close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О двустороннем методе решения нелинейных уравнений.

код для вставкиСкачать
1998
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (431)
УДК 517.988
И.Н. МАЙБОРОДА, Л.А. ОСТРОВЕЦКИЙ
О ДВУСТОРОННЕМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
При приближенном решении операторных уравнений очень удобны двусторонние алгоритмы. Они определяют два приближения, аппроксимирующие искомое решение снизу и сверху,
что позволяет свести вопрос об оценке погрешности к простому вычислению нормы разности
найденных приближений. Обычно в этих алгоритмах предполагается некоторая монотонность.
Теория решений уравнений с монотонными операторами при различных их свойствах и свойствах пространств с конусами, в которых они рассматриваются, развита в работах М.А. Красносельского, И.А. Бахтина, В.Я. Стеценко и других авторов [1]{[3]. Теория монотонных операторов
В.И. Опойцевым была перенесена на гетерогенные и гетеротонные операторы [4], [5]. В работах
Н.С. Курпеля и других математиков [6] (в этой монографии имеется подробная библиография)
исследовались двусторонние конструкции немонотонных операторов с производными, обладающими теми или иными свойствами монотонности.
В данной статье доказано, что некоторые результаты, характерные для вышеуказанных операторов и полученные в работах [4], [5], распространяются на операторы с гетерогенной производной в банаховых пространствах с различными конусами.
Напомним некоторые используемые в данной работе определения.
Пусть B | вещественное банахово пространство с конусом K и = = fP j 2 g | некоторое
семейство расщепляющих операторов. Природа множества безразлична. При любом 2 операторы P действуют из B в B . Пусть Q = I ; P , где I | тождественное преобразование.
Если два элемента x; y 2 B принадлежат некоторому конусному отрезку hu; vi = fxju x vg,
то при любом имеет место P x + Q y 2 hu; vi.
Пусть < = fR j 2 g | некоторое семейство операторов, расщепляющих любой элемент
x 2 B на компоненты x (x = R x). При этом каждый оператор R отображает B в некоторое
множество G , а семейство < каждому x 2 B сопоставляет множество компонент fx g, причем
fx g 6= fyg, если
P x 6= y .PОперация объединения множества компонент fx g в элемент x 2 B
обозначается fR xg = fx g = x. Семейство < удовлетворяет следующему свойству. Пусть
имеется некоторый
произвольный конусный
hu; vi и каждому 2 сопоставлен x 2
P
P отрезок
hu; vi. Если fR x g 2 B , то необходимо fR x g 2 hu; vi.
Оператор T называется гетерогенным, если для любых u; v 2 B
X
и для любых x0 x, y y0
fR T (P u + Qv)g 2 B
X
X
fR T (Px0 + Qy0)g fR T (P x + Qy)g:
(1)
(2)
Если T оставляет инвариантным некоторое множество M и условия (1), (2), равно как и условия, налагаемые на =, <, справедливы при дополнительном предположении, что все элементы,
участвующие в их формулировке, принадлежат M , то T называется гетерогенным на M .
53
Если < состоит из одного тождественного преобразования I (
содержит лишь одну точку
), то условие (1) выполняется автоматически, а (2) переходит в
T (P x0 + Qy0 ) T (P x + Qy):
(3)
Если при этом P = I , то T | изотонный, если же Q = I , то T | антитонный оператор.
Эти определения взяты из работы [4].
Будем говорить далее, что семейства = и < обладают свойством замкнутости, если выполняются условия
1) из сходимости xn ! x, yn ! y, P xn + Q yn ! P x0 + Q y0 при n ! 1 для любого 2 следует, что x; y 2 B и P x + Q y = P x0 + Q y0 ; P
2) пусть при любом 2 и n ! 1 (x )n ! x , fR (xn )g 2 B при любом n 0,
P
f
R (xn )g ! PfR (x0 )g, тогда x 2 B и PfR (x0 )g = PfR (x )g.
Рассмотрим нелинейное операторное уравнение
Lx = T (x);
(4)
заданное на некотором выпуклом множестве M B с полуупорядоченным конусом K . Предположим, что оператор T дифференцируем на M по Фреше, и его производная T 0 обладает
свойством гетерогенности на hu0 ; v0 i, где u0 ; v0 2 M , hu0 ; v0 i M , | некоторые начальные
приближения к решению уравнения (4), последующие приближения к которому определяются
алгоритмом
X
Lun+1 = T (un) + fR T 0 (P un + Q vn)g(un+1 ; un );
(5)
Lvn+1 = T (vn) +
X
fR T 0(P un + Qvn)g(vn+1 ; vn):
(6)
Предполагается, что для любого n существуют единственные решения уравнений (5), (6) и для
расщепления T 0 справедлива формула Ньютона-Лейбница.
u0 ; v0 2 M выполняются неравенства
u0 v0 ; Lu0 T (u0 ); T (v0 ) Lv0 :
(7)
Теорема 1. Пусть для начальных приближений
На
hu0 ; v0 i M
существует положительный оператор
A;1 = L ;
;1
X
fRT 0(P + Q)g
0:
Тогда последовательные приближения, определяемые алгоритмом
(8)
(5){(6),
удовлетворяют
неравенствам
un un+1 vn+1 vn ; n = 0; 1; 2; : : :
(9)
Доказательство. Вычитая Lu0 T (u0 ) из (5) при n = 0 и учитывая линейность оператора
A, находим L ; PfR T 0(P u0 + Qv0 )g (u1 ; u0 ) 0. Согласно (8)
Аналогично доказывается соотношение
u0 u1 :
(10)
v1 v0 :
(11)
Докажем, что u1 v1 . Вычитая из (6) соотношение (5) при n = 0, имеем
X
X
L(v1 ; u1 ) = T (v0) ; T (u0) + fR T 0 (P u0 + Qv0)g(v1 ; v0 ) ; fR T 0 (P u0 + Q v0)g(u1 ; u0):
54
Применяя формулу Ньютона-Лейбница к разности T (v0 ) ; T (u0 ), получим
L;
=
Z 1 X
0
X
fRT 0 (P u0 + Qv0)g
(v1 ; u1 ) =
X
fR T 0(P (u0 + (v0 ; u0 )) + Q(u0 + (v0 ; u0 )))g ; fR T 0(P u0 + Q v0)g
(v0 ; u0)d:
Согласно первому неравенству в (7) из гетерогенности T 0 и (8) имеем
u1 v1 :
(12)
Неравенства (10){(12) доказывают заключение теоремы при n = 0.
Покажем, что элементы u1 ; v1 2 hu0 ; v0 i удовлетворяют второму и третьему неравенствам в
(7). Действительно,
Lu1 ; T (u1 ) = T (u0) ; T (u1 ) +
=;
Z 1 X
Z 1
0
X
fRT 0 (P u0 + Qv0)g(u1 ; u0) =
T 0 (u0 + (u1 ; u0 ))(u1 ; u0 )d +
X
X
fRT 0(P u0 + Qv0)g(u1 ; u0) =
fR T 0(P u0 + Qv0 )g ; fRT 0(P (u0 + (u1 ; u0)) + Q(u0 + (u1 ; u0)))g 0 (u1 ; u0)d:
Учитывая соотношения (10) и гетерогенность T 0 , получаем Lu1 T (u1 ). Аналогично доказывается третье неравенство в (7). Включение hu1 ; v1 i hu0 ; v0 i гарантирует выполнение соотноше=
ния (8). Таким образом, все условия теоремы выполнены для элементов u1 , v1 .
Доказательство теоремы завершается индукцией по n. Теорема 2. Пусть
K
| правильный конус, операторы
полняются условия теоремы
Тогда уравнение
(4)
1.
T
и
A замкнуты на hu0 ; v0 i и вы-
hu0 ; v0i по крайней мере одно решение. Среди всех
u и наибольшее v , к которым сходятся последовательные при-
имеет на отрезке
решений имеется наименьшее
ближения, определяемые алгоритмом
(5){(6), причем
un u v vn; n = 0; 1; 2; : : :
(13)
Доказательство. Так как по теореме 1 последовательности fun g и fvn g монотонны и ограничены, а K | правильный конус, то существуют nlim
un = u , nlim
vn = v , и согласно (9)
!1
!1
u v. Переходя к пределу в (5){(6), учитывая замкнутость операторов A и T , убеждаемся,
что u и v являются решениями уравнения (4). Если x | произвольное решение этого уравнения на hu0 ; v0 i, то элементы u0 , x удовлетворяют всем условиям теоремы, и по доказанному
un x . Переходя к пределу в этом неравенстве, убеждаемся, что u x , т.е. u | наименьшее
решение. Аналогично доказывается, что v | наибольшее решение.
Докажем последнее утверждение теоремы, проведя один шаг индукции. Пусть неравенства
(13) имеют место для некоторого n = m > 0. Так как u | решение уравнения (4), то из (5)
получаем
Lum+1 ; Lu = T (um) ; T (u) +
X
fR T 0(P um + Qvm)g(um+1 ; um);
55
или
Z 1 X
L;
X
fR T 0(P um + Qvm)g (um+1 ; u ) =
X
fRT 0(P (u + (um ; u)) + Q(u + (um ; u)))g ; fR T 0(P um + Qvm)g 0 (um ; u )d 0:
Следовательно, um+1 u . Аналогично доказывается, что v vm+1 . Таким образом, неравенства (13) доказаны для любого n.
Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 1. Конус K нормален. Оператор
T ; PfR T 0(P + Q )g вполне непрерывен, A;1 непрерывен на hu0 ; v0 i.
Тогда уравнение (4) имеет на hu0 ; v0 i по крайней мере одно решение x , к которому сходятся
последовательности fun g, fvn g, определяемые алгоритмом (5){(6), причем
un un+1 x vn+1 vn; n = 0; 1; 2; : : :
(14)
Доказательство. Монотонность последовательных приближений доказана в теореме 1.
Для доказательства существования решения x 2 hun ; vn i, n = 0; 1; 2; : : : , рассмотрим оператор
;x = x + A;1 (T (x) ; Lx) A;1 T (x) ;
X
fR T 0(x)g :
(15)
Покажем, что ; | изотонный оператор на hu0 ; v0 i. Действительно, если x; y 2 hu0 ; v0 i и x y,
то
;x ; ;y = x ; y + A;1 (T (x) ; T (y) ; L(x ; y)) =
= x ; y + A;1
= x ; y + A;1
Z 1 X
0
Z 1
0
T 0 (y + (x ; y))(x ; y)d ; L(x ; y)
fR T 0(P (y + (x ; y)) + Q(y + (x ; y)))g
=
(x ; y)d ; L(x ; y) :
Так как u0 x y v0 , то
X
X
fR T 0(P (y + (x ; y)) + Q (y + (x ; y)))g(x ; y) fR T 0(P u0 + Qv0)g(x ; y)
и
;x ; ;y x ; y ; A;1
L;
X
fR
P
T 0 (P
u0 + Q v0 )g(x ; y )
= 0;
т. е. ;x ;y. Из полной непрерывности T ; fR T 0 (P + Q )g и непрерывности A;1 следует
полная непрерывность оператора ;. Так как
;un = un + A;1 (T (un ) ; L(un )) un ; ;vn = vn + A;1 (T (vn ) ; L(vn )) vn ; n = 0; 1; 2; : : : ;
то оператор ; отображает отрезок hun ; vn i в себя и по теореме Шаудера имеет на этом отрезке
неподвижную точку x , для которой Lx = T (x ). Неравенство (14) следует из принадлежности
x отрезку hun ; vn i, n = 0; 1; 2; : : : ; и монотонности fun g, fvn g.
Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы 1. Если справедливо хотя бы одно из
следующих условий:
а)
конус
K сильно миниэдральный;
56
h
i
K телесный, нормальный и миниэдральный, оператор A;1 T ; PfR T 0(P + Q )g
компактный на hu0 ; v0 i,
то на hu0 ; v0 i существует по крайней мере одно решение x уравнения (4), удовлетворяющее
б)
конус
условиям
(14).
Покажем, что оператор ; в (15) имеет неподвижную точку x 2 hu0 ; v0 i.
Тогда из (15) будет следовать, что x | решение уравнения (4).
Пусть выполняется случай а). Обозначим через < множество таких элементов x 2 hu0 ; v0 i,
что ;x x. Это множество не пусто, т.к. ;u0 = u0 +A;1 (T (u0 );Lu0 ) u0 . Поскольку ;(;x) ;x,
x 2 <, в силу изотонности ;, то ;< <. Пусть x = sup <. Очевидно, u0 x v0 , т. е.
x 2 hu0; v0 i. Из изотонности ; и определения x вытекает, что ;x ;x x для любого x 2 <.
Это значит, что ;x является верхней границей для <. Поэтому ;x x . Но тогда x 2 <, в
силу чего ;x 2 < и ;x x . Итак, ;x = x , откуда Lx = T (x ). Соотношения (14) следуют
из инвариантности отрезков hun ; vn i, n = 0; 1; 2; : : : ; для оператора ; и монотонности fun g, fvn g.
Пусть выполняется случай б). Множество < = ;hu0 ; v0 i компактное и u1 = ;u0 2 <. Обозначим через <1 множество тех элементов из <, для которых ;x x. Очевидно, u1 2 <, так что <1
не пусто. Так как это множество компактно и ограничено сверху, то существует x = sup <1 [2].
Тогда согласно доказательству случая а) Lx = T (x ).
Доказательство.
Условия а), б) теоремы 4 существенно различны. Действительно, например, конус неотрицательных функций в C [0; 1] является телесным, нормальным и миниэдральным, не являясь в
то же время сильно миниэдральным [1].
Теорема 5. Пусть кроме условий теоремы 2 выполняются условия
1) конус K нормален;
;1
;1 k B ;
2) оператор A
на hu0 ; v0 i, kA
P ограничен
0
3) оператор fR T (P + Q )g удовлетворяет условию Липшица по обеим переменным
X
X
0
fR T 0 (P u + Q z )g ;
f
R
T
(
P
v
+
Q
z
)
g
L1 ku ; v k;
X
X
0
fR T 0 (P z + Q u)g ;
f
R
T
(
P
z
+
Q
v
)
g
L2 ku ; v k;
4) B (L1 + L2 )ku0 ; v0 k < 2.
fun g fvn g
Тогда последовательности
ственному на
hu0; v0 i
,
сходятся соответственно снизу и сверху к един-
x = u = v
решению
уравнения
(4),
и скорость их сходимости ха-
рактеризуется неравенствами
kx ; unk I 2n;1kv0 ; u0k2n ;
kvn ; xk I 2n;1kv0 ; u0k2n ;
где
I = 12 B (L1 + L2 ).
Доказательство.
Вычитая (5) из (6), приходим к равенству
vn+1 ; un+1 = A;1
Z 1 X
0
;
fR T 0(P (un + (vn ; un )) + Q (un + (vn ; un)))g ;
X
fR T 0(P un + Q vn)g
57
(vn ; un )d:
(16)
Оценивая его по норме в силу условий 2){4) теоремы, получим
kvn+1 ; un+1k kA;1 k
Z 1
(L1 kvn ; un k + L2 (1 ; )kvn ; un k)kvn ; un kd B L1 +2 L2 kvn ; unk2 = I kvn ; unk2 : (17)
Положим в (17) последовательно n = 0; 1; 2; : : : Тогда
0
kv1 ; u1k I kv0 ; u0k2 ; kv2 ; u2k I kv1 ; u1k2 I 3kv0 ; u0 k4:
По индукции заключаем, что kvn ; un k I 2n ;1 kv0 ; u0 k2n . Согласно условию 4) теоремы и
заключению теоремы 2 nlim
уравнения (4). Из
!1 vn = nlim
!1 un = x | единственное решение
нормальности конуса и из неравенств 0 x ; un vn ; un , 0 vn ; x vn ; un , которые
непосредственно вытекают из заключения теоремы 2, получаем оценки (16).
Использование алгоритмов (5){(6) требует решения линейных операторных уравнений на
каждом шаге вычислительного процесса, в то время как построение последовательных приближений по соответствующим модифицированным алгоритмам
X
Lun+1 = T (un ) + fR T 0 (P u0 + Q v0 )g(un+1 ; un);
Lvn+1 = T (vn) +
X
fR T 0(P u0 + Qv0 )g(vn+1 ; vn); n = 0; 1; 2; : : : ;
P
предполагает обращение линейного оператора L ; fR T 0 (P u0 + Q v0 )g лишь в одной точ
ке hu0 ; v0 i. При этом квадратичная скорость сходимости понижается до скорости сходимости
геометрической прогрессии.
В качестве примера рассмотрим в Rm систему нелинейных алгебраических уравнений
xk = fk (x1; x2 ; : : : ; xm ); k = 1; : : : ; m;
(18)
где функции f (x) дифференцируемые и каждая частная производная @fi (x) , i; j = 1; : : : ; m, по
k
@xj
одним переменным монотонно возрастает (не убывает), а по остальным переменным монотонно
убывает (не возрастает). С каждой частной производной @f@xi (x) свяжем два подмножества инj
дексов Gij I и Hij I (Gij [ Hij = I , Gij \ Hij = 0), I = fi j j = 1; : : : ; mg. Номер k 2 Gij , если
@fi(x) не убывает по x , и k 2 H в противном случае.
k
ij
@xj
Пусть Pij | проектор, задаваемый матрицей Pij = (pij ), где pij = 1, если 2 Gij , остальные
pij = 0. Проектор Qij определяется матрицей E ; Pij , где E | единичная матрица.
Пусть оператор Ri из семействаPR = fRi j i 2 I g сопоставляет вектору x 2 Rm его i-ю координату xi , т.е. Ri x = xi , а операция сопоставляет множеству компонент fxi g соответствующий
i
P
вектор x = fRi xg.
i
Введем в Rm полуупорядоченность с помощью неотрицательного ортанта R+m, тогда оператор
@f = @fi m будет удовлетворять условиям гетерогенности, и система (5){(6) примет вид
@x @x i;j=1
j
un+1 = f (un) +
vn+1 = f (vn ) +
XX
i
j
XX
i
j
(Rj (Ri f )0 )(Pij un + Qij vn )
(un+1 ; un );
(Rj (Ri f )0 )(Pij un + Qij vn ) (vn+1 ; vn ):
58
(19)
Обозначим A(un ; vn ) =
PnP
i
j
o
(Rj (Ri f )0 )(Pij un + Qij vn ) .
u0 ; v0 2 Rm такие, что
u0 f (u0 ); f (v0 ) v0 ; u0 v0
Теорема 6. Пусть существуют
[u0 ; v0 ] выполняются условия
1) матрица A гетерогенная;
2) для элементов bjk , j; k = 1; : : : ; m, матрицы B = ; A, где | матрица Кронекера,
и на
выполнено хотя бы одно из условий
а) bjk 0 для j 6= k, B неразложима, существуют y > 0 и r 0, r 6 0, такие, что
By = r;
б) bjj 0, bjk 0 при j 6= k, выполнен слабый признак сумм по строкам, и матрица
B неразложима, либо выполнен сильный признак сумм по строкам;
в) ajk 0, j; k = 1; : : : ; m, где ajk | элементы матрицы A, kAk < 1;
г) B | симметричная, положительно определенная матрица и ajk 0 для любых
j , k.
Тогда система (18) на [u0 ; v0 ] имеет по крайней мере одно решение x , к которому сходятся
последовательности fun g, fvn g, определяемые (19), и un un+1 x vn+1 vn .
Каждое из условий а), б), в), г) п. 2 теоремы гарантирует выполнение условия (8) теоремы 1
([7], x 23).
Литература
1. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. { М.: Физматгиз,
1962. { 394 с.
2. Стеценко В.Я. О неподвижных точках нелинейных отображений // Сиб. матем. журн. {
1969. { Т. 10. { Є 3. { С. 642{652.
3. Бахтин И.А. О существовании общих неподвижных точек для абелевых совокупностей разрывных операторов // Сиб. матем. журн. { 1972. { Т. 13. { Є 2. { С. 243{251.
4. Опойцев В.И. Гетерогенные и комбинированно-вогнутые операторы // Сиб. матем. журн. {
1975. { Т. 16. { Є 4. { С. 781{792.
5. Опойцев В.И. Обобщение теории монотонных и вогнутых операторов // Тр. Моск. матем.
о-ва. { 1978. { Т. 36. { С. 237{273.
6. Курпель Н.С., Шувар Б.А. Двусторонние операторные неравенства и их применения. { Киев:
Наук. думка, 1980. - 267 с.
7. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. { М.: Мир, 1969. {
447 с.
Черниговский педагогический
институт
Поступила
(Украина)
19.01.1995
59
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
148 Кб
Теги
нелинейные, решение, уравнения, двусторонние, метод
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа