close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О двумерном магнитном операторе Шредингера в периодическом внешнем поле.

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и информатики. Иевск. 2006. Є1(35)
УДК 517.958 : 530.145.6
Ю.?.Чубурин
huburinotf.pti.udm.ru
О ДВУМЕРНОМ МАГНИТНОМ О?ЕРАТОРЕ
ШРЕДИНГЕРА В ?ЕРИОДИЧЕСКОМ
ВНЕШНЕМ ?ОЛЕ
Ключевые слова
: магнитный оператор Шредингера, периодический
потенциал.
Abstrat
. We onsider the two-dimensional magneti Shr
odinger oper-
ator with a periodi potential. The analiti properties of eigenvalues of
this operator as funtions in quasimomentum are investigated.
Введение
Обозначим через
H0
= 12 ( ( ?x? 1
? iBx2 )2 +
?2
?x22
)
(1)
оператор Шредингера с однородным магнитным полем B =
= onst > 0 в калибровке Ландау, действующий в L2 (R2 ) . Обозначим далее через R0 (E ) = (H0 ? E )?1 резольвенту оператора
H0 , а через G0 (x, y, E ) | ядро резольвенты. Вид ядра G0sim в
симметрической калибровке приведен, например, в [1? :
1 ? E e?iB(x1 y2 ?x2 y1 )/2 ╖ e?B(x?y)2 /4 ╫ (2)
2 B
2 ╫ 12 ? E
B , 1, B (x ? y ) /2 .
G0sim (x, y, E ) = 21?
Здесь | гамма-функция, | выроденная гипергеометрическая функция 2-го рода. Согласно [2?
G0 (x, y, E ) = ei? G0sim(x, y, E ),
77
(3)
где
| некоторая вещественная функция.
В L2 (R2 ) введем оператор магнитной трансляции ?a , где
a ? R2 , действующий по формуле ?a (? )(x) = eiBa2 x1 ? (x ? a) .
Известно (непосредственно проверяемое) равенство H0 ?a = ?a H0
на C0?(R2 ) , а поскольку C0?(R2 ) | это существенная область
самосопряеннности оператора H0 [2?, то
?
?a R0 (E ) = R0 (E ) ?a .
(4)
?редполоим, что выполнено условие рациональности потока
Ba1 a2 ? 2?N, где N | мноество натуральных чисел. Тогда
из (2) вытекает, что
eiBa2 x1 G0 (x ? a, y, E ) = eiBa2 y1 G0 (x, y + a, E ).
(5)
В дальнейшем рассматривается оператор H = H0 + V (x) , где
V (x) ? L? (R2 ) | вещественная периодическая функция по переменным xj с периодами Tj > 0 , j = 1, 2 . Как известно, в случае B > 0 спектр оператора H0 совпадает с набором собственных значений бесконечной кратности En = (n + 21 ) B , n = 0, 1, . . .
(уровней Ландау). Через ?(A) обозначается спектр A .
Разлоение в прямой интеграл
?олоим = [0, T1 ) ╫ [0, T2 ) , ? = [??/T1 , ?/T1 ) ╫ [??/T2 , ?/T2 )
(ячейки в прямой и обратной решетке) и введем в рассмотрение
унитарный оператор U : L2 (R2 ) ? L2 (
╫ ? ) ,
? (x) 7?? ? (x, k) =
?
T1 T2
2?
P
n?Z2
ei(T1 n1 k1 +T2 n2 k2 ) ?(T1 n1 ,T2 n2 ) (? )(x).
(6)
Как обычно, предполагается, что BT1 T2 ? 2?N. Функции ?(x, k),
рассматриваемые для x ? R2 , удовлетворяют очевидному равенству ?(T1 n1 ,T2 n2 ) (?(x, k)) = e?i(T1 n1 k1 +T2 n2 k2 ) ?(x, k) , то есть являются магнитно-блоховскими [3?.
Легко видеть, что оператор U HU ?1 єрасслаивается в семейство операторов H (k) , k ? ? , формально того е вида, что
78
и оператор H (см. ние теорему 0.1). Операторы H (k) определены в L2 (
) на (достаточно гладких) магнитно-блоховских
функциях.
Т е о р е м а 0.1.
Оператор
H
разлагается в прямом
интеграле пространств
RL 2
L (
)dk
?
в семейство
= L2 (
╫ ? ) ? L2 (
? , L2 (
))
(самосопряенных)
операторов
H (k) .
(6)
?ри этом
H (k) является чисто дискретным и в окрестности лю(E0 , k0 ) ? (?(H (k0 )), ? ) задается уравнением вида
(E, k) = 0 , где (E, k) | некоторая аналитическая функция
в (комплексной) окрестности точки (E0 , k0 ) .
спектр
бой точки
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докаем разлоимость в прямом интеграле (6) оператора H0 или, что эквивалентно, его резольвенты. Легко видеть, что оператор U R0 (E )U ?1
расслаивается в семейство операторов R0 (E, k) с ядром
G0 (x, y, k, E ) =
P
n?Z2
e(T1 n1 k1 +T2 n2 k2 ) ?(T1 n1 ,T2 n2 ) (G0 (╖, y, E ))(x).
(7)
Из (3), (4) с использованием известных оценок функции (?, ?, z )
для малых и для больших значений |z| (см., например, [4?) легко
вывести неравенства
R ? j G0 (x,y,E ) 2
dy 6 Ce?a|x|2 ,
?E j
где
a > 0 , |x| =
p
x21 + x22 ,
а константа
?(E, ? (H0 )) =
inf
n=0,1,...
C
j
= 0, 1,
зависит лишь от
|E ? En | > 0.
Из данной оценки и (векторнозначной) теоремы Вейерштрасса
об аналитичности равномерно сходящегося на компактах ряда
79
из аналитических функций вытекает, что G0 (x, y, k, E ) является аналитической L2 (
╫ ) -значной функцией переменных
6 En , n = 0, 1, . . . , а потому R0 (k, E ) |
(k, E ) ? C3 для E =
компактный оператор, аналитически зависящий от k и E =
6 En .
В силу резольвентного тодества
R(k, E ) = R0 (k, E ) ? R0 (k, E )V R(k, E )
(8)
оператор R(k, E ) таке компактен и разлоим в прямом интеграле пространств (6). Оператор H (k) имеет чисто дискретный
спектр ?d (H (k)) = {En (k)}?
n=1 как оператор с компактной резольвентой. Собственные значения En (k) находятся из уравнения ? = ?R0 (k, E )V ? для ненулевых ? . ?оследнее утвердение теоремы вытекает теперь из доказательства аналитической
теоремы Фредгольма [5?.
З а м е ч а н и е 0.1. Функция (k, E ) с точностью до
умноения на ненулевую аналитическую функцию представляет собой регуляризованный определитель Фредгольма D(k, E ) =
= det2 (1 + R0 (k, E )V ) (по поводу доказательства см. [6?). Таким образом, уравнение на находение собственных значений в
окрестности любой точки (k, E ) ? R3 имеет вид D(k, E ) = 0 .
З а м е ч а н и е 0.2. Уравнение D(k, E ) = 0 моно локально заменить уравнением P (k, E ) = 0 , где P (k, E ) | многочлен Вейерштрасса (см. [7?). Вещественные корни E = Ej (k)
данного многочлена, будучи занумерованы по возрастанию, являются непрерывными функциями. Отсюда, ввиду компактности
мноества ? , понимаемого как тор, вытекает, что спектр
? (H ) =
S
k?
?
? (H (k))
(см. [8?) оператора H является локально конечным объединением зон | замкнутых промеутков, которые при B > 0 могут
выродаться (например, при V = 0 ).
80
Обозначим через En (k) , n = 1, 2, . . . , (геометрически различные) нули функции D(k, E ) , занумерованные в порядке возрастания. Вследствие замечания 0.2 | это непрерывные функции,
аналитические вне точек пересечения. Числа En (k) являются
собственными значениями оператора H (k) .
Т е о р е м а 0.2.
S n6=m
k ? ?
?усть
:
A<B.
Мноество
En (k) = Em (k) ? [A, B ?
(7)
представляет собой конечное число аналитических кривых.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу компактности мноества ? ╫ [A, B ? достаточно доказать утвердение в окрестности произвольной точки (k0 , E0 ) , в которой функции E = En (k)
удовлетворяют равенству E0 = En (k0 ) . Эти функции согласно
теореме 0.1 неявно определяются уравнением (k, E ) = 0 . ?ри
этом (k, E ) не равно тодественно нулю по E , иначе спектр
H (k) заполнял бы некоторый промеуток. Вследствие [7? пересечение различных En (k) происходит в точках, для которых
1 (k) = 0,
(8)
где функция 1 (k) не равна нулю тодественно и представляет
собой аналитическую функцию в окрестности точки k0 (результант). В свою очередь, кривые, определяемые уравнением (8),
теряют, вообще говоря, аналитичность и сливаются в точках,
для которых (возмоно, после линейной замены переменных)
2 (k1 ) = 0 , где функция 2 (k1 ) не равна нулю тодественно
и аналитична. Итак, число точек, в которых моет нарушаться
аналитичность кривых (7), локально конечно, а значит, конечно.
Т е о р е м а 0.3.
?
En (k)
?усть
? , тогда суения функций
| аналитическая кривая в
на эту кривую представля-
ют собой аналитические функции от параметра кривой.
Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из теории возмущений [8?.
81
Список литературы
1. Чубурин Ю.?. О спектре и собственных функциях двумерного оператора Шредингера с магнитным полем//Теор. и матем. физика.
2003. Т. 134, Є 2. С. 243{253.
2. Цикон Х., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера с
прилоениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.:
Мир, 1990. 408 с.
3. Дубровин Б.А., Новиков С.?. Основные состояния двумерного
электрона в периодическом магнитном поле // ЖЭТФ. 1980. Т. 79,
вып. 3. С. 1006{1016.
4. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984. 344 с.
5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.
Т.1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 с.
6. Чубурин Ю.?. О кратности резонансов возмущенного периодического оператора Шредингера // Теор. и матем. физика. 1998. Т. 116,
Є 1. С. 134{145.
7. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч.II. М.: Наука, 1976.
400 с.
8. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.
Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 432 с.
82
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
157 Кб
Теги
внешней, поле, магнитное, шредингер, оператора, двумерной, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа