдельных заявок, функционирование системы
в непрерывном времени является сложным
процессом, и в общем случае не является
марковским процессом. Условимся, что
величины τi, i ≥ 0
являются моментами
переключения состояний обслуживающего
устройства (автомата-светофора) из одной фазы
в другую. Положим, что τ 0 — момент начала
функционирования
системы.
Пусть
он
совпадает
с
некоторым
моментом
переключения фазы светофора. В дальнейшем
изучать характеристики системы будем в
дискретные моменты времени τi, i = 0, 1, …
переключений фаз обслуживающего устройства
или на каждом из промежутков [τi; τi + 1).
Элементы τi случайны, поскольку значения Т1,
Т2, …, Т2m + 1 различны и можно задавать
произвольные вероятности для состояний
светофора в начальный момент времени τ0, а
последовательность переключений состояний
обслуживающего устройства зависит от
случайного
поступления
заявок
по
приоритетному потоку П1.
Введем на (Ω, ℑ, P (⋅)) при j = 1, m и
i = 0, 1,… следующие случайные величины и
элементы:
a) ηj,i — число заявок потока Пj, пришедших
за [τi; τi + 1), каждая дискретная случайная
величина η j ,i принимает значения из X = {0, 1,
…};
b) ξj,i — максимально возможное число
заявок, которое может быть обслужено за время
[τi; τi + 1) из очереди потока Пj; любая
дискретная случайная величина ξj,i ∈ {0, l′j, lj} ⊂
Х при j = 1, m − 1 , а дискретная случайная
величина ξm,i ∈ {0, l′m, l′′m, lm} ⊂ Х. Здесь lj при
j = 1, m определяет максимально возможное
число требований потока Пj, которое может
обслужиться за время работы сигнала Г(2j – 1) и lj
= [µjT2j – 1], l′j — это максимально возможное
число заявок потока Пj, которое может
обслужиться за время работы сигнала Г(2j) и l′j =
[µ′jT2j], а l′′m — это максимально возможное
число требований потока Пm, которое может
обслужиться за время включения сигнала Г (2m
...
Г(2m – 1)
Г(2m +1)
Г(2m)
Рис. Граф смены состояний обслуживающего устройства
Необходимые условия существования стационарного распределения выходных потоков
и l′′m = [µ′′mT2m + 1]; причем lj ≥ l′j, так как T2j –
>>
T2j, а lm ≥ l′′m, поскольку T2 m −1 >> T2 m +1 ;
1
c) Гi — состояние обслуживающего
устройства на промежутке времени [τ i ,τ i +1 ) ,
каждый из случайных элементов Гi принимает
значения из набора Г = {Г (1), Г (2), ..., Г (2m + 1)};
d) æj,i — длина очереди по потоку Пj в
момент времени τ i , величина æj,i является
+1)
дискретной случайной величиной со значениями
из X;
e) ξj,i — число реально обслуженных заявок
потока Пj за [τi; τi + 1), случайная величина ξ j ,i
принимает значения из Yj = {0, 1,…, lj} ⊂ Х;
f) ξ j ,−1 — число реально обслуженных
заявок потока Пj за промежуток времени [0; τ0),
причем ξj, – 1 ∈ Yj;
Семейства {ξj,i; j = 1, m , i = 0, 1,…} и {ξj,i;
j = 1, m , i = 0, 1,…} определяют нелокальное
описание выходных потоков и потоков
насыщения соответственно. Заявки из очереди
j-го потока отбираются согласно экстремальной
стратегии механизма обслуживания, при
которой ξj,i = min{æj,i + ηj,i ; ξj,i }, i = 0, 1,…,
j = 1, m . Входные потоки системы являются
пуассоновскими, поэтому Р(ηj,i = uj  Гi = Г (r)) =
(λ jTr )u (u!) −1 exp{−λ jTr } = ϕj (uj,Tr), где
u∈X,
j = 1, m ,
r = 1, 2m + 1 .
Введём
функции fj : Г → {0, lj, l′j, l′′m}, j = 1, m , где
lj
(r)
fj (Г )
при r = 2j – 1, j = 1, m ;
l′j при r = 2j, j = 1, m ;
l′′m при r = 2m + 1, j = m ;
0 при r ∈ {1, 2,…, 2m + 1}\
{2j – 1, 2j}, j = 1, m − 1 ;
0 при r ∈ {1, 2,…,
2m + 1}\{2m – 1, 2m, 2m + 1},
j =m.
В этом случае ξj,i будут определяться как
ξj,i = fj(Гi), где i = 0, 1,…, j = 1, m .
Обслуживающее устройство имеет циклический
алгоритм работы, но при этом его следующее
состояние Гi + 1 зависит от предыдущего
состояния Гi и числа заявок, поступивших в
очередь приоритетного потока П1. Введем в
рассмотрение функцию U(Г (r), w1, u1):
Г (1) при r = 2m;
169
Г (r + 1) при r = 1, 2m − 2 ;
U(Г (r), w1, u1) =
Г (2m) при r ∈ {2m – 1,
2m + 1}, w1 = 0, u1 > 0;
Г (2m) при r ∈ {2m – 1,
2m + 1}, w1 > 0;
Г (2m + 1) при r ∈ {2m – 1,
2m + 1}, w1 = u1 = 0.
В силу независимости входных потоков и
потоков насыщения в дальнейшем изучим
свойства
только
пятимерной
векторной
последовательности {(Гi, æ1,i, æm,i,ξ1,i – 1,ξm,i –
i ≥ 0}. Данная последовательность
1);
определяет поведение системы как по
приоритетному потоку П1, так и по наиболее
интенсивному потоку Пm. Аналогичным
способом могут быть получены результаты для
последовательностей {{(Гi, æ1,i, æj,i,ξ1,i – 1,ξj,i –
1);
i ≥ 0}, j = 2, m − 1 , {(Гi, æ1,i, æ2,i, …, æm,i,ξ1,i
,ξm,i – 1); i ≥ 0} и
(Гi;
æ1,i;ξ1,i – 1); i ≥ 0}. Считаем, что в момент τ0
задано распределение для векторов (Г0, æ1,0,
æm,0,ξ1,-1,ξm,-1), то есть известны следующие
вероятности: Р(Г0 = Г (s); æ1,0 = x1; æm,0 = xm;ξ1,-1
= y1;ξm,-1 = ym), Г(s) ∈ Г, x1∈ Х, xm ∈ Х, y1 ∈
Y1, ym ∈ Ym.
– 1,ξ2,i – 1,…
Аналитические результаты
Распределения случайных величин η1,i, ηm,i и
ξ1,i ξm,,i, i = 0, 1,… существенно зависят от
выбора вектора b = (Т1, Т2, …, Т2m + 1). Назовем
этот вектор управлением b потоками, здесь b
принимает значения из следующего множества:
B = {(Т1, Т2, …, Т2m + 1): T1 > 0,
T2 > 0,..., T 2 m +1 > 0 }. Был проведен анализ
поведения
изучаемой
системы
при
фиксированном
и
доказаны
b∈ B
утверждения, приведенные ниже.
Лемма 1. Для управляемой случайной
векторной последовательности {(Гi, æ1,i,
æm,i,ξ1,i – 1,ξm,i – 1); i ≥ 0} справедливо
следующее рекуррентное соотношение:
(Гi + 1, æ1,i + 1, æm,i + 1,ξ1,i,ξm,i) = (U(Гi, æ1,i, η1,i),
max{0; æ1,i + η1,i – ξ1,i}, max{0; æm,i + ηm,i – ξm,i},
min{æ1,i + η1,i ; ξ1,i }, min{æm,i + ηm,i ; ξm,i}).
Лемма 2. При заданном вероятностном
распределении начального вектора (Г0, æ1,0,
æm,0,ξ1, – 1,ξm, – 1) управляемая векторная
последовательность {(Гi, æ1,i, æm,i,ξ1,i – 1,ξm,i –
Е.В. Пройдакова
170
′
x1 xm + lm
1);
i ≥ 0} является марковской.
Введем обозначения:
Qi + 1(Г (s), x1, xm, y1, ym) =
= Р({Гi + 1 = Г (s), æ1,i + 1 = x1, æm,i + 1 = xm,
ξ1,i = y1, ξm,i = ym});
Г′ = Г \ {Г (1), Г (2), Г (3) , Г (2m), Г (2m + 1)};
Г′′ = Г \ {Г (1), Г (2), Г (3) , Г (4) , Г (2m), Г (2m + 1)}.
Теорема
1.
Для
одномерного
вероятностного распределения векторной
последовательности {(Гi, æ1,i, æm,i,ξ1,i – 1,ξm,i –
i ≥ 1} имеют место следующие
1);
рекуррентные соотношения:
Qi +1 ( Г (1) ; x1 ; xm ;0; ym ) =
x1
=∑
lm
∑ Q (Г
(2 m )
i
w1 =1 gm = 0
; w1 ; 0;0; g m )ϕ1 ( x1 − w1 , Т 2 m ) ×
×ϕ m ( ym , Т 2 m )P(x1 > 0; xm = 0; ym < lm′ ) +
x1
+∑
ym
∑ Q (Г
(2 m )
i
; w1 ; wm ;0; lm )ϕ1 ( x1 − w1 , Т 2 m ) ×
w1 =1 wm =1
×ϕ m ( ym − wm , Т 2 m )P(x1 > 0; xm = 0;0 < ym < lm′ ) +
x1
+∑
ym
∑ Q (Г
w1 =1 wm =1
(2 m )
i
; w1 ; wm ;0; lm′′ )ϕ1 ( x1 − w1 , Т 2 m ) ×
×ϕ m ( ym − wm , Т 2 m )P(x1 > 0; xm = 0;0 < ym < lm′ ) +
x1
+∑
lm
∑ Q (Г
w1 =1 g m = 0
i
(2 m )
; w1 ;0;0; g m )ϕ1 ( x1 − w1 , Т 2 m ) ×
×ϕ m ( xm + lm′ , Т 2 m )P(x1 > 0; ym = lm′ ) +
+∑
∑
w1 =1 wm =1
Qi ( Г (2 m ) ; w1 ; wm ; 0; lm )ϕ1 ( x1 − w1 , Т 2 m ) ×
×ϕ m ( xm − wm + lm′ , Т 2 m )P(x1 > 0; ym = lm′ ) +
′
x1 xm + lm
+∑
∑
w1 =1 wm =1
Qi ( Г (2 m ) ; w1 ; wm ; 0; lm′′ )ϕ1 ( x1 − w1 , Т 2 m ) ×
×ϕ m ( xm − wm + lm′ , Т 2 m )P(x1 > 0; ym = lm′ );
Qi + 1 ( Г (3) ; x1 ; xm ; y1 ;0) =
=
xm
l1
∑ ∑ Q (Г
(2)
i
wm = 0 g1 =1
;0; wm ; g1 ; 0)ϕ1 ( y1 , Т 2 ) ×
×ϕ m ( xm − wm , Т 2 )P(x1 = 0; y1 < l1′) +
y1
+∑
xm
∑ Q (Г
w1 =1 wm = 0
; w1 ; wm ; l1 ;0)ϕ1 ( y1 − w1 , Т 2 ) ×
(2)
i
×ϕ m ( xm − wm , Т 2 )P(x1 = 0;0 < y1 < l1′) +
xm
+∑
l1
∑ Q (Г
wm = 0 g1 =1
(2)
i
; 0; wm ; g1 ;0)ϕ1 ( x1 + l1′, Т 2 ) ×
×ϕ m ( xm − wm , Т 2 )P(y1 = l1′) +
x1 + l1′ xm
+∑
∑ Q (Г
w1 =1 wm = 0
i
(2)
; w1 ; wm ; l1 ; 0) ×
×ϕ1 ( x1 − w1 + l1′, Т 2 )ϕ m ( xm − wm , Т 2 )P(y1 = l1′);
Необходимые условия существования стационарного распределения выходных потоков
Qi + 1 ( Г (4) ; x1 ; xm ; 0;0) =
=
l1′
xm
∑ Qi ( Г (3) ; 0; wm ; g1; 0)ϕ1 ( x1 , Т3 ) ×
∑
Qi + 1 ( Г (2m +1) ;0; xm ;0; ym ) =
=
wm = 0 g1 = 0
×ϕ m ( xm − wm , Т 3 ) +
x1
xm
+∑
∑
w1 =1 wm = 0
171
ym
∑ Q (Г
wm = 0
(2 m −1)
;0; wm ;0; 0)ϕ1 (0, Т 2 m−1 ) ×
i
×ϕ m ( ym − wm , Т 2m −1 )P(xm = 0; ym < lm ) +
Qi ( Г (3) ; w1; wm ; l1′;0)ϕ1 ( x1 − w1 , Т 3 ) ×
lm
+ ∑ Qi ( Г (2 m +1) ; 0;0; 0; g m )ϕ1 (0, Т 2 m +1 ) ×
gm = 0
×ϕ m ( xm − wm , Т 3 )P(x1 > 0);
×ϕ m ( ym , Т 2 m +1 )P(xm = 0; ym < lm′′ ) +
Qi + 1 ( Г (2 m ) ; x1 ; xm ; 0; ym ) =
+ ∑ Qi ( Г (2 m+1) ; 0; wm ; 0; lm′′ )ϕ1 (0, Т 2 m +1 ) ×
=
x1
ym
∑ ∑ Q (Г
(2 m −1)
i
w1 = 0 wm = 0
; w1 ; wm ; 0;0) ×
×ϕ1 ( x1 − w1 , Т 2 m −1 )ϕ m ( ym − wm , Т 2 m−1 ) ×
×P(x1 > 0; xm = 0; ym < lm ) +
x1
+∑
xm + lm
∑ Q (Г
(2 m −1)
i
w1 = 0 wm = 0
; w1 ; wm ; 0; 0) ×
×ϕ1 ( x1 − w1 , Т 2 m−1 )ϕ m ( xm − wm + lm , Т 2 m−1 ) ×
×P(x1 > 0; ym = lm ) +
lm
+ ∑ Qi ( Г
(2 m +1)
gm = 0
; 0; 0;0; g m )ϕ1 ( x1 , Т 2 m+1 ) ×
×ϕ m ( ym , Т 2 m +1 )P(x1 > 0; xm = 0; ym < lm′′ ) +
ym
+ ∑ Qi ( Г (2 m+1) ; 0; wm ; 0; lm′′ ) ×
wm =1
×ϕ1 ( x1 , Т 2 m+1 )ϕ m ( ym − wm , Т 2 m+1 ) ×
×P(x1 > 0; xm = 0;0 < ym < lm′′ ) +
ym
+ ∑ Qi ( Г
(2 m +1)
wm =1
ym
wm =1
×ϕ m ( ym − wm , Т 2 m+1 )P(xm = 0;0 < ym < lm′′ ) +
ym
+ ∑ Qi ( Г (2 m+1) ; 0; wm ; 0; lm )ϕ1 (0, Т 2 m +1 ) ×
wm =1
×ϕ m ( ym − wm , Т 2 m+1 )P(xm = 0;0 < ym < lm′′ ) +
lm
+ ∑ Qi ( Г (2 m +1) ; 0; 0;0; g m )ϕ1 (0, Т 2 m +1 ) ×
gm = 0
×ϕ m ( xm + lm′′ , Т 2 m+1 )P(ym = lm′′ ) +
+
×ϕ m ( ym − wm , Т 2 m+1 ) ×
×P(x1 > 0; xm = 0;0 < ym < lm′′ ) +
∑ Q (Г
wm =1
(2 m +1)
i
;0; wm ;0; lm′′ )ϕ1 (0, Т 2 m+1 ) ×
×ϕ m ( xm − wm + lm′′ , Т 2m +1 )P(ym = lm′′ ) +
+
′′
xm +lm
∑ Q (Г
(2 m +1)
i
wm =1
; 0; wm ; 0; lm )ϕ1 (0, Т 2 m +1 ) ×
×ϕ m ( xm − wm + lm′′ , Т 2 m +1 )P(ym = lm′′ ) +
+
; 0; wm ; 0; lm )ϕ1 ( x1 , Т 2 m+1 ) ×
′′
xm + lm
xm +lm
∑ Q (Г
(2 m −1)
i
wm = 0
; 0; wm ; 0;0)ϕ1 (0, Т 2 m −1 ) ×
×ϕ m ( xm − wm + lm , Т 2 m −1 )P(ym = lm ).
В работе [3] доказано, что для рекуррентных
соотношений теоремы 1 выполняется условие
нормировки
lm
+ ∑ Qi ( Г (2 m+1) ; 0;0;0; g m )ϕ1 ( x1 , Т 2 m+1 ) ×
g m =0
×ϕ m ( xm + lm′′ , Т 2 m+1 )P(x1 > 0; ym = lm′′ ) +
+
′′
xm + lm
∑ Q (Г
wm =1
(2 m +1)
i
; 0; wm ; 0; lm′′ )ϕ1 ( x1 , Т 2 m+1 ) ×
×ϕ m ( xm − wm + lm′′ , Т 2 m+1 )P(x1 > 0; ym = lm′′ ) +
+
′′
xm + lm
∑ Q (Г
wm =1
i
(2 m +1)
; 0; wm ; 0; lm )ϕ1 ( x1 , Т 2 m+1 ) ×
×ϕ m ( xm − wm + lm′′ , Т 2 m+1 )P(x1 > 0; ym = lm′′ );
2 m +1 ∞
∞
l1
lm
∑∑∑∑ ∑Q
s =1 x1 = 0 xm = 0 y1 = 0 ym = 0
Пусть
по
равенства:
E = { (Г
( s)
i +1
( Г ( s ) , x1 , xm , y1 , ym ) = 1 .
определению
справедливы
; x1 ; xm ; y1 ; ym ) : Г (s) ∈ Г, x1, xm∈ Х,
y1 ∈ Y1, ym ∈ Ym};
E1(Г (s)) = { ( Г ( s ) ; x1 ; xm ; 0; 0) : x1, xm ∈ Х},
Г (s) ∈ Г′;
E1(Г (1)) = { ( Г (1) ; x1 ; xm ; 0; lm′ ) : x1 ∈ Х \ {0},
Е.В. Пройдакова
172
xm ∈ Х } U { ( Г (1) ; x1 ;0; 0; ym ) : x1 ∈ Х \ {0},
xm ∈ Х, ym = 0, lm′ − 1 };
i = 0, 1, …, Г (s) ∈ Г, y1 ∈ Y1,
ym ∈ Ym, | z1 | ≤ 1, | zm | ≤ 1,
E1(Г (2)) = { ( Г (2) ; x1 ; xm ; l1 ; 0) : x1, xm ∈ Х} U
а
также
для
следующего вида:
(2)
U { ( Г ; 0; xm ; y1 ; 0) : xm ∈ Х, y1 = 1, l1 − 1 };
E1(Г (3)) = { ( Г (3) ; x1 ; xm ; l1′; 0) : x1, xm ∈ Х} U
Ф2mi ( Г ( s ) ; y1; ym ; z1; zm ) =
U { ( Г ; 0; xm ; y1 ; 0) : xm ∈ Х, y1 = 0, l1′ − 1 };
m
E1(Г (2m)) = { ( Г (2 ) ; x1 ; xm ; 0; lm′′ ) : x1 ∈ Х \ {0},
(3)
xm ∈ Х} { ( Г (2 m) ; x1 ; xm ; 0; lm ) : x1 ∈ Х \ {0},
xm ∈ Х} { ( Г (2 m ) ; x1 ; 0;0; ym ) : x1 ∈ Х \ {0},
ym = 0, lm′′ − 1 } { ( Г (2 m ) ; x1 ; 0;0; ym ) : x1 ∈
∈ Х \ {0}, ym = lm′′ + 1, lm − 1 };
∞
производящих
функций
∞
= ∑ ∑ Q2 mi ( Г ( s ) ; x1 ; xm ; y1 ; ym )z1x1 zm xm ,
x1 = 0 xm = 0
i = 0, 1, …,
Г (s)∈ Г, y1 ∈ Y1, ym ∈ Ym, | z1 | ≤ 1, | z2 | ≤ 1,
где T =
2m
∑T .
r =1
r
На основании полученных соотношений
были доказаны теоремы 2–3.
E1(Г (2m+1)) = { ( Г (2 m+1) ; 0; xm ; 0; lm′′ ) : xm ∈ Х} U
Теорема 2. Если λ1T – l1 – l′1 ≥ 0, то имеет
место
предельное
равенство
(2 m +1)
; 0; xm ; 0; lm ) : xm ∈ Х} U
U { (Г
lim Qi ( Г ( r ) ; x1 ; xm ; y1 ; ym ) = 0 для всех (Г (r); x1;
(2 m +1)
;0; 0; 0; ym ) : ym = 0, lm′′ − 1 } U
U { (Г
xm; y1; ym) ∈ E.
(2 m +1)
;0; 0; 0; ym ) : ym = lm′′ + 1, lm − 1 }.
U { (Г
Теорема
выполняются
Лемма 3. Пространство E всех возможных
состояний векторной марковской цепи {(Гi, æ1,i,
æm,i,ξ1,i – 1,ξm,i – 1); i ≥ 0} распадается на
незамкнутое множество E0 несущественных
состояний и на минимальное замкнутое
2 m +1
множество E1 = U E1 ( Г
(r )
r =1
) существенных
сообщающихся апериодических состояний.
Лемма 4. Для марковской цепи {(Гi, æ1,i,
æm,i,ξ1,i – 1,ξm,i – 1); i ≥ 0} при любом начальном
распределении {Q0 (Г (r); x1; xm; y1; ym): (Г (r), x1,
xm, y1, ym) ∈ E1} либо
lim Qi ( Г ( r ) ; x1 ; xm ; y1 ; ym ) = 0 для (Г (r), x1, xm,
i →∞
y1, ym) ∈ E1 и стационарное движение в системе
не существует, либо
lim Qi ( Г ( r ) ; x1 ; xm ; y1 ; ym ) =
i →∞
= Q* ( Г ( r ) ; x1 ; xm ; y1; ym ) ≥ 0,
(Г
(r)
∑
Q* ( Г ( r ) ; x1 ; xm ; y1 ; ym ) = 1 и
; x1 ; xm ; y1 ; ym )∈E1
стационарное движение в системе существует.
Помимо этого были найдены рекуррентные
соотношения для производящих функций за
один такт работы системы
Фi ( Г ( s ) ; y1 ; ym ; z1 ; zm ) =
∞
∞
= ∑ ∑ Qi ( Г ( s ) ; x1 ; xm ; y1 ; ym )z1x1 zm xm ,
x1 = 0 xm = 0
i →∞
3.
λ1T − l1 − l1′ < 0,
Пусть
следующие
одновременно
неравенства:
λ1T (l1 + l1′)−1 − λ1T2 m+1 (lm + lm′ )((l1 + l1′)lm′′ ) −1
λmT2 m+1 < lm′′ .
+λmT2m +1 (lm′′ )−1 > 1,
справедливо lim Qi ( Г
i →∞
(r)
+
Тогда
; x1 ; xm ; y1 ; ym ) = 0 для
любого состояния (Г ; x1; xm; y1; ym) ∈ E.
(r)
Список литературы
1. Федоткин, М.А. Процессы обслуживания и
управляющие системы / М.А. Федоткин //
Математические вопросы кибернетики, 1996. Вып. 6.
С. 51–70.
2. Федоткин, М.А. Нелокальный способ задания
управляемых случайных процессов / М.А. Федоткин
// Математические вопросы кибернетики, 1998.
Вып. 7. С. 332–344.
NECESSARY CONDITIONS FOR THE EXISTENCE OF A STATIONARY DISTRIBUTION
OF OUTPUT FLOWS IN A SYSTEM WITH PRIORITY DIRECTION
Необходимые условия существования стационарного распределения выходных потоков
E.V. Proydakova
We analyze the output flows in a queuing system with priority direction. A nonlocal description is
proposed. The properties of output flows arising in the considered nonclassical system are studied. The
necessary conditions for the existence of a stationary operation mode of such a queuing system are given.
3. Пройдакова Е.В. Нелокальное описание
выходных
потоков
в
системе
массового
обслуживания с приоритетным направлением / Е.В.
Пройдакова, М.А. Федоткин; Нижегородский гос.
ун-т. Н. Новгород., 2006. 64 с. – Деп. в ВИНИТИ
21.03.2006., 293–В2006.
173
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа