close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О геометрии вполне геодезических римановых слоений.

код для вставкиСкачать
1999
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 9 (448)
УДК 513.8
А.Я. НАРМАНОВ
О ГЕОМЕТРИИ ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ РИМАНОВЫХ СЛОЕНИЙ
Пусть M | гладкое связное приводимое риманово многообразие. Тогда на M существуют
два параллельных слоения, взаимно дополнительных по ортогональности ([1], с. 173). Если M
полно и односвязно, то имеет место теорема де Рама, которая утверждает, что M изометрично
прямому произведению любых двух слоев из разных слоений ([1], с. 180). В этом случае оба слоения являются римановыми и вполне геодезическими одновременно. В данной работе изучается
риманово вполне геодезическое слоение на M , причем полная интегрируемость дополнительного
ортогонального распределения не предполагается. В статье всюду гладкость означает гладкость
класса C 1.
1. Пусть M | гладкое связное полное риманово многообразие размерности n с римановой
метрикой g, r | связность Леви-Чивита, F { гладкое слоение размерности k на M ([2]; [3],
c. 24). Обозначим через L(p) слой слоения F , проходящий через точку p, F (p) | касательное
пространство слоя L(p) в точке p, H (p) | ортогональное дополнение F (p) в Tp M , p 2 M . Возникают два подрасслоения (гладкие распределения) TF = fF (p) : p 2 M g, H = fH (p) : p 2 M g
касательного расслоения TM такие, что TM = TF H , где H является ортогональным дополнением TF . По определению слоения, для каждой точки p 2 M существует окрестность U точки p
и локальная система координат (x1 ; x2 ; : : : ; xk ; y1 ; y2 ; : : : ; yn;k ) на U такие, что f @x@ 1 ; @x@ 2 ; : : : ; @x@ g
образует базис для гладких сечений TF jU (сужение TF на U ) [2]. Пусть !1 ; !2 ; : : : ; !k | гладкие
дифференциальные I -формы, 1 ; 2 ; : : : ; m | гладкие векторные поля на U такие, что f!i ; dy g
образуют локальный базис для сечений кокасательного расслоения, f @x@ ; g образуют базис
для сечений касательного расслоения TU = TF jU H jU , двойственной к f!i ; dy g, где m = n ; k,
1 i k, 1 m. Такую окрестность обозначим через U (x; y).
Теперь предположим, что F является римановым слоением по отношению к g [2], [3]. Это
означает, что в каждой окрестности U (x; y) риманова метрика g имеет вид
gi (x; y)!i !j + g (y)dy dy ;
где 1 i, j k, 1 , m, x = (x1 ; x2 ; : : : ; xk ), y = (y1 ; y2 ; : : : ; ym ).
Замечание. В целях упрощения обозначений, в выражениях, где имеется суммирование по
повторяющимся индексам, будем опускать знак суммирования.
Кусочно-гладкую кривую : [0; 1] ! M назовем горизонтальной, если _ (t) 2 H ( (t)) для
каждого t 2 [0; 1]. Кусочно-гладкая кривая, которая лежит в слое F , называется вертикальной.
Пусть I = [0; 1], : I ! M | вертикальная кривая, h : I ! M | горизонтальная кривая
и h(0) = (0). Кусочно-гладкое отображение P : I I ! M такое, что t ! P (t; s) является вертикальной кривой для каждого s 2 I , кривая s ! P (t; s) является горизонтальной для
каждого t 2 I , причем P (t; 0) = (t) для t 2 I , P (0; s) = h(s) для s 2 I , называется вертикальногоризонтальной гомотопией [4], [5]. Если для каждой пары вертикальной и горизонтальной кривых v; h : I ! M с v(0) = h(0) существует соответствующая вертикально-горизонтальная гомотопия P , то говорят, что распределение H является связностью Эресмана для слоения F [5],
[6]. Так как рассматриваемое слоение F риманово, и многообразие M полно, распределение H
является связностью Эресмана для F [4], [5]. Для каждой окрестности U = U (x; y) слоение F jU
k
i
j
26
(сужение F на U ) задается гладкой субмерсией f : U ! Rn;k [2]. Как показано в [5], сужение H
на U является связностью Эресмана для сужения F на U тогда и только тогда, когда сужение
H на U является связностью Эресмана для расслоения f : U ! Rn;k .
Пусть 1 : TM ! TF , 2 : TM ! H | ортогональные проекции, V (M ), V (F ), V (H ) |
множество гладких сечений расслоений TM , TF , H соответственно. Если X 2 V (F ) (X 2 V (H )),
то X назовем вертикальным (горизонтальным) полем.
Пусть каждый слой F является вполне геодезическим подмногообразием M . Это эквивалентно тому, что rX Y 2 V (F ) для всех X; Y 2 V (F ) ([3], с. 47{61). В этом случае говорят, что F
является вполне геодезическим слоением. В дальнейшем будем предполагать, что F является
римановым слоением, слои которого являются вполне геодезическими подмногообразиями M .
Тогда на расслоениях TF и H определены метрические связности r1 и r2 следующим образом.
Если X 2 V (F ), Y 2 V (H ), Z 2 V (M ), то
r1Z X = 1(rZ X ); r2Z Y = 2[Z1 ; Ye ] + 2[rZ2 Y ];
где Z = Z1 Z2 , Z1 2 V (F ), Z2 2 V (H ), Ye 2 V (M ), 2 Ye = Y ; здесь [Z1 ; Ye ] | скобка Ли
векторных полей Z1 и Ye . r2 является метрической связностью тогда и только тогда, когда F
является римановым. В силу того, что F вполне геодезично, r1 также является метрической
связностью ([3], с. 47{61; [7], с. 257).
Пусть p 2 M , S (p) | множество точек M , которые можно соединять с p горизонтальными
кривыми. В силу того, что F вполне геодезично, для каждого p 2 M множество S (p) обладает
топологией и дифференциальной структурой, по отношению к которым S (p) является гладким
погруженным подмногообразием M ([6], теорема 4).
Лемма 1. dim S (p) n ; k для каждой точки p 2 M .
Доказательство. Пусть p 2 M . Существует достаточно малое " > 0 такое, что expp : B" !
V является диффеоморфизмом, где B" = fX 2 Tp M : jX j < "g, V | открытая окрестность
точки p, jX j | длина вектора X , expp | экспоненциальное отображение в точке p. Положим
H" = B" \ H (p), Q(p) = expp (H"). Так как F риманово, всякая геодезическая, ортогональная в
некоторой своей точке к слою F , остается ортогональной к слоям F во всех своих точках ([2],
с. 123). Следовательно, Q(p) S (p).
Пусть P : I I ! M | вертикально-горизонтальная гомотопия. Обозначим через Ds P (t; s)
касательный вектор кривой s ! P (t; s) в точке P (t; s), через Dt P (t; s) касательный вектор кривой t ! P (t; s) в точке P (t; s).
1
Лемма 2. Пусть X (t; s) = Ds P (t; s), Y (t; s) = Dt P (t; s), для (t; s) 2 I I . Тогда rX Y = 0 и
r2Y X = 0.
Доказательство. Нетрудно проверить, что [X; Y ] = 0. Так как Y | вертикальное поле,
имеем r2Y X = 2 [X; Y ]. Известно, чтоr1Z Y = 1 [Z; Y ] для каждого горизонтального поля Z ([3],
с. 59).
e , относительно которой распределения
2. В этом пункте вводится метрическая связность r
TF и H являются параллельными, и изучаются проекции гладкой кривой : I ! M в L(p0 )
и S (p0 ), где p0 = (0), которые определяются с помощью связности re . Так как распределение H является связностью Эресмана для слоения F , существует единственная вертикальногоризонтальная гомотопия P : I I ! M такая, что (t) = P (t; t) для t 2 I [5]. В доказательстве
теоремы де Рама проекции кривой в L(p0 ) и в S (p0 ) определены с помощью r, и показано,
что проекции в L(p0 ) и в S (p0 ) совпадают с кривыми P (; 0) : I ! M и P (0; ) : I ! M
соответственно. При этом используется то, что распределение H является вполне интегрируемым ([1], с. 180{183). Ниже будет доказан аналогичный факт для проекций , определенных с
помощью re без предположения о том, что H вполне интегрируемо. Доказательство дано для
гладкой кривой , содержащейся в достаточно малой окрестности точки p0 = (0) (теорема 1).
27
В общем случае это утверждение легко получается из локального варианта делением отрезка
I на конечное число мелких частей Ij таких, что для проекции кривой : Ij ! M имеет место
утверждение теоремы 1.
Теорема 2 утверждает, что связность re совпадает с r тогда и только тогда, когда распределение H вполне интегрируемо.
Полагая re Z X = r1Z X1 r2Z X2 , где X , Z 2 V (M ), Xi = i (X ), i = 1; 2, получим метрическую связность re на TM . Нетрудно проверить, что распределения TF и H параллельны
относительно re . Пусть : I ! M | гладкая кривая, (0) = p0 и (1) = p, C : I ! Tp0 M
| развертка кривой в Tp0 M , определенная связностью re . (Cм. определение развертки в ([1],
с. 129). Здесь для удобства касательное векторное пространство Tp0 M отождествляется с аффинным касательным пространством в точке p0 .) Пусть C (t) = (A(t); B (t)), где A(t) 2 F (p0 ),
B (t) 2 H (p0 ) для t 2 I . Так как M | полное риманово многообразие, re | метрическая связность, существуют гладкие кривые 1 ; 2 : I ! M , которые развертываются на кривые t ! A(t)
и t ! B (t) соответственно ([1], с. 167, теорема 4.1). Согласно предложению 4.1 ([1], с. 129) i |
такая кривая, что результат параллельного переноса _ i (t) в точку p0 вдоль i;1 , определенного
связностью re , совпадает с результатом параллельного переноса i (_ (t)) в точку p0 вдоль ;1 ,
также определенного связностью re , где i = 1; 2. Следовательно, 1 является вертикальной кривой, а кривая 2 является горизонтальной. Кривые 1 , 2 назовем проекциями кривой в L(p0 )
и в S (p0 ) соответственно.
Пусть q0 2 M , U | достаточно малая связная относительно компактная окрестность точки
q0 в слое L(q0), B ! U | расслоение, слой которого над q 2 U есть открытый шар в H (q)
радиуса . Тогда для достаточно малого > 0 экспоненциальные отображения связности r,
определенные в точках U , определяют диффеоморфизм
expU : B ! V
множества B на некоторую окрестность V точки q0 в M , содержащую U . Причем, если p 2 V
и p = expq (X ), q 2 U , X 2 H (q), то расстояние r(p; q) = jX j реализуется геодезической, чья
скорость в точке q равна X . При этом проекция 1 : V ! U , 1 (p) = q, является гладким
тривиальным расслоением, слои которого диффеоморфны открытому шару в Rn;k . Обозначим
через Q(q) слой расслоения 1 : V ! U , проходящий через точку q 2 U . Для достаточно
малого > 0 слои слоения F jV и слои расслоения 1 : V ! U пересекаются трансверсально.
Следовательно, слоение F jV можно задать гладкой субмерсией 2 : V ! Q(q0 ), при которой
2(p) = q, если p 2 Lq , где Lq | слой слоения F jV , проходящий через точку q 2 Q(q0 ). Пусть
: I ! V | гладкая кривая, q0 = (0), = 2 ( ). В п. 1 отмечалось, что распределение
H является связностью Эресмана для расслоения 2 : V ! Q(q0 ). Поэтому для каждого t 2 I
существует единственное горизонтальное поднятие Pt : I ! V с начальным условием Pt (t) = (t)
кривой : I ! Q(q0 ). Полагая P (t; s) = Pt (s), получим вертикально-горизонтальную гомотопию
P : I I ! M такую, что (t) = P (t; t). Эта гомотопия единственным образом определяется
кривой .
Теорема 1. Проекция кривой : I ! V в L(q0 ) (в S (q0 )) есть кривая P (; 0) : I ! L(q0 )
(соответственно P (0; ) : I ! S (q0 )).
Доказательство. Пусть _ (t) = _ 1 (t) _ 2 (t) | касательный вектор кривой в точке (t),
где _ 1 (t) 2 F ( (t)), _ 2 (t) 2 H ( (t)), t 2 I . В дальнейшем всюду под параллельным переносом
касательного вектора будем понимать параллельный перенос, определенный связностью re . Для
того чтобы показать, что проекция в L(q0 ) (в S (q0 )) совпадает с = P (; 0) : I ! L(q0 )
(соответственно с h = P (0; ) : I ! S (q0 )), достаточно показать, что параллельный перенос
касательного вектора _ 1 (t) в точку q0 вдоль ;1 совпадает с результатом параллельного переноса
касательного вектора _ (t) в точку q0 вдоль ;1 (соответственно параллельный перенос вектора
_ 2 (t) в точку q0 вдоль ;1 совпадает с параллельным переносом h_ (t) в точку q0 вдоль h;1 ).
28
Докажем этот факт сначала для проекции в S (q0 ). Пусть Z (t) | горизонтальное поле вдоль
: [0; ] ! M , которое задает параллельный перенос _ 2 ( ) из ( ) в q0 . Будем считать = 1, что
не ограничивает общности. Тогда r2_ Z = 0 и Z (1) = _ 2 (1). Положим Y (t; s) = Dt P (t; s), X (t; s) =
Ds P (t; s) для (t; s) 2 I I . Очевидно, _ (t) = Y (t; t) X (t; t) и r2_ Z = 2 [Y; Z ] + 2 (rxZ ) вдоль
. Определим Z во всех точках P (s; t) следующим образом: вектор Z (t) параллельно переносим
из точки (t) в точку P (s; t) вдоль интегральной кривой векторного поля Y , проходящий через
точку (t), t; s 2 I . Так как r2 | метрическая связность, имеем Y g(Z; Z ) = 0. С другой стороны,
в силу того, что F риманово и Z горизонтально, из ([3], с. 47{61) имеем Y g(Z; Z ) = 2g(Z; [Y; Z ]).
Отсюда вытекает, что [Y; Z ] является вертикальным полем. Следовательно, r2_ Z = 2 (rx Z ) и
r2_ Z = 0 вдоль влечет, что rxZ является вертикальным полем вдоль .
Положим L0 (s) = (2 );1 (q) для s 2 I , где q = (s). Тогда L0 (q) является слоем расслоения
2 : V ! Q(q0 ) над точкой q. Семейство fL0 (s) : s 2 I g образует слоение F 0 коразмерности один
на многообразие N 0 = (2 );1 (; ), где ; | образ кривой , т. е. ; = ([0; 1]). Каждый слой
слоения F 0 пересекает горизонтальную кривую h = P (0; ) : I ! N 0 трансверсально в одной
точке. Поэтому слоение F 0 можно задать субмерсией : N 0 ! ;h , где ;h | образ кривой h.
Пусть fs0 | голономное отображение слоения F 0 вдоль кривой vs;01 , где vs0 = P (; s0 ) : [0; t] !
L0(s), t 2 I . Тогда по определению голономного отображения имеем fs0 (P (t; s)) = P (0; s) для
s близких к s0. В силу того, что слоение F риманово, слоение F 0 также является римановым.
Поэтому дифференциал fs0 отображения fs0 в точке vs0 (t) совпадает с параллельным переносом
вдоль vs;01 , определенным связностью r2 [7].
Отсюда Z (t; s) = Z (0; s) для t; s 2 I , где | дифференциал отображения . По лемме 2
касательный вектор получен параллельным переносом касательного вектора _ 2 (s) вдоль кривой
P (; s) : [0; s] ! L0(s). Поэтому имеет место h_ (s) = _ 2 (s) для s 2 I , и в частности, Z (0; 1) =
h_ (1). Следовательно, rh_ Z = r_ 2 Z . В силу того, что F 0 | риманово слоение, голономное
отображение fs0 сохраняет длину горизонтальных кривых [8]. Поэтому по утверждению 3.1
работы [8] имеем rh_ Z (0; s) = (rx Z (t; s)). Так как rx Z вертикально, (rx Z ) = 0, т. е. rh_ Z =
0, что в свою очередь влечет r2h_ Z = 0.
Теперь докажем, что проекция в L(q0 ) совпадает с . Для удобства, как и выше, предположим = 1. Пусть параллельный перенос _ 1 (1) в точку q0 вдоль ;1 задается вертикальным
полем Z , определенным вдоль . Тогда r1_ Z = 0. Определим Z во всех точках P (t; s) следующим
образом: вектор Z (t) из точки (t) параллельно переносим в точку P (t; s) вдоль интегральной
кривой векторного поля X , проходящий через точку (t), t; s 2 I .
Пусть X | поле касательных векторов кривой в Q(q0 ). Не ограничивая общности, будем считать, что X определено на Q(q0 ), т. к. всегда X можем продолжить на некоторую
окрестность кривой . Поскольку распределение H является связностью Эресмана для слоения
F , векторное поле X имеет горизонтальное поднятие на V , которое обозначим через X (т. к.
его сужение на поверхность P : I I ! V совпадает с X ). Таким образом, теперь векторное
поле X определено на V и является горизонтальным поднятием векторного поля X . Поэтому каждый слой расслоения 2 : V ! Q(q0 ) под действием потока X переходит в слой этого
расслоения, следовательно, для каждого вертикального поля W скобка Ли [X; W ] является
вертикальным полем. Теперь вертикальное поле Z продолжим на некоторую окрестность поверхности P : I I ! N . Из равенства g([X; Z ]; W ) = g(rX Z; W ) ; g(rZ X; W ) для произвольного
гладкого вертикального поля W с учетом соотношений g(rZ X; W ) = Zg(X; W ) ; g(X; rZ W ),
g(X; W ) = g(X; rZ W ) = 0 получаем g([X; Z ]; W ) = g(rX Z; W ). Так как W | произвольное
вертикальное поле, отсюда вытекает, что 1 (rX Z ) = 1 [X; Z ]. Так как r1 | метрическая связность, имеет место Xg(Z; Z ) = 0 в точках поверхности P : I I ! V . С другой стороны
Xg(Z; Z ) = 2g(Z; rX Z ), следовательно, в точках P (t; s) векторные поля rX Z и [X; Z ] являются
горизонтальными полями. Отсюда вытекает, что 1 (rX Z ) = 0, и [X; Z ] = 0 в точках поверхности P : I I ! V . Значит, если учесть _ = Y X , то имеем 1 (r_ Z ) = 1 (rY Z ) вдоль .
В силу вполне геодезичности F векторное поле rY Z является вертикальным, следовательно,
rY Z = 0 вдоль . Необходимо доказать, что r_ Z = 0. Пусть fs | горизонтальное голоном29
ное отображение вдоль горизонтальной кривой h;s 1 , где hs | сужение h на [0; s], s 2 I . По
определению горизонтального голономного отображения, если x | точка из (2 );1 (q), q = (s),
то точка fs (x) из (2 );1 (q0 ) определяется следующим образом: если vx : [0; 1] ! V | гладкая
вертикальная кривая, соединяющая точку h(s) с точкой x, Q : [0; 1] [0; s] ! V | вертикальногоризонтальная гомотопия для пары (vx ; h;s 1 ), то fs (x) = Q(1; s). Известно, что fs является
диффеоморфизмом слоев (2 );1 ((s)) и (2 );1 (q0 ) расслоения 2 : V ! Q(q0 ). Для вполне геодезических слоений fs является изометрией [9]. Поэтому, если (fs ) - дифференциал отображения
fs , то (fs) rY Z = r(f )Y (fs) Z ([1], с. 156).
Так как [X; Z ] = 0 в точках поверхности P : I I ! M , интегральная кривая векторного
поля Z , начинающаяся в точках P (t; s), под действием потока векторного поля X переходит в
интегральную кривую Z . Следовательно, fZ (t; s) = Z (t; 0) для (t; s) 2 I I . Также из [X; Y ] = 0
получаем (fs ) Y (t; s) = Y (t; 0) для (t; s) 2 I I . Отсюда вытекает (fs ) rY Z = rv_ Z . Так как
rY Z = 0 вдоль , получим rv_ Z = 0. Таким образом, Z параллельно вдоль v. По лемме 2 вектор
v_ (1) получается параллельным переносом Z (1; 1) вдоль интегральной кривой векторного поля
X . Поэтому Z (1; 0) = v_ (1).
Теорема 2. Следующие утверждения эквивалентны.
1. Распределение H вполне интегрируемо (т. е. dim S (p) = n ; k для каждого p 2 M ).
2. re является связностью без кручения (т. е. re = r).
Доказательство. Покажем, что 1)) 2).
Пусть H вполне интегрируемо. Тогда семейство fS (p); p 2 M g порождает (n;k)-мерное слоение F ? многообразия M , которое является одновременно римановым и вполне геодезическим.
Для любых векторных полей X; Y 2 V (H ) имеем [X; Y ] 2 V (H ) (по теореме Фробениуса),
rX Y 2 V (H ) (в силу того, что F ? вполне геодезично) (см., напр., в [3]). Покажем, что re
является связностью без кручения, т. е. re X Y ; re Y X = [X; Y ], для любых Х; Y 2 V (M ). Вычислим левую часть требуемого равенства. Пусть X = X1 X2 , Y = Y1 Y2 , где Хi = i Х,
Yi = i Y , i = 1; 2. Тогда re X Y = r1X Y1 + r2X Y2 = 1 (rX Y1 ) + 2 [X1 ; Y2 ) + 2 (rX2 Y2) =
rX1 Y1 + 1(rX2 Y1 ) + 2[X1 ; Y2 ] + (rX2 Y2). Как отметили в п. 1, 1 (rX2 Y1) = 1[X2 ; Y1] из-за
горизонтальности X2 . Учитывая это, получим
re X Y = rX1 Y1 + 1[X2 ; Y1 ] + r2X Y2:
Аналогично
re Y X = rY1 X1 + 1[Y2 ; X1 ] + r2Y X2 :
Учитывая равенство rX Y ; rY X = [X; Y ], получим re X Y ; re Y X = [X; Y ]. Таким образом, re
| метрическая связность без кручения. Так как риманова метрика определяет единственную
метрическую связность без кручения, имеем re = r.
Теперь покажем, что 2))1). Пусть re = r. Тогда распределение H параллельно относительно r, следовательно, H интегрируемо по предложению 5.1 из [1].
Замечание. Как показывает известное расслоение Хопфа на трехмерной сфере, распределение H не всегда вполне интегрируемо. В случае, когда H вполне интегрируемо, имеет место
теорема де Рама: если M односвязно, то M изометрично произведению L(p) S (p) для каждого p 2 M . В этом случае S (p) является слоем слоения F ? , порожденного распределением H .
Определяются проекции произвольной точки p 2 M в L(p0 ) и в S (p0 ) для некоторого p0 2 М
следующим образом. Пусть : I ! M | гладкая кривая, (0) = p0 , (1) = p, | проекция в L(p0 ), h | проекция в S (p0 ). Конечные точки кривых и h назовем проекциями р в L(p0 )
и в S (p0 ) соответственно. В силу того, что H вполне интегрируемо, проекция p зависит только от класса гомотопии кривой . Поэтому, когда M односвязно, отображение f : p ! (p1 ; p2 )
корректно определено. По теоремам 1 и 2 оно является изометрическим погружением. В силу
dim M = dimfL(p0 ) S (p0 )g отображение f является накрытием, следовательно, оно является
изометрией ([1], с. 134).
s
30
Литература
1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. T. 1. { М.: Наука, 1981. {
344 c.
2. Reinhart B. Foliated manifolds with bundle like metrics // Ann. Math. { 1959. { V. 69. { Є 1. {
P. 119{132.
3. Tondeur Ph. Foliations on Riemannian manifolds. { New York: Springer{Verlag, 1988. { 247 p.
4. Hermann R. On the dierential geometry of foliations // Ann. Math. Mech. { 1960. { V. 72. { Є 3.
{ P. 445{457.
5. Blumenthal R., Hebda J. Ehresman connections for foliations // Indiana Univ. Math. J. { 1984. {
V. 33. { Є 4. { P. 597{611.
6. Blumenthal R., Hebda J. Complementary distributions which preserve the leaf geometry and
applications to totally geodesic foliations // Quart. J. Math. { 1984. { V. 35. { P. 383{392.
7. Morgan A. Holonomy and metric properties of foliations in higher codimension // Proc. Amer.
Math. Soc. { 1976. { V. 58. { P. 255{261.
8. Hermann R. A sucient condition that a mapping of Riemannian manifolds be a bre bundle //
Proc. Amer. Math. Soc. { 1960. { V. 11. { P. 236{242.
9. Johnson D., Whitt L. Totally geodesic foliations on 3-manifolds // Proc. Amer. Math. Soc. { 1979.
{ V. 76. { P. 355{357.
Ташкентский государственный
университет
Поступили
первый вариант 17.12.1997
окончательный вариант 29.10.1998
31
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
172 Кб
Теги
геометрия, геодезических, слоений, римановы, вполне
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа