close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О левых три-тканях Бола с IC-свойством.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2013, № 5, c. 25–35
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
Г.А. ТОЛСТИХИНА, А.М. ШЕЛЕХОВ
О ЛЕВЫХ ТРИ-ТКАНЯХ БОЛА С IC-СВОЙСТВОМ
Аннотация. Мы говорим, что левая три-ткань Бола B обладает IC-свойством, если ее координатная квазигруппа и сердцевина изотопны. Описываются свойства подмногообразия V ,
устанавливающего эту изотопию.
Ключевые слова: три-ткань Бола, сердцевина ткани Бола, IC-свойство три-ткани Бола, связность Черна, локально симметрическая связность.
УДК: 514.763
Введение
Известно [1], [2], что любая левая три-ткань Бола B индуцирует на базе первого слоения
локальную гладкую r-мерную квазигруппу, называемую сердцевиной ткани B . Понятие
сердцевины впервые ввел В.Д. Белоусов в [3] (см. также [4], с. 210). Как показано в [5],
сердцевина ткани B не изотопна, вообще говоря, координатной квазигруппе этой ткани.
Будем говорить, что левая три-ткань Бола B обладает IC-свойством, если ее координатная
квазигруппа и сердцевина изотопны. Ткани Бола с IC-свойством рассматривались в [6].
Там показано, что указанная изотопия устанавливается с помощью некоторого гладкого
r-мерного подмногообразия V , трансверсального слоям ткани, и найдена характеристика
координатной лупы ткани B , обладающей IC-свойством.
В данной работе описываются некоторые свойства поверхности V . Для ткани Бола B
с IC-свойством найдены разложения в ряд (с точностью до третьего порядка) уравнений
локальной координатной лупы и уравнений сердцевины. С помощью этих разложений доказано, что если левая ткань Бола B обладает IC-свойством, то у каждой ее координатной
лупы P , P ∈ V , коммутатор равен нулю. Найдены уравнения подмногообразия V в адаптированном кобазисе форм и разложение в ряд функции y = ϕ(x), задающей поверхность V в
канонических координатах. Доказано (теорема 2), что поверхность V является изоклинногеодезической и одновременно диагональной поверхностью ткани W , и существование таких
поверхностей характеризует ткани B с IC-свойством. Условия существования подмногообразия V оказались равносильны тому, что на нем (и, соответственно, на базе первого
слоения ткани) симметрическая связность Γ совпадает с канонической аффинной связностью Черна ткани B . Полученные результаты проиллюстрированы на примерах.
1. Координатная квазигруппа и сердцевина три-ткани B
Три-тканью W на гладком многообразии M размерности 2r называется совокупность
трех гладких слоений λ1 , λ2 , λ3 коразмерности r, таких, что в каждой точке p многообpазия
M тpи пpоходящих чеpез нее слоя из разных слоений находятся в общем положении.
Поступила 24.03.2012
25
26
Г.А. ТОЛСТИХИНА, А.М. ШЕЛЕХОВ
С три-тканью W [1] связана гладкая локальная квазигруппа
f : X1 × X2 → X3 ,
z = f (x, y) ≡ x · y,
(1)
где Xi , i = 1, 2, 3, — база слоения λi , dim Xi = r, а уравнение z = f (x, y) связывает параметры слоев ткани, проходящих через одну точку.
Следуя Бляшке, рассматриваем три-ткани с точностью до локальных диффеоморфизмов,
поэтому можно считать, что M = X × Y , а слоения ткани W задаются уравнениями
λ1 : x = const,
λ2 : y = const,
λ3 : z = f (x, y) = const.
Квазигруппа (1) называется локальной координатной квазигруппой три-ткани W .
Параметры x, y и z допускают преобразования вида
x
= α(x),
y = β(y),
z = γ(z),
где α, β, γ — локальные диффеоморфизмы [1]. Такие преобразования называются изотопическими преобразованиями или изотопиями. При этом уравнение (1) преобразуется к
виду
x), β −1 (
y ))).
z = f(
x, y) = γ(f (α−1 (
Последнее уравнение определяет квазигруппу, изотопную (1). Две три-ткани эквивалентны (локально диффеоморфны) тогда и только тогда, когда их координатные квазигруппы
изотопны [1].
Напомним определение левой три-ткани Бола. Договоримся слои первого, второго и третьего слоений ткани изображать соответственно вертикальными, горизонтальными и наклонными линиями.
Рис. 1
Пусть a и b — два произвольных достаточно близких вертикальных слоя ткани B , y —
произвольный горизонтальный слой. Последний пересекает слой a в некоторой точке A.
Через A проходит единственный наклонный слой, который пересекает слой b в некоторой
точке B. Проходящий через B горизонтальный слой пересекает вертикальный слой a в точке
C; через нее проходит единственный наклонный слой, который, в свою очередь, пересекает
слой y в некоторой точке D.
Если провести аналогичное построение, начав с другого горизонтального слоя y, то получатся новые точки A, B, C и D. Говорят, что на ткани замыкается левая конфигурация
О ЛЕВЫХ ТРИ-ТКАНЯХ БОЛА С IC-СВОЙСТВОМ
27
Бола, если точки D и D лежат на одном и том же вертикальном слое, который обозначен через c. Левая три-ткань Бола B характеризуется замыканием всех достаточно малых
левых конфигураций Бола, которые также обозначаются B [1] (см. рис. 1).
На ткани B положение слоя c однозначно определяется заданием слоев a и b. Поэтому
имеет смысл
Определение. Бинарная операция
(∗) : λ1 × λ1 → λ1 ,
c = a ∗ b,
(2)
где a, b и c — слои первого слоения, входящие в произвольную левую конфигурацию Бола
на три-ткани B , называется сердцевиной этой ткани.
Пусть ткань B задана уравнением (1). Тогда уравнение сердцевины получается из равенств
f (a, y) = f (b, y), f (c, y) = f (a, y), a, b, c ∈ X, y, y ∈ Y,
соответствующих замыканию на ткани конфигураций B (здесь y — параметр горизонтального слоя, проходящего через точки B и C, см. рис. 1), а параметры слоев обозначены теми
же символами, что и сами слои. Исключая из этих равенств параметр y, получаем равенство
f (a, f −1 (b, f (a, y))) = f (c, y),
которое должно выполняться для любого y. Отсюда находим уравнение сердцевины c = a∗b.
Согласно [5] сердцевина (2) является квазигруппой и обладает свойством идемпотентности (a ∗ a = a), левой обратимости (a ∗ (a ∗ b) = b) и левой дистрибутивности (a ∗ (b ∗ c) =
(a ∗ b) ∗ (a ∗ c)). Поэтому она изотопна некоторой левой лупе Бола [7], [2].
Но, как уже было сказано, ткань B не обладает, вообще говоря, IC-свойством, т. е. сердцевина ткани B не изотопна, вообще говоря, координатной квазигруппе (1) этой же ткани. В [8] показано, что если IC-свойство выполняется, то изотопия между координатной
квазигруппой и сердцевиной устанавливается с помощью некоторого гладкого r-мерного
подмногообразия V , находящегося в общем положении со слоями три-ткани (см. рис. 2).
V
M
B
A
C
Рис. 2
Напомним, как в этом случае получается уравнение сердцевины. В дальнейшем базы
слоений ткани будем обозначать X, Y и Z.
Зададим подмногообразие V уравнением
y = ϕ(x),
(3)
где ϕ : X → Y — локальный диффеоморфизм. Пусть A(a, ϕ(a)) и B(b, ϕ(b)) — произвольные
достаточно близкие точки на V . Проходящие через эти точки соответственно вертикальный и горизонтальный слои ткани пересекаются в некоторой точке M = M (a, ϕ(b)) (см.
28
Г.А. ТОЛСТИХИНА, А.М. ШЕЛЕХОВ
рис. 2). Наклонный слой ткани, проходящий через точку M , пересекает подмногообразие V
в некоторой точке C(c, ϕ(c)). Для параметра z этого наклонного слоя имеем
z = f (a, ϕ(b)) = f (c, ϕ(c)).
(4)
Обозначим
γ(x) ≡ f (x, ϕ(x)).
(5)
Так как V трансверсально слоям три-ткани B , то отображение γ : X → Z локально биективно. Поэтому из (4) находим уравнение сердцевины
c = γ −1 (f (a, ϕ(b))) ≡ a ∗ b.
(6)
Изотопическое преобразование
x = a,
y = ϕ(b),
z = γ(c) ≡ f (c, ϕ(c))
переводит сердцевину в координатную квазигруппу (1) ткани B . При этом из условия
замыкания на ткани конфигураций B получаем равенство
γ −1 (f (a, ϕ(b))) = ϕ−1 (f −1 (a, γ(b))),
(7)
которое должно выполняться для любых a и b из X. Таким образом, верна
Теорема 1 ([6]). Сердцевина c = a ∗ b левой ткани Бола B изотопна ее координатной
квазигруппе z = x · y ≡ f (x, y) в том и только том случае, если существует гладкая
функция ϕ : X → Y , удовлетворяющая равенству (7), где функция γ : X → Z имеет
вид (5). При этом сердцевина задается уравнением (6), которое получается из уравнения
координатной квазигруппы ткани B изотопическим преобразованием (id, ϕ−1 , γ −1 ).
Известно ([1], с. 57), что в окрестности произвольной точки P многообразия M любой
ткани W можно ввести стандартную параметризацию, при которой точка P будет иметь
нулевые координаты, а функция f будет удовлетворять условию f (x, 0) = x, f (0, y) = y.
Тогда координатная квазигруппа ткани становится лупой, причем единица e будет иметь
нулевые координаты. Эта лупа называется координатной лупой ткани и обозначается LP .
Согласно [6], если точку P взять на многообразии M, то будет выполняться равенство
ϕ(e) = e, и в результате условие (7) существенно упростится: функция f будет удовлетворять условию
f (x, −f (x, y)) = −y,
(8)
а сердцевина ткани B будет задаваться уравнением
c = f (−1 f (a, −a), −b) ≡ a ∗ b,
которое получается из уравнения координатной лупы LP изотопическим преобразованием
x =−1 f (a, −a),
y = −b,
z = c.
(9)
2. Разложения уравнений локальной координатной лупы и уравнений
сердцевины три-ткани B с IP -свойством
Пусть на ткани B выполняется IC-свойство. Найдем разложение в ряд уравнений локальной координатной лупы P и сердцевины этой три-ткани, а также разложение уравнений соответствующего подмногообразия V с точностью до членов третьего порядка.
В соответствии с ([1], с. 53) при стандартной параметризации разложение в ряд для функции f (x, y) в окрестности точки P (0, 0) может быть записано в виде
1
i
xj y k y l ) + O(ρ3 ),
(10)
z i = f i (x, y) = xi + y i + λijk xj y k + (µijkl xj xk y l + νjkl
2
О ЛЕВЫХ ТРИ-ТКАНЯХ БОЛА С IC-СВОЙСТВОМ
29
i = νi .
где µijkl = µikjl , νjkl
jlk
Стандартная параметризация в окрестности точки P (0, 0) определена не однозначно. При
допустимых преобразованиях переменных, сохраняющих вид уравнений (10), величины
αijk = λijk − λikj
и
i
i
i
m i
= µijkl − νjkl
+ λm
βjkl
jk λml − λkl λjm
(11)
преобразуются по тензорному закону и связаны соотношениями
1
i
β[jkl]
= αm
αi .
(12)
2 [jk |m|l]
В частности, координаты (x, y) можно выбрать так, чтобы выполнялось условие f (x, x)=2x.
Такие координаты называются каноническими. Допустим, координаты в разложении (10)
являются каноническими, тогда будут выполняться соотношения
αijk = −αikj ,
λi(jk) = 0,
i
µi(jkl) + ν(jkl)
= 0.
(13)
Отсюда получаем αijk = 2λijk и разложение (10) примет вид [1]
1
1
i
xj y k y l ) + O(ρ3 ).
z i = xi + y i + αijk xj y k + (µijkl xj xk y l + νjkl
2
2
(14)
i
i
левой три-ткань Бола удовлетворяет условию β(jk)l
= 0.
Согласно ([1], с. 59), тензор βjkl
Отсюда в силу (14) получим соотношения
1
i
− αim(j αm
µijkl = ν(jk)l
k)l .
4
(15)
i
= 0.
µi(jkl) = ν(jkl)
(16)
Учитывая (13), далее находим
С учетом (15) уравнения (14) приведутся к виду
i
j k l
i
j k l
3
− 14 αim(j αm
z i = xi + y i + 12 αijk xj y k + 12 ((ν(jk)l
k)l )x x y + νjkl x y y ) + O(ρ ).
(17)
Из условия (8) для лупы (17) найдем
αijk = 0.
(18)
i задают соответственно коммутатор и ассоКак показано в ([1], с. 55), величины αijk и βjkl
циатор в касательном пространстве Te лупы LP . Таким образом, в рассматриваемом случае
коммутатор равен нулю.
В силу (18) из (11) и (12) соответственно получим
i
i
i
i
= ν(jk)l
− νjkl
= −ν[jk]l
,
βjkl
i
β[jkl]
= 0.
В результате уравнения (17) координатной лупы три-ткани B примут вид
1 i
i
xj xk y l + νjkl
xj y k y l ) + O(ρ3 ).
z i = xi + y i + (ν(jk)l
2
Изотопическим преобразованием (9) уравнения (19) приводятся к виду
i
i
aj ak bl + νjkl
aj bk bl + O(ρ3 ),
ci = 2ai − bi − 2ν(jk)l
i = ν i . Доказано
где νjkl
jlk
(19)
(20)
30
Г.А. ТОЛСТИХИНА, А.М. ШЕЛЕХОВ
Предложение 1. Пусть B — левая три-ткань Бола с IC-свойством, V — r-мерная
поверхность, устанавливающая изотопию между координатной квазигруппой и сердцевиной этой ткани. Тогда в каждой координатной лупе LP , P ∈ V , коммутатор равен
нулю. В канонических координатах разложения уравнений лупы LP и сердцевины ткани
B имеют вид (19) и (20) соответственно.
Найдем теперь разложение для функции ϕi (x), задающей подмногообразие V (см. (3)).
Так как в силу выбора локальных координат ϕ(0) = 0, то разложение в ряд для функции
y = ϕ(x) имеет вид
i
xj xk xl + O(ρ3 ),
y i = ϕi (x) = λij xj + µijk xj xk + γjkl
(21)
i = γi
где |λij | = 0, |λij + δji | = 0, µijk = µikj , γjkl
(jkl) . Используя (5) и учитывая (19), (21), для
функции γ(x) получим
γ i (x) = f i (x, ϕ(x)) = (δji + λij )xj + µijk xj xk +
i
i
m p j k l
3
1 i
+ 12 ν(jk)m
λm
+ (γjkl
l + 2 νjmp λk λl )x x x + O(ρ ). (22)
В [6] показано, что в канонических координатах γ(x) = −ϕ(x). Отсюда с учетом (21) и (22)
следуют равенства
i
λij xj + µijk xj xk + γjkl
xj xk xl = −(δji + λij )xj − µijk xj xk −
i
i
m p j k l
3
1 i
+ 12 ν(jk)m
λm
− (γjkl
l + 2 νjmp λk λl )x x x + O(ρ ).
Из последних в силу (16) находим
1
i
= 0.
λij = − δji , µijk = 0, γjkl
2
Подставляя (23) в (21), получим искомое разложение в виде
(23)
1
y i = ϕi (x) = − xi + O(ρ3 ).
2
(24)
3. Свойства подмногообразия V
Найдем уравнения подмногообразия V в инвариантной форме. Для этого, следуя ([1],
с. 23), на многообразии M введем адаптированный кобазис форм
ω i = f ij dxj ,
1
ω i = fij dy j ,
(25)
2
где (см. (1))
∂f i
∂f i
, fji = j .
j
∂x
∂y
Тогда слоения ткани W будут задаваться системами уравнений
f ij =
λ1 : ω i = 0,
1
λ2 : ω i = 0,
2
def
λ3 : ω i ≡ ω i + ω i = 0.
3
1
2
Предположим теперь, что в окрестности точки P (0, 0) функция f задана рядом (19). Тогда
точке P в силу особого строения ряда (19) получим ω i = dxi , ω i = dy i . В то же время,
1
2
дифференцируя (24), найдем уравнение касательной плоскости к многообразию V в точке
P (0, 0):
2dy i + dxi = 0.
О ЛЕВЫХ ТРИ-ТКАНЯХ БОЛА С IC-СВОЙСТВОМ
31
В силу предыдущих равенств это уравнение можно переписать в виде ω i + 2ω i = 0 или
1
2
ω i + ω i = 0.
3
(26)
2
Напомним, что уравнение (26) выполняется в точке P (0, 0), лежащей на многообразии V .
Но поскольку точка P — произвольная точка на V , то уравнение (26) должно выполняться
в каждой точке этого многообразия. Иными словами, уравнение (26) является дифференциальным уравнением многообразия V . Доказано
Предложение 2. Поверхность V , устанавливающая изотопию между координатной
квазигруппой и сердцевиной ткани B , в адаптированном кобазисе форм задается уравнениями (26). Разложение в ряд функции y = ϕ(x), задающей поверхность V в канонических
координатах, имеет вид (24).
Покажем, что верна
Теорема 2. Поверхность V является изоклинно-геодезической и одновременно диагональной поверхностью ткани W . Обратно: если на левой ткани Бола W существует такая
поверхность, то сердцевина ткани W изотопна ее координатной квазигруппе.
Доказательство. Изоклинные поверхности ткани определяются уравнениями λω i + ω i = 0
1
2
(см. [1], с. 78). Уравнение (26) имеет именно такой вид, причем λ = 1/2, т. е. λ — постоянная.
Согласно ([1], с. 89–90), это означает, что поверхность V является изоклинно-геодезической,
т. е. изоклинной и вполне геодезической относительно канонической связности Черна триткани.
Теперь заметим, что уравнение (26) поверхности V получается сложением уравнений
второго и третьего слоений ткани, а уравнения ее первого слоения — их вычитанием. Это
означает, что в каждой точке поверхности V касательные пространства к слоям второго,
третьего, первого слоений ткани и к поверхности V образуют гармоническую четверку. В
одной из наших работ мы назвали поверхности, обладающие таким свойством, диагональными поверхностями ткани.
В ([1], с. 90) показано, что на каждой изоклинно-геодезической поверхности ткани (если таковая существует) тензор кручения aijk этой ткани равен нулю. Следовательно, на
поверхности V тензор кручения обращается в нуль:
aijk |V = 0.
(27)
Заметим, что эти равенства получаются также из (18), поскольку величины aijk и αijk отличаются только знаком и порядком индексов ([1], с. 58).
С другой стороны, в [5] показано, что на базе первого слоения левой ткани Бола возникает
определяемая формами ω
симметрическая связность Γ,
ij = ωji + aijk ω k , где ωji суть формы
1
связности Черна Γ, которая каноническим образом определена на многообразии три-ткани
(см. [1], с. 25). Связность Черна индуцирует на подмногообразии V некоторую связность
Γ|V . Поскольку поверхность V трансверсальна слоям первого слоения ткани, то на ней
Как видно из последних равенств, в силу (27) формы
также индуцируется связность Γ.
этих связностей на V совпадают. Таким образом, верна
Теорема 3. Левая ткань Бола Bl (r, r, r) обладает IC-свойством в том и только том
случае, если на этой ткани существует гладкое r-мерное подмногообразие V , трансвер совпадает
сальное слоям три-ткани, на котором локально симметрическая связность Γ
с канонической связностью Черна.
32
Г.А. ТОЛСТИХИНА, А.М. ШЕЛЕХОВ
Укажем еще одно свойство подмногообразия V . Как показано в [6], последнее задается в
канонических локальных координатах уравнениями
f i (xj , y k ) = −y i .
(28)
Дифференцируя (28) и учитывая обозначения (25), получим дифференциальные уравнения
подмногообразия V в виде
fij ω j = −ωi .
3
2
С другой стороны, выше было доказано, что эти уравнения имеют вид (26). Сравнивая эти
уравнения, находим, что в канонических координатах должно выполняться соотношение
fi |V = δi .
j
j
4. Примеры три-тканей Bl с IC-свойством
Пример 1 ([6]). Рассмотрим четырехмерную ткань Bl , определяемую уравнениями
z 1 = x1 + y 1 ,
z 2 = x2 (ex
1 +2y 1
+ e−x
1 −2y 1
) − y2 .
(29)
Уравнения ее сердцевины следующие:
c1 = 2a1 − b1 ,
1 −b1
c2 = a2 (ea
1 −a1
+ eb
) − b2 .
Изотопическое преобразование (id, ϕ−1 , γ −1 ), где функции ϕ и γ определены выше, имеет
вид
1
1
x1 = a1 , x2 = a2 ; y 1 = − b1 , y 2 = b2 ; z 1 = c1 , z 2 = c2 ,
2
2
при этом уравнения (3) подмногообразия V будут следующими:
1
y 1 = ϕ1 (x) = − x1 , y 2 = ϕ2 (x) = x2 ,
2
а функция γ (см. (4), (5)) задается так:
1
z 1 = γ 1 (x) = x1 , z 2 = γ 2 (x) = x2 .
2
Покажем, что подмногообразие V — не единственная изоклинно-геодезическая диагональная поверхность на рассматриваемой ткани. В соответствии с (25) находим базисные
формы ткани путем дифференцирования уравнений (29):
ω 1 = dx1 ,
1
ω 2 = 2x2 sinh(x1 + 2y 1 )dx1 + 2 cosh(x1 + 2y 1 )dx2 ,
1
ω 1 = dy 1 ,
(30)
2
ω 2 = 4x2 sinh(x1 + 2y 1 )dy 1 − dy 2 .
2
Подмногообразие V задается уравнениями (26), которые в силу (30) имеют вид
dx1 + 2dy 1 = 0,
2x2 sinh(x1 + 2y 1 )dx1 + 2 cosh(x1 + 2y 1 )dx2 + 8x2 sinh(x1 + 2y 1 )dy 1 − 2dy 2 = 0.
Из первого уравнения находим x1 + 2y 1 = c1 , в силу чего второе примет вид
2 cosh c1 dx2 + 4x2 sinh c1 dy 1 − 2dy 2 = 0.
О ЛЕВЫХ ТРИ-ТКАНЯХ БОЛА С IC-СВОЙСТВОМ
33
Последнее уравнение имеет двумерное интегральное многообразие только при условии c1 =0.
Таким образом, рассматриваемая ткань имеет однопараметрическое семейство изоклинногеодезических диагональных поверхностей, определяемых уравнениями
2x2 − y 2 = c2 .
x1 + 2y 1 = 0,
(31)
Убедимся в том, что на этих поверхностях тензор кручения ткани обращается в нуль.
Чтобы найти тензор кручения, продифференцируем (31) внешним образом. Получим
dω 1 = 0,
1
dω 1
2
= 0,
dω 2 = Γ211 ω 1 ∧ ω 1 + Γ212 ω 2 ∧ ω 2 ,
1
dω 2
2
=
1
2 1
−Γ11 ω
1
2
∧ω −
1
2
1
2 2
Γ12 ω
1
2
∧ ω2,
2
где
Γ211 =
−4x2
,
cosh(x1 + 2y 1 )
Γ212 = −2 tanh(x1 + 2y 1 ).
В соответствии с теорией ([1], с. 23), компоненты тензора кручения находят по формулам
aijk = −Γi[jk], что дает единственную ненулевую компоненту a212 = tanh(x1 + 2y 1 ). Она
обращается в нуль на любой из изоклинно-геодезических диагональных поверхностей ткани.
Найдем формы связности Черна (или симметрической связности) на поверхности V . Формы связности Черна рассматриваемой три-ткани можно найти по формулам ([1], с. 23)
ωji = Γikj ω k + Γijk ωk .
1
(32)
2
Используя найденные формулы, получаем
ω11 = 0,
ω12 = 0,
ω21 =
4x2
(ω 1 + ω 1 ),
2
cosh(x1 + 2y 1 ) 1
ω22 = 2 tanh(x1 + 2y 1 )ω 1 .
2
Отсюда видно, что на всякой изоклинно-геодезической диагональной поверхности ткани
(31) связность Черна нетривиальна, так как имеется одна отличная от нуля форма ω21 =
4x2 (ω 1 + ω 1 ).
1
2
Пример 2. Рассмотрим шестимерную три-ткань Bl , локальная координатная лупа которой
с единицей e = e(0, 0, 0) задается уравнениями ([1], с. 261)
z 1 = x1 + y 1 − x3 y 2 (x2 + y 2 ),
z 2 = x2 + y 2 ,
(33)
z 3 = x3 + y 3 .
Непосредственной проверкой убеждаемся, что для этой ткани выполняется условие (8).
Следовательно, сердцевина ткани (31) изотопна ее координатной лупе. При этом уравнения
сердцевины получаются из (31) изотопическим преобразованием вида (11). После вычислений находим уравнения сердцевины
c1 = 2a1 − b1 − 2a3 (a2 − b2 )2 ,
c2 = 2a2 − b2 ,
c3 = 2a3 − b3 .
34
Г.А. ТОЛСТИХИНА, А.М. ШЕЛЕХОВ
Найдем изоклинно-геодезические диагональные поверхности. Дифференцируя (33), получим
ω 1 = dx1 − x3 y 2 dx2 − y 2 (x2 + y 2 )dx3 ,
ω 2 = dx2 ,
1
ω = dy − (x x + 2x y )dy ,
1
1
2 3
3 2
2
2
ω 3 = dx3 ,
1
2
2
1
ω = dy 3 .
3
ω = dy ,
2
2
Уравнения (26) подмногообразия V в этом случае имеют вид
dx1 −x3 y 2 dx2 −y 2 (x2 +y 2 )dx3 +2(dy 1 −(x2 x3 +2x3 y 2 )dy 2 ) = 0,
dx2 +2dy 2 = 0,
dx3 +2dy 3 = 0.
Отсюда x2 + 2y 2 = c2 , x3 + 2y 3 = c3 и первое уравнение после некоторых преобразований
примет вид
dx1 + 2dy 1 + (2y 2 c3 − 2c2 c3 + 4c2 y 3 − 4y 2 y 3 )dy 2 + 2(c2 − y 2 )dy 3 = 0.
Несложно показать, что это уравнение будет иметь двумерное интегральное многообразие
тогда и только тогда, когда c2 = 0. Оно имеет вид x1 + 2y 1 + x3 (y 2 )2 = c1 . Таким образом, на рассматриваемой ткани Бола имеется двупараметрическое семейство изоклинногеодезических диагональных поверхностей
x1 + 2y 1 + x3 (y 2 )2 = c1 ,
x2 + 2y 2 = 0,
x3 + 2y 3 = c3 .
(34)
На каждой из них тензор кручения ткани обращается в нуль. Действительно, дифференцируя внешним образом формы (33), как и в предыдущем случае, найдем величины
Γijk , а затем aijk . Получим следующие ненулевые компоненты: Γ122 = x3 , Γ132 = x2 + 2y 2 ,
a123 = 1/2(x2 + 2y 2 ). Единственная компонента a123 обращается в нуль в силу второго уравнения (34).
Найдем формы связности Черна (или симметрической связности) на поверхности V . Формы связности Черна рассматриваемой три-ткани можно найти по формулам (32). Ненулевыми окажутся формы
ω21 = x3 dx2 + (x2 + 2y 2 )dx3 + x3 dy 2 ,
ω31 = (x2 + 2y 2 )dy 2 .
На изоклинно-геодезических диагональных поверхностях (34) будет одна ненулевая форма
— ω21 = −x3 dy 2 . Таким образом, связность Черна на этих поверхностях является, как и в
предыдущем примере, нетривиальной.
Литература
[1] Акивис М.А., Шелехов A.M. Многомерные три-ткани и их приложения (ТвГУ, Тверь, 2010).
[2] Толстихина Г.А. О локально симметрической структуре, связанной с обобщенной левой три-тканью
Бола Bl (p, q, q), Геометрiя, топологiя та iх застосування / Зб. праць Iн-ту математики НАН Украiни 6
(2), 247–255 (2009).
[3] Белоусов В.Д. Сердцевина лупы Бола, В сб. “Исследования по общей алгебре” (Кишинев, 1965), с. 53–65.
[4] Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп (Наука, М., 1967).
[5] Толстихина Г. А. Обобщенная левая три-ткань Бола Bl (ρ, r, r) как фактор-ткань левой ткани Бола
Bl (r, r, r), Вестн. Тверск. ун-та. Сер. Прикл. матем. 21 (2), с. 117–134 (2011).
[6] Толстихина Г. А. Об условиях изотопии координатной квазигруппы и сердцевины левой ткани Бола,
Изв. ПГПУ им. В.Г. Белинского. Сер. физ.-матем. и техн. науки, № 4 (26), 255–262 (2011).
[7] Сабинин Л.В., Михеев П.О. Теория гладких луп Бола (Ун-т дружбы народов, М., 1985).
Г.А. Толстихина
профессор, заведующий кафедрой математики с методикой начального обучения,
Тверской государственный университет,
ул. Желябова, д. 33, г. Тверь, 170100, Россия,
e-mail: science@tversu.ru
О ЛЕВЫХ ТРИ-ТКАНЯХ БОЛА С IC-СВОЙСТВОМ
А.М. Шелехов
профессор, кафедра функционального анализа и геометрии,
Тверской государственный университет,
ул. Желябова, д. 33, г. Тверь, 170100, Россия,
e-mail: amshelekhov@rambler.ru
G.A. Tolstikhina and A.M. Shelekhov
The left Bol three-webs with the IC-property
Abstract. We say that a left Bol three-web B has the IC-property if its coordinate quasigroup is
isotopic to the core of this web. In this paper we describe some properties of the submanifold V
realizing this isotopy.
Keywords: Bol three-web, core of Bol three-web, IC-property of Bol three-web, Chern connection,
locally symmetric affine connection.
G.A. Tolstikhina
Professor, Head of the Chair of Mathematics and Primary Education,
Tver State University,
33 Zhelyabov str., Tver, 170100 Russia,
e-mail: science@tversu.ru
A.M. Shelekhov
Professor, Chair of Functional Analysis and Geometry,
Tver State University,
33 Zhelyabov str., Tver, 170100 Russia,
e-mail: amshelekhov@rambler.ru
35
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
197 Кб
Теги
тканях, бола, три, свойством, левый
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа