close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О дифференциальных включениях в равномерных пространствах функций.

код для вставкиСкачать
ТЕОРИЯ
УПРАВЛЕНИЯ
И
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.93
c А. Г. Баскаков, В. В. Обуховский, П. Дзекка
О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЯХ
В РАВНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ
1
Пусть E — банахово пространство; символом L1 R, L(E) мы будем обозначать банахову алгебру абсолютно суммируемых иZ сильно измеримых функций, определенных на R со
+∞
kΦ(τ )kL(E) dτ и умножением, заданным сверткой
значениями в L(E) с нормой kΦk1 =
−∞
(Φ1 ∗ Φ2 )(t) =
Z
+∞
Φ1 (t − s)Φ2 (s)ds.
−∞
О п р е д е л е н и е 1. Банахово пространство U(R, E) локально суммируемых функций ϕ ∈ Lloc (R, E) называется равномерным пространством, если:
(i) для любых ϕ ∈ U(R, E) и h ∈ R функция сдвига ϕh (t) = ϕ(t + h), t ∈ R принадлежит
пространству U(R, E) и kϕh k = kϕk;
(ii) функция h → ϕh : R → U(R, E) непрерывна для любого ϕ ∈ U(R, E);
(iii) для каждого ϕ ∈ U(R, E) и B ∈ L(E) функция (Bϕ)(t) = Bϕ(t) принадлежит U(R, E)
и, более того, kBϕkU 6 kBkL(E) kϕkU;
(iv) для любых Φ ∈ L1 (R, L(E)) и ϕ ∈ U(R, E) свертка Φ ∗ ϕ принадлежит U(R, E) и, более
того, kΦ ∗ ϕkU 6 kΦk1 kϕkU.
Примерами равномерных пространств являются: пространство C(R, E) равномерно непрерывных огранченных функций; пространство Lp (R, E), 1 6 p 6 ∞ p -суммируемых по Бохнеру функций; пространство Sp (R, E), 1 6 p 6 ∞ функций Степанова; подпространство
C̃(R, E) ⊂ C(R, E), состоящее из функций, имеющих конечный предел в −∞ и +∞. Кроме
того, множество всех почти периодических функций из U(R, E), то есть таких функций ϕ,
для которых множество сдвигов {ϕh }h∈R предкомпактно в U(R, E), образует замкнутое подпространство AP U(R, E), само являющееся равномерным пространством. Так, в частности,
AP C(R, E) и AP Sp (R, E) являются пространствами почти периодических функций по Бору
и Степанову, соответственно.
Пусть теперь A — многозначный линейный оператор в E, порождающий (вырожденную)
сильно непрерывную полугруппу U : [0, +∞) → L(E) (см. [1], [2]). Обозначим E0 = D(A);
σ(U (1)) — спектр линейного оператора U (1) ∈ L(E) и S = {z ∈ C : |z| = 1}.
Т е о р е м а 1. Условие
\
S=∅
σ U (1)
(1)
влечет, что дифференциальное включение
x′ (t) ∈ Ax(t) + f (t),
t∈R
(2)
имеет единственное интегральное решение x ∈ U(R, E) для любой функции f ∈ U(R, E) и,
более того, оно имеет представление
Z +∞
G(t − s)f (s)ds, t ∈ R,
x(t) =
−∞
1
Работа поддержана грантами РФФИ 05-01-00100, 04-01-00081 и NATO Grant ICS.NR.CLG.981757.
7
с функцией Грина G : R → L(E) имеющей вид
(
U (τ )P1 P,
G(τ ) =
U (τ )P2 P,
τ >0
τ < 0,
где P = U (0) : E → E0 — проекция, а P1 , P2 : E0 → E0 — спектральные проекторы Рисса,
соответствующие спектральным множествам оператора U0 (1) = U (1)|E0 :
σ1 = {λ ∈ σ(U0 (1)) : |λ| < 1},
σ2 = {λ ∈ σ(U0 (1)) : |λ| > 1}.
Т е о р е м а 2. Если U(R, E) является одним из следующих пространств: C(R, E);
Lp (R, E), 1 6 p 6 ∞; Sp (R, E), 1 6 p 6 ∞; C̃(R, E); AP C(R, E) или AP Sp (R, E), то
условие (1) является и необходимым для однозначной разрешимости дифференциального
включения (2) в соответствующем пространстве.
Т е о р е м а 3. Пусть A — секториальный мультиоператор [3], удовлетворяющий
условию: функционалы из A∗ 0∗ разделяются векторами из A0, то есть для каждого ненулевого h ∈ A∗ 0∗ найдется y ∈ A0 такой, что h(y) 6= 0. Тогда условие
\
σ(A) (iR) = ∅
влечет выполнение заключения теоремы 1.
В качестве приложения в докладе рассматриваются управляемые системы с обратной связью, описываемые следующими соотношениями:
dM x(t)
= Lx(t) + u(t)
dt
(3)
u ∈ F (M x),
(4)
где L, M — замкнутые линейные операторы в E ( M не предполагается обратимым); F —
мультиотображение обратной связи в U(R, E). С помощью методов теории уплотняющих
мультиотображений [4] доказывается существование траекторий системы (3), (4) в U(R, E).
Список литературы
1. Baskakov A., Obukhovskii V., Zecca P. Multivalued linear operators and differential inclusions
in Banach spaces // Discuss. Math. Differ. Incl. Control Optim. 2003. V. 23. P. 53–74.
2. Favini A., Yagi A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces. New York: Marcel
Dekker. 1999.
3. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир. 1985.
4. Kamenskii M, Obukhovskii V, Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear
Differential Inclusions in Banach Spaces. Berlin–New York: Walter de Gruyter, 2001.
Баскаков Анатолий Григорьевич
Воронежский государственный ун-т,
Россия, Воронеж
e-mail: pmmmmio@main.vsu.ru
Обуховский Валерий Владимирович
Воронежский государственный ун-т,
Россия, Воронеж
e-mail: valerio@math.vsu.ru
Дзекка Пьетро (Zecca Pietro)
Universita di Firenze,
Italia, Firenze
e-mail: zecca@unifi.it
8
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
84 Кб
Теги
дифференциальной, равномерная, пространство, включение, функции
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа