close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О классическом решении смешанных задач для некоторых сингулярных гиперболических уравнений.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 19, вып. 2, 2014
УДК 517.958
О КЛАССИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ
НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
©
О.Р. К е р и м о в а
Ключевые слова: оператор Бесселя; смешанная задача; гиперболическое уравнение.
Рассматривается смешанная задача для гиперболического уравнения второго порядка
в параллелепипеде, содержащего оператор Бесселя по части пространственных переменных с граничными условиями первого и второго порядка.
Пусть Rn+m
действительное евклидово пространство точек ( x , y ) ,
: 0 < Xi < ai, 0 < yj < bj, i = l,...,n,
Паь = {(x,y)
QT = Па,ь X (0 < t <
j = l,...,m,
T)}.
В работе рассматривается задача
д 2u
др = Pu + f (t,x,y),
u\t=0 = <fi(x,y),
du
—
dyj
.
u\xi=0 = 0, u\Xi=ai = 0,
1
i
i
du
t=0
(l)
(2)
= 4>(x,y),
= 0,u\yj=bj
=0,
i = 1,...,n,
j = 1,...,m,
(3)
VJ=o
„
d2u
d2u
d2u
ki du
d2u
km du
P = 7 ^ + . . . + я~2 + ^
+
+ ... +
+
, kj > 0.
dx{
dxn
dy2
yi dyi
dym
ym dym
Вопрос существования и единственности классических решений таких задач для широкого
класса областей рассмотрен в работе [1]. При m = 0 в [2]. В работе [3] для m = 1 получено
классическое решение задачи Дирихле для оператора P в полусферической области.
Пусть функции v(x,y),
ф(x,y),
и f (t,x,y)
обладают гладкостью
Г N+M + HI+...
V €
HLkm
+ KML + 3
2
j
Г N+M + KI+...
(паь),ф
€
н1.
К Т
Г N+M + KI+...
+ KML +2
J
2
(Паь),
f €
HL.
kM
+ KML
( QT)
2
Г n + m + fe1 +
и
удовлетворяют
ip,Pip,...,
Г N+M+H1
PL
Г n+m+ki+...
условиям
согласования
Pi
+2
4
...+fcm+4l
0
+ ...+KM+2]
принадлежат пространству H к + ...km(nab);
4
+ km +2"1
f,Pf,...,
0
0
4
РУ
I f принадлежат пространству H к1...кт ( QT ), где Hk1...km (ty, H Pkl...kM
определены в [4].
Тогда классическое решение задачи (1)-(3) представимо абсолютно и равномерно сходящимся рядом
t
u(t x
, ,y
)
— 2
=
«1 = 1
S„ = i P1 = i
...
Vmn
Pm = i
COS л / X m n t +
mn
V ^mn
f fmn(r)
J
0
s i n \/\mn(t
-
T)dr
397
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 19, вып. 2, 2014
nsi
ai
. nsn
— 1
ХпУ1 2 ...ym
an
/ар
Xi . . . sin
\
(am
J fci-1 - т ^ yi •••J fem-1 -ТV bi
/
2
V bm
^m+n
<mn
—
a i . . . aj)\...
bmJki+1 (ap1)...
J
2
AI
0
an bI
0 0
bm
2
(о№)
^
2
^
. nsn
j ai1 \
/am
k
... I <(x, y) sin — ^
x ii .•. .•sin
—— XnJ к— ( |^ 7 yi)& i ...
•—
I Jfem-1
" ^m I-I- I 7 ym) y \ ... У rim dxdy
ai
an
\ bi
!
2 \ b
nsi
0
aPpj - положительные корни уравнения JKJ-1 (a) — 0,
2
\2
лтп
Коэффициенты <mn,
—
фmn,
п М
a2
ai
fmn
,
,
+ ... +
п М
a2
an
+ Ш
+
!
b2
b
i
,
,
+ ... +
(amM)2
b2
b
m
.
определяются аналогично.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сазонов А.Ю., Фомичева Ю.Г. О классическом решении смешанных задач для некоторых сингулярных гиперболических и параболических уравнений / / Вестник Тамбовского университета. 2013. Т. 18. Вып. 5.
С. Этой статьи нет в журнале
2. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений / /
УМН. 1960. Т. 15. Вып. 2. С. 37-154
3. Олевский М. Н. Решение задачи Дирихле относящейся к управлению A u +
для полусферической
области / / ДАН СССР. 1949. Т. 64. № 6. С. 770-776.
""
4. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках программы «Развитие деятельности студенческих объединений».
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Kerimova S.R.
ON CLASSICAL SOLUTION OF MIXED PROBLEMS FOR CERTAIN SINGULAR HYPERBOLIC
EQUATIONS
The mixed problem for a hyperbolic equation in a parallelepiped containing the Bessel operator on some
space variables with the first and second order boundary conditions is considered.
Key words: Bessel operator; mixed problem; hyperbolic equation.
Керимова Саида Рассимовна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г.
Тамбов, Российская Федерация, студентка специальности «Прикладная математика и информатика»
института математики, физики и информатики, e-mail: aib@tsu.tmb.ru
Kerimova Saida Rassimovna, Tambov state university named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian
Federation, Student of Institute of Mathematics, Physics and Computer Sciences in the Specialty «Applied
Mathematics and Computer Sciences», e-mail:aib@tsu.tmb.ru
398
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
51 Кб
Теги
классический, решение, уравнения, смешанных, некоторые, задачи, гиперболическое, сингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа