close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О линейных методах исследования некоторых нелинейных краевых задач.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 19, вып. 6, 2014
УДК 515.12
О ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ИССЛЕДОВАНИЯ
НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
c
⃝
Е. С. Жуковский
Ключевые слова: краевая задача; нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение; нелинейное функционально-дифференциальное уравнение; общее решение; фундаментальная система решений.
С помощью нелинейной "модельной" однозначно разрешимой краевой задачи определяются линейные операции в пространстве абсолютно непрерывных функций. Рассматривается класс линейных относительно определенных операций краевых задач для дифференциальных уравнений, функционально-дифференциальных уравнений. На такие
задачи переносятся некоторые методы и результаты теории линейных краевых задач.
При исследовании линейных краевых задач для дифференциальных и функциональнодифференциальных уравнений часто эффективно бывает воспользоваться вспомогательной
"модельной" однозначно разрешимой краевой задачей, которая отличается от исходной либо более простым краевым условием (обычно используется начальное условие), либо более
простым дифференциальным уравнением. В первом случае для решения исходной краевой
задачи можно общее решение "модельной" задачи подставить в краевые условия, тогда получится система линейных алгебраических уравнений относительно значений "вспомогательных" краевых условий. Во втором случае для решения исходной краевой задачи можно решение "модельной" задачи, представленное оператором Грина, подставить в дифференциальное
уравнение, тогда получится интегральное уравнение относительно неизвестной суммируемой
функции — правой части "вспомогательного" дифференциального уравнения. Этот подход
называют W -методом Азбелева, его плодотворно используют в исследовании различных вопросов теории дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений. Ниже
показано, что описанные способы приведения краевых задач к линейным уравнениям в конечномерном пространстве или пространстве суммируемых функций можно применить и к
некоторым классам нелинейных уравнений.
Будем обозначать: Rn — пространство n -мерных векторов с действительными компонентами, L — линейное подпространство пространства суммируемых функций y : [a, b] → Rn ,
AC — подмножество пространства абсолютно непрерывных функций x : [a, b] → Rn .
Многие дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения относительно неизвестной абсолютно непрерывной функции x могут быть записаны в виде операторного
уравнения
F (x) = y
(1)
с заданными отображением F : AC → L и правой частью y ∈ L. Краевые условия представимы системой уравнений
φ(x) = α,
(2)
где φ : AC → Rm , α ∈ Rm . Обсудим методы исследования краевой задачи (1),(2) без предположения линейности отображений F, φ.
Пусть заданы (нелинейные) отображения F0 : AC → L, φ0 : AC → Rm . Будем предполагать, что "модельная" краевая задача
1769
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 19, вып. 6, 2014
F0 (x) = z,
(3)
φ0 (x) = γ,
(4)
однозначно разрешима при любых z ∈ L, γ ∈ Rm .
Наделим пространства L, Rm естественными линейными операциями. Определим в AC
операции сложения и умножения на действительные числа так, чтобы пара (F0 , φ0 ) стала
линейным отображением и, в силу однозначной разрешимости краевой задачи (3),(4), изоморфизмом пространств AC и L × Rm . Для x1 , x2 ∈ AC, λ1 , λ2 ∈ R элемент λ1 x1 + λ2 x2 будем
определять как решение задачи (3),(4) с z = λ1 F0 (x1 ) + λ2 F0 (x2 ), γ = λ1 φ0 (x1 ) + λ2 φ0 (x2 ).
Пусть Ei — i -й столбец единичной m × m матрицы. Обозначим через Ui решение задачи
(3),(4) в случае z = 0, γ = Ei ; через U (z) решение задачи (3),(4) с правой частью z и
однородным краевым условием γ = 0. Тогда при произвольных правых частях решение задачи
(3),(4) представимо в виде x = γ1 U1 + . . . + γm Um + U (z).
Полученное общее решение можно использовать, например, при исследовании краевых
задач для уравнения (3) с другим, линейным относительно определенных выше операций краевым условием.
Пусть для функционала φ : AC → Rm существуют такие матрица A и линейный функционал Λ : L → Rm , что φ(x) = ΛF0 (x) + Aφ0 (x). В этом случае функционал φ является
линейным (относительно определенных выше операций) и справедлива
Теорема 1. Краевая задача (3),(2) однозначно разрешима при любых z ∈ L, α ∈ Rm
тогда и только тогда, когда m × m матрица (φ(U1 ), . . . , φ(Um )) является невырожденной.
Аналогичный подход применим к краевой задаче с условием (4) для уравнения, отличного
от "модельного" (3), но являющегося линейным (относительно определенных выше операций).
Таким уравнением является уравнение (1), если отображение F : AC → L можно представить
в виде F (x) = ΨF0 (x)+Hφ0 (x) c линейными отображениями Ψ : L → L, H : Rm → L. В этом
случае для исследования краевой задачи (1),(4) можно воспользоваться нелинейным аналогом
W -подстановки Азбелева — заменой, определяемой "модельной" краевой задачей (3),(4). Этой
подстановкой задача (1),(4) сводится к линейному уравнению Ψz + Hγ = y в пространстве L
относительно неизвестного z ∈ L.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00877),
Поступила в редакцию 20 ноября 2014 г.
E.S. Zhukovskiy
ON LINEAR METHODS FOR INVESTIGATION OF SOME NONLINEAR BOUNDARY VALUE
PROBLEMS
Linear operations in the space of absolutely continuous functions are defined using a non-linear "model"uniquely
solvable boundary value problem. The class of linear with respect to the introduced operations boundary
value problems for differential equations and functional-differential equations is considered. Some results and
solving methods for linear boundary-value problems are transferred to the considered problems.
Key words: boundary value problem; nonlinear ordinary differential equation; nonlinear functionaldifferential equation; general solution; fundamental system of solutions.
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина,
г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор института математики, физики и информатики, е-mail: zukovskys@mail.ru
Zhukovskiy Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Doctor of Physics
and Mathematics, Professor, Director of the Institute of Mathematics, Physics and Informatics, е-mail:
zukovskys@mail.ru
1770
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
59 Кб
Теги
нелинейные, линейный, некоторые, исследование, задачи, метода, краевых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа