close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О диофантовых последовательностях содержащих бесконечное количество простых.

код для вставкиСкачать
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 12 Выпуск 3 (2011)
Труды Международной научно-практической конференции
Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии,
посвященной: 190-летию со дня рождения академика Пафнутия
Львовича Чебышјва, столетию со дня рождения академика Сергея
Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения
член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина
О диофантовых последовательностях,
содержащих бесконечное количество простых
Ильясов И. И. (Актобе)
После доказательства Дирихле бесконечности простых в арифметических
прогрессиях со взаимно простыми первым членом и разностью встала задача обнаружения других последовательностей натуральных чисел, обладающих
указанным свойством. До сих пор не известно существуют ли многочлены степени > 2, содержащие бесконечное количество простых. Известна некоторая
последовательность, обладающая этим свойством, построенная в работе [3].
В представляемом докладе строится последовательность натуральных чисел, связанная с диофантовами свойствами иррационального числа, содержащая бесконечное количество простых. Пусть 0 < ? < 1? иррациональное число.
Введем обозначения ??1 = 1, ?0 = ?. И пусть ?i?1 = ?i ai+1 ? ?i+1 , 0 < ?i+1 <
?i , ai+1 ? натуральные, i = 0, 1, 2, . . .
и x0 = 1, x1 = a1 , . . . , xi+1 = ai+1 xi ? xi?1 , . . . ,
i = 1, 2, ..
Последовательность {n?} , n = 0, 1, 2, . . . обозначается R (?, 1) , где {x} ?
дробная часть x.
Лемма 1. Каждое число ? ? R (?, 1) единственным образом представляется
в виде
? = ?0 t1 + ?1 t2 + · · · + ?k tk+1
с условиями
1. ? 6 ti 6 pi
(pi = ai ? 1) ,
i = 1, 2, . . . , k + 1,
tk+1 ?= 0
2. для любых i, j : 1 6 i < j 6 k + 1
(ti , ti+1 , . . . , tj?1 , tj ) ?= (pi , pi+1 ? 1, . . . , pj?1 ? 1, pj )
62
И. И. ИЛЬЯСОВ
Лемма 2. Всякое число ? ? R (?, 1) меньше ?r?1 тогда и только тогда когда
оно имеет вид
?r tr+1 + · · · + ?k tk+1
с условиями 1) и 2) леммы 1.
Теорема 1. Каждое неотрицательное целое n единственным образам представляется в виде:
n = x0 t1 + x1 t2 + · · · + xk tk+1 ,
tk+1 > 0
с условиями 1) и 2) леммы 1. Причем
{? (x0 t1 + x1 t2 + · · · + xk tk+1 )} = ?0 t1 + ?1 t2 + · · · + ?k tk+1 .
Доказательство этих утверждений содержится о работе [4] стр. 44 48.
При фиксированном r и произвольном k > r обозначим через Mr множество
чисел виды xr t r+1 + xk tk+1 ; ; r = 0, 1, 2, . . . с условиями 1) и 2) леммы 1.
Теорема 2. Множество Mr содержит бесконечное количество простых.
Доказательство. Известно, что последовательность {p?} , где p пробегает все
простые числа, равномерно распределенная в [0 . 1) . ([1] , [2] .) Следовательно,
для бесконечного количества простых имеем, что
{p?} < ?r?1 и они по лемме 2 имеют вид:
?r tr+1 + · · · + ?k tk+1
с условиями 1) и 2) леммы 1. Тогда по лемме 2
{? (xr t
r+1
+ · · · + xk tk+1 )} = ?r tr+1 + · · · + ?k tk+1
и выше указанные простые числа по теореме 1 имеют вид:
xr t
r+1
+ · · · + xk tk+1
с условиями 1) и 2) леммы 1.
Теорема доказана.
Замечание. Легко видеть, что на самом деле верно более общее предложение: если множество {?f (n)} всюду плотное в [0 . 1) , где f (n) пробегает подпоследовательность натуральных чисел, то Mr содержит бесконечное количество
f (n) .
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Виноградов И.М. Распределение дробных частей значений функции ?p. Избранные труды. Издательство АН СССР. Москва 1952. Стр. 329 330.
О ДИОФАНТОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ, ...
63
[2] Хуа Ло - ген. Распределение одной функции, аргумент которой пробегает
последовательность простых чисел. Метод тригонометрических сумм и его
применения в теории чисел. Издательство <Мир> Москва 1964. Стр. 145
146.
[3] Гельфонд А.О., Линник Ю.В. О простых числах в последовательностях
несколько более общих, чем прогрессии. Элементарные методы в аналитической теории чисел. Издательство физ мат. литературы. Москва 1962.
Стр. 89 - 96.
[4] Ильясов И.И. О структуре последовательности {n?}. Теория нерегулярных
кривых в различных геометрических пространствах. Алма Ата 1979. Стр.
44 -48.
Актюбинский государственный университет им. К. Жубанова
Поступило 13.06.2011
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
93 Кб
Теги
простые, количество, бесконечный, диофантовые, последовательность, содержащие
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа