close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О действии мультипликативной группы ненулевых вещественных чисел на пунктированном пространстве Лобачевского.

код для вставкиСкачать
Том 154, кн. 4
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2012
УДК 515.124.4
О ДЕЙСТВИИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ
УППЫ НЕНУЛЕВЫХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
НА ПУНКТИОВАННОМ ПОСТАНСТВЕ
ЛОБАЧЕВСКОО
Е.Н. Сосов
Аннотация
ассмотрено пунктированное пространство Лобачевского ? в модели Бельтрами Клейна. Получена явная ормула для действия мультипликативной группы ненулевых
вещественных чисел на пространстве ? , аналогичного действию указанной группы гомотетиями на пунктрованном евклидовом пространстве.
Ключевые слова: пространство Лобачевского, модель Бельтрами Клейна, мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел.
Введение
Пусть E евклидово пространство размерности больше 1 над полем вещественных чисел R , B(O, 1) открытый шар в E радиуса 1 с центром в иксированной точке O . Точки внутри шара и на его границе будем задавать их радиусамивекторами, например, точка O задается нулевым радиусом-вектором 0 . ассмотрим модель Бельтрами Клейна пространства Лобачевского [13?. В этой модели
л-точка есть точка в ? = B(O, 1) , л-прямая есть хорда в ? , а расстояние между
л-точками, заданными своими радиусами-векторами x , y ? ? относительно
точки O , вычисляется по ормуле
?(x, y) = k Arch ?
1 ? (x, y)
p
,
1 ? x2 1 ? y 2
(1)
где k положительная константа, (x, y) скалярное произведение радиусов-векторов x , y и x2 скалярный квадрат радиуса-вектора x [3, . 5?.
Пусть ? ? R , p , x ? ? . Определим точку ?p (x) ? ? с помощью следующих
трех условий [46?.
1. ?(p, ?p (x)) = |?|?(p, x) .
2. При x 6= p , ? > 0 точки x , ?p (x) лежат на л-прямой P (p, x) , проходящей
через точки p , x , по одну сторону от точки p .
3. При x 6= p , ? < 0 точки x , ?p (x) лежат на л-прямой P (p, x) по разные
стороны от точки p .
Отображение
x 7? ?p (x),
где ? пробегает множество всех ненулевых вещественных чисел, определяет действие мультипликативной группы ненулевых вещественных чисел на пунктированном пространстве Лобачевского (точка p ? ? иксирована).
О ДЕЙСТВИИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ УППЫ. . .
157
Нетрудно проверить, что при ? 6= 1 точка ?p (x) делит ориентированный л-отрезок [p, x] с началом в точке p и концом в точке x в отношении ? : (1 ? ?) [5, 6?.
Отметим также следующие элементарные свойства отображения ?p .
A. Для всех p , x , y ? X , ? , µ ? R имеют место равенства
?x (y) = (1 ? ?)y (x),
?(?p (x), µp (x)) = |? ? µ|?(p, x).
B. Для всех x , y ? X , ? ? R\{?1} , µ ? R имеет место равенство
µx (y) = (µ + ?(µ ? 1))z (y),
где точка
z=
?
?+1
(y)
x
делит ориентированный л-отрезок [x, y] в отношении ? [5?, [6, . 79?.
Напомним, что в модели Бельтрами Клейна произвольное движение есть ограничение на открытый шар ? проективного преобразования евклидова пространства, сохраняющего ? [3, . 7?. Это движение f можно представить в виде
f = ga ? U,
где U ортогональное преобразование евклидова пространства E с иксированной
точкой O , суженное на шар ? , а ga параллельный перенос в модели Бельтрами Клейна из точки O вдоль направленного л-отрезка, определенного вектором a ,
такого, что 0 ? |a| < 1 [3, . 7?.
Параллельный перенос ga можно представить в виде [3, . 23, 24?
?
((a, x) + a2 )a + (a2 x ? (a, x)a) 1 ? a2
ga : ? ? ?,
ga (x) =
.
a2 (1 + (a, x))
Параллельный перенос используется, например, в специальной теории относительности для интерпретации закона преобразования скорости частицы или закона сложения скоростей [7?, [8, . 1012?. Это преобразование можно представить и в такой
орме [4?, [9, . 44?
ga (x) = (?1)( 1 ) (a) ? (?1)0 (x).
2
0
Хорошо известно, что в евклидовом пространстве группа всех движений является
собственной подгруппой группы всех подобий, а в пространстве Лобачевского эти
группы совпадают. Но группу всех движений пространства Лобачевского можно
расширить, образовав конечные композиции движений с преобразованиями ?p ,
когда точка p пробегает ? и ? > 0 . Получится сложная и недостаточно изученная
группа преобразований. Ясно, что для изучения этой группы желательно иметь
явное представление преобразования ?p .
1.
Основной результат
Явное представление преобразования ?p указано в лемме 2 из [6, . 84? в более
общем случае геометрии ильберта [5?. Там же доказано [6, . 84?, что это преобразование уменьшает расстояния при 0 < ? < 1 и, следовательно, увеличивает
расстояния при ? > 1 . Но преобразование ?p упростить в случае геометрии Лобачевского достаточно сложно. Еще один способ нахождения преобразования ?p
состоит в использовании представления [9, . 25?
?p = gp ? ?0 ? g?p
158
Е.Н. СОСОВ
учетом того, что
?0 (x) = x cth b th(?b),
где b = ?(0, x)/k , x ? ? [5?, [6, . 86?. Такой способ приводит к очень большим
вычислениям и нетривиальным преобразованиям. В модели Бельтрами Клейна
более простой способ нахождения преобразования ?p реализован нами в следующей теореме.
Теорема. Пусть
? ? R, p, x ? ?.
?p (x) =
где
Тогда имеет место следующая ормула
p ch a sh((1 ? ?)c) + x ch b sh(?c)
,
ch a sh((1 ? ?)c) + ch b sh(?c)
a = ?(0, p)/k , b = ?(0, x)/k , c = ?(p, x)/k .
Доказательство.
можно искать в виде
Из определения точки ?p (x) следует, что ее радиус-вектор
?p (x) = p + µ(x ? p),
где µ ? R . Подставим правую часть этого равенства в условие 1 и используем
ормулу (1) для расстояния. Тогда получим следующее уравнение относительно µ :
1 ? (p, p + µ(x ? p))
p
p
= ch(?c).
1 ? p2 1 ? (p + µ(x ? p))2
Возведя обе части в квадрат и используя основное гиперболическое тождество,
получим
((p, x?p)2 +ch2 (?c)(1?p2 )(x?p)2 )µ2 +2µ(1?p2)(p, x?p) sh2 (?c)?(1?p2 )2 sh2 (?c) = 0.
Найдем корни этого квадратного уравнения:
µ1,2
?
?(1 ? p2 )(p, x ? p) sh2 (?c) ± ?
,
=
(p, x ? p)2 + ch2 (?c)(1 ? p2 )(x ? p)2
где ? = (1?p2 )2 (p, x?p)2 sh4 (?c)+((p, x?p)2 +ch2 (?c)(1?p2 )(x?p)2 )(1?p2 )2 sh2 (?c) .
Используя основное гиперболическое тождество, упростим числитель
p
(1 ? p2 ) sh(|?|c)(?(p, x ? p) sh(|?|c) ± ch(?c) (p, x ? p)2 + (1 ? p2 )(x ? p)2 ).
Теперь нетрудно упростить ормулу для корней
µ1,2 =
=
=
(1 ? p2 ) sh(|?|c)
p
=
(p, x ? p) sh(|?|c) ± ch(?c) (p, x ? p)2 + (1 ? p2 )(x ? p)2
(1 ?
p2
(1 ? p2 ) sh(|?|c)
p
=
? (1 ? (p, x))) sh(|?|c) ± ch(?c) (1 ? (p, x))2 + (1 ? p2 )(1 ? x2 )
ch?2 a sh(|?|c)
p
=
(ch?2 a ? ch?1 a ch?1 b ch c) sh(|?|c) ± ch(?c) ch?2 a ch?2 b ch2 c + ch?2 a ch?2 b
=
ch b sh(|?|c)
=
ch b sh(|?|c) + ch a(? ch c sh(|?|c) ± ch(?c) sh c)
=
ch b sh(|?|c)
. (2)
ch b sh(|?|c) + ch a sh((±1 ? |?|)c)
О ДЕЙСТВИИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ УППЫ. . .
159
Если ? = 1 , то µ = 1 и в этом случае в ормуле (2) должен быть верхний знак.
Если ? = ?1 и p = 0 , то µ = ?1 , a = 0 , c = b и в ормуле (2) необходимо
использовать нижний знак. Теперь нетрудно понять, что в ормуле (2) верхний
знак должен быть при ? > 0 , а нижний знак при ? < 0 . Следовательно, получим
ормулу
ch b sh(?c)
µ=
.
ch b sh(?c) + ch a sh((1 ? ?)c)
Таким образом, теорема доказана.
Из теоремы следует известная ормула для середины л-отрезка концами p ,
x??
p
?
1
p ch a + x ch b
p 1 ? x2 + x 1 ? p2
p
,
(x) =
= ?
2 p
ch a + ch b
1 ? x2 + 1 ? p2
где a = ?(0, p)/k , b = ?(0, x)/k [3, 5, 6?. Эту ормулу можно применить, например,
для нахождения радиуса-вектора r точки пересечения трех медиан треугольника
через радиусы-векторы вершин треугольника p , x и y [3, . 13?
r=
p ch (?(0, p)/k) + x ch (?(0, x)/k) + y ch (?(0, y)/k)
.
ch (?(0, p)/k) + ch (?(0, x)/k) + ch (?(0, y)/k)
Отметим, что отображение 20 : B(O, 1) ? B(O, 1) является изометрией модели
Пуанкаре в шаре на модель Бельтрами Клейна пространства Лобачевского в том
же шаре [3, . 18?.
Summary
E.N. Sosov. On the Ation of the Multipliative Group of Nonzero Real Numbers on the
Pointed Lobahevsky Spae.
We onsider the pointed Lobahevsky spae ? . In terms of the BeltramiKlein model, we
obtain an expliit expression for the ation of the multipliative group of nonzero real numbers
on the spae ? . This ation is analogous to that of this group on the pointed Eulidean spae.
Key words:
real numbers.
Lobahevsky spae, BeltramiKlein model, multipliative group of nonzero
Литература
1.
Широков П.А.
Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. М.: Наука, 1983. 80 с.
2.
Нут Ю.Ю.
еометрия Лобачевского в аналитическом изложении. М.: Изд-во АН
ССС, 1961. 311 с.
3.
Сосов Е.Н.
4.
Сабинин Л.В.
5.
Сосов Е.Н.
6.
Sosov E.N.
7.
Сабинин Л.В., Михеев П.О.
еометрия Лобачевского и еј применение в специальной теории относительности. Часть 1. еометрия Лобачевского. Казань: Казан. ун-т, 2012. 38 с.
Одули как новый подход к геометрии со связностью // Докл. АН
ССС. 1977. Т. 233, ќ 5. C. 800803.
Об одном одуле в геометрии ильберта // Изв. вузов. Матем. 1995. ќ 5. C. 7882.
Geometries of onvex and nite sets of geodesi spaes. arXiv:1011.6191v1
[math.MG?. 2010. 256 p.
О законе сложения скоростей в специальной теории
относительности // Усп. матем. наук. 1993. Т. 48, ќ 5(293). C. 183184.
160
Е.Н. СОСОВ
8.
Сосов Е.Н.
еометрия Лобачевского и еј применение в специальной теории относительности. Часть 2. Применение геометрии Лобачевского в специальной теории
относительности. Казань: Казан. ун-т, 2012. 32 с.
9.
Матвеев О.А., Нестеренко Е.Л.
Универсальные алгебры в теории пространств аинной связности, близких к симметрическим. М.: Изд-во МОУ, 2012. 132 с.
Поступила в редакцию
02.11.12
Сосов Евгений Николаевич доктор изико-математических наук, доцент каедры геометрии Казанского (Приволжского) едерального университета.
E-mail: Evgenii.Sosovksu.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа