close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О вложении и аппроксимативных свойствах классов функций с доминирующей смешанной разностью.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2009, № 8, c. 83–86
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
Краткое сообщение, представленное
членом редколлегии Д.Х. Муштари
М.Б. СИХОВ
О ВЛОЖЕНИИ И АППРОКСИМАТИВНЫХ СВОЙСТВАХ КЛАССОВ
ФУНКЦИЙ С ДОМИНИРУЮЩЕЙ СМЕШАННОЙ РАЗНОСТЬЮ
∗
Ω
Аннотация. Получен критерий вложения класса SHpΩ в класс SBq,θ
(1 < p ≤ q < ∞). Также
Ω
тригонометринайден точный порядок наилучших приближений функций из классов SBp,θ
ческими полиномами, гармоники которых лежат в множествах, порожденных поверхностями
уровня мажоранты Λ(t).
Ключевые слова: пространства Бесова, теорема вложения, модуль гладкости, наилучшие приближения.
УДК: 517.518
∗
Ω
(1 < p ≤ q < ∞).
Abstract. We obtain a criterion for embedding the class SHpΩ into that SBq,θ
Ω
We also determine the exact order of the best approximations of functions from classes SBp,θ
by trigonometric polynomials whose harmonics belong to sets generated by level surfaces of the
majorant Λ(t).
Keywords: Besov’s spases, embedding theorem, modulus of continuity, best approximations.
Пусть πs = [−π, π]s — s-мерный куб,
p
p
L0 (πs ) = f ∈ L (πs ) :
π
−π
f (x)dxj = 0, j = 1, . . . , s ,
где Lp (πs ), 1 ≤ p < ∞, — множество всех измеримых 2π-периодических по каждой из s
переменных функций f (x) = f (x1 , . . . , xs ), модуль которых суммируем в степени p на πs .
s обозначим множество, составленное из всех точек евклидова пространства Rs с
Через Z+
s положим n = n +· · ·+n ,
положительными целочисленными компонентами. Для n ∈ Z+
1
1
s
−n
−n
−n
s
1
, . . . , 2 ).
2 = (2
1
Для f ∈ Lp (πs ) определен смешанный модуль гладкости порядка k ∈ Z+ ≡ Z+
Ωk (f ; t)p ≡ Ωk (f ; t1 , . . . , ts )p = sup ∆kh f (x)p (t ∈ [0, 1]s ),
|hj |≤tj ,
j=1,...,s
Поступила 20.12.2008
83
84
М.Б. СИХОВ
1
где ∆kh f (x) = ∆khs . . . ∆kh1 f (x), ∆khj = ∆1hj (∆k−1
hj ), ∆hj f (x) = f (x1 , . . . , xj + hj , . . . , xs ) −
f (x1 , . . . , xj , . . . , xs ).
По С.Н. Бернштейну (например, [1]) функция ϕ(t) называется почти возрастающей (почти убывающей) на [0, 1], если существует постоянная C > 0 такая, что ϕ(t1 ) ≤ Cϕ(t2 )
(ϕ(t1 ) ≥ Cϕ(t2 )) для всех 0 ≤ t1 < t2 ≤ 1.
Потребуются также некоторые ограничения на мажорантные функции Ω(t) (заметим,
что разные типы таких ограничений представлены в [2]).
Функция одного переменного ϕ(τ ) ≥ 0 удовлетворяет условию (S α ) (или (Sα )) при α > 0,
если ϕ(τ )/τ α почти возрастает (почти убывает) на (0, 1]. Условие (S) на ϕ(τ ) означает
(S α ).
выполнение условия (S α ) для некоторого α, 0 < α < 1, и в этом смысле (S) =
0<α<1
Будем говорить, что Ω(t) = Ω(t1 , . . . , ts ) удовлетворяет условиям (S α ) и (Sα ) при α =
(α1 , . . . , αs ), если соответственно при каждом j = 1, . . . , s функция Ω(t) удовлетворяет условиям (S αj ) и (Sαj ) по переменной tj при фиксированных остальных.
В данной работе изучены некоторые свойства пространств типа S-пространств Бесова со
смешанным модулем гладкости порядка k.
Пусть Ω(t) — функция типа смешанного модуля гладкости (непрерывности) порядка k,
т. е. удовлетворяет условиям:
1) Ω(t) определена и непрерывна на [0, ∞)s ;
s
s
tj > 0, и Ω(t) = 0, если
tj = 0;
2) Ω(t) > 0, если
j=1
j=1
3) Ω(t) не убывает по каждой переменной (при фиксированных остальных);
k
s
s , j = 1, . . . , s.
mj Ω(t), mj ∈ Z+
4) Ω(m1 t1 , . . . , ms ts ) ≤
j=1
(1 ≤ p < ∞, 0 < θ ≤ ∞) обозначим пространства функций f ∈ Lp0 (πs ),
Тогда через
для которых конечна полунорма
Ω
SBp,θ
f SB Ω =
p,θ
θ
[Ωk (f ; t)p /Ω(t)]
[0,π]s
s
t−1
j dt
1
θ
≤ 1.
j=1
Ω ) и SB Ω имеют своим источником классические пространПространства SHpΩ (≡ SBp,∞
p,θ
ства Липшица и Гёльдера, аналоги которых — изотропные и анизотропные пространства
Hpr1 ,...,rs (пространства Никольского) функций многих переменных ввел С.М. Никольский
[3]. Обобщения этих пространств (пространства Бесова) определил О.В. Бесов (например,
[4]). Аналогично соотношениям классов Никольского и Бесова в работе Т.И. Аманова [5]
в связи с классами функций с “доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей
r — классы Никратному условию Гёльдера”, были введены аналоги классов Бесова: SBp,θ
кольского–Бесова–Аманова.
Условия вложения обобщенных классов Никольского SHpΩ в пространство Lq0 (0, 1)s (1 ≤
p < q < ∞) для некоторых Ω(t) были получены в работах Динь Зунга [6] и Н.Н. Пустовойтова
[7]. Этим результатам предшествуют достижения многих математиков, берущие начало с
работы П.Л. Ульянова [8] в одномерном случае.
r1 ,...,rs
γ1 ,...,γs
в пространства Lq0 (0, 1)s и SBq,θ
также хорошо
Задача вложения классов SBp,ν
изучена. Полученные результаты и связанная с ними библиография подробно обсуждаются
в [3]–[5].
Основным достижением данной статьи являются теоремы 1 и 2.
О ВЛОЖЕНИИ И АППРОКСИМАТИВНЫХ СВОЙСТВАХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
85
Теорема 1. Пусть 1 < p ≤ q < ∞, 1 ≤ ν ≤ ∞, Ω(t) и Ω∗ (t) — функции типа смешанного
модуля гладкости порядка k и l соответственно, удовлетворяющие условию (S). Пусть
Ω(t) удовлетворяет условию (Sk ), а Ω∗ (t) — условию (Sl ). Тогда для того чтобы имело
место вложение
Ω∗
,
SHpΩ ⊂ SBq,ν
необходимо и достаточно
n ( 1 − 1 )
ν
2 1 p q Ω(2−n )/Ω∗ (2−n ) < ∞.
s
n∈Z+
Теперь перейдем к многомерным прямым теоремам теории приближений в пространстве
Ω .
SBp,θ
Если f ∈ Lp (πs ), то через EG (f )p обозначают наилучшее приближение (в Lp ) функции f
полиномами из T (G), где G — конечное множество точек Z s , а
cn ei(n,x) .
T (G) = t(·) : t(x) =
n∈G
Здесь спектр G будет задан посредством непрерывной на [0, 1]s функции Λ(t) = Λ(t1 , . . . , ts ),
неубывающей по каждой переменной при фиксированных остальных и такой, что Λ(t) > 0
s
s
tj > 0 или
tj = 0 соответственно. В связи с этим определим
и Λ(t) = 0 при условиях
j=1
j=1
следующие множества (N > 0):
s
: Λ(2−n ) ≥
Γ(Λ, N ) = n ∈ Z+
1
N
s
\ Γ(Λ, N ),
, Γ⊥ (Λ, N ) = Z+
s
),
ρ(n) = {m = (m1 , . . . , ms ) ∈ Z s : 2nj −1 ≤ |mj | < 2nj } (n ∈ Z+
ρ(n).
Q(Λ, N ) =
n∈Γ(Λ,N )
Положим
Λ1 (t) =
s
γ
tj j (γj > 0, j = 1, . . . , s).
j=1
Пусть ωk (t) — заданная одномерная функция типа модуля гладкости порядка k, удовлетворяющая условиям (S) и (Sβ ) при некотором 0 < β < k. Зададим смешанный модуль
гладкости порядка k специального вида
s
tj ,
Ω1 (t) = ωk
j=1
дл которого, как легко видеть, выполняются все свойства смешанного модуля гладкости
порядка k.
При положительных A и B запись B A будет означать B ≤ C(α, β, . . . )A, где C(α, β, . . . )
— некоторые положительные величины, зависящие лишь от указанных в скобках параметров, а запись A B означает A B A.
Теорема 2. Пусть 1 < p < q < ∞, 1 ≤ θ < ∞, γ = γj > 0 (j = 1, . . . , s), k — целое положительное число. Пусть ωk (t) — одномерная функция типа модуля гладкости порядка k,
удовлетворяющая условиям (S α ) и (Sβ ) при некоторых 1p − 1q < α < 1 и 0 < β < k. Тогда
n 1
( p − 1q )
sup EQ(Λ1 ,2n ) (f )q 2 γ
Ω
1
f ∈SBp,θ
n
(s−1)( 1q − 1θ )+
−n
γ
ωk (2
) (n = 1, 2, . . . ),
86
М.Б. СИХОВ
где a+ = max(a, 0).
Оценка сверху в теореме 2 при γi = 1, i = 1, . . . , s, ранее была доказана в работе [9].
Литература
[1] Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных
функций // Тр. ММО. – 1956. – Т. 5. – С. 483–522.
[2] Ульянов П.Л. О модулях непрерывности и коэффициентах Фурье // Вестн. МГУ. Сер. матем., мех. –
1995. – № 1. – С. 37–52.
[3] Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1977.
– 456 c.
[4] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. – М.: Наука, 1975. – 480 с.
[5] Аманов Т.И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. –
Алматы, 1976. – 224 с.
[6] Динь Зунг. Приближение функций многих переменных на торе тригонометрическими полиномами
// Матем. сб.– 1986. – Т. 131. – № 2. – С. 251–271.
[7] Пустовойтов Н.Н. Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывности // Anal. Math. – 1994. – V. 20. – P. 35–48.
[8] Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций Hpω // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1968. – Т. 32.
– № 3. – C. 649–686.
[9] Sun Yongsheng, Wang Heping. Reprezentation and approximation of multivariate periodic functions with
bounded mixed moduli of smoothness // Тр. МИ РАН. – 1997. – Т .219. – С. 356–377.
М.Б. Сихов
доцент, кафедра функционального анализа и теории вероятностей,
Казахский национальный университет,
Республика Казахстан, 050012, Алматы, ул. Масанчи, д. 39/47,
e-mail: mirbulats@mail.ru
M.B. Sikhov
Associate Professor, Chair of Functional Analysis and Probability Theory,
Kazakh National University,
39/49 Masanchi str., Almaty, 050012 Republic of Kazakhastan,
e-mail: mirbulats@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
156 Кб
Теги
классов, разность, смешанной, доминирующих, функции, свойства, аппроксимативные, вложение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа