close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О деформациях алгебры Ли типа g2 характеристики три.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 3 (454)
УДК 512.554.31
С.А. КИРИЛЛОВ, М.И. КУЗНЕЦОВ, Н.Г. ЧЕБОЧКО
О ДЕФОРМАЦИЯХ АЛГЕБРЫ ЛИ ТИПА G2 ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРИ
В связи с проблемой классификации простых алгебр Ли над полями малой характеристики p
представляет интерес описание деформаций классических алгебр Ли. Глобальной деформацией
алгебры Ли L называется семейство алгебр Ли, параметризованных точками связного гладкого
многообразия, одной из точек которого соответствует алгебра Ли L. Пусть L | многообразие
структур алгебр Ли на векторном пространстве V . Алгебра Ли называется жесткой, если существует окрестность L (в топологии Зарисского на L), все точки которой являются алгебрами
Ли, изоморфными L.
Известно [1], что над полем характеристики p > 3 все классические алгебры Ли являются
жесткими. Над полем характеристики 3 ситуация иная. Было обнаружено [2], что корневую
систему типа C2 могут иметь неизоморфные алгебры Ли. Глобальные деформации алгебры Ли
C2 построены в [3]. Позднее было показано [4], что алгебра Ли C2 | единственная среди алгебр
Ли серий An , Bn , Cn , Dn , допускающая нетривиальные деформации при p = 3. Полное описание
глобальных деформаций алгебры Ли C2 получено в [5].
В данной статье доказывается жесткость исключительной классической алгебры Ли типа
G2 над алгебраически замкнутым полем K характеристики p = 3.
Орбиты естественного действия группы G = GL(V ) на L соответствуют классам изоморфизма алгебр Ли. Пусть TL (L) | касательное пространство к многообразию L в точке L 2 L,
TL (G(L)) | касательное пространство к G-орбите точки L. Согласно [5] пространство локальных деформаций Hloc(L) = TL(L)=TL (G(L)) является фактором группы когомологий H 2 (L; L).
Таким образом, условие H 2 (L; L) = 0 является достаточным условием жесткости алгебры Ли L.
В работе доказывается, что H 2 (L; L) = 0 для алгебры Ли типа G2 над полем характеристики 3.
Вычисление H 2 (L; L) проводится в несколько этапов. Стандартный комплекс C (L; L) раскладывается в прямую сумму весовых подкомплексов относительно максимального тора в группе
Шевалле G2 (K ).
Вычисление H2 (L; L) для старшего веса может быть проведено непосредственно. Однако
чтобы избежать вычислений, для доказательства тривиальности H2 (L; L) применяем спектральную последовательность Серра{Хохшильда. Наибольшую трудность представляет вычисление
H02(L; L). Используя теорию модулярных представлений группы Вейля W = W (G2), докажем,
что H02 (L; L) изоморфна второй группе когомологий веса нуль подкомплекса W -инвариантов,
которая может быть эффективно вычислена.
В работе используется терминология, принятая в [10].
1. Общие сведения об алгебрах Ли типа G2
Алгебра Ли L типа G2 над полем K характеристики 3 получается редукцией по модулю 3
из Z-формы, соответствующей базису Шевалле комплексной простой алгебры Ли LC типа G2 .
Пусть R = f; ; ( + ); (2 + ); (3 + ); (3 + 2 )g | система корней типа G2,
Q = hRiZ. Обозначим через R1 множество коротких корней R1 = f; ( + ); (2 + )g, через
R2 | множество длинных корней R2 = f; (3 + ); (3 + 2 )g.
Умножение в LC в базисе Шевалле fH ; H ; X ; 2 Rg имеет вид ([6], c. 10)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(грант 96-01-01756).
33
(a) [H ; H ] = 0;
(b) [X ; X; ] = H , где H+ = H + 3H , H2+ = 2H + 3H , H3+ = H + H , H3+2 =
H + 2H ,
(c) [H ; X ] = h; iX , где h; i = 2, h; i = ;3, h; i = ;1, h; i = 2.
(d) eсли ; ; + 2 R, то [X ; X ] = N; X + , где N; = (r +1), r | такое положительное
целое число, что ; r 2 R, а ; (r + 1) 2= R;
(e) [X ; X ] = 0, если + 2= R.
Заметим, что N; = 3, только если + 2 R2 , а ; 2 R1 .
Подпространство I , порожденное множеством fH ; X ; 2 R1 g, является единственным
собственным идеалом L. H = hH ; H i | подалгебра Картана в L. Согласно [7] группа Aut L
изоморфна группе Aut I и является группой Шевалле типа G2 . Группа Вейля W алгебры L является диэдральной группой порядка 12, порожденной отражениями w , w . Элемент w = w w
на плоскости является поворотом на угол 3 и имеет порядок 6. Согласно ([8], c. 603) групповая алгебра A = K [W ] имеет два блока B1 , B2 , соответствующих ортогональным идемпотентам e1 = w3 ; 1, e2 = ;(w3 + 1). Тривиальный модуль принадлежит блоку B2 . Каждый блок
раскладывается в прямую сумму двух главных неразложимых левых модулей размерности 3.
Разложение блока B2 имеет вид: B2 = A1 A2 , где A1 = (1+ w3 )A(1+ w ), A2 = (1+ w3 )A(1 ; w ).
Так же, как в [6], обозначим через N подгруппу в группе Шевалле G2(K ), порожденную
элементами w (t), через T | подгруппу, порожденную h (t). T является максимальным тором
в G2(K ). Согласно ([6], c. 30) w (t)(X ) = ct;h; iXw () , h (t)(X ) = th; iX , где c = c(; ) = 1,
c(; ) = c(; ;). Группа Вейля W изоморфна N=T . Обозначим w (1) через w .
В дальнейшем понадобятся сведения о некоторых группах когомологий.
Предложение.
1) H 0 (I; I ) = 0, H 0 (I; L) = 0, H 0 (I; L=I ) = L=I .
2) H 1 (I; I ) = L=I .
3) H 1 (I; L=I ) = 0, H 1 (I; L) = 0.
4) H 1 (L; L) = 0.
0
Доказательство. 1) Так как I действует нулевым образом на L=I , то H (I; L=I ) = L=I .
Oстальные утверждения очевидны.
2) H 1 (I; I ) является алгеброй внешних дифференцирований алгебры I . Пусть L = Der(I ).
Очевидно, I = ad I , поэтому будем отождествлять I с ad I и считать, что I L. Оператор
ad H является полупростым оператором на I , следовательно, ad(ad H) является полупростым
оператором на gl(I ). Так как L gl(I ), то учитывая наше отождествление I c ad I , получаем ad H | полупростой оператор на L. Разложим L на корневые подпространства относительно ad H , L = L;1 L0 L1 , где L;1 = hX ; X+ ; X;(2+) i, L1 = hX; ; X;(+) ; X2+ i,
L0 = hD 2 L j [D; H ] = 0i. Таким образом, L = I + L0 . Так как [L0 ; L1 ] L1 , то оператор ad jL1 : L0 ! gl(L1 ) является представлением алгебры L0 . Покажем, что это представление
является точным. Поскольку L1 I и [L1 ; L;1 ] L0 \ I = hH i, то произведение [u; v], u 2 L1,
v 2 L;1 , определяет невырожденное L0 -инвариантное спаривание hu; vi, [u; v] = hu; viH . Так
как [D; H ] = 0 для любого D из L0 , то D 2 L0 однозначно определяется своим действием на L1,
т. е. представление ad jL1 подалгебры L0 является точным. Рассматривая действие дифференцирования D на элемент [[X; ; X;(+) ]; X2+ ] = H, убеждаемся, что ad DjL1 2 sl(L1 ). Следовательно, dim L0 dim sl(L1 ) = 8. Так как L Der(I ) = L, то dim L=I dim L=I = 7. С другой
стороны, L=I = L0 =hH i ,! psl(L1 ) и, следовательно, dim L=I 7. В результате dim L=I = 7 и
H 1(I; I ) = L=I = L=I .
3) Вычислим H 1 (I; L=I ). Так как I действует тривиально на L=I , то достаточно вычислить
1
H (I; K ). Но H 1 (I; K ) = I=[I; I ]) = 0. Значит, H 1 (I; L=I ) = 0. Утверждение о тривиальности
H 1(I; L) следует из точной когомологической последовательности, соответствующей последовательности коэффициентов 0 ;! I ;! L ;! L=I ;! 0, и из вычисленных выше групп.
4) Пусть D 2 Der(L). Tак как [I; I ] = I; то D(I ) I . Согласно 2) DjI = ad X для некоторого
X 2 L. Обозначим D ; ad X через D. Так как DjI = 0, то для любых Y 2 L, Z 2 I , 0 = D[Y; Z ] =
34
[D(Y ); Z ] и, следовательно, ad D(Y )jI = 0. Таким образом, D(Y ) 2 H 0 (I; L) = 0, отсюда D = 0 и
D = ad X . Значит, H 1(L; L) = 0.
2. Вычисление H
2
(L; L)
Пусть C (L; L) | стандартный комплекс алгебры Ли L. Группа Aut(L) = G2(K ) действует
естественным образом на C (L; L). Разложим C (L; L) в прямую сумму подкомплексов, являющихся весовыми подпространствами максимального тора T из группы Aut(L),
C (L; L) = C (L; L):
M
2Q
Так как максимальный тор T действует тривиально на C0(L; L), то C0 (L; L) имеет естественную структуру W -модуля, где W = N=T | группа Вейля алгебры L. Используя внутреннюю
градуировку ([9], c. 29) относительно элементов H , H и невырожденность матрицы Картана
алгебры Ли типа G2 , получаем
H (L; L) =
H (L; L);
M
2Q3
где Q3 = fk1 + k2 ; k1 0(3); k2 0(3)g, в частности,
H 2(L; L) = H02 (L; L) H2 3 (L; L) H2 (3+3) (L; L) H2 (6+3)(L; L):
(1)
Если отождествить C k (L; L) с пространством L ^ ^ L L, то формула дифференциала
d : C2 (L; L) ! C3(L; L) с учетом 0(3) выглядит следующим образом
d(X1 ^ X2 X3 ) =
;
X
1 +2 =1
XN
2R
;3 X1
^ X2 ^ X X
N1;2 X1 ^ X2 ^ X2 X3 +
X
3
+
;
1 +2 =2
N1 ;2 X1 ^ X2 ^ X1 X3 +
+ X1 ^ X2 ^ X; 3 [X;3 ; X3 ]: (2)
1) H 2 (L; L) = H02 (L; L).
2) H (L; L) | тривиальный W -модуль.
Доказательство. 1) Из (1) следует, что группа Вейля действует транзитивно на множестве ненулевых весов G2 (K )-модуля H 2 (L; L). Следовательно, достаточно доказать, что
H(62 +3)(L; L) = 0. Для этого используем спектральную последовательность Серра{Хохшильда
fErp;q g для алгебры L, идеала I L и присоединенного L-модуля. Bсе члены спектральной
последовательности инвариантны относительно максимального тора T и, следовательно, расp;q . fE p;q g является спектральной последователькладываются на весовые подпространства Er;
r;
ностью Серра{Хохшильда для подкомплекса C (L; L), сходящейся к H (L; L). В частности, для
H62+3 (L; L) получаем
E22;;60+3 = H62+3 (L=I; H 0 (I; L)) = 0;
E21;;61+3 = H61+3 (L=I; H 1 (I; L)) = 0;
E20;;62+3 = H60+3 (L=I; H 2 (I; L)) = H 2 (I; L)L=I \ H62+3 (I; L):
Здесь H 2 (I; L)L=I = fc 2 H 2 (I; L) j L=I действует тривиально на cg. Покажем, что H 2 (I; L)L=I \
H62+3 (I; L) = 0. Базисными элементами C62+3 (I; L) являются c1 = X; ^X; 2; X(3+2) , c2 =
X; ; ^ X; 2; X(3+) . Пространство C61+3 (I; L) = 0, а значит, B62+3 (I; L) = 0. Пусть c =
a1 c1 +a2 c2 2 Z62+3 (I; L), a1; a2 2 K . Рассмотрим действие элемента X;(3+2) на c, X;(3+2) c =
b1X; ^ X; 2; (H +2H )+ b2 X; ; ^ X; 2; X; + b3 X; ^ X; ; X3+2 , где b1 ; b2 ; b3 2 K .
Так как [X; ; X;2; ] = 0, то слагаемое b1 X; ^ X; 2; (H + 2H ) не содержится в B 2(I; L).
Следовательно, X;(3+2) c не принадлежит B 2(I; L) и c не принадлежит H 2 (I; L)L=I .
Лемма 1.
2
0
35
2) Так как H 2 (L; L) = H02 (L; L), то образующие элементы x (t) группы G2(K ) действуют
тривиально на H 2 (L; L). Следовательно, H02 (L; L) | тривиальный G2 (K )-модуль. В частности,
H02(L; L) является тривиальным W -модулем.
2
2.1. Вычисление H0 (L; L). Комплекс C0 (L; L) раскладывается в прямую сумму подкомплек
сов U1 и U2 , соответствующих блокам B1 , B2 . По лемме 1 H02 (L; L) | тривиальный W -модуль,
значит, принадлежит блоку B2 . Таким образом, H02 (L; L) = H 2 (U2 ).
2
2
W
W | подкомплекс W -инвариантов в U .
Теорема. H0 (L; L) = H (U2 ), где (U2 )
2
Доказательство теоремы основано на следующих леммах.
1
Лемма 2. Z (U2 ) = 0.
2
1
Лемма 3. Z (U2 ) = d(U2 ) Z | прямая сумма W -подмодулей.
2
2
= Z (изоморфизм W -модулей).
Доказательство. Из леммы 3 получаем H0 (L; L) = H (U2 ) Согласно лемме 1 Z | тривиальный W -модуль, т. е. Z Z 2(U2W ). Из леммы 3 следует, что
Z 2 (U2W ) = Z (d(U21 ))W . Из леммы 2 получаем (d(U21 ))W = d((U21 )W ) = B 2(U2W ). Таким образом,
Z 2 (U2W ) = Z B 2(U2W ). Значит, H02 (L; L) =Z
= H 2 (U2W ).
1
1
Доказательство леммы 2. Согласно предложению 1 имеем 0 = H0 (L; L) = H (U1 ) 1
1
1
0
0
0
0
H (U2 ). Таким образом, Z (U2 ) = B (U2 ) = d(U2 ), где U2 U1 = C0 (L; L) = H. Очевидно,
w3 (H ) = ;H для любого H 2 H, т. е. e2 H = 0 и U20 = 0, что доказывает лемму 2.
1
1
1
Доказательство леммы 3. Bыясним структуру W -модуля U2 = e2 C0 (L; L), U2 = V1 V2 V3 V4 , где V1 = hX X + X; X; ; | короткий кореньi, V2 = hX X + X; X; ; | длинный кореньi, V3 = hH H ; H H; H H ;H H i, V4 = hH H +H H i.
Легко убедиться, что V1 = V2 = A1 , V3 = A2 (изоморфизм W -модулей), где A1 , A2 | главные неразложимые W -подмодули блока B2 . Таким образом, V1 , V2 , V3 являются проективными
(инъективными) W -модулями. Так как по лемме 2 d : U21 ! U22 | инъективное отображение, то dV1 , dV2 , dV3 отщепляются в Z 2 (U2 ), т. е. Z 2 (U2 ) = Z dV1 dV2 dV3 . Очевидно,
dU21 = (Z \ dU21) dV1 dV2 dV3 и Z \ dU21 = dV4 (изоморфизм W -модулей), dV4 | тривиальный
1 2
W -модуль. Так как Z =Z \ dU2 = H (U2 ) = H02 (L; L) | тривиальный W -модуль, то для отщепимости dU21 достаточно доказать следующее утверждение: eсли M N | W -модули, M , N=M
| тривиальные W -модули, то N | тривиальный W -модуль.
Действительно, w n = n + m, где m 2 M , wk n = n + km. Так как K | поле характеристики
3, то w3 n = n. Аналогично для w . Но w2 n = w2 n = n, следовательно, w n = w n = n. Так как
w , w порождают W , то W действует тождественно на N .
Следовательно, Z \dU21 отщепляется в Z , Z 2 (U2 ) = Z (Z \dU21 )dV1 dV2 dV3 = Z dU21.
Вычисление H 2 (U2W ). Будем говорить, что элемент X1 ^ ^ Xk Xn+1 имеет тип
( H ), где на k-м месте стоит +, если k | короткий, стоит ;, если k | длинный
корень, и H , если k = 0. Обозначим через V; подпространство в C0k (L; L), натянутое на
базисные векторы, имеющие заданный тип. Тогда
C01(L; L) = V+;+ V;;; hH H; H H ; H H; H H i;
(3)
C02 (L; L) = V++;+ V++;; V+;;+ V;;;; V++;H V;;;H V+H;+ V;H;; VHH;H :
2 W
Лемма 4. 1) dim(U2 )
= 8.
1 W
2) dim(U2 ) = 3:
Доказательство. Пусть W1 = hw i | подгруппа в W . W1 действует транзитивно на множестве коротких корней и на множестве длинных корней. Очевидно, (U2k )W = (C0k (L; L))W . Каждое
из подпространств V; инвариантно относительно W , поэтому (U2k )W является прямой суммой пространств (V; )W .
1) Пространство (VHH;H )W = 0.
bb
e
b
ee
e
b
b
b
b
e
e
e
b e
36
b
Поэтому достаточно доказать, что каждое из оставшихся слагаемых в (3) имеет одномерное
пространство W -инвариантов.
Из диаграммы корней видно, что dim V++;+ = dim V++;; = dim V;;;; = 6, dim V+;;+ = 12.
Пусть v = X ^ X X + . Предположим v 2 V++;+ , тогда v; wv; w2 v; : : : ; w5 v линейно независимы. Из действия W на X в G2 ([6], x 10) для = , = + получаем w v = v. Так
как dim V++;+ = 6, то с точностью до пропорциональности единственным инвариантом в V++;+
является v++;+ = v + wv + + w5v =
gv.
g2W1
Аналогично, если v 2 V++;; или v 2 V;;;; , то элемент
gv является единственным с точg2W1
ностью до пропорциональности инвариантом соответствующего пространства. Эти инварианты
будем обозначать через v++;; , v;;;; соответственно.
Если v 2 V+;;+, то w v 2= hwk vi для любого k и все элементы gv, g 2 W , линейно независимы.
Так как dim V+;;+ = 12 = jW j, то V+W;;+ = hv+;;+ i, где v+;;+ =
gv.
g 2W
Найдем подпространство инвариантов в пространстве V+H;+ . Рассмотрим элементы v1 =
X2+ ^ H X2+ и v2 = X2+ ^ H X2+ . Так как w (2 + ) = 2 + , w H = H ,
w H = ;H то для v1 и v2 выполняются соотношения w (v1 ) = v1 и w (v2 ) = ;v2. Обозначим
через V1 , V2 W -модули, порожденные v1 , v2 соответственно. Поскольку W1 действует транзитивно на множестве R1 и wH = ;H ; H , wH = ;H, то V+H;+ = V1 V2 | прямая сумма
W -подмодулей. Модули V1 и V2 индуцированы с одномерных представлений подгруппы f1; w g,
следовательно, dim V1W = 1, dim V2W = 0. Так как v+H;+ =
gv1 является инвариантом, то
g2W1
V+WH;+ = hv+H;+ i.
Пространства инвариантов в V;H;; , V++;H , V;;;H одномерны и находятся аналогично. Соответствующие базисные инварианты имеют вид v;H;; =
g(X3+2 ^ H X3+2 ), v++;H =
g2W1
g(X ^ X; H), v;;;H =
g(X ^ X; H ).
g2W1
g2W1
2) Инвариантом в пространстве hH H ; H H ; H H; H H i является H H +
H H . Инварианты в пространствах V+;+ и V;;; находятся так же, как в V++;+.
Так как по лемме 2 d : U21 ! U22 | инъективное отображение, то dim B 2 (U2W )= dim(U21 )W =3.
2
W
Лемма 5. dim Z (U2 ) = 3.
3
W
Доказательство. Достаточно показать, что dim B (U2 ) 5. Докажем, что элементы c1 =
dv;;;H , c2 = dv;;;;, c3 = dv;H;; , c4 = dv+H;+ , c5 = dv++;; линейно независимы. Предположим,
что c = a1 c1 + a2 c2 + a3 c3 + a4 c4 + a5 c5 = 0, где ai 2 k. Из формулы дифференциала (2) легко
видеть, что
c1 = dv;;;H 2 V;;;;H V;;+;H V;;+;+ V;;;;;,
c2 = dv;;;; 2 V;;;;; V;;+;+ V;;;;H ,
c3 = dv;H;; 2 V;;H;H V+;H;+ V;;H;; V;;;;;,
c4 = dv+H;+ 2 V++H;H V+;H;+ V++H;+ V+++;+ V;;+;+,
c5 = dv++;; 2 V+++;+ V++;;; V++;;H .
Пусть v = v++;; =
g(X ^ X X + ), где , | такие корни из R1 , что + 2 R2 .
g2W1
Проекция векторов c1 , c2 , c3 , c4 на пространство V++;;H тривиальна, значит,
0 = c(X ; X ; X; ; ) = a5 dv(X ; X ; X; ; ) = a5 [X; ; ; v(X ; X )] =
= a5 [X; ; ; X + ] = ;a5 H + :
Следовательно, a5 = 0.
g(X0 ^ H X0 ), где 0 = 2 + . Проекция векторов
Рассмотрим вектор v = v+H;+ =
g2W1
c1 , c2 , c3 на пространство V+++;+ тривиальна, значит,
0 = c(X0 ; X ; X; ) = a4 dv(X0 ; X ; X; ) = a4 (;v([X ; X; ]; X0 )) = ;a4 v(H ; X0 ) = a4 X0 :
P
P
P
P
P
P
P
P
P
37
P
Следовательно, a4 = 0.
Пусть v = v;H;; =
g(X ^ H X ), где = 3 + 2 . Существует корень 2 R1 ,
g2W1
для которого + 2 R1 и, следовательно, [X ; X ] 6= 0. Проекция векторов c1 , c2 на V;H +;+
тривиальна. Поэтому
0 = c(X ; H ; X ) = a3 dv(X ; H ; X ) = a3 [X ; v(X ; H )] = a3 [X ; X ]:
Следовательно, a3 = 0.
Пусть v = v;;;; =
g(X ^ X X + ), где , | такие корни из R2 , что + 2 R2 .
g2W1
Для + 2 R2 существует корень 0 2 R1 , для которого + + 0 2 R1 и, следовательно,
[X + ; X0 ] 6= 0. Так как + 2 R2 , то 6= ;, следовательно, c1 (X ; X ; X0 ) = 0 и
0 = c(X ; X ; X0 ) = a2 dv(X ; X ; X0 ) = a2 [X0 ; v(X ; X )] = a2 [X0 ; X + ]:
Следовательно, a2 = 0.
Покажем, что c1 6= 0. Положим v = v;;;H =
g(X ^ X; H ). Существует корень 2 R1
g2W1
такой, что [X ; H ] 6= 0.
c1 (X ; X; ; X ) = [X ; v(X ; X; )] = 2[X ; H ] 6= 0: Таким образом, dim H 2 (U2W ) = dim Z 2(U2W ) ; dim B 2(U2W ) = 0. Согласно теореме получаем,
что H02 (L; L) = 0 и, значит, H 2 (L; L) = 0.
Авторы выражают благодарность рецензенту за полезные замечания.
P
P
Литература
1. Рудаков А.Н. Деформации простых алгебр Ли // Изв. АН СССР. Сер. матем. { 1971. { Т. 35.
{ Є 5. { С. 1113{1119.
2. Brown G. Lie algebras of characteristic three with non-degenerate Killing form // Trans. Amer.
Math. Soc. { 1969. { V. 137. { P. 259{268.
3. Кострикин А.И. Параметрическое семейство простых алгебр Ли // Изв. АН СССР. Сер.
матем. { 1970. { Т. 34. { С. 744{756.
4. Джумадильдаев А.С. К деформациям классических простых алгебр Ли // УМН. { 1976. {
Т. 31. { Є 3. { C. 211{212.
5. Кострикин А.И., Кузнецов М.И. О деформациях классических алгебр Ли характеристики
три // Докл. РАН. { 1995. { Т. 343. { Є 3. { С. 299{301.
6. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. { М.: Мир, 1975. { 262 с.
7. Frohardt D.E., Griess R.L. (jr.). Automorphisms of modular Lie algebras // Nova J. Alg. Geom.
{ 1992. { V. 1. { P. 339{345.
8. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. { М.:
Наука, 1969. { 668 с.
9. Фукс Д.Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. { М.: Наука, 1984. { 272 с.
10. Бурбаки Н. Элементы математики. Группы и алгебры Ли. { М.: Мир, 1972. { 334 с.
Нижегородский государственный
университет
Поступила
19.01.1997
38
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
202 Кб
Теги
три, типа, алгебра, характеристика, деформация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа