close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О геометрии эволюционного уравнения третьего порядка.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ
ВЫСШИХ
1998
УЧЕБНЫХ
ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 6 (433)
УДК 514.762
К.В. СЕМЕНОВ
О ГЕОМЕТРИИ ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Введение
В данной работе изучается дифференциально-геометрическая структура, порожденная эволюционным дифференциальным уравнением. Построен фундаментальный объект, определяющий геометрию уравнения. Найдена связность, охваченная продолженным фундаментальным
объектом. Указаны условия, при которых связность может быть расширена до связности в
расслоении с более широкой структурной группой и условия, при выполнении которых расширенная связность определяет представление нулевой кривизны для заданного эволюционного
уравнения третьего порядка.
1. Фундаментальный объект
Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка следующего вида:
ut = '(t; x ; : : : ; xn; u; uj ; ujk ; ujkl ):
()
Здесь t; x ; : : : ; xn | независимые переменные; при этом t = x | выделенная переменная (имеющая смысл \времени"), x ; : : : ; xn | пространственные переменные, u { неизвестная функция,
uj , ujk , ujkl | ее частные производные по переменным xi до третьего порядка включительно.
Условимся рассматривать t; x ; : : : ; xn ; u как адаптированные локальные координаты расслоенного (n +2)-мерного многообразия E с расслоенной (n +1)-мерной базой M, локальными координатами которой являются переменные t; x ; : : : ; xn . Допустимыми преобразованиями локальных
1
1
0
1
1
1
координат являются невырожденные преобразования вида
8
>
>~ =
<
t ' (t);
x~i = 'i (t; x ; : : : ; xn ); i = 1; : : : ; n;
>
>
:
u~ = 'n (t; x ; : : : ; xn ; u):
0
1
+1
(1a)
1
Эти преобразования можно переписать следующим образом:
8
>
>
<
t = (t~);
xi = i (t~; x~ ; : : : ; x~n); i = 1; : : : ; n;
>
>
:
u = n (t~; x~ ; : : : ; x~n; u):
0
1
+1
(1б)
1
Запишем уравнение () в более общем виде
; '(t; x ; : : : ; xn ; u; j ; jk ; jkl ) = 0;
0
1
67
(2)
где t; x1 ; : : : ; xn ; u; j ; jk ; jkl (j; k; l; : : : = 0; 1; : : : ; n) | локальные координаты многообразия
голономных 3-струй локальных сечений расслоения E. Закон преобразования локальных координат голономных струй тот же, что и у соответствующих частных производных ut ; uj ; ujk ; ujkl ,
например,
n+1 0
n+1
~0 = @' d 0 ; ~i = @' i :
@u dt
@u
Из вида преобразований локальных координат струй следует, что t; xi ; u; j ; jk ; jkl можно одновременно рассматривать и как часть локальных координат многообразия J3 E, и как всю
3
совокупность локальных координат некоторого многообразия J E, которое является фактор3
многообразием многообразия J3 E. В дальнейшем наряду с многообразием J E нам придется
4
рассматривать многообразие J E, главными формами которого являются формы !i , !n+1 , !jn+1 ,
n+1 , ! n+1 , и многообразие J5 E, главными формами которого являются формы ! i , ! n+1 ,
!jkn+1, !jkl
jklm
!jn+1, !in1+1
;:::;ik , k = 2; : : : ; 5. Эти многообразия являются фактор-многообразиями многообразий
4
5
J E и J E.
В результате произвольного допустимого преобразования локальных координат уравнение
(2) примет вид
@ n+1 d'0 ~ ; '
@ u~ dt 0 t= 0(t~) = 0:
3
В этом уравнении левая часть представляет собой функцию, заданную на J E; сама эта функция не меняется при допустимых преобразованиях локальных координат, меняется только ее
выражение в локальных координатах. Однако при подобных преобразованиях координат
это
n+1
0 ;1
@
d'
уравнение теряет вид (2). Можем снова представить его в виде (2), умножив его на @ u~ dt
,
но тогда, вообще говоря, изменится функция, стоящая в левой части уравнения (2).
Этого не произойдет, если допустимые преобразования будут удовлетворять условию
d'
@ u~ dt = 1;
что имеет место, например, когда переменные t; xi ; u преобразуются следующим образом:
8
~
>
>
<t = t + c;
(3)
xi = i (t~; x~ ; ; x~n );
>
>
:
u = u~ + (t~; x~ ; ; x~n ):
@
n+1
0
1
1
Таким образом, если ограничимся преобразованиями вида (3), то выражение
; '(t; x ; : : : ; xn ; u; j ; jk ; jkl )
1
0
является инвариантным, поэтому уравнение (2) задает на многообразии функцию. Преобразования вида (3) составляют группу, которая является подгруппой группы невырожденных преобразований (1).
Пусть
!i; !n ; !nn ; ! ; !ji ; !nn ; !jn ; ! ; !jik ; !nn
^
+1
+1
+1
0
0
^
^
+1
+1
^
+1
0
00
^
^^
;n+1 ;
+1
+1
:::
(4)
| последовательность симметричных по нижним индексам структурных форм расслоений голономных реперов многообразия E. При этом формы !^i ; !n+1 ; !^in1+1
;:::;^ik (k = 1; 2; : : : ; r ) являются
r
главными формами в расслоении голономных r-струй J E. В качестве главных форм могут,
в частности, быть выбраны так называемые контактные формы, т. е. формы вида !^i = dx^i ;
^
j
!n+1 = du ; ^idx^i ; !^in1+1
;:::;^ik = d^i1 ;:::;^ik ^j dx .
68
Для любого сечения E, заданного уравнением u = u(t; x1 ; : : : ; xn ), можно рассматривать поднятые сечения r Jr E, заданные уравнениями
Замечание 1.1.
u = u(t; x ; : : : ; xn); i1 ;:::;ik = ui1 ;:::;ik (k = 1; 2; : : : ; r):
1
^
^
^
^
Заметим, что интегральными многообразиями системы уравнений Пфаффа
!n = !in = = !in1 ;:::;ik = 0;
+1
+1
^
^
+1
^
r+1
где !n+1 , !^in+1 ; : : : ; !^in1+1
;:::;^ik | контактные формы, являются поднятия E и только они.
J
r+1 E сечений
Структурные уравнения, которым удовлетворяют структурные формы (4), включают уравнения
8
>
>
<
d! = ! ^ ! ;
d!i = !j ^ !ji + ! ^ ! ;
>
>
: n
d! = !n ^ !nn + !j ^ !jn + ! ^ !n
0
0
0
0
0
+1
+1
(5)
0
0
+1
+1
+1
0
0
+1
и уравнения, которые получаются в процессе правильного продолжения (см. об этом в [1])
уравнений (5).
Дифференциал левой части уравнения (2) можно записать в виде
n :
d( ; ') = !n ; F ! ; Fi !i ; F!n ; F!n ; F j !jn ; F jk !jkn ; F jkl !jkl
0
0
+1
0
0
+1
+1
+1
+1
(6)
+1
Дифференцируя это уравнение внешним образом (с учетом (6) и структурных уравнений для
форм (4)), получим соотношение следствием которого (в силу леммы Картана) являются раз+1
ложение разности !nn+1
; !00 по главным формам многообразия J3E (здесь !n+1 заменена на
d(0 ; '), что возможно в силу (6) )
n ; (7)
!nn ; ! = ! + i !i + n !n + d( ; ') ; j !jn + ;jk !jkn + ;jkl !jkl
а также дифференциальные уравнения, которым которым удовлетворяют компоненты F jkl , F jk ,
F j , F , Fi , F (здесь равенство нулю имеет место по модулю главных форм многообразия J E),
dF jkl + F mkl !mj + F jml !mk + F jkm !ml ; F jkl !nn = 0;
k ; 3F jkm ! n
dF jk + F mk !mj + F jm !mk ; F jk !nn + F uv j !uv
m;n = 0;
i
m
i
i
n
im
n
uv
i
uvw
i
n
dF + F !m ; F !n ; 2F !m;n + F !uv + F !uvw ; 3F iuv !uv;n
= 0;
n
n
n
dF ; F!nn ; F m!m;n
; F uv !uv;n
; F jkl !jkl;n
= 0;
n
n
n
l
n
l
lk
jkl
dFi + Fl !i + F!i + F !il + F !ilk + F !ijkl = 0;
dF + Fj !j ; F!n + F j !nj + F jk !njk + F jkl !njkl = 0:
+1
+1
0
0
0
0
0
0
0
+1
+1
00
0
0
+1
0
+1
0
+1
3
0
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
0
+1
+1
0
)
+1
+1
+1
+1
+1
+1
0
+1
+1
+1
+1
+1
0
(
3
2
+1
+1
0
+1
+1
+1
+1
0
+1
Замечание 1.2. В процессе продолжения уравнения (7) получаются уравнения для коэффициентов 00 ; 0i ; 0n+1 ; : : : В частности,
n
di ; m!im + !i;n
= i; + i;j !i + i;n !n + i d( ; ') +
n + ;jkl ! n + ;jklm ! n :
+ i ;j !jn + i ;jk !jk
i
i
jkl
jklm
Рассматривая дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты F jkl ,
jk
F , F j , F , Fi , F , видим, что они суть компоненты поля геометрического объекта, заданного на
многообразии J E. Подобъектами данного объекта являются объекты fF jkl ; F jk ; F j g; fF jkl ; F jk g;
fF jkl g, причем fF jkl g является относительным тензором.
0
0
+1
+1
0
0
0
0
+1
+1
0
0
4
69
00
+1
0
0
+1
0
+1
0
+1
Объект с компонентами F jkl , F jk , F j , F , Fi , F0 условимся называть фундаментальным объектом.
Свойства дифференциально-геометрической структуры, определяемой заданием фундаментального объекта, условимся называть геометрией дифференциального уравнения (2).
В случае, если мы ограничимся преобразованиями локальных координат вида (3), задание
фундаментального объекта равносильно определению (с точностью до постоянной) функции
0 ; ' (левой части уравнения (2)).
2. Фундаментальная связность
Допустим, что наряду с псевдотензором F jkl на нашем многообразии определен обратный
ему псевдотензор Fjkl , удовлетворяющий условию
Fjuv F uvi = ji :
Известно (см. [1], [2]), что такой тензор F jkl можно построить, если существует некоторый охваченный объектом F jkl относительный инвариант J = J (F jkl ). В частности,
при n = 2 можно взять J = 23 D, где D | дискриминант кубической формы = F jkl yj yk yl . Тогда
F111 = 21J @F@J111 ; F112 = ; 61J @F@J112 ; F122 = 61J @F@J122 ; F222 = 21J @F@J222 :
Поскольку (см. [2])
J = F 111 F 112F 122 F 222 ; 32 (F 112 )3F 222 ; 23 F 111 (F 122 )3 + 21 (F 112 )2(F 122 )2 ; 16 (F 111 )2 (F 222 )2;
то J 6= 0, если существует локальная система координат, по отношению к которой компоненты
тензора принимают значения
Замечание 2.1.
F
112
= F 122 = 0; F 111 = F 222 = 1:
Уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты Fjkl , имеют вид
dFjkl ; Fmkl !jm ; Fjml !km ; Fjkm !lm + Fjkl !nn = 0
+1
+1
(равенство нулю имеет место по модулю главных форм многообразия
потребуем выполнения следующего условия невырожденности:
3
). Дополнительно
J E
det Fe jki 6= 0; i; j; k; ; ; = 1; : : : ; n;
где
!
e
F
(8)
!
i = i + F iu F + F iu F ; i F F u ;
u j k
u j k
j k
j k u
jk (
(
)
)
(
)
)
(
; ; при этом тройкаиндексов jki указывает на номер строки, а тройка | на номер столбца
e i матрицы F jk .
Из рассмотрения дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют
e i | тензор. Данное условие выполнено в предположениF
jk ях замечания 2.1. Если условие невырожденности выполнено, то можно ввести тензор F jki ,
i
обратный тензору Fe jk , так, что
e
F
Замечание 2.2.
i jk , можно заключить, что
i
F jk
;1
= F
e i jk ;
e
F
70
i jk F pqr = ri pj kq :
1
2
(
)
Построим объекты
;ikj F jki h
1
F
3
u (F (u;) ; Fu; ) ;
+
1
3 (
0
)
Fm 0m
1
F
3
;i0 = Fi + 2Fim 0m + ;ijk 0l Fjkl :
i
;
(9)
Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют компоненты этих объектов имеют вид
d;ijk + ;mjk !mi ; ;imk !jm ; ;ijm !jm ; !jki = ;ijk; ! + ;ijk;l !l + ;ijk;n !n +
i;uv n
i;uvw n
i;uvw; ! n ;
n
+ ;ijk d( ; ') + ;i;l
jk !l + ;jk !uv + ;jk !uvw + ;jk
uvw
i
m
i
i
i
i
j
i
n
i
d; + ; ; ; ! ; ! = ; ; ! + ; ;j ! + ; ;n ! ; d( ; ') + ;i;j !jn +
n + ;i;jkl ! n + ;i;jkln ! n :
;i;jk !jk
jkl
jkln
0
0
0
+1
0
0
0
+1
0
0
0
0
00
+1
0
0
+1
0
0
0
+1
+1
0
+1
+1
+1
+1
0
0
0
0
+1
+1
Теперь введем коэффициенты
;000 = ;F + 00 ; Fm 0m ; Fuv (0u 0v ; 0uv ) + 0mFm ;
i
;ij0 = ;i0;j + ;m
0 ;mj ;
которые, в свою очередь, удовлетворяют уравнениям
(10)
d;ij + ;mj !mi ; ;im !jm ; ;ij ! ; ;ijm !m ; !ji =
0
0
0
0
0
0
0
0
= ;ij0;0 !0 + ;ij0;k !k + ;ij0;n+1 !n+1 + ;ij00 d(0 ; ') +
d; ; ; ! ; ! = ; ! + ; ;k !k + ;
0
00
0
00
0
0
0
00
0
000
0
0
00
0
00
;n+1 !
n+1 + ;0;0 d(
00
0
; ') +
5
X
5
X
l=1
1 ;:::;il ! n+1 ;
;i;i
j0
i1 ;:::;il
;000;i1 ;:::;il !in1+1
;:::;il :
l=1
i
i
0
Из уравнений, которым удовлетворяют коэффициенты ;jk , ;j0 , ;00 , следует, что они являются
компонентами объекта связности, заданной в главном расслоении H (J E; G1).
Инвариантными структурными формами группы G1 являются формы !ij и !00 (черта над
формами означает фиксацию точки базы). Формы связности имеют следующий вид:
!~ ji = !ji + ;ij0 !0 + ;ijk !k ;
(11)
!~ 00 = !00 + ;000!0:
Они удовлетворяют структурным уравнениям
d!~ ji = !~ jm ^ !~ mi + ij ; d!~ 00 = 00:
При этом формы кривизны 00, ij имеют вид
5
i ! k ^ ! l + 2Ri ! 0 ^ ! k + 2Ri
k
n+1 + 2Ri
0
n+1 + 2Ri0 ! k ^ d( ; ') +
ij = Rjkl
0
j 0k
jkn+1 ! ^ !
j 0n+1 ! ^ !
jk
5
5
X i;i ;:::;i
X i;i ;:::;i
1 l ! k ^ ! n+1 + 2
2Rji00 ! ^ d(0 ; ') + 2 Rjk
Rj01 l !0 ^ !in1+1
i1 ;:::;il
;:::;il ;
l=1
l=1
0
o
k
0
0
00 = 2R00
k ! ^ ! + 2R00;n+1 ! ^ d(0 ; ') + 2
5
X
l=1
R j1 ;:::;jl ! ^ !jn1 ;:::;jl :
0
00
0
+1
Выражения для компонент тензора кривизны выводятся очевидным образом, но из-за громоздкости здесь не приводятся. Заметим, что выражения для ij и 00 сильно упрощаются, если в
качестве главных форм выбраны контактные формы
i ! k ^ ! l + 2Ri ! 0 ^ ! k + 2Ri0 ! k ^ d( ; ') + 2Ri0 ! 0 ^ d( ; ');
ij = Rjkl
0
0
j 0k
jk
j0
0
0
0
k
00 0
0 = 2R00k ! ^ ! + 2R00 ! ^ d(0 ; '):
71
Таким образом, доказана
(2), удовлетворяющее условию невырожденно5
(8), индуцирует связность в главном расслоении H (J E) с формами связности (11). Компоненты объекта связности определяются по формулам (9).
Теорема 1. Дифференциальное уравнение
сти
3. Расширенная фундаментальная связность
К уже имеющимся коэффициентам добавим коэффициенты
i
;i00 = ;i0;0 ; ;i0 ;000 + ;m
0 ;m0 :
(12)
Они удовлетворяют уравнениям
d; + ; !i + ;m !mi ; 2;i ! ; 2;im !m ; !i ; ;i;m!nm ; ;ijk !jkn ; ;ijkl !njkl ; ;ijklm =
0
00
0
00
0
00
00
0
0
0
0
0
00
0
+1
0
+1
0
0
0
= ;i000 !0 + ;i00;j !j + ;i00;n+1 !n+1 + ;i000 d(0 ; ') +
+1
5
X
l=1
0
1 ;:::;il ! n+1 :
;i;i
00
i1 ;:::;il
Это уравнение в процессе правильного продолжения (см. [1]) приводит к уравнениям для коi;jk , ;i;jkln , которые имеют ту же структуру, что и уравнения для F jkl , т. е.
эффициентов ;i;j
0 , ;0
5
описывают компоненты заданного на J E тензорного поля. Последнее означает, что обращение
в нуль этих коэффициентов носит инвариантный характер. В случае, когда это имеет место,
i;jk = ;i;jkl = 0:
;i;j
0 = ;0
0
(13)
Можно расширить объект связности, присоединив ;i00 к найденным коэффициентам ;ijk , ;ij0 ,
;i00 , ;000 . Добавляются следующие новые формы связности:
!~ i = !i + ;i ! + ;ij !j :
0
0
00
0
(14)
0
Эти формы удовлетворяют уравнениям
d!~ i = !~ ^ !~ i + !~ j ^ !~ ji + i ;
0
0
0
0
0
0
где
i ! 0 ^ ! k + 2Ri
k
n+1 + 2Ri
0
n+1 + 2Ri0 ! 0 ^ d( ; ') +
i0 = R0i kl !k ^ !l + 2R00
0
k
0kn+1 ! ^ !
00n+1 ! ^ !
00
+ 2Rki00 !k ^ d(0 ; ') + 2
5
X
l=1
Ri;ik1 ;:::;il !k ^ !in1;:::;il + 2
+1
0
5
X
l=1
Ri;i1 ;:::;il ! ^ !in1;:::;il :
00
0
+1
Расширенный объект связности определен в главном расслоении H (J E; G), инвариантными
структурными формами группы G являются формы !ij , !00 , !i0 (черта означает фиксацию точки
базы).
Итак, доказана
5
Теорема 2. Пусть при выполнении условий теоремы
удовлетворяет также условию
ении
1
дифференциальное уравнение
(2)
(13). Тогда связность из теоремы 1, индуцированная в рассло-
H (J E; G ), может быть расширена до связности в главном расслоении H (J E; G), при
5
5
1
этом к формам связности
связности | компоненты
(11)
(12).
добавляются формы
72
(14),
а к компонентам
(9), (10)
объекта
Замечание 3.1. Из рассмотрения дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют
компоненты тензора кривизны следует, что он содержит два подтензора. Первый из них | A1
с компонентами
i ; Ri ; Ri;l ; Ri;lm ; Rilmt ; Rilmtn :
Rjkl
jk
jk
jk
jk
jk
При выполнении условия (13) подтензор A расширяется до подтензора A, т. е. к выписанным
0
1
выше компонентам добавляются
Ri kl ; Ri k ; Rji;l ; Rji;lm; Rjilmt ; Rjilmtn:
Второй подтензор | подтензор B с компонентами
Rjki ; Rji ; R ;
который также допускает расширение до подтензора B с дополнительными компонентами Ri .
0
0
00
0
0
0
1
0
0
0
00
00
0
00
Обращение в нуль того или другого из этих тензоров носит инвариантный характер.
Замечание 3.2. Представляет интерес вопрос, когда расширенная фундаментальная связность определяет представление нулевой кривизны. Условимся называть сечение E обоб3
3
щенным решением уравнения (2), если на поднятии J E имеет место обращение дифференциала d(0 ; ') в нуль, т. е. функция 0 ; ' принимает постоянное значение. Среди этих обобщенных решений содержатся и решения в собственном смысле. Понятие обобщенного решения
инвариантно относительно преобразований локальных координат вида (3), а понятие решения в
собственном смысле инвариантно относительно преобразований локальных координат вида (1).
Справедливо следующее
Утверждение. Если подтензор
A (см.
замечание
3:1)
равен нулю, а подтензор
B
отли-
чен от нуля, то тогда расширенная фундаментальная связность определяет представление
нулевой кривизны.
Действительно, в силу замечания 3.1 достаточно проверить утверждение
в случае, когда в качестве главных форм многообразия нами выбраны формы !0 = dt, !i = dx1
и контактные формы. В этом случае, как уже отмечалось, на поднятиях сечений имеют место
равенства
Доказательство.
! = ! = = 0;
!ji = !ji k = = 0;
n
!nn = !j;n
= = 0;
= !jn = = !jn1 ;:::;jk = 0:
0
0
0
00
^^
!n
+1
^
(15)
+1
^ +1
+1
+1
+1
^
+1
^
Поэтому для форм связности имеем
!~ji = ;ij dt + ;ijk dxk ;
!~ i = ;i dt + ;ik dxk ;
!~ = ; dt:
В силу (15) на поднятиях сечений E формы кривизны принимают вид
i dxk ^ dxl + 2Ri dt ^ dxk + 2Ri dxk ^ d( ; ') + 2Ri dt ^ d( ; ');
ij = Rjkl
jk
jk
j
i
i
k
l
i
k
i
k
= R kl dx ^ dx + 2R k dt ^ dx + 2R k dx ^ d( ; ') + 2Ri dt ^ d( ; ');
= 2R k dt ^ dxk + 2R dt ^ d( ; '):
0
0
00
0
0
0
00
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
00
00
00
0
0
73
0
0
0
0
0
0
00
0
Если выполнены условия утверждения, то на поднятиях сечений
i0 dxk ^ d( ; ') + 2Ri0 dt ^ d( ; ');
ij = 2Rjk
0
0
j0
00
00 = 2R00
dt ^ d(0 ; ');
i0 dt ^ d( ; ');
i0 = 2R0i0k dxk ^ d(0 ; ') + 2R00
0
откуда следует, что формы кривизны обращаются в нуль на поднятиях сечений тогда и только
тогда, когда сечения являются обобщенными решениями дифференциального уравнения (2),
что и требовалось доказать.
Литература
1. Рыбников А.К. О геометрии эволюционного уравнения второго порядка // Вестн. Моск. унта. Сер. матем., мех. { 1994. { Є 2. { C. 79{85.
2. Гуревич Г.Б. Основы теории алгебраических инвариантов. { М.{Л.: 1948. { 408 с.
3. Васильев А.М. Теория дифференциально-геометрических структур. Учеб. пособие. { М.:
Изд-во МГУ, 1987. { 190 с.
Московский государственный
Поступила
20.05.1997
университет
74
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
156 Кб
Теги
уравнения, третьего, геометрия, эволюционного, порядке
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа