close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О композиционных и локальных критических формациях.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 7 (458)
УДК 512.542
М.М. СОРОКИНА
О КОМПОЗИЦИОННЫХ И ЛОКАЛЬНЫХ
КРИТИЧЕСКИХ ФОРМАЦИЯХ
Проблема изучения минимальных локальных не H-формаций или иначе Hl -критических формаций впервые была поставлена профессором Л.А. Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме
по теории групп [1]. Решению этой проблемы были посвящены, в частности, работы [2], [3], а
также [4], в которой рассматриваются минимальные локальные наследственные не H-формации
для локальной формации H классического типа. В [5] было получено описание строения минимальных композиционных наследственных не H-формаций для композиционной наследственной
формации H специального или классического типа. В данной работе получено описание строения Hc-критических и Hl -критических формаций для произвольной композиционной или локальной формации H соответственно, что представляет собой решение задачи Л.А. Шеметкова
для случая, когда формация H является локальной.
Минимальной композиционной (локальной) не H-формацией называется всякая композиционная (локальная) формация F, которая сама не содержится в классе групп H, но M H для
всякой собственной композиционной (локальной) подформации M из F. В работе рассматриваются лишь конечные группы. Основные определения и обозначения, используемые в работе,
можно найти в [6], [7]. Приведем лишь некоторые из них. Пусть C | класс всех конечных
групп, K(G) { класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы G.
Функция f : C ! fформацииg называется композиционным (локальным) экраном, если выполняются следующие условия: 1) f (1) = C; 2) если A = B , то f (A) = f (B ); 3) f (G) = \f (A),
где A пробегает K(G) (f (G) = \f (p), где p пробегает (G)) для любой G 6= 1. Отметим, что
через f (p) обозначается значение экрана на всякой p-группе [6]. Если G=CG (H=K ) 2 f (H=K ),
то главный фактор H=K группы G называют f -центральным в G. Если f | композиционный (локальный) экран, то класс F = hf i всех групп, у которых все главные факторы f центральны, называется композиционной (локальной) формацией, а f | экраном этой формации. Пусть X | непустое множество групп. Тогда (X) обозначает класс групп, порожденный X; form X (соответственно cform X, lform X) | формация (соответственно композиционная,
локальная формация), порожденная X; K(X) | объединение классов K(G) для всех G 2 X.
Пусть I | класс всех конечных простых групп. Если A 2 I, то FA (G) | пересечение централизаторов всех тех главных факторов группы G, чьи композиционные факторы изоморфны
группе A [8]. Такие главные факторы назовем главными A-факторами группы G. Полагаем,
что FA (G) = G, если в G нет главных A-факторов. С целью компактного изложения материала введем следующие сокращения: c-экран (l-экран) | композиционный (локальный) экран;
c-формация (l-формация) | композиционная (локальная) формация. Следуя ([9], с. 233), формационно критическую группу A назовем f -базисной (соответственно c-базисной, l-базисной),
если формация form A (соответственно cform A, lform A) содержит единственную максимальную
подформацию (соответственно c-подформацию, l-подформацию). Будем говорить, что формация
(соответственно c-формация, l-формация) M является максимальной подформацией (соответственно c-подформацией, l-подформацией) формации (соответственно c-формации, l-формации)
F, если для любой формации (соответственно c-формации, l-формации) H, удовлетворяющей
включению M H F, имеет место M = H.
59
G | монолитическая группа с неабелевым монолитом P . Тогда G являc-базисной группой, причем максимальная c-подформация H из F = cform G имеет внутренний c-экран h со следующим строением:
8>
для A 2 K(P );
<form(G=P )
h(A) = >form(G=FA(G)) для любой A 2 K(G) n K(P );
:?;
если A 2 I n K(G):
Доказательство. Пусть h | c-экран, описанный в заключении леммы, H = hhi и f |
минимальный c-экран формации F. По теореме из [8] f (A) = form(G=FA (G)) для всех A 2 K(G).
Покажем, что G=P 2 H. Пусть A | простая группа из K(G=P ). Если A 2 K(P ), то
(G=P )=FA (G=P ) 2 form(G=P ) = h(A). Пусть A 2 K(G) n K (P ). Тогда f (A) = h(A) и ввиду леммы 1 [8] из G=P 2 F следует, что (G=P )=FA (G=P ) 2 h(A). Таким образом, (G=P )=FA (G=P ) 2 h(A)
для любого A 2 K(G=P ) и по лемме 1 [8] G=P 2 H.
Покажем, что экран h является внутренним экраном формации H. Если A 2 K(P ), то h(A) =
form(G=P ) H. Пусть A 2 K(G) n K(P ). Тогда P FA (G) и G=FA (G) = (G=P )=(FA (G)=P ) 2 H.
Поэтому h(A) = form(G=FA (G)) H. Таким образом, h является внутренним экраном формации
Лемма 1. Пусть
ется
H.
Пусть B | собственная c-подформация из F, b | ее минимальный c-экран. По следствию 1
[8] b f . Пусть A 2 K(P ). Предположим, что b(A) = f (A). Тогда G 2 form G = f (A) = b(A) B
и cform G = F B. Противоречие. Следовательно, b(A) f (A). По лемме 18.2 [7] формация
form(G=P ) = h(A) является единственной максимальной подформацией из form G = f (A) и,
значит, b(A) h(A). Пусть A 2 K(G) n K(P ). Тогда f (A) = h(A) и b(A) h(A). Поэтому b h
и B H. Так как h f и для A 2 K(P ) справедливо h(A) = form(G=P ) form G = f (A), то
H F. Следовательно, формация H является единственной максимальной c-подформацией из
F. Поскольку ввиду следствия 52.34 [9] группа G является критической, а каждая критическая
группа формационно критична, то G | c-базисная группа.
Лемма 2. Пусть G = P h H | монолитическая группа с монолитом P , где P | p-группа,
H | f -базисная группа и M | максимальная подформация из form H . Тогда G является cбазисной группой, причем максимальная c-подформация H из F = cform G имеет внутренний
c-экран h со следующим строением:
8>
для A 2 K(P );
<M
h(A) = >form(G=FA(G)) для любой A 2 K(G) n K(P );
:?;
если A 2 I n K(G):
Доказательство. Пусть h | c-экран, описанный в заключении леммы, H = hhi и f |
минимальный c-экран формации F. По теореме из [8] f (A) = form(G=FA (G)) для всех A 2
K(G) = K(F).
Покажем, что M H. Пусть M 2 M. Так как H = G=P 2 F, то M form H F и
K(M ) K(G). Пусть K=L | главный A-фактор группы M . Если A 2 K(P ), то M=CM (K=L) 2
M = h(A) = h(K=L). Пусть A 2 K(M ) n K(P ). Тогда h(K=L) = f (K=L) и ввиду M 2 F имеем
M=CM (K=L) 2 h(K=L). Таким образом, M 2 hhi = H и M H.
Покажем, что h является внутренним экраном формации H. Если A 2 K(P ), то h(A) = M H. Пусть A 2 K(G) n K(P ) и X | множество всех тех собственных секций группы H , которые
лежат в form H . Тогда H 2= form X и form X form H . По условию form X M и, значит, X H.
Ввиду леммы 3.9 [6] из равенства CG (P ) = P следует, что Op (H ) = 1. Ясно, что группа H
монолитична с монолитом Q 2= Np и, значит, K(Q) K(G) n K(P ). Тогда h(Q) = f (Q) и ввиду
H 2 F имеем H=CH (Q) 2 h(Q). Поскольку H=Q 2 X H, то H 2 H. Так как P FA(G), то
G=FA(G) = HFA (G)=FA (G) = H=H \ FA (G) 2 H и h(A) = form(G=FA (G)) H. Следовательно, h
является внутренним экраном формации H.
60
Пусть B | собственная c-подформация из F, b | ее минимальный c-экран. По следствию 1 из
[8] b f . Пусть A 2 K(P ). Предположим, что f (A) = b(A). Тогда G=Op (G) = G=FA (G) 2 f (A) =
b(A) и по лемме 3.11 [6] G 2 Npb(A) hbi = B. Противоречие. Следовательно, b(A) f (A) =
form H и ввиду условия b(A) M = h(A). Далее, b(A) f (A) = h(A) для A 2 K(G) n K(P ).
Таким образом, b h и, значит, B H. Как и в лемме 1, очевидно, что H F. Поэтому формация
H является единственной максимальной c-подформацией из F. Поскольку CG(P ) = P , то ввиду
теоремы 53.44 [9] G является критической группой и, значит, G | c-базисная группа.
Лемма 3. Пусть h | максимальный внутренний c-экран формации H, f | минимальный
c-экран формации F. Формация F является Hc-критической тогда и только тогда, когда F =
cform G, где G | группа минимального порядка из F n H с монолитом P = GH * (G) и f (A)
является h(A)-критической формацией для A 2 K(P ).
Доказательство. Необходимость. Пусть F | Hc -критическая формация и G | группа
минимального порядка из F n H. Тогда G монолитична с монолитом P = GH. Так как cform G F
и cform G * H, то cform G = F. По теореме из [8] f (A) = form(G=FA (G)) для любого A 2 K(G).
Допустим, что f (A) h(A) для A 2 K(P ). Если P неабелева, то FA (G) = 1, и по теореме
3.2 [6] h(A) = H. Поэтому G = G=FA (G) 2 f (A) h(A) = H. Противоречие. Если P | абелева
группа, то C=CG (P ) 2 f (P ) = f (A) h(A) = h(P ) и, значит, P h-централен в G. Ввиду G=P 2 H
имеем G 2 H. Противоречие. Следовательно, f (A) * h(A) для A 2 K(P ).
Пусть A | неабелева группа из K(P ). Тогда f (A) = form G. Так как P * (G), то по лемме
18.2 [7] M = form(G=P ) является единственной максимальной подформацией формации f (A).
Поскольку G=P 2 H = h(A), то M h(A) и формация f (A) является h(A)-критической для
A 2 K(P ).
Рассмотрим случай, когда A | абелева p-группа из K(P ). Пусть A 2 K(H) и M | собственная подформация формации f (A). Тогда h(A) 6= ?. Предположим, что M * h(A) и M
| группа минимального порядка из M n h(A). Тогда M монолитична. Так как по теореме 3.2
[6] h(A) = Np h(A), то Op (M ) = 1, и ввиду леммы 18.8 [7] существует точный неприводимый
Fp [M ]-модуль K . Пусть B = K h M . Так как B=Op (B ) = M 2 M f (A), то по лемме 3.11 [6]
B 2 hf i = F и cform B F. Если cform B = F, то f (A) = form(B=FA (B )) = form M M f (A).
Противоречие. Следовательно, cform B F и по условию cform B H. Тогда B 2 H и в силу
леммы 1 [8] B=FA (B ) = M 2 h(A). Противоречие. Таким образом, M h(A) и f (A) является
h(A)-критической формацией. Пусть A 2= K(H). Тогда h(A) = ?. Предположим, что P < G. Так
как G=P 2 H, то Op (G) = P и G=P не содержит главных p-факторов. Поскольку G=P 2= Np ,
то f (A) = form(G=P ) * Np . Ввиду леммы 3.11 [6] Np Np f (A) F, а значит, Np H и
A 2 K(H). Противоречие. Следовательно, P = G и f (A) = (1). Поэтому M = ? | единственная
собственная подформация из f (A) и, значит, формация f (A) является h(A)-критической.
Покажем, что P * (G). Пусть P Z (G). Тогда G=CG (P ) = 1. Так как G=P 2 H и G 2= H, то
P не является h-центральным главным фактором группы G. Поскольку G=CG (P ) 2= h(P ) = h(A),
то h(A) = ? и A 2= H. Ввиду леммы 3.32 [7] P h (G=G) = P 2 F. Поэтому в силу выбора группы G
имеем P = G * (G). Пусть P * Z (G). Тогда CG(P ) < G. По лемме 3.32 [7] T = P h (G=CG (P )) 2
F. Так как T=CT (P ) = T=P = G=CG(P ) 2= h(P ), то T 2= H. Поскольку jT j jGj, то в силу выбора
группы G имеем jT j = jGj. Ввиду того, что cform T F и cform T * H, получим cform T = F и
P = T H * (T ).
Достаточность. Пусть L | собственная c-подформация формации F и l | ее минимальный c-экран. По следствию 1 [8] l f . Покажем, что L H. Пусть A 2 K(G) n K(P ) и K=L
| главный A-фактор группы G. Тогда P CG (K=L) и ввиду леммы 2.8 [7] G=CG (K=L) =
(G=P )=CG=P ((K=P )=(L=P )) 2 h((K=P )=(L=P )) = h(A). Так как G=CG(K=L) 2 h(A) для любого главного A-фактора K=L группы G, то G=FA (G) 2 h(A). Поэтому l(A) f (A) =
form(G=FA (G)) h(A). Пусть A 2 K(P ). Предположим, что l(A) = f (A). Если A | неабелева группа, то G 2 l(A) L, что невозможно. Следовательно, A | группа порядка p. Так
61
как P * (G), то G = P h L, где L | некоторая подгруппа группы G, и Op (G) = P . Тогда
G=Op (G) = G=FA (G) 2 l(A) и по лемме 3.11 [6] G 2 L. Противоречие. Следовательно, l(A) f (A)
и, значит, l(A) h(A) для A 2 K(P ). Таким образом, l h и L H. Поскольку G 2= H, то F * H
и формация F является Hc-критической.
F
Теорема 1. Пусть
является
Hc
H c
|
-формация,
h | ее максимальный внутренний c-экран. Формация
F = cform G, где G | такая c-базисная
-критической тогда и только тогда, когда
группа с монолитом
P = GH, что выполняется одно из следующих условий:
1) G = P | простая группа;
2) P | собственная неабелева подгруппа группы G и P = Gh(A) для A 2 K(P );
3) G = P h H , где P = CG (P ) | p-группа, а H 6= 1 | f -базисная группа с монолитом
Q = H h(A) такая, что максимальная подформация M из form H содержится в h(A) для
A 2 K(P ).
Доказательство. Необходимость. Пусть f | минимальный c-экран формации F. Ввиду
леммы 3 F = cform G, где G | монолитическая группа с монолитом P = GH * (G).
Пусть A 2 K(P ). Рассмотрим случай, когда A | неабелева группа. В силу теоремы 3.2
[6] h(A) = H. Допустим, что P 2= F. Тогда A 2= F и по теореме из [8] f (A) = ?. Поэтому
f (A) h(A). Однако ввиду леммы 3 формация f (A) является h(A)-критической. Противоречие.
Следовательно, P 2 F. Пусть A 2= K(H). Так как P 2 F, то cform P F. Если cform P F, то
по условию cform P H и P 2 H, что невозможно. Поэтому cform P = form P = F, и (1)
| единственная максимальная c-подформация из F. Ввиду предложения 51.34 [9] группа P
является критической, а значит, и формационно критической. Таким образом, в этом случае
формация F удовлетворяет условию 1). Пусть A 2 K(H) и P < G. Так как H = h(A), то
P = Gh(A). В силу леммы 1 G является c-базисной группой и, значит, формация F удовлетворяет
условию 2).
Пусть A | p-группа. Тогда cform P = Np . Рассмотрим случай, когда A 2= K(H). Так как
формация Np нормально наследственна, то по лемме 3.11 [6] Np Np f (A) F и, значит,
cform P F. Если cform P F, то по условию cform P H и P 2 H. Противоречие. Следовательно, cform P = F, и G = P | c-базисная группа. Таким образом, формация F удовлетворяет условию 1). Пусть A 2 K(H) и H | группа наименьшего порядка из f (A) n h(A). Тогда
H монолитична с монолитом Q = H h(A). По теореме 3.2 [6] h(A) = Np h(A). Поэтому Op (H ) = 1
и ввиду леммы 18.8 [7] существует точный неприводимый Fp [H ]-модуль T . Пусть R = T h H .
Из R=Op (R) 2 f (A) по лемме 3.11 [6] следует, что R 2 F. Если R 2 H, то ввиду леммы 1 [8]
R=FA (R) = H 2 h(A), что невозможно. Следовательно, R 2= H и в качестве группы, порождающей формацию F, можно выбрать группу R.
Покажем, что H является f -базисной группой. Пусть X | множество всех тех собственных
секций группы H , которые лежат в form H = f (A). В силу выбора группы H справедливо
включение X h(A). Поэтому H 2= form X и, значит, H является формационно критической
группой. По лемме 3.3 [7] f (A) обладает максимальными подформациями. Допустим, что M1
и M2 | различные максимальные подформации из f (A). Тогда M1 h(A) и M2 h(A), а
значит, и L = form(M1 [ M2 ) h(A). Так как M1 и M2 | максимальные подформации из
f (A), то L = f (A) h(A), что невозможно. Следовательно, form H обладает единственной
максимальной подформацией и, значит, H является f -базисной группой. Ввиду леммы 2 R |
c-базисная группа. Таким образом, формация F удовлетворяет условию 3).
H
Достаточность. Пусть F = cform G, где G | c-базисная группа с монолитом P = G типа
1){3). Из G 2 F n H следует, что F * H.
Пусть группа G типа 1). Тогда собственной c-подформацией формации F является лишь (1).
Следовательно, F | Hc-критическая формация.
Пусть G | группа типа 2) и A 2 K(P ). Тогда G 2= h(A). Ввиду леммы 18.2 [7] form G =
f (A) обладает единственной максимальной подформацией form(G=P ) = form(G=Gh(A)) и, значит,
62
формация f (A) является h(A)-критической. По лемме 3 F | Hc -критическая формация.
Пусть группа G типа 3). Допустим, что H 2 h(A) для A 2 K(P ). Так как P 2 Np и
G=P 2 h(A), то G 2 Nph(A) = h(A) H. Противоречие. Следовательно, H 2= h(A). Поскольку
максимальная подформация M из form H содержится в h(A), то формация f (A) = form H является h(A)-критической для A 2 K(P ). По лемме 3 F является Hc-критической формацией.
В работе [2] приводится описание Hl -критических формаций для локальной формации H
классического типа. Аналогичные результаты для композиционных формаций можно получить
как следствия из теоремы 1. Следуя [2], композиционную формацию H назовем формацией специального (классического) типа, если она обладает внутренним c-экраном, все ненильпотентные
(неабелевы) значения которого локальны.
Следствие 1. Пусть H | c-формация специального типа, h | ее максимальный внутренний
c-экран. Формация F является Hc-критической тогда и только тогда, когда F = cform G, где G
| c-базисная группа с монолитом P = GH такая, что для нее выполняется один из пп. 1){3)
теоремы 1, причем в п. 3) либо (H ) = 1, либо H является минимальной не h(A)-группой для
A 2 K(P ) и H 2 Nq , где q 6= p, jH j > q.
Доказательство. По теореме 1 F = cform G и для G выполняется один из пп. 1){3) теоремы
1. Рассмотрим детально п. 3). Поскольку H | формация специального типа, то H обладает таким
внутренним c-экраном d, все ненильпотентные значения которого локальны. Так как h и d |
внутренние p-постоянные экраны формации H, то по лемме 3.12 и теореме 3.2 из [6] получим
Npd(A) = Nph(A) = h(A) для A 2 K(P ). Пусть d(A) | локальная формация. Тогда по следствию
7.13 [7] h(A) = Np d(A) является локальной формацией. Поэтому (H ) = 1 в этом случае.
Пусть d(A) | нильпотентная формация и (H ) 6= 1. Тогда Q (H ). Допустим, что p 2
(H ). Поскольку H=Q 2 h(A) = Npd(A), то H=Q p-замкнута и по лемме 4.4 [6] H p-замкнута.
Противоречие. Следовательно, H является p -группой и H=Q 2 d(A). По лемме 4.4 [6] группа H
является нильпотентной и, значит, H | минимальная не h(A)-группа. Так как H монолитична,
то H является q-группой, q 6= p.
Достаточность следует из теоремы 1.
Следствие 2. Пусть H | формация классического типа, h | ее максимальный внутренний
c-экран. Формация F является Hc-критической тогда и только тогда, когда F = cform G, где G
| c-базисная группа с монолитом P = GH, которая удовлетворяет одному из пп. 1){3) теоремы
1, причем в п. 3) либо (H ) = 1, либо H | минимальная не h(A)-группа для A 2 K(P ) одного
из следующих видов: a) циклическая q-группа, q 6= p и jH j > q; b) группа кватернионов порядка
8, p 6= 2; c) неабелева группа порядка q3 простой нечетной экспоненты q, q 6= p.
Доказательство. Необходимость. Так как всякая формация классического типа является формацией специального типа, то ввиду теоремы 1 и следствия 1 детально рассмотрим лишь
случай, когда G = P h H | группа типа 3) теоремы 1. По следствию 1 либо (H ) = 1, либо H
является минимальной не h(A)-группой для A 2 K(P ) и H 2 Nq , q 6= p, jH j > q. По условию
формация H обладает таким внутренним c-экраном d, все неабелевы значения которого локальны. Ввиду доказательства следствия 1 достаточно рассмотреть случай, когда d(A) | абелева
формация для A 2 K(P ) и (H ) 6= 1. Пусть f | минимальный c-экран формации F и A 2 K(P ).
Поскольку f (A) * h(A) и по теореме 3.12 [6] Np d(A) = Np h(A) = h(A), то f (A) * d(A). Так как
f (A) = form H Nq , то ввиду h(A)-критичности формации f (A) каждая собственная подформация из f (A) содержится в d(A) и, значит, f (A) является d(A)-критической формацией. Если
f (A) | абелева формация, то ввиду монолитичности группы H получим, что H | циклическая q-группа. Пусть f (A) | неабелева формация. По лемме 18.13 [7] H является либо группой
кватернионов порядка 8, либо неабелевой группой порядка q3 простой нечетной экспоненты q.
Достаточность следует из теоремы 1.
0
63
Поскольку всякая локальная формация является композиционной, то ввиду теоремы 1 появилась возможность несколько расширить основной результат работы [2]. Предварительно докажем следующие леммы.
Лемма 4. Пусть G | монолитическая группа с неабелевым монолитом P . Тогда группа
G является l-базисной группой, причем максимальная l-подформация H из F = lform G имеет
внутренний l -экран h со следующим строением:
8
><form(G=P );
если q 2 (P );
h(q) = >form(G=Fq (G)) для любого q 2 (G) n (P );
:?;
если q 2 P n (G):
Доказательство. Пусть h | l -экран, описанный в заключении леммы, H = hhi и f |
минимальный l-экран формации F. По теореме 8.3 [7] f (q) = form(G=Fq (G)) для любого q 2 (G).
Пусть q 2 (G=P ). Если q 2= (P ), то ввиду теоремы 4.5 [6] (G=P )=Fq (G=P ) 2 f (q) = h(q). Если
q 2 (P ), то (G=P )=Fq (G=P ) 2 form(G=P ) = h(q). По теореме 4.5 [6] G=P 2 H. Как и при
доказательстве леммы 1, нетрудно проверить, что h является внутренним экраном формации
H, а также что G | формационно критическая группа. Пусть B | собственная l-подформация
из F, b | ее минимальный l-экран. По следствию 8.4 [7] b f . Если b(q) = f (q) для q 2 (P ),
то G = G=Fq (G) 2 b(q) B, что невозможно. Следовательно, b(q) f (q) и по лемме 18.2 [7]
b(q) h(q) для q 2 (P ). Если q 2 (G) n (P ), то h(q) = f (q) b(q). Поэтому b h и B H.
Как и в лемме 1, очевидно, что H F. Таким образом, формация H является единственной
максимальной l-подформацией из F и, значит, G | l-базисная группа.
Лемма 5. Пусть G = P h H | монолитическая группа с монолитом P , где P | p-группа,
H | f -базисная группа и M | максимальная подформация из form H . Тогда G является lбазисной группой, причем максимальная l -подформация H из F = lform G имеет внутренний
l-экран h со следующим строением:
8>
если q = p;
<M;
h(q) = >form(G=Fq (G)) для любого q 2 (G) n fpg;
:?;
если q 2 P n (G):
Доказательство. Пусть h | l -экран, описанный в заключении леммы, H = hhi и f |
минимальный l-экран формации F. По теореме 8.3 [7] f (q) = form(G=Fq (G)) для любого q 2 (G).
Пусть M 2 M и q 2 (M ). Поскольку M form H F, то (M ) (G). Как и в лемме
4, проводя аналогичные рассуждения, нетрудно проверить, что M=Fq (M ) 2 h(q) для любого
q 2 (M ) и, значит, ввиду теоремы 4.5 [6] M 2 H. Следовательно, M H и поэтому h(p) H.
Пусть q 2 (G) n fpg. Тогда P Fq (G) и G = HFq (G). Как и в лемме 2, нетрудно показать, что
H 2 H. Поэтому G=Fq (G) = H=H \ Fq (G) 2 H и, значит, h(q) H. Таким образом, h является
внутренним экраном формации H.
Пусть B | собственная l-подформация из F, b | ее минимальный l-экран. По следствию
8.4 [7] b f . Если b(p) = f (p), то G=Op (G) = G=Fp (G) 2 b(p) \ B и по лемме 8.2 [7] G 2 B.
Противоречие. Следовательно, b(p) f (p) и по условию b(p) M = h(p). Так как b(q) h(q)
для любого q 2 (G) n fpg, то b h и B H. Поскольку h f и h(p) f (p), то H F и, значит,
H | единственная максимальная l-подформация из F. В силу леммы 2 группа G формационно
критична и поэтому G является l-базисной группой.
F
Теорема 2. Пусть
является
Hl
H l
|
-формация,
h | ее максимальный внутренний l-экран. Формация
F = lform G, где G | такая l-базисная
-критической тогда и только тогда, когда
группа с монолитом
P = GH, что выполняется одно из следующих условий:
1) G = P | группа простого порядка;
2) P | неабелева подгруппа группы G и P = Gh(p) для всех p 2 (P );
64
3) G = P h H ,
p-группа, а H 6= 1 | f -базисная группа такая, что
form H содержится в h(p).
Доказательство. Необходимость. Пусть f | минимальный l -экран формации F. По лемме 2.1 [3] F = lform G, где G | такая монолитическая группа с монолитом P = GH , что f (p) является h(p)-критической формацией для всех p 2 (P ). Ввиду теоремы 8.3 [7] f (p) = form(G=Fp (G))
для любого p 2 (G).
Пусть (P ) * (H). Тогда в силу теоремы 8.3 [7] и теоремы 3.3 [6] h(p) = ? для некоторого
p 2 (P ) n (H). Ввиду h(p)-критичности формации f (p) имеем f (p) = (1) и, значит, G = Fp (G)
| группа простого порядка p 2 (F) n (H). Как показано в теореме 1, группа G является формационно критической и (1) | единственная максимальная l-подформация из lform G. Таким
где
P = CG(P )
максимальная подформация
|
M
из
образом, формация F удовлетворяет условию 1).
Пусть (P ) (H) и p 2 (P ). Рассмотрим случай, когда монолит P неабелев. Так как
G 2= H и h(p) H, то G 2= h(p). По лемме 4 группа G является l-базисной и максимальная lподформация L из F обладает таким внутренним l-экраном d, что d(p) = form(G=P ). По условию
L H и ввиду следствий 8.4 и 8.6 из [7] d h. Тогда G=P 2 h(p) и, значит, P = Gh(p). Таким
образом, в этом случае формация F удовлетворяет условию 2).
Пусть P | p-группа и H | группа наименьшего порядка из f (p) n h(p). Тогда H монолитична
с монолитом Q = H h(p) . По теореме 3.3 [6] h(p) = Np h(p) и поэтому Op (H ) = 1. Применяя лемму
18.8 [17], построим группу R = T h H , где T | точный неприводимый Fp [H ]-модуль. Ввиду
леммы 18.2 [7] R 2 F. Если R 2 H, то R=Fp (R) = H 2 h(p), что невозможно. Следовательно,
R 2= H и, значит, F = lform R. Как и при доказательстве теоремы 1, нетрудно проверить, что
H является f -базисной группой и максимальная подформация M из form H содержится в h(p).
Тогда по лемме 5 R является l-базисной группой и, значит, формация F удовлетворяет условию
3).
H
Достаточность. Пусть F = lform G, где G | l -базисная группа с монолитом P = G типа
1){3). Из G 2 F n H следует, что F * H. Пусть G | группа типа 1) и p 2 (G). Тогда формация
F = Np является Hl-критической. Пусть группа G типа 2) и p 2 (P ). По лемме 4 максимальная
l-подформация M из F обладает таким внутренним l-экраном m, что m(p) = form(G=P ) h(p).
Пусть q 2 (G) n (P ). Тогда P Fq (G). По лемме 2.8 [7] G=Fq (G) = (G=P )=Fq (G=P ) 2 h(q)
и, значит, m(q) h(q). Если q 2= (G), то m(q) = ? h(q). Следовательно, m h и M H.
Таким образом, F является Hl -критической формацией. Пусть G | группа типа 3). Допустим,
что H 2 h(p). Так как G=P 2 H и G=CG (P ) = G=P = H 2 h(p), то G 2 H, что невозможно.
Следовательно, H 2= h(p) и, значит, f (p) является h(p)-критической формацией. По лемме 2.1
[3] F | Hl -критическая формация.
Замечание. В работе [2] доказано существование Hl -критических формаций в случае, когда
H является локальной формацией классического типа. Нетрудно показать, что для композиционной формации H классического типа Hc-критические формации также существуют. Вопрос
существования Hc-критических и Hl -критических формаций в общем случае остается открытым.
В заключение отметим, что основные классы групп являются формациями классического типа.
Литература
1. Шеметков Л.А. Экраны ступенчатых формаций // Тр. VI Всесоюзн. симпоз. по теории групп.
{ Киев: Наук. думка, 1980. { С. 37{50.
2. Скиба А.Н. О критических формациях // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. { Киев: Ин-т матем. AH Украины, 1993. { С. 250{268.
3. Скиба А.Н. Формации со сверхразрешимыми локальными подформациями // Тр. ин-та матем.
СО АН СССР. { Новосибирск: Наука, 1984. { Т. 4. { С. 101{118.
4. Селькин В.М., Скиба А.Н. О наследственных критических формациях // Сиб. матем. журн.
{ 1996. { Т. 37. { Є 5. { С. 1145{1153.
65
5. Ведерников В.А., Сорокина М.М. О композиционных наследственных критических формациях // Препринт Є 1. Гос. пед. ун-т. { Брянск, 1996. { 19 с.
6. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. { М.: Наука, 1978. { 272 с.
7. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. { М.: Наука, 1989. { 256 с.
8. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. О минимальном композиционном экране композиционной формации // Вопр. алгебры. { Гомель, 1992. { Вып. 7. { С. 39{43.
9. Нейман X. Многообразия групп. { М.: Мир, 1969. { 264 с.
Брянский государственный
Поступила
10.01.1997
педагогический университет
66
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
159 Кб
Теги
локальные, критических, композиционные, формация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа