close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О задаче Коши для многомерной системы уравнений Ламэ.

код для вставкиСкачать
2006
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (527)
УДК 517.946

О.И. МАХМУДОВ, И.Э. НИЕЗОВ
О ЗАДАЧЕ КОШИ
ДЛЯ МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЛАМЭ
1. Введение
В статье изучаются вопросы регуляризации задачи Коши для систем дифференциальных
уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Как известно, задача Коши для эллиптических уравнений некорректна, решение задачи
единственно, но неустойчиво (пример Адамара). Для того чтобы постановка задачи была корректной, необходимо сузить класс изучаемых решений.
На протяжении последних десятилетий не ослабевал интерес к классической некорректной
задаче математической физики. Это направление в исследовании свойств решений задачи Коши
для уравнения Лапласа начато в 50-х гг. в работах [1]{[4] и развивалось впоследствии в [5]{[12].
Пусть x = (x1 ; : : : ; xm ), y = (y1 ; : : : ; ym ) | точки евклидова
пространства Rm и D | область
P
m
в R с кусочно-гладкой границей @D, S | часть @D, = @D n S . Рассмотрим в области D
систему уравнений Ламе в векторной форме
U (y) + ( + ) grad div U (y) = 0;
где U = (U1 ; : : : ; Um ) | вектор смещения, | оператор Лапласа, , | постоянные Ламе. Для сокращения изложения удобно пользоваться матричной записью. Введем матричный
дифференциальный оператор
A(@x ) = kAij (@x )kmm ;
2
где Aij (@x ) = ij + ( + ) @x@i @xj .
Тогда изучаемая эллиптическая система уравнений запишется в матричной форме
A(@x )U (x) = 0:
(1)
Постановка задачи. Известны данные Коши решения системы на поверхности S
U (y) = f (y); y 2 S;
(2)
T (@y ; n(y))U (y) = (y); y 2 S;
где f = (f1 ; : : : ; fm ), = ( 1 ; : : : ; m ) | заданные непрерывные вектор-функции на S ,
@
@
@
T (@y ; n(y)) = kTij (@y ; n(y))kmm = ni @y + nj @y + ij @n j
i
mm
| оператор напряжения, ij | символ Кронекера, n = (n1 ; : : : ; nm ) | единичный вектор нормали к поверхности S .
Требуется определить функцию U (y) в D, исходя из заданных f и , т. е. решить задачу
аналитического продолжения решения системы уравнений в пространственной области по ее
значениям f и значениям ее напряжений на гладком куске S границы.
41
Единственность решения задачи (1), (2) следует из общей теоремы Холмгрена [13]. После
установления единственности в теоретических исследованиях некорректных задач возникают
важные вопросы получения оценки условной устойчивости и построения регуляризирующих
операторов.
Пусть вместо f (y) и (y) заданы их приближения f (y) и (y) с точностью 2 (0; 1) (в
метрике C ), которые могут не принадлежать классу существования решений. В данной работе
строится семейство функций U (x; f ; ) = U (x), зависящее от параметра , и доказывается,
что при некоторых условиях и специальном выборе параметра () при ! 0 семейство U (x)
сходится в обычном смысле к решению U (x) задачи (1), (2).
Следуя А.Н. Тихонову, U (x) назовем регуляризованным решением задачи, которое определяет устойчивый метод ее приближенного решения [14].
Существенно используя результаты работ [1], [15] по задаче Коши для уравнения Лапласа,
построим матрицу Карлемана в явном виде и на ее основе регуляризованное решение задачи
Коши для системы уравнений (1). Поскольку здесь идет речь о явных формулах, то построение
матрицы Карлемана в элементарных и специальных функциях представляет значительный интерес. При m = 2; 3 изучаемая задача совпадает с задачей Коши для системы уравнений статики
изотропной упругой среды. В этих случаях задача (1), (2) для специальных классов областей
исследована в [6]{[9], [12]. Задача Коши для системы уравнений установившихся упругих колебаний, для системы уравнений термоупругости и для системы уравнений моментной теории
упругости в пространстве исследована в [5], [10]{[12], [16]. Ранее в [17], [18] было доказано, что
матрица Карлемана существует во всякой задаче Коши для решений эллиптических систем,
если только данные Коши задаются на граничном множестве положительной меры.
2. Построение матрицы фундаментальных решений специального вида
Определение 1.
где
Матрица ;(y; x) = k;ij (y; x)kmm ,
1
@
;ij (y; x) = 2( + 2) ij ( + 3)q(y; x) ; ( + )(yj ; xj ) @y q(y; x) ; i; j = 1; 2; : : : ; m;
i
q(y; x) =
(
1
1
(2;m)!m jy;xjm;2 ;
1
2 ln jy ; xj;
m > 2; jy ; xj = q(y ; x )2 + + (y ; x )2 ;
1
1
m
m
m = 2;
!m | площадь единичной сферы в Rm, называется матрицей фундаментальных решений систе-
мы (1).
Матрица ;(y; x) симметрична и каждый ее столбец, а также строка удовлетворяют уравнению (1) в произвольной точке x 2 Rm , кроме y = x. Таким образом, A(@x );(y; x) = 0, y 6= x.
Развивая идею М.М. Лаврентьева, который ввел понятие функции Карлемана задачи Коши
для уравнения Лапласа [1], дадим
Определение 2. Матрицей Карлемана задачи (1), (2) называется m m-матрица (y; x; ),
удовлетворяющая следующим двум условиям:
1) (y; x; ) = ;(y; x) + G(y; x; ),
где | положительный числовой параметр, матрица G(y; x; ) по переменной y удовлетворяет
системе
(1) всюду в области D;
R
2) (j(y; x; )j + jT (@y ; n)(y; x; )j)dsy "(),
где "() ! 0 при ! 1 равномерно по x на компактных подмножествах D; здесь и да P
m 2 1=2
лее jj означает евклидову норму матрицы = kkj k, т. е. jj =
kj , в частности,
jU j =
P
m
k=1
Uk2
1=2
k;j =1
для вектора U .
42
Определение 3. Вектор-функция U (y ) = (U1 (y ); : : : ; Um (y )) называется регулярной в D ,
если она непрерывна вместе со своими частными производными второго порядка в D и первого
порядка на D = D [ @D.
В теории уравнений в частных производных важную роль играют представления решений
этих уравнений в виде функции типа потенциала. Одно из этих представлений дает
Теорема 1 ([19]). Всякое регулярное решение U (x) уравнения (1) в области D определяется
формулой Сомилиана
U (x) =
Z
@D
[;(y; x)fT (@y ; n)U (y)g ; fT (@y ; n);(y; x)g0 U (y)]dsy ; x 2 D:
Поскольку матрица Карлемана отличается от матрицы фундаментальных решений на решение транспонированной системы, то формула Сомилиана остается справедливой, если в ней
заменить фундаментальное решение на матрицу Карлемана. Таким образом, имеет место
Теорема 2. Всякое регулярное решение U (x) уравнения (1) в области D определяется формулой
Z
U (x) = [(y; x; )fT (@y ; n)U (y)g ; fT (@y ; n)(y; x; )g0 U (y)]dsy ; x 2 D;
@D
где (y; x; ) | матрица Карлемана.
Используя матрицу Карлемана, легко вывести оценку устойчивости решения задачи Коши
(1), (2) (многомерный аналог теоремы о двух константах), а также указать метод эффективного
решения этой задачи [2].
Пусть K (w), w = u + iv, | целая функция, принимающая на вещественной оси вещественные
значения и удовлетворяющая условиям
K (u) 6= 0; sup jvp K p (w)j = M (p; u) < 1; p = 0; m; ;1 < u < 1:
v1
Положим s = 2 = (y1 ; x1 )2 + + (ym;1 ; xm;1 )2 . Функцию (y; x) при > 0 определим
следующими равенствами:
если m = 2, то
p2 2
Z 1
K
(
i
u
+
+
y
)
2
;
(3)
;2K (x2)(y; x) = Im ipu2 + 2 + y ; x puu2 du
+ 2
0
2
2
если m = 2n + 1, n 1, то
n;1 Z 1 K (ipu2 + 2 + ym ) du
@
p
cmK (xm)(y; x) = @sn;1 Im p 2 2
;
(4)
i u + + ym ; xm u2 + 2
0
где cm = (;1)n;1 2;n (m ; 2)!m (2n ; 1)!;
если m = 2n, n 2, то
n;2
@
K
(
i
+
y
)
m
(5)
cm K (xm)(y; x) = @sn;2 Im (i + y ; x ) ;
m
m
где cm = (;1)n;1 (n ; 1)!(m ; 2)!m .
В [15] доказана
Лемма 1. Функция (y; x), определенная формулами (3){ (5), представима в виде
(y; x) = 21 ln 1r + g2 (y; x);
m = 2;
2;m
(y; x) = ! r(m ; 2) + gm (y; x); m 3;
m
43
gm (y; x), m 2, | функция, определенная для всех значений y, x и гармоническая по переy во всем Rm.
С помощью функции (y; x) построим матрицу
(y; x) = kij (y; x)kmm =
= 2( 1+ 2) ij ( + 3)(y; x) ; ( + )(yj ; xj ) @y@ (y; x) ; i; j = 1; 2; : : : ; m: (6)
i
mm
На основе леммы 1 нетрудно доказать, что матрица (y; x), определенная по формуле (6), предгде
менной
ставима в виде
(y; x) = ;(y; x) + G(y; x);
где G(y; x) = kGij (y; x)kmm | матрица, определенная для всех значений y, x, и по переменной y
удовлетворяющая системе (1), т. е. A(@y )G(y; x) = 0.
Теперь приведем основные результаты для данной задачи в конкретных областях.
3. Решение задачи (1), (2) для специальных классов областей
I. Пусть D Rm | ограниченная односвязная область, граница которой состоит из поверхности конуса
X
: 1 = ym; 21 = y12 + + ym2 ;1; = tg 2 ; ym > 0; > 1;
и гладкого куска поверхности S , лежащего внутри конуса, и пусть x0 = (0; 0; : : : ; xm ) 2 D .
2
2
2
2
2
Введем обозначения
p 2 = y2 m ; 0, = xm ; 0 , 0 =2 x1 + + xm;1, = (y1 ; x1) + +
2
(ym;1 ; xm;1 ) , w = i u + + , w0 = i + , s = .
Рассмотрим в области D задачу (1), (2). Для нахождения приближенного решения задачи
(1), (2) построим матрицу Карлемана в явном виде.
При > 0 в формулах (3){(5) положим (y; x) = (y; x),
K (w) = E (1= !); K (xm) = E (1= );
где E (w) | функция Миттаг-Леффлера [20].
Тогда всякое регулярное решение уравнения (1) имеет вид
U (x) =
Z
@D
[ (y; x)fT (@y ; n)U (y)g ; U (y)fT (@y ; n) (y; x)g]dsy ; x 2 D :
Здесь (y; x) строится по формуле (6) при
(y; x) = (y; x) = c 'E ((y;1x=) ) ; y 6= x;
m где ' (y; x) определяется следующими равенствами: если m = 2, то
Z 1
1=
' (y; x) = Im E! (; xw) p u2 du 2 ;
u +
0
1
2
если m = 2n + 1, n 1, то
@ n;1 Z 1 Im p E (1= w)
du ; y 6= x;
p
' (y; x) = @s
n;1 0
i u2 + 2 + ym ; xm u2 + 2
если m = 2n, n 2, то
@ n;2 Im E (1= w) ; y 6= x:
' (y; x) = @s
n;2
(i + ym ; xm)
44
(7)
Заметим, что в точке (0; 0; : : : ; 0) 2 @D нормальная производная не существует, но U (y) и
(y; x) (x 2 D ) имеют непрерывные частные производные вплоть до @D , поэтому полагаем
@U (0) = @U (0); @ (0; x) = @ (0; x) ; x 2 D :
@n
@ym
@n
@ym
В дальнейшем для доказательства основных теорем понадобятся следующие оценки функции (y; x) ([21]).
Лемма 2. I. Пусть m = 2n + 1, n 1, x 2 D , y 6= x, 0 > 0, тогда
1) при справедливы неравенства
m;2
j (y; x)j C1() rm;2 exp(; );
@ (y; x) C () m exp(; ); y 2 @D ;
2
@n
rm;1
@ @ (y; x) C () m+2 exp(; ); i = 1; m;
3
@x @n
rm
(8)
i
2) при > справедливы неравенства
m;2
j (y; x)j C4 () rm;2 exp(; + Re !0);
@ (y; x) C () m exp(; + Re ! ); y 2 @D ;
5
0
@n
rm;1
@ @ (y; x) C () m+2 exp(; + Re ! ); i = 1; m:
6
0
@x @n
rm
(9)
i
II. Пусть m = 2n, n 2, x 2 D , x 6= y, 0 > 0, тогда
1) при выполняются неравенства
m;3
j (y; x)j Ce1() rm;2 exp(; );
@ (y; x) Ce () m exp(; ); y 2 @D ;
2
@n
rm;1
@ @ (y; x) Ce () m+2 exp(; ); y 2 @D ; i = 1; m;
3
@x @n
rm
(10)
i
2) при > выполняются неравенства
m;3
j (y; x)j Ce4() rm;2 exp(; + Re !0);
@ (y; x) Ce () m exp(; + Re ! ); y 2 @D ;
5
0
@n
rm;1
@ @ (y; x) Ce () m+2 exp(; + Re ! ); y 2 @D ; i = 1; m:
6
0
@x @n
rm
(11)
i
III. Пусть m = 2, x 2 D , x 6= y, 0 > 0, тогда
1) если , то
j (y; x)j C7()E;1 (1= ) ln 1 +r2r ;
@ (y; x) C () E;1 (1= ) ;
8
@yi
r
45
2
(12)
2) если > , то
2
j (y; x)j Ce7()E;1 (1= ) ln 1 +r2r exp( Re !0);
@ (y; x) e ()E ;1 ( 1= ) 1 exp( Re ! ):
C
8
0
@y
2
(13)
i
Ci () и Cei (), i = 1; : : : ; 8, означают константы, зависящие только от .
В предельном случае, когда = (Re !0 = 0), неравенства (8) и (9), (10) и (11), а также
В этих оценках
(12) и (13) совпадают (с точностью до постоянного множителя).
При фиксированном x 2 D обозначим через S ту часть S , на которой . Если x = x0 2
D , то S = S (в этом случае = ym, = 1 и неравенство означает, что y лежит внутри
или на поверхности конуса 1 = ).
Пусть U (y) | регулярное решение уравнения (1) в D . Положим
U (x) =
Z
S
[ (y; )fT (@y ; n)U (y)g ; U (y)fT (@y ; n) (y; x)g]dsy ; x 2 D :
При этих условиях справедлива
Теорема 3. Пусть U (x) | регулярное
P
ряет на
= @D n S граничному условию
Тогда
(1)
в области
D
и удовлетво-
X
jU (y)j + jT (@y ; n)U (y)j M; y 2 :
1)
m = 2n + 1 n 1
x 2 D 0 > 0
jU (x) ; U (x)j MC1 (x)m+1 exp(; );
m = 2n n 1
x 2 D 0 > 0
jU (x) ; U (x)j MC2 (x)m exp(; );
если
2) если
где
решение уравнения
,
,
, то при
Ck (x) = Ck () =
сти пространства.
R
dsy ,
m
@D r
Доказательство.
U (x) =
Z
S
, то при
(14)
(15)
,
,
k = 1; 2, Ck () | постоянные, зависящие только от и размерно-
Из формулы (7) для регулярного решения уравнения (1) имеем
[ (y; x)fT (@y ; n)U (y)g ; U (y)fT (@y ; n) (y; x)g]dsy +
+
Z
@D nS [ (y; x)fT (@y ; n)U (y)g ; U (y)fT (@y ; n) (y; x)g]dsy ; x 2 D ;
из которого согласно (14) получим
jU (x) ; U (x)j Z
@D nS y [ (y; x)fT (@y ; n)U (y)g ; U (y)fT (@y ; n) (y; x)g]ds Z
@D nS [j (y; x)j + jT (@y ; n) (y; x)j][jT (@y ; n)U (y)j + jU (y)j]dsy :
Теперь при x 2 D и y 2 @D n S , т. е. при согласно формуле (6), лемме 2 и условию
теоремы (15) при m = 2n + 1, n 1 получим
jU (x) ; U (x)j MC1()m+1 exp(; )
46
Z
dsy ;
@D r m
а при m = 2n, n 1
dsy : @D r m
Приведем результат для приближенного вычисления U (x), когда на S вместо U (y) и
T (@y ; n)U (y) заданы их такие непрерывные приближения f (y) и g (y), что
max
jU (y) ; f (y)j + max
jT (@y ; n)U (y) ; g (y)j ; 0 < < 1:
(16)
S
S
jU (x) ; U (x)j MC2()m exp(; )
Определим функцию
U (x) =
Z
S
Z
[ (y; x)g (y) ; f (y)fT (@y ; n) (y; x)g]dsy ; x 2 D ;
где = R1 ln M , R = max
Re !0 .
y2S
Тогда имеет место
Теорема 4. Пусть U (x) | регулярное решение уравнения (1) в области D , на всей границе
@D удовлетворяющее граничному условию (15). Тогда
1) если m = 2n + 1, n 1, то
jU (x) ; U (x)j MC1(x)( R ) lnm+1 M ;
2) если m = 2n, n 1, то
j
U
(x) ; U (x)j C2 (x)( R ) lnm M ;
R dsy
где Ck (x) = Ck ()
rm , k = 1; 2.
@D
Доказательство.
U (x) ; U (x) =
+
Z
S
Z
Согласно формуле (7) и определению функции U (x) имеем
@D nS [ (y; x)fT (@y ; n)U (y)g ; U (y)fT (@y ; n) (y; x)g]dsy +
[ (y; x)fT (@y ; n)U (y) ; g (y)g + (U (y) ; f (y))fT (@y ; n) (y; x)g]dsy = I1 + I2 :
Тогда по теореме 3 при m = 2n + 1, n 1
jI1j MC1
и при m = 2n, n 1
Оценим
jI2j Z
S
()m+1 exp(; )
jI1j MC2
()m exp(; )
Z
Z
dsy
@D r m
dsy :
@D r m
(j (y; x)j + jT (@y ; n) (y; x)j)(jT (@y ; n)U (y) ; g (y)j + jU (y) ; f (y)j)dsy :
По лемме 2 и условию (16) при m = 2n + 1, n 1 получим
jI2j Ce1()m+1 exp(; )
и для m = 2n, n 1
jI2 j Ce2()m exp(; )
Z
dsy
@D r m
Z
dsy :
@D r m
Тогда, объединяя оценки для I1 и I2 и подбирая
= R1 ln M ; где R = max
Re !0 ;
y 2S
47
для каждого случая m получим доказательство теоремы 4.
Из доказанных теорем вытекает
Следствие 1. Предельные равенства
U (x) = U (x)
lim
!1 U (x) = U (x); lim
!0 выполняются равномерно на каждом компакте из D .
II. Теперь приведем аналогичные результаты для неограниченных областей типа слоя.
Пусть D | бесконечная область из Rm , m 3, лежащая внутри слоя наименьшей ширины,
определяемого неравенством
0 < ym < h; h = ; > 0;
причем @D простирается до бесконечности. Будем предполагать, что для некоторого b0 > 0
площадь удовлетворяет условию роста
Z
expf;b0 ch 0 jy0 jgdsy < 1; 0 < 0 < ; y0 = (y1 ; : : : ; ym;1 ):
@D
(17)
Пусть U (y) | регулярное решение системы (1), удовлетворяющее условию роста
jU (y)j + jT (@y ; n)U (y)j C exp[exp 2 jy0j]; 2 < 1; y 2 D; jy0j2 = y12 + + ym2 ;1: (18)
При 0 в (5){(7) положим
;
K (!) = (! ; xm + 3h);k exp ! ; b ch i1 (! ; h2 ) ; b1 ch i0 (! ; h2 ) ;
;
K (xm) = (3h);k exp xm + b cos 1 (xm ; h2 ) + b1 cos 0 (xm ; h2 ) ;
;
! = ym + iv; 0 < 0 ; 1 < ; 0 < xm < h; b > 0; b1 > b0 cos 0 h2 ;1 :
Возьмем (y; x) = (y; x) и по формуле (6) построим (y; x).
Теорема 5. Пусть U (x) | регулярное решение системы (1) в области D . Тогда при условиях (17) и (18)
U (x) =
Z
@D
[ (y; x)fT (@y ; n)U (y)g ; U (y)fT (@y ; n) (y; x)g]dsy ; x 2 D:
Обозначим
DR = fy : y 2 Dg \ fx : jxj < Rg; DR1 = D n DR ; R > 0:
Тогда @D = @DR [ @DR1 и
Доказательство.
Z
@D
[ fT (@y ; n)U (y)g ; U (y)fT (@y ; n) g]dsy =
=
+
Z
[ fT (@y ; n)U (y)g ; U (y)fT (@y ; n) g]dsy +
@D
Z R
[ fT (@y ; n)U (y)g ; U (y)fT (@y ; n) g]dsy =
@DR1
= U (x) +
Докажем, что
lim
R!1
Z
@DR1
Z
@DR1
[ fT (@y ; n)U (y)g ; U (y)fT (@y ; n) g]dsy ; x 2 DR :
[ fT (@y ; n)U (y)g ; U (y)fT (@y ; n) g]dsy = 0:
48
Действительно,
Z
y [ fT (@y ; n)U (y)g ; U (y)fT (@y ; n) g]ds 1 @DR
C
т. к.
Z
@DR1
Z
@DR1
[j j + jT j][jU (y)j + jTU (y)j]dsy exp(exp 2 jy0 j)[j j + jT j]dsy ! 0; R ! 1;
j j + jT j C exp[;" ch 1jy0j ; ch 0jy0 j];
;
где " = b cos 1 y2 ; 2 , = b1 cos 0 y2 ; h2 , = (y; x).
;
h
Пусть теперь граница области @D состоит из гиперплоскости ym = 0 и гладкой поверхности
Ляпунова S , простирающейся до бесконечности и лежащей в слое
0 < ym h; h = ; > 0:
Будем предполагать, что S задана уравнением
ym = f (y0 ); y0 2 Rm;1;
где f (y0 ) удовлетворяет условию
Для этой области возьмем
@f M < 1; j = 1; m ; 1:
1
@yj K (!) = (! ; xm + 3h);n;1 exp !; m = 2n + 1; n 1;
K (!) = (! ; xm + 3h);n exp !; m = 2n; n 1; ! = iv + ym :
По формулам (4){(6) построим матрицу Карлемана (y; x) и положим
U (x) =
Z
@D
[ (y; x)fT (@y ; n)U (y)g ; U (y)fT (@y ; n) (y; x)g]dsy ; x 2 D:
U (x) | регулярное решение системы (1), удовлетворяющее условиям
jU (x)j + jT (@y ; n)U (x)j exp ;O(exp jx0j); x ! 1; x 2 D;
;
'(x) ! 0, x ! 1,
где '(x) = O (x) , x ! 1, означает
(x)
jU (y)j + jT (@y ; n)U (y)j M; y 2 @D:
Теорема 6. Пусть
Тогда справедливо неравенство
jU (x) ; U (x)j MC (x)C () exp(;xm); 0 > 0; x 2 D;
где
(
dsy ; C () = n ; m = 2n; n 2;
C(x) = C ()
n+1 ; m = 2n + 1; n 1;
ym =0 r m
C () | постоянная, зависящая от и размерности пространства.
Z
Доказательство аналогично доказательствам предыдущих теорем.
В заключение авторы выражают признательность профессору Ш.Я. Ярмухамедову за постановку задачи и постоянные обсуждения в процессе ее решения.
49
Литература
1. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. { Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1962. { 92 с.
2. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Изв. АН СССР. Сер. матем. {
1956. { Т. 20. { Є 6. { С. 819{842.
3. Мергелян С.Н. Гармоническая аппроксимация и приближенное решение задачи Коши для
уравнения Лапласа // УМН. { 1956. {Т. 11. { Є 5. { С. 3{26.
4. Иванов В.К. Задача Коши для уравнения Лапласа в бесконечной полосе // Дифференц. уравнения. { 1965. { Т.1. { Є 1. { С. 131{136.
5. Ишанкулов Т.И., Махмудов О.И. Задача Коши для системы уравнений термоупругости в
пространстве // Матем. заметки. { 1998. { Т. 64. { Є 2. { С. 210{217.
6. Махмудов О.И. Задача Коши для системы теории упругости в пространстве: Дис. : : :
канд. физ.-матем. наук. { Новосибирск, 1990. { 80 с.
7. Махмудов О.И. Задача Коши для системы уравнений пространственной теории упругости
в перемещениях // Изв. вузов. Математика. { 1994. { Є 1. { С. 54{61.
8. Махмудов О.И., Ниезов И.Э. Регуляризация решения задачи Коши для системы уравнений
теории упругости в перемещениях // Сиб. матем. журн. { 1998. { Т. 39. { Є 2. { С. 369{376.
9. Махмудов О.И., Ниезов И.Э. Об одной задаче Коши для системы уравнений теории упругости // Дифференц. уравнения. { 2000. { Т. 36. { Є 5. { С. 674{678.
10. Махмудов О.И., Ниезов И.Э. Регуляризация решения задачи Коши для системы теории
упругости // Матем. заметки. { 2000. { Т. 68. { Є 4. { С. 548{553.
11. Махмудов О.И., Ниезов И.Э. Задача Коши для системы теории упругости в бесконечной
области // Узб. матем. журн. { 1999. { Є 2. { С. 34{39.
12. Ишанкулов Т.И., Махмудов О.И. Задача Коши для системы уравнений моментной теории
упругости в пространстве // Узб. матем. журн. { 1996. { Є 1. { С. 22{30.
13. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. { М.: Физматгиз, 1961.
{ 400 с.
14. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН
СССР. { 1963. { Т. 151. { Є 3. { С. 501{504.
15. Ярмухамедов Ш.Я. О задаче Коши для уравнения Лапласа // ДАН СССР. { 1977. { Т. 235.
{ Є 2. { С.281{283.
16. Ярмухамедов Ш.Я., Ишанкулов Т.И., Махмудов О.И. О задаче Коши для системы уравнений
теории упругости в пространстве // Сиб. матем. журн. { 1992. {Т. 33. { Є 1. { С. 186{190.
17. Айзенберг Л.А., Тарханов Н.Н. Абстрактная формула Карлемана // ДАН СССР. { 1988. {
Т. 298. { Є 6. { C. 1292{1296.
18. Тарханов Н.Н. О матрице Карлемана для эллиптических систем // ДАН СССР. { 1985. {
Т. 284. { Є 2. { С. 294{297.
19. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. Классическая и микрополярная тео-
. { М.: Наука,
1976. { 664 с.
20. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной
области. { М.: Наука, 1966. { 671 с.
21. Ярмухамедов Ш.Я. О задаче Коши для уравнения Лапласа: Дис. : : : докт. физ.-матем. наук.
{ Новосибирск, 1983. { 206 с.
рия. Статика, гармонические колебания, динамика. Основы и методы решения
Самаркандский государственный
Поступила
02.07.2004
университет
50
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
191 Кб
Теги
уравнения, кошик, система, ламэ, задачи, многомерная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа