close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О задаче типа Геллерстедта для уравнения второго рода.

код для вставкиСкачать
2005
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 10 (521)
УДК 517.956
Р.С. ХАЙРУЛЛИН
О ЗАДАЧЕ ТИПА ГЕЛЛЕРСТЕДТА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА
1. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
uxx + yuyy + uy = 0; ;1=2;
(1)
в смешанной области D, эллиптическая часть которой D совпадает со всей верхней полуплоскостью, а гиперболическая часть состоит
двух бесконечных треугольников: D , ограниченного
p;y из
=
0, и D , ограниченного характеристиками y = 0 и
характеристиками
y
=
0
и
x
;
2
x + 2p;y = 0. Задачи Геллерстедта для уравнения (1) в случае ограниченных областей рассма1
2
3
тривались в работах [1]{[3]. В данной статье исследуется случай неограниченной области, и в
ней продолжены исследования, начатые в работах [4], [5], в которых были решены аналогичные
задачи Трикоми.
Через n и m обозначим натуральные числа, удовлетворяющие неравенствам ;1=2 < + n =
0 1=2, 0 < 2 + m ; 1 = 1. Очевидно, m = 2n + 2, = 20 + 1 при ;1=2 < 0 0 и
m = 2n + 1, = 20 при 0 < 0 1=2.
Задача G . В области D найти функцию u(x; y ) со свойствами
1) u(x; y) принадлежит C (D [ fx2 + 4y = 0g);
2) имеют место соотношения
u = o(R2;2 ); ux = o(R1;2); uy = o(R;2)
(2)
2
2
при R ! +1, где R = x + 4y , (x; y ) 2 D1 ;
3) u(x; y) принадлежит C 2(D1 [ D2 [ D3 ) и удовлетворяет уравнению (1) в D1 [ D2 [ D3 ;
4) существуют пределы (x 6= 0)
i (x) = y!0; lim
jyj[u(x; y) ; A(x; y; )]y ;
(3)
(x;y )2D
i
i = 1; 2; 3, и выполняются условия склеивания
(x) = (;1)n (x); x > 0;
(x) = (;1)n (x); x < 0;
1
2
1
3
(4)
(5)
где
(x) = u(x; 0);
m=
X s (x)(;1)s s
A (x; y; ) =
()s s! y ; 6= ;n;
s
nX 1 n s (x)(;1)s
n (x)
X
s
n
ln jyj ; s ; = ;n;
A (x; y; ) =
()s s! y ; n!(n + 1)! y
s
s
[ ] | целая часть числа, () = 1, ()s = ( + 1)( + 2) ( + s ; 1);
[
2]
(2 )
=1
(2 +2)
(2 )
+1
+1
=1
=1
0
72
(6)
5) u(x; y) удовлетворяет краевому условию
u(x; y)jx2 +4y=0 = (x);
где
(x) | заданная функция.
Предполагаем, что удовлетворяется
n
n+1; (;1; 0)[C n+1; (0; +1),
Условие 1. Функция (x) принадлежит классу C (;1; +1)[C
(n+1)
> 1=2 ; 0, производная
(x) может иметь особенность при x = 0 порядка ниже
0 + 1=2, если ;1=2 < 0 0, и ниже , если 0 < 0 1=2, и должна иметь представление
(n+1)
(x) = O(jxj; ) при x ! 1, где > 0 .
На функции (x) и i (x) наложим следующие условия 2 и 3.
n
m; (;1; 0) [ C m; (0; +1),
Условие 2. Функция (x) принадлежит классу C (;1; +1) [ C
(n+1)
> 1 ; , производная (x) может иметь особенность при x = 0 порядка ниже 0 +1=2, если
;1=2 < 0 0, и ниже , если 0 < 0 1=2, и должна иметь представление (n+1)(x) = O(jxj; )
при x ! 1.
Условие 3. Функции i (x) непрерывны в соответствующих областях определения и могут
иметь особенность при x = 0 порядка ниже 3=2 ; .
2. Основные соотношения между
и
Задачу будем решать методом интегральных уравнений, поэтому понадобятся основные соотношения между и из каждой подобласти. Для вывода этих соотношений рассмотрим
вспомогательные задачи. В эллиптической подобласти используем решение задачи Дирихле с
краевым условием (6). Решение ищется в классе функций, удовлетворяющих на бесконечности
соотношениям (2). Указанная задача имеет единственное решение
=2 ; )y1; Z +1 ( )[(x ; )2 + 4y];3=2 d:
u(x; y) = p;(3
;(1 ; )4;1 ;1
В классе ограниченных функций это решение построено в [6], [7]. Оно остается справедливым и
для неограниченных функций из требуемого класса. В этом можно убедиться, используя метод
функции Грина. Аналогичная задача для области, совпадающей с первым квадрантом, решена
в [4].
Перейдем к гиперболическим подобластям. Здесь используем решение задачи типа Коши с
начальными условиями (6), (3). Оно имеет вид [8]
; 2) (;y)1; Z 1 ( )[(1 ; )]1=2; d;
u(x; y) = B (x; y; ) ; ;2;(2
i
2
(3=2 ; )
0
где (x; y) 2 Di , i = 2; 3, = x ; 2p;y(1 ; 2 ),
n n!(2n ; s)!22s
X
p
p
1
B(x; y; ) = 2 s!(n ; s)!(2n)! (;y)s=2 [ (s) (x ; 2 ;y) + (;1)s (s)(x + 2 ;y)]; 0 = 1=2;
s=0
Z1
n C s ;( + 1)40 +s
X
0
n
+1
s
B(x; y; ) = p() ;( + s + 1=2) (;y) (2s) ( )[ (1 ; )]0 +s;1=2 d +
0
s
0
s=0
Z
+m;1
1
;()4
m=2
(m)
+m;3=2 [ + (;1)m (1 ; )]d; < 1;
+ p;(
+ m ; 1=2) (;y) 0 ( )[(1 ; )]
Z1
n
s 4s
X
C
n
+1
s
B (x; y; ) = p() ;(s + 1=2) (;y) (2s) ( )[(1 ; )]s;1=2 d +
0
s
s=0
73
n+1
n 2n+3 y )n+1 Z 1
(2n+2)
n+1=2 ln 16p;y (1 ; ) ; X 2
+ (;p1);(2 n + (3;=2)
(
)[
(1
;
)]
n!
2s ; 1 d; 0 = 0:
s=1
0
Из этих решений выводятся требуемые соотношения. Их вид определяется следующими леммами. Они доказываются по аналогии с соответствующими утверждениями работ [4], [5].
Лемма 1. При x > 0 основное соотношение из эллиптической подобласти имеет вид
(a > x)
dm;n (D; (n+1) (x) + (;1)m+1 D; (n+1)(x)) +
;(1 ; )1 (x) = k ;(2 ; 2) dx
xa
m;n 0x
Z
Z
dm;n;1 +1 (n+1) ()( ; x);2d + (;1)m 0 (n+1) ()(x ; );2d; < 1;
+ (2 ;1) dx
;1
m m;n;1 a
dm;n Zx
k
;(1 ; )1 (x) = m! dxm;n (;1)m (n+1) ( ) ln(x ; )d ;
0
dm;n;1 Z +1 (n+1) ( )d
Za
Z 0 (n+1) ( )d (n+1)
m
; () ln( ; x)d +
; (;1)
; = 1;
dxm;n;
x
где
k = ;(3=2 ; )(1 ; )=p4;
1
Лемма 2. При
(;a < x)
x < 0
;x
a
1
;x
;1
.
основное соотношение из эллиптической подобласти имеет вид
dm;n (D; (n+1) (x) + (;1)m+1 D; (n+1) (x)) +
;(1 ; )1 (x) = k ;(2 ; 2) dx
x0
m;n ;ax
Z
Z
m;n;1
+1
;a
d
1
(n+1)
;
2
m
(n+1)
;
2
( )( ; x) d + (;1)
( )(x ; ) d ; < 1;
+ (2 ; ) dxm;n;1
0
;1
m
dm;n Zx
m
;(1 ; )1 (x) = mk ! dx
(
;
1)
(n+1) ( ) ln(x ; )d ;
m;n
;a
dm;n;1 Z +1 (n+1) ( )d
Z0
Z ;a (n+1) ( )d m
; (n+1)() ln( ; x)d + dxm;n;1
;
(
;
1)
; = 1:
;x
;x
x
;1
0
Лемма 3. Основное соотношение из гиперболической подобласти
m;n
D
2 имеет вид
d D; (n+1) (x) ; (x; (n+1) ); 6= 0;
;(1 ; )2 (x) = ;() dx
0
m;n 0x
Z
n
m
;
n
x
d
(n+1)
;(1 ; )2 (x) = 2(;n1)
( ) ln(x ; )d ; (x; (n+1) ); 0 = 0;
! dxm;n 0 (s) (0) = (s) (0)2;s (2 ; 1)s =( ; 1=2)s ; s = 0; n;
где
(x;
n
( +1)
p
) = 21;2;n x;1=2 D01x=2;0
n
( +1)
(x=2):
Лемма 4. Основное соотношение из гиперболической подобласти
m;n
D
3 имеет вид
d D; (n+1) (x) ; (x; (n+1) ); 6= 0;
;(1 ; )2 (x) = ;()(;1)m+1 dx
0
m;n x0
Z
n+1 dm;n 0
(n+1)
( ) ln( ; x)d ; (x; (n+1) ); 0 = 0;
;(1 ; )3 (x) = 2(;n1)! dx
m;n x (s) (0) = (s) (0)2;s (2 ; 1)s =( ; 1=2)s ; s = 0; n;
где
(x;
n
( +1)
p
) = 21;2;n (;x);1=2 (;1)n+1 Dx1=02;0
74
n
( +1)
(x=2):
Здесь Dbcl | оператор дробного дифференцирования по Риману{Лиувиллю при l 0 и
дробного интегрирования при l < 0 (напр.,[9]).
Лемма 5. Если
(x) удовлетворяет условию 1, то функция (x; (n+1) ) может иметь
3
; , если ; 12 < 0 0, и ниже n + 1, если 0 < 0 12 , а
при x = 0 особенность порядка ниже
2
при x ! 1 имеет нуль порядка выше 1 ; .
3. Вывод интегральных уравнений и решение задачи
G
Приступим к выводу интегральных уравнений и их решению.
Теорема 1. Если функция
(x) удовлетворяет условию 1, то решение задачи G в классе функций, удовлетворяющих условиям 2, 3, редуцируется к решению следующей системы
интегральных уравнений :
Z +1 ( )d (;1)m Z +1 ( )d
mX
;n;2
1
0
1
2
1 (x) tg 2 ; ;
=
g
c1s xs ;
(7)
1 (x) +
;x
0 +x
0
s=0
Z +1 ( )d (;1)m Z +1 ( )d
m;
n;2
X
1
2
1
0
; = g2 (x) +
c2s xs
(8)
2 (x) tg 2 ; ;
x
+
x
0
0
s=0
с дополнительными условиями
s (0) = as ; s = 0; n;
(9)
(x) = n (x)x; ;
x > 0;
(;x) = n (x)(;x); ; x < 0;
(10)
(11)
( )
где
1
( +1)
1
( +1)
2
1
Z +1
m+1 ;(1 ; )x;1
(
;
1)
;
1
g1 (x) = (m ; n ; 2)! D0x
(; (n+1) )( ; x)m;n;2 d;
x
Zx
m;n ;(1 ; )(;x);1
(
;
1)
;
1
g2 (;x) =
Dx0
(; (n+1) )(x ; )m;n;2 d;
(m ; n ; 2)!
;1
as =
s
( )
(0)2;s (2 ; 1)s =( ; 1=2)s ; s = 0; n;
cs , cs , s = 0; m ; n ; 2, | произвольные постоянные.
1
2
При доказательстве используются леммы 1{4 и условия склеивания (4), (5).
Лемма 6. Если функция
(x) удовлетворяет условию 1, то функции gi (x) могут иметь
особенность при x = 0 порядка ниже 1=2 ; 0 , если ;1=2 < 0 0, и ниже 1, если 0 < 0 1=2,
и имеют нуль при x ! +1 порядка выше ;0 , если ;1=2 < 0 0, и выше 1 ; 0 , если
0 < 0 1=2.
Замечание. Из условия 2 и соотношений (10), (11) следует, что функции i (x) при x = 0 и
x ! +1 должны удовлетворять условиям, аналогичным приведенным в утверждении леммы 6.
Лемма 7. При условиях леммы
6 система уравнений (7), (8) имеет единственное решение
из требуемого класса.
75
Умножив уравнение (8) на (;1)m , сложим его с уравнением (7) и вычтем
из него. В результате имеем
Z +1 1
;n;2
1 ( )d = h (x) + mX
1(x) tg 2 0 ; 1
+
d1s xs ;
1
1
;
x
+
x
0
s=0
Z
m
;
n;2
+1 1 ; 1 ( )d = h (x) + X
d2s xs ;
2(x) tg 2 0 ; 1
2
2
;x +x
0
s=0
где
1(x) = 1 (x) + 2 (x)(;1)m ; 2 (x) = 1 (x) ; 2 (x)(;1)m ;
h1(x) = g1 (x) + g2 (x)(;1)m ; h2 (x) = g1 (x) ; g2(x)(;1)m :
Отсюда после замены 2 = , x2 = ,
1 (x) = v1(); h1 (x) = b1 (); 2 (x)=x = v2 (); h2 (x)=x = b2 ()
получим
Z +1 v ()d
mX
;n;2
1
v1 () tg 2 0 ; 1
=
b
(
)
+
d1s s=2 ;
(12)
1
;
0
s=0
Z +1 v ()d
mX
;n;2
1
0
2
v2 () tg 2 ; =
b
d2s (s;1)=2 :
(13)
2 ( ) +
;
0
s=0
Для существования решений уравнений вида (12), (13) необходимо обращение в нуль правых
частей при x ! +1 [10], поэтому имеем d1s = 0, s = 0; m ; n ; 2, и d2s = 0, s = 1; m ; n ; 2.
Выполним подстановку [10]
= =(1 ; );
= t=(1 ; t);
vi () = zi ( )(1 ; ); bi () = wi ( )(1 ; )
и получим
Z1
z1 ( ) tg 2 0 ; 1 zt1 (;t)dt = w1 ( );
(14)
0
Z 1 z (t)dt
1
d20 :
0
2
z2 ( ) tg 2 ; =
w
(15)
2 ( ) + p
t;
(1 ; )
0
Функция w1 ( ) может иметь особенности при = 0 порядка ниже (1;20 )=4, если ;1=2 < 0 0,
и ниже 1=2, если 0 < 0 1=2, при = 1 | порядка ниже 1 + 0 =2, если ;1=2 < 0 0, и ниже
(1 + 0 )=2, если 0 < 0 1=2. Функция w2 ( ) может иметь особенности при = 0 порядка ниже
(3;20 )=4, если ;1=2 < 0 0, и ниже 1, если 0 < 0 1=2, при = 1 | порядка ниже (1+0 )=2,
если ;1=2 < 0 0, и ниже 0 =2, если 0 < 0 1=2. Аналогичные особенности допускаются у
функций z1 ( ) и z2 ( ). Из того, что у функций z2 ( ) и w2 ( ) при = 1 допускаются особенности
порядка ниже 1=2, следует равенство d20 = 0. В требуемых классах уравнения (14), (15) имеют
единственные решения. Эти решения записываются для уравнения (15) по формуле решения,
ограниченного при = 0. По этой же формуле оно записывается и для уравнения (14) в случае
0 < 0 1=2. Если же ;1=2 < 0 0, то для уравнения (14) решение записывается по формуле
решения, ограниченного при = 0.
С помощью леммы 7 нетрудно доказывается
Теорема 2. При условиях теоремы 1 задача (7){(9) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 2.
Итогом является
Доказательство.
76
(x) удовлетворяет условию 1, то задача G имеет единствен2, 3.
Доказательство состоит в последовательном использовании теорем 1, 2. Единственность решения следует из однозначности определения функций (x) и i (x) и единственности решений
вспомогательных задач.
Теорема 3. Если функция
ное решение, удовлетворяющее условиям
Литература
1. Хе Кан Чер. О задаче Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа // Динамика
сплошной среды. { Новосибирск, 1976. { Вып. 26. { С. 134{141.
2. Исамухамедов С.С. Краевые задачи Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа
второго рода // Дифференц. уравнения с частн. произв. и их приложения. { Ташкент, 1977.
{ С. 33{40.
3. Емелина И.Д. Задачи типа Геллерстедта для одного однородного уравнения смешанного
типа второго рода // Тр. семин. по краев. задачам. | Казань, 1983. { Вып. 20. { С. 93{103.
4. Хайруллин Р.С. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода // Сиб.
матем. журн. { 1994. { Т.35. { Є 4. { С. 927{936.
5. Хайруллин Р.С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода в случае
неограниченной области // Дифференц. уравнения. { 1994. { Т. 30. { Є 11. { С. 2010{2017.
6. Джаиани Г.В. Уравнение Эйлера{Пуассона{Дарбу. { Тбилиси: Изд-во Тбилисск. ун-та, 1984.
{ 80 с.
7. Маричев О.И. Сингулярные краевые задачи для уравнения Эйлера{Пуассона{Дарбу и двуосесимметричного уравнения Гельмгольца // Тр. Всесоюзн. конф. по уравн. в частн. произв.
{ М., 1978. { С. 373{374.
8. Хайруллин Р.С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода в случае
нормальной области // Дифференц. уравнения. { 1990. { Т. 26. { Є 8. { С. 1396{1407.
9. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. { М.: Высш. шк., 1985. { 305 с.
10. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. { М.: Наука, 1977. { 640 с.
Казанская государственная
Поступили
08:05:2003
окончательный вариант 19:02:2004
архитектурно-строительная
первый вариант
академия
77
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
151 Кб
Теги
рода, типа, уравнения, геллерстедта, задачи, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа