close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О выпуклости поверхностей определяемых конформным радиусом плоской области.

код для вставкиСкачать
2007
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (539)
УДК 517.546
Л.А. АКСЕНТЬЕВ, А.Н. АХМЕТОВА, А.В. ХМЕЛЬНИЦКАЯ
О ВЫПУКЛОСТИ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ
КОНФОРМНЫМ РАДИУСОМ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
Как уже отмечалось (напр., [1]{[3]), поверхность конформного радиуса
R( ) R(f (E ); f ( )) = jf 0 ( )j(1 ; j j2 ); 2 E;
(1)
односвязной области D = f (E ) (образа единичного круга E = f : j j < 1g при отображении регулярной функцией z = f ( )) обладает замечательным качеством. Именно, она является
выпуклой вверх над областью D тогда и только тогда, когда D | выпуклая область. Интересный эффект вносят такие области D, дополнения которых до полной плоскости являются
выпуклыми множествами. Критерием для этих областей является выпуклость вниз поверхности
конформного радиуса.
Для поверхностей с уравнением S = ln R(f ;1(z )) таких наглядных качеств не существует,
хотя критерии выпуклости вверх поверхностей над конечной и над бесконечной областями D
легко выписываются. Это сделано в первой части статьи. Выделяются также подклассы функций, удовлетворяющих таким критериям и не удовлетворяющих им.
Во второй части проводится анализ поверхностей для аналогов конформных радиусов в
двусвязном случае. Эти аналоги отличаются от внутренних радиусов ([4], п. 4.8) и обычно называются гиперболическими радиусами [5], потому что формула
1
(2)
R( ) = R(D; f ( )) =
(D; f ( ))
не зависит от порядка связности гиперболической области D. В этой формуле (D; f ( )) является коэффициентом гиперболической метрики области D, а f ( ) | функция, которая конформно
отображает круг E на универсальную поверхность наложения области D при порядке связности
2. Напомним, что в односвязном случае внутренний радиус и конформный (гиперболический)
радиус совпадают.
Сохраняя название \конформный радиус" за формулами (1) и (2), будем отождествлять
конформный радиус универсальной поверхности наложения области D и конформный радиус
самой области D.
Возвращаясь к описанию второй части, отметим, что в ней дается краткая характеристика поверхности с уравнением ! = R( ) для концентрического кольца, для внешности круга с
выколотой бесконечно удаленной точкой [6] и для круга с выколотым центром.
В третьей части собраны дополнительные новые сведения о конформных радиусах для областей с выпуклыми полигональными границами.
1. Для отыскания критических точек конформного радиуса (1) нужно решить уравнение
@R = 0. Это уравнение, содержащее f 0 ( ) и f 00 ( ), проще получить, если взять поверхность в
@
форме
= ln R2 ( ) = ln f 0( ) + ln f 0 ( ) + 2 ln(1 ; ):
10
(3)
Тогда
@R
@
= 0 , @@
= 0 и поэтому
f 00 ( )
2 = 0:
;
0
f ( ) 1 ; j j2
(4)
Довольно просто получается локальное представление для поверхности (3) над кругом E и над
областью f (E ) = D. Для этого подсчитаем две серии производных. Первая серия (производные
по ) включает в себя левую часть из (4), т.е.
00
@@
= ff 0(()) ; 1 ;2j j2 ;
и далее
2
00 0
2
f
= f 0 ; (1 ; j j2 )2 ;
1
= ;2 1 ; j j2 + (1 ; j j2 )2 = (1 ;;j2 j2 )2 :
(5)
Вторая серия начинается с z =
формулам:
.
= @ @ @z =
zz
@ @z
@
=
и
("
@ = @z
@ @
=
; f 00 ( )
f 0 ( )
; 1;j2j =f 0( ) и приводит к двум следующим
2
#
!
)
2
2
1
f 00
2
f 00
f 00 0
; (1 ; j j2)2 f 0( ) ; f 0 ; 1 ; j j2 f 02 f 01( ) =
f0
"
2
00 0
00
00
1
= f 02 ff 0 ; (1 ;2j j2 )2 ; ff 0 ff 0
2
; 1 ; j j2
!#
.
.
zz = @ @@z
@z = ; (1 ; 2j j2 )2 jf 0( )j2 :
(50 )
@
@
Условия выпуклости поверхности = 2 ln R( ) = 2 ln R(f ;1(z )) следуют из локального представления
(0 + rei ) = (0 ) + 2 Re(
(0 )ei )r + Re(
(0 )ei2 ) + (0 ) r2 + O(r3 )
и из аналогичного представления для [f ;1(z0 + rei )]. Поэтому условия выпуклости вверх записываются в виде
(6)
Re(
ei2 ) + 0 , j
j ;
;
и с изменением знака в оценке коэффициента при r2 получаются условия выпуклости вниз
Re(
ei2 ) + 0 , j
j :
(7)
;
1
Аналогично выглядят условия выпуклости вверх и вниз для поверхности = 2 ln R[f (z )] над
областью f (E )
Re(
zz ei2 ) + zz 0 , j
zz j ;
zz
(60 )
(выпуклость вверх),
Re(
zz ei2 ) + zz 0 , j
zz j zz
(70 )
(выпуклость вниз).
11
Так как и zz в силу (5) и (50 ) строго отрицательны и условия (7) и (70 ) невыполнимы,
то поверхности = 2 ln R( ) и = 2 ln R(f ;1(z )) не будут выпуклыми вниз (даже локально!).
Выполнение условий (6) и (60 ) приводит к такому утверждению.
Теорема 1. Поверхность с уравнением (3) над кругом E будет выпуклой вверх при условии
f 00 0
f0
2 2
2 ; (1 ; j j2 ) (1 ; 2j j2)2 :
(8)
Над областью D = f (E ) поверхность с уравнением = ln R2 (f ;1(z )) будет выпуклой вверх при
условии
f 00 0
f0
2 2
00
00
; (1 ; j j2)2 ; ff 0 ff 0 ; 1 ;2j j2
!
(1 ;2j j2 )2 :
(9)
Точка, в которой выполняется равенство (4), будет точкой максимума поверхности, если
выполнится неравенство
jff; gj (1 ; 2j j2)2 ;
где ff; g = (f 00 =f 0 )0 ; (f 00 =f 0 )2 =2.
Доказательство. Подставим выражения для производных , , zz , zz в неравенства
(6), (60 ). При выполнении (4) заменим в (8) и (9) 1;j2 j2 на ff и получим в левых частях этих формул представление для шварциана ff; g. Если же в гладкой критической точке поверхности она
будет локально выпукла вверх, то эта точка определит максимальную точку поверхности.
По плану доказательства теоремы 1 с использованием формул из [2] обосновывается
2
; = F (E ; ) над E ; =
Теорема 2. Поверхность с уравнением = ln R (! ) для области D
f! : j!j > 1g (внешность круга E ) будет выпуклой вверх при условии
F 00 0
2
! 2 2
;
(10)
0
2
2
2
F
(j!j ; 1) (j!j ; 1)2 :
Над областью D; = F (E ; ) поверхность с уравнением = ln R2 (F ;1 (z )) будет выпуклой вверх
при условии
F 00 0
!2
! 2
F 00 F 00
2
; (j!j2 ; 1)2 ; F 0 F 0 + j!j2 ; 1 (j!j2 2; 1)2 :
F0
Критическая точка, в которой выполняется равенство FF + j!2j2!;1 = 0, будет точкой локального максимума, если окажется справедливым неравенство
jfF; !gj (j!j2 2; 1)2 :
Определим некоторые семейства функций, для которых справедливо условие (8) из теоремы 1.
Семейство, которое определяется соотношением
f 00
= C , f ( ) = 1 eC +C1 + C ;
00
0
00
0
f0
C
2
удовлетворяет условию (8), которое приводится к очевидному неравенству 2j j2 2.
В случае семейства, определяемого неравенством
00
f ( ) f 0 ( ) M 2; 2 E;
12
в силу леммы Шварца
и поэтому
f 00 0
f0
f 00
f0
( ) 0 M ;
( ) 1 ; j j2
2 2
2 ; (1 ; j j2) M (1(1; ;j jj)j2+)22j j M +(1(2;;j jM2)2)j j (1 ;2j j2)2 ;
2
2
2
т. е. условие (8) выполнится.
Для всего класса выпуклых областей будет выполняться критерий (9). Это утверждение
основано на неравенстве (60 ), которое справедливо для конформного радиуса выпуклой области.
Действительно, дифференцируя функцию S = ln R(f ;1 (z )), запишем Sz = RR , Szz = RR ;
R 2 , S = R ; jR j2 . Поэтому критерий выпуклости вверх для поверхности S = ln R(f ;1 (z ))
zz
R2
R
R2
запишется в форме
z
z
zz
zz
z
2
2
jSzz j ;Szz , RRzz ; RRz2 jRRz2j ; RRzz
и будет выполняться, т. к. (в силу jRzz j ;Rzz )
R
Rz 2 jRzz j jRz j2 jRz j2 Rzz
zz
; +
; :
R
R2 R2
R
R2
R
Укажем классы функций, для которых неравенство (10) невыполнимо. Это функции, отображающие внешность единичного круга на внешность любого прямоугольника, и функции,
отображающие внешность единичного круга на внешность любого правильного многоугольника. Данный факт легко устанавливается при асимптотической оценке указанного неравенства
в окрестности бесконечно удаленной точки. Приведем эти вычисления для случая прямоугольника (для многоугольника проводятся аналогичные рассуждения). А именно,
p
(!2 ; ei2 )(!2 ; e;i2 ) ;
0
F (! ) =
Тогда
F 00
F0
!2
2
2 ! ; 1
= 2 !(!4 cos
; 2 cos 2 !2 + 1)
= O !13 ; ! ! 1:
F 00 0
1
2
!2
1
= O !4 ; (j!j2 ; 1)2 = O !2 ; ! ! 1:
F0
В левой части неравенства (10) будем иметь
F 00 0
2
!2 C
; (j!j2 ; 1)2 j!j2 ; ! ! 1; C > 0:
F0
Все неравенство (10) в окрестности бесконечно удаленной точки перейдет в следующее заведомо
ложное неравенство:
C
2
2
2
j!j (j!j ; 1)2 ;
откуда сразу же следует факт невыпуклости вверх поверхности логарифма конформного радиуса для внешности прямоугольника.
2. Пусть Q = fz 2 C : 1 < jz j < Q < 1g и , | корни уравнений
tan() = lnQ ; 0 < < 12 ; и tan( ) = ; lnQ ; 21 < < 1:
13
Теорема 3. Поверхность конформного радиуса над кольцом Q состоит из следующих трех
частей :
а) поверхность над кольцом 1 < jz j < Q является выпуклой вниз,
б) поверхность над кольцом Q < jz j < Q является выпуклой вверх,
в) поверхность над кольцом Q < jz j < Q состоит из седловых точек.
Рассмотрим функцию z = F ( ) = expf;i lnQ ln(i 11+; )g; 2 E , определяющую универсальную поверхность наложения для кольца Q. Проведем предварительные подсчеты, необходимые для аналитического представления конформного радиуса в данном случае.
Запишем
jF 0( )j = 2 lnQ j1 ;jzj 2j :
Доказательство.
Введем вспомогательную переменную ! = i 1+
1; . Поэтому
!;i
Im ! ; j1 ; 2 j = 4j!j :
; 1 ; j j2 = 4
!+i
j! + ij2
j! + ij2
Из представления z = F ( (!)) получим
ln z ln jz j ! = exp i
=
j
!j exp i
ln Q
ln Q :
=
Тогда
R(z; F (E )) = jF 0 ( )j(1;j j2 ) = 2
ln Q jz j Im ! = 2 ln Q jz j sin ln jz j ; 1 < jz j < Q:
j!j
ln Q
(11)
Для выяснения поведения поверхности конформного радиуса в кольце Q приведем несложные выкладки с учетом обозначения = lnlnQjzj
r
ln
Q z
Rz =
sin + ln Q cos ;
z
!
ln2 Q + 2 jz j sin ; R = 1 cos + ln2 Q ; 2 sin :
Rzz = ;
zz
2 ln Q z 2
jzj
2 ln Q
Преобразуя соотношение вида (70 )
jRzz j Rzz ;
(12)
получим неравенство tan lnQ , 0 < < =2, которое выполняется при всех , 0 < < 12 .
Это означает, что поверхность конформного радиуса, построенная над кольцом 1 < jz j < Q <
Q, является поверхностью, выпуклой вниз.
Для отыскания области, над которой поверхность будет выпуклой вверх, достаточно решить
неравенство
(13)
jRzz j ;Rzz
в оставшейся части кольца Q, т. е. неравенство вида (60 ) для функции R(z ). Преобразуем его
к виду tan ; lnQ , =2 < < . Это неравенство выполняется при всех , 21 < < 1.
Поэтому поверхность конформного радиуса, построенная над кольцом Q < jz j < Q, является
поверхностью, выпуклой вверх.
В кольце Q < jz j < Q поверхность теряет локальную выпуклость. Это связано с наличием
седловых точек в структуре поверхности. Для доказательства этого факта достаточно указать
14
две кривые, имеющие различные направления выпуклости. Для удобства введем систему координат (x; y; u), зафиксируем точку на поверхности (r0 ; 0; 2 lnQ r0 sin lnlnQr0 ), где r0 2 (Q ; Q ). Одна
кривая | часть окружности, описываемой системой
x2 + y2 = r02;
ln Q r sin ln r0 ;
u=2
0
ln Q
является выпуклой вниз. Другая кривая, описываемая системой
8
>
x = r;
>
>
<
y = 0;
>
ln Q r sin ln r ;
>
>
:u = 2
ln Q
;
является выпуклой вверх, т. к. urr = r2 cos ; lnQ sin < 0 при r 2 (Q ; Q ). Отметим, что указанные кривые будут лежать в разных полупространствах относительно касательной плоскости
к поверхности конформного радиуса в точке (r0 ; 0; 2 lnQ r0 sin lnlnQr0 ).
Следствие 1 (ср. с [6], теорема 16). Поверхность конформного радиуса над внешностью круга с выколотой бесконечно удаленной точкой будет выпуклой вниз при 1 < jz j < 1.
Доказательство. При выполнении предельного перехода от кольца Q к кольцу 1 < jz j < 1
при Q ! 1 получим выпуклость вниз предельного положения первой части из теоремы 1, когда
1 < jz j < 1. Две другие части в пределе пропадают, т. к.
lim Q = Qlim
Q = 1: Q!1
!1
Заметим, что формула
lim R(z; F (E )) = 2jz j ln jz j Qlim
!1
Q!1
sin lnlnQjzj
ln jzj
ln Q
= 2jz j ln jz j = R(z; f (E )); 1 < jz j < 1;
(14)
есть конформный радиус для области f (E ) с функцией z = f ( ) = exp 11+; , 2 E , которая
определяет универсальную поверхность наложения
для области 1 < jz j < 1. Критических
q
z
точек не обнаруживается, т. к. уравнение Rz = z (ln jz j + 1) = 0 не имеет решений при jz j > 1.
Подставляя вторые производные
r
ln
j
zj z
ln jz j + 2
Rzz = ;
2 z 3 ; Rzz = 2jz j
1
в неравенство (12), получим ln2jjzzjj ; ln2jzjzj+2
j 0 , ; jzj 0. Поэтому поверхность конформного
радиуса является выпуклой вниз и имеет форму чаши, прикрепленной к окружности jz j = 1.
Рассмотрим кольцо q = fz 2 C : q = Q1 < jz j < 1g. Функция z = Qz переведет кольцо Q в q.
Пусть e , e | корни уравнений
tan(e) = lnq ; 12 < e < 1; и tan(e) = ; lnq ; 0 < e < 12 :
Теорема 3 будет верна и в случае кольца q. А именно, имеет место
Теорема 4. Поверхность конформного радиуса над кольцом q состоит из следующих трех
частей :
а) поверхность над кольцом q < jz j < qe является выпуклой вниз,
б) поверхность над кольцом qe < jz j < 1 является выпуклой вверх,
15
в) поверхность над кольцом qe < jz j < qe состоит из седловых точек.
Отображение z = F ( ) = q expfi lnq ln(i 1+
1; )g; j j < 1, определит универсальную поверхность наложения для кольца q. Конформный радиус в данном случае будет
иметь вид
ln q
ln jz j
R(z; F (E )) = ;2 jz j sin
(15)
ln q ; q < jz j < 1:
Поскольку (15) отличается от (11) лишь знаком, воспользуемся вычислениями, приведенными для кольца Q. В выражениях для производных появится знак минус, но на промежутках
выпуклости он не отразится. Действительно, учитывая = lnln qjzj , 0 < < , имеем
Доказательство.
!
jzj ln2 q + 2 sin ; R = ; 1 cos + ln2 q ; 2 sin :
Rzz = 2
zz
z 2 ln q
jzj
2 ln q
Неравенство (12) в данном случае преобразуется к виду tan lnq и будет выполняться при
всех значениях e , 12 < e < 1. Следовательно, поверхность конформного радиуса над
q < jz j < qe является выпуклой вниз.
Неравенство (13) запишется в виде
tan ; lnq :
(16)
Ему удовлетворяют значения e, 0 < e < 12 , и поверхность над qe < jz j < 1 будет выпуклой
вверх. В кольце qe < jz j < qe поверхность теряет локальную выпуклость. Обоснование этого
факта аналогично обоснованию, приведенному в доказательстве теоремы 3.
Следствие 2. Поверхность конформного радиуса над кругом с выколотым центром состоит
из двух частей:
а) поверхность над кольцом e;1 < jz j < 1 является выпуклой вверх,
б) поверхность над кольцом 0 < jz j < e;1 состоит из седловых точек.
Доказательство. При выполнении предельного перехода от кольца q к кольцу 0 < jz j < 1
при q ! 0 не получим выпуклости вниз предельного положения первой части из теоремы 4,
когда 0 < jz j < 1, т. к.
lim qe = 0:
q!0
Две другие части проявятся в предельном случае следующим образом. Вернемся к неравенству
(16), характеризующему выпуклость вверх поверхности конформного радиуса для кольца q, и
перейдем в нем к пределу при q ! 0. Заметим, что = lnln qjzj ! 0, когда q ! 0, и, следовательно,
tan ! 0, когда q ! 0. Поэтому имеем ;1 lnq tan lnln qjzj ;;!
ln jz j ) jz j e;1 . Таким образом,
q!0
поверхность конформного радиуса над кольцом e;1 < jz j < 1 является выпуклой вверх, над
кольцом 0 < jz j < e;1 состоит из седловых точек.
Заметим, что формула
lim R(z; F (E )) = ;2jz j ln jz j qlim
q!0
!0
sin lnln qjzj
ln jzj
ln q
= ;2jz j ln jz j = R(z; f (E )); 0 < jz j < 1;
16
(17)
есть конформный радиус для области f (E ) с функцией z = f ( ) = exp 1+;1 , 2 E , которая
определяет универсальную поверхность наложения для области 0 < jz j < 1. Учитывая, что (17)
отличается от (14) только знаком, запишем производные второго порядка
r
ln jz j + 2
ln
j
zj z
Rzz =
2 z 3 ; Rzz = ; 2jz j :
Неравенство (12) в данном случае несодержательно, а неравенство (13) имеет вид ln jjzzjj+1 0 и
выполняется при jz j e;1 .
3. Приведем три теоремы, характеризующие поверхности конформных радиусов для многоугольных областей.
+ конформного радиуса для любого прямоугольника, построенТеорема 5. Поверхность ная над кругом, не является поверхностью, выпуклой вверх. Пересаженная на внутренность
прямоугольника поверхность + является выпуклой вверх.
Доказательство. Для доказательства первой части теоремы достаточно убедиться в существовании хотя бы одной точки перегиба в каком-либо сечении поверхности конформного
радиуса, перпендикулярном плоскости круга.
Интеграл Кристоффеля{Шварца для прямоугольника имеет вид
Z d
; 2 E; 2 [0; =2]:
2
i
2
(
;
e
)( 2 ; e;i2 )
0
Обозначим = + i. Рассмотрим кривую в сечении поверхности плоскостью, проходящей через
вещественную ось, т. е. при = . Она описывается функцией
1 ; 2
R ( ) = p 4
; 2 [;1; 1]; 2 [0; =2]:
; 2 2 cos 2 + 1
Исследование данной функции при 2 (0; =2) приводит к следующим выводам. Так как
;4(2 + 1) sin2 = 0;
R 0 ( ) = p 4
( ; 2 2 cos 2 + 1)3
то = 0 | единственная точка экстремума, точка максимума. Поскольку
3 6 + 5 4 ; (4 cos 2 + 3) 2 ; 1 ;
R00 ( ) = 4 sin2 p 4
( ; 2 2 cos 2 + 1)5
то точки, подозрительные на перегиб, находятся среди корней уравнения
3 6 + 5 4 ; (4 cos 2 + 3) 2 ; 1 = 0:
Введем замену 2 = t и рассмотрим функцию '(t; ) = 3t3 + 5t2 ; (4 cos 2 + 3)t ; 1, t 2 [0; 1].
Проверим знак функции на границах
'(0; ) = ;1 < 0; '(1; ) = 4(1 ; cos 2) > 0:
Следовательно, существует t0 2 (0; 1) такое, что '(t0 ; ) = 0. Построив график '(t; ), нетрудно
убедиться в единственности t0 2 (0; 1). Очевидно, значение t0 будет зависеть от значения параметра . Функция t0 = t0 (), заданная неявно уравнением 3t30 + 5t20 ; (4 cos 2 + 3)t0 ; 1 = 0,
является монотонной при используемых здесь значениях . Более того, = 0 и = =2, крайние значения параметра, являются точками экстремума для t0 (). Именно, = 0 | точка
максимума, = =2 | точка минимума.
Теперь можно дать полную характеристику кривой в рассматриваемом сечении. При = 0
имеем отрезок R( ) = 1, 2 [;1; 1]. При 2 (0; =2] имеем кривую с двумя точками перегиба (в
силу четности R( )), которые при изменении параметра от 0 до =2 монотонно движутся от
f ( ) =
p
17
p
1 к 1= 3. Последние значения находятся непосредственным вычислением после подстановки
= 0 и = =2.
Таким образом, первая часть теоремы доказана. Справедливость второй части вытекает
непосредственно из общего утверждения для выпуклых областей [2].
Для того чтобы рассмотреть все возможные вырождения прямоугольника, запишем отображающую функцию в виде
f ( ) =
Z p
d
:
( ;
;
; ei )( ; ei )
Тогда получим следующие предельные положения. В случае равенства двух параметров
(напр., = ) при отображении получится полуполоса. При попарном равенстве параметров
(напр., = , = ) при отображении получится полоса ширины =2. При равенстве трех
параметров получаем сектор раствора =2. Наконец, при равенстве всех четырех параметров,
участвующих в отображении, получаем полуплоскость. Отметим, что эти предельные области
наследуют свойство невыпуклости поверхности конформного радиуса над кругом.
;
Теорема 6. Поверхность конформного радиуса для внешности любого прямоугольника,
построенная над внешностью круга, не является поверхностью, выпуклой вниз. Пересаженная
на внешность прямоугольника поверхность ; является выпуклой вниз.
Доказательство. Для доказательства первой части теоремы снова достаточно убедиться в
существовании хотя бы одной точки перегиба в каком-либо сечении поверхности конформного
радиуса, перпендикулярном плоскости круга.
Функция, осуществляющая переход от внешности круга во внешность прямоугольника, имеет
вид
Z ! p 2
(! ; ei2 )(!2 ; e;i2 ) d!; ! 2 E ; ; 2 [0; =2]:
F (!) =
!2
1
Обозначим ! = u + iv. Рассмотрим кривую в сечении поверхности плоскостью, проходящей через
вещественную ось, т. е. при v = 0, ! = u. Она описывается функцией
u2 ; 1 p 4
R(u) =
u ; 2u2 cos 2 + 1; juj 1; 2 [0; =2]:
0
ei )(
u
ei )(
Аналогично исследуем R(u) при 2 (0; =2). Имеем
u4 ; (1 + cos 2)u2 + 1)
2(u6 ; p
u4 cos 2 ; u2 cos 2 + 1) 2(u2 + 1)(
p
R0 (u) =
=
6= 0;
u3 u4 ; 2u2 cos 2 + 1
u3 u4 ; 2u2 cos 2 + 1
а критическая точка u = 0 2= (;1; ;1] [ [1; +1). Следовательно, точек экстремума не существует. Так как
2'(u2 ; )
R00 (u) = 4 p 4
;
u (u ; 2u2 cos 2 + 1)3
где '(u2 ; ) = u10 ; 3 cos 2u8 + 3(1 + cos 2)u6 ; (4 cos2 2 + cos 2 + 5)u4 + 9 cos 2u2 ; 3, то
точки, подозрительные на перегиб, находятся среди корней уравнения '(u2 ; ) = 0. Произведем
замену u2 = t и рассмотрим функцию '(t; ), t 1. Проверим ее знак на границах '(1; ) =
;4(cos 2;1)2 < 0, t!lim
'(t; ) = +1. Поэтому функция '(t; ) имеет нуль в некоторой точке te0 :
+1
При подробном исследовании функции '(t; ) устанавливается факт единственности нуля te0 при
заданных условиях. Рассматривая te0 как функцию te0 (), 2 [0; =2], обнаруживаем свойство
монотонности, причем = 0 | точка минимума, = =2 | точка максимума.
Теперь можно дать полную характеристику кривых в рассматриваемом сечении. При = 0
имеем кривые, выпуклые вниз. При 2 (0; =2] имеем кривые с двумя точками перегиба, по
одной для каждой из них (в силу четности R(u)), которые монотонным образом при изменении
18
p
параметра от 0 до =2 симметрично движутся от 1 к 4 3. Последние значения находятся
непосредственным вычислением после подстановки = 0 и = =2.
Таким образом, первая часть теоремы доказана. Справедливость второй части вытекает
непосредственно из общего утверждения для соответствующих областей [2].
Отметим предельные положения параметра, при которых происходит вырождение области.
При = 0 внешность прямоугольника вырождается во внешность горизонтального разреза
[;2; 2], при = =2 { во внешность вертикального разреза [;2i; 2i].
Для получения других возможных предельных положений запишем отображающую функцию в виде
Z ! p
(! ; ei )(! ; ei )(! ; ei )(! ; ei ) d!
F (!) =
!2
1
0
с условием Res
F (!) = 0. Установим, при каких значениях параметров будет выполняться усло!=0
вие однозначности. Для этого достаточно вычислить вычет подинтегральной функции в нуле
p
i
i
i
i
Res (! ; e )(! ; e )(! ; e )(! ; e ) =
!=0
!2
= ; 21 e; 2 (++ +) [ei(++ ) + ei(++) + ei(+ +) + ei(+ +) ]:
Следовательно, условие однозначности выглядит так:
ei(++ ) + ei(++) + ei(+ +) + ei(+ +) = 0:
Оно эквивалентно равенству ei + ei + ei + ei = 0. Рассмотрев соответствующую векторную
диаграмму, легко показать, что в этом случае четыре отмеченные точки являются вершинами
прямоугольника, вписанного в единичный круг. Это значит, что поворотом круга можно добиться того, чтобы эти вершины заняли положение ei (с четырьмя комбинациями знаков).
Следовательно, никаких других, кроме вышеуказанных, вырождений области не обнаруживается.
+
Теорема 7. Существуют выпуклые многоугольные области, для которых поверхность конформного радиуса, построенная над кругом, не является поверхностью, выпуклой вверх.
Доказательство. Организуем отображение единичного круга на внутренность многоугольной области следующим образом. Пусть точка ;i переходит в нуль, прообразом одной из вершин многоугольника является точка ei , соседней с ней | точка ;e;i , а точка i и прообразы
остальных вершин лежат между указанными двумя симметричными точками. Отображающая
функция запишется в виде
Z Y
n
f ( ) =
( ; ak ) ;1 d:
i
k
;i k=1
Осуществим некоторые преобразования. Если стянуть точки ei и ;e;i к i, а вместе с ними к i стянутся и все лежащие между ними, то при вычислении соответствующего интеграла
Кристоффеля{Шварца будем иметь
Z Z Z i +i
n
;
2
;
n
1 +2 ++ ;n
e
f ( ) = ( ; i)
d = ( ; i)
d = ( ; i);2 d =
2 ; i:
;i
;i
;i
Полученное отображение переводит круг в полуплоскость, поверхность конформного радиуса
которой не выпукла [3]. Тогда
i +i
f ( ) =
2 ; i + '( );
где
#
Z "Y
n
( ; ak ) ;1 ; ( ; i)1 +2 ++ ;n d
'( ) = f ( ) ; fe( ) =
n
k
;i k=1
19
n
| функция, близкая к тождественному нулю внутри E . Следовательно, поверхность, соответствующая функции f ( ), не может быть выпуклой вверх.
Замечание. Теорема 7 выполняется и для невыпуклых многоугольников, даже с усилением.
Именно, утверждение теоремы справедливо для любого такого многоугольника, у которого хотя
бы один внутренний угол больше .
Литература
1. Ковалев Л.В. Приведенные модули и теоремы искажения в теории однолистных функций.
{ Дис. : : : канд. физ.-матем. наук. { Владивосток, 2000. { 106 с.
2. Аксентьев Л.А. Локальное строение поверхности внутреннего конформного радиуса для
плоской области // Изв. вузов. Математика. { 2002. { Є 4. { C. 3{12.
3. Аксентьев Л.А. Выпуклость поверхности конформного радиуса и оценки коэффициентов
отображающей функции // Изв. вузов. Математика. { 2004. { Є 4. { C. 8{15.
4. Хейман В.К. Многолистные функции. { М.: Ин. лит., 1960. { 180 с.
5. Kovalev L.V. Domains with convex hyperbolic radius // Acta Math. Universitatis Comenianae. {
2001. { V. 70. { P. 207{213.
6. Avkhadiev F.G., Wirths K.-J. The conformal radius as a function and its gradient image // Israel
J. of math. { 2005. { V. 145. { P. 349{374.
Казанский государственный
университет
Поступила
21.06.2006
20
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
192 Кб
Теги
выпуклости, области, конформных, плоское, поверхности, радиусов, определяемых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа