close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О линейных периодических системах на плоскости имеющих матрицант требуемого вида.

код для вставкиСкачать
2003
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 9 (496)
УДК 517.926
Ю.Я. ИСАЕНКО
О ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ НА ПЛОСКОСТИ,
ИМЕЮЩИХ МАТРИЦАНТ ТРЕБУЕМОГО ВИДА
В данной работе изучается линейная система x0 (t) = Ae(t)x(t) с !-периодической вещественной матрицей-функцией Ae(t) второго порядка, удовлетворяющей условию Sp Ae(t) 0, t 2 R.
Как известно [1]{[3], для таких систем справедлива фундаментальная теорема Флоке{Ляпунова,
в силу которой матрицант X (t) системы представим в виде X (t) = F (t)eRt , где R | постоянная
вещественная матрица со следом, равным нулю, a F (t) | периодическая матрица-функция с
постоянным определителем, равным единице, и F (0) = I .
Исследуются системы, для которых F (t) имеет специальный вид, а именно,
F (t) = A + A cos 2k t + B sin 2k t;
0
k
!
k
!
где A0 , Ak , Bk | постоянные матрицы. В дальнейшем про такие системы будем говорить, что
они имеют матрицант требуемого вида.
Так как F (t) имеет постоянный определитель и F (0) = I , то очевидно, что эти условия
накладывают ограничения на постоянные матрицы A0 , Ak , Bk , входящие в разложение матрицыфункции F (t).
Теорема 1.
Для того чтобы матрица-функция
2k
F (t) = A0 + Ak cos 2k
! t + Bk sin ! t
удовлетворяла условиям F (0) = I и jF (t)j 1, необходимо и достаточно, чтобы матрицы A0 ,
Ak , Bk , входящие в представление F (t), удовлетворяли условиям
A0 A;0 + 12 Ak A;k + 12 Bk Bk; = I;
(1)
A0 A;k + Ak A;0 = 0;
(2)
A0 Bk; + Bk A;0 = 0;
(3)
;
;
Ak Bk + Bk Ak = 0;
(4)
;
;
Ak Ak ; Bk Bk = 0;
(5)
A0 + Ak = I;
(6)
где A; | матрица, присоединенная к матрице A.
;1 (t) = jF (t)j;1 F ; (t) = F ; (t),
Доказательство. Необходимость. Так как jF (t)j 1, а F
;
то F (t) F (t) I . Легко проверить, что для матриц второго порядка отображение, ставящее
каждой матрице A ее присоединенную матрицу A; , является линейным оператором. Следовательно,
; sin 2k t:
F ;(t) = A;0 + A;k cos 2k
t
+
B
k
!
!
Умножив F (t) на F ; (t), получим условия (1){(6).
22
Достаточность. Так как F (0) = A0 + Ak = I в силу соотношения (6), то остается только
убедиться в том, что jF (t)j 1. Заметим, что для квадратных матриц A, B второго порядка
имеет место формула
jA + B j = jAj + jB j + Sp(A B ;);
поэтому
jF (t)j = A + A cos 2k t + B sin 2k t = jA j + cos2 2k t jA j + cos 2k t Sp(A A;) +
0
k
!
k
0
k
!
!
;) + cos 2k t sin 2k t Sp(A B ;) + sin2 2k t jB j;
+ sin 2k
t
Sp(
A
B
0
k k
k
k
!
!
!
!
а отсюда в силу условий (2){(6) jF (t)j = jA0 j + jAk j = jA0 + Ak j = jI j = 1.
!
0 k
Следующая теорема, которая является следствием теоремы 1, полностью описывает структуру матриц-функций F (t) требуемого вида. В дальнейшем множество таких матриц-функций
будем обозначать символом !1 [6].
!
Теорема 2. Для того чтобы матрица-функция F (t) 2 1 , необходимо и достаточно, чтобы F (t) либо имела представление вида
1
2k
(7)
F (t) = 12 [I + XY ;1 ] + 21 [I ; XY ;1] cos 2k
! t + 2 [X ; Y ]J sin ! t;
где k 2 N , X и Y | постоянные, не равные между собой матрицы, удовлетворяющие условиям
X = X , Y = Y , det X = det Y = 1, J = [ 01 ;01 ], либо имела представление вида
F (t) = I ; B + B cos 2!k t + B sin 2!k t;
(8)
где B 6= 0, Sp B = det B = 0, 2 R, 2 R, 2 + 2 6= 0, k 2 N .
Ниже, используя структуру элементов множества !1 , исследуем линейные системы, имеющие матрицант требуемого вида. При этом вырожденным случаем называем ситуацию, когда
F (t) имеет представление (8), а регулярным случаем | ситуацию, когда F (t) имеет представление (7).
Вырожденный случай является более простым по сравнению с регулярным и его удается
полностью изучить. В качестве иллюстрации приведем два результата.
Теорема 3. Пусть матрицант X (t) линейной системы имеет вид
2
k
2
k
X (t) = I ; B + B cos t + B sin t eRt ;
!
!
где матрицы R и B линейно независимы, Sp RB =
6 0 и (2 ; 2) 6= 0, ; 2 R. Тогда матрица
Ae(t) необходимо имеет вид
2k t + Ae cos 4k t + Be sin 4k t;
e sin
Ae(t) = Ae0 + Aek cos 2k
t
+
B
k
2k
2k
!
!
!
!
где постоянные матрицы Ae0 , Aek , Bek , Ae2k , Be2k задаются формулами
Ae0 = R + [RB ; BR] ; 2;1 [32 + 2]BRB;
Aek = 2k!;1B ; [RB ; BR] + 22BRB;
Bek = ;2k!;1B ; [RB ; BR] + 2BRB;
Ae2k = 2;1(2 ; 2)BRB;
Be2k = ;BRB:
23
Кроме того, матрицы Ae0 , Aek , Ae2k образуют линейно независимую систему и удовлетворяют
условиям
Sp Ae0 = Sp Aek = Sp Ae2k = det Ae2k = 0;
Sp Ae0 Ae2k 6= 0;
Aek = [Ae0 Ae2k ; Ae2k Ae0] + Ae2k ;
2 + e2 e 0:
Sp A0 A2k
При этом если 2 + Sp A~20 A~2k > 0, то | любое, отличное от нуля действительное число ; если
2 + Sp A~20 A~2k = 0, то = 0.
Теорема 4. Матрицант X (t) линейной ! -периодической системы
x0(t) = Ce (t)x(t) с Ce (t) = Ce + Ce cos 2k t + De sin 2k t;
0
k
!
где постоянные матрицы Ce0 , Cek , De k удовлетворяют условиям
k
!
Sp Ce0 = Sp Cek = Sp De k = det Cek = det De k = 0;
Cek 6= 0; De k = Cek ( 2 R); Ce0Cek = Cek ; 6= 0;
имеет вид
;1 + k!;1 Ce cos 2k t + k!;1 ; Ce sin 2k t eRt;
e ;
X (t) = I + 2(2++k!
C
2k2 !;2) k 2( 2 + 2k2 !;2) k
!
2( 2 + 2 k2 !;2 ) k
!
где
;1 e
R = Ce0 + 2 ++ k!
2k2 ;2 Ck :
Переходим теперь к рассмотрению регулярного случая. Во-первых, получен следующий результат, который можно считать основным.
Теорема 5.
Для того чтобы система
x0(t) = Ae(t)x(t)
имела матрицант требуемого вида, причем jAk j = jBk j 6= 0, A0 6= 0, необходимо и достаточно,
чтобы существовали вещественные числа , , и постоянные невырожденные матрицы F1 ,
F2 , F3 , удовлетворяющие условиям
Sp F1 = Sp F2 = Sp F3 = 0;
(9)
jF2 j = jF3 j;
(10)
F1 F2 = jF1 + F2 j F3
(11)
такие, что
Ae(t) = Ae0 + Aek cos 2k
t + Bek sin 2k
t + Ae2k cos 4k
t + Be2k sin 4k
t;
!
!
!
!
Ae0 = 1 ;2jF2jF+1 +F Fj 2j ; !jF k+ F j F1 ; 1 ;jFjF+1 +F Fj 2 j F2 + 1 ;jFjF+1 +F Fj 2 j F3 ;
1
2
1
2
1
2
1
2
1
;
j
F
+
F
j
1
2
Aek = 2 jF + F j F1 + F2 ;
1
2
Bek = 2 1 ;jFjF+1 +F Fj 2j F1 ; F3;
2
2
24
(12)
(13)
(14)
(15)
Ae2k = F2 + F3 ;
Be2k = F2 ; F3 :
(16)
(17)
Теорема 5 позволяет строить линейные системы, матрицант которых имеет требуемый вид.
Для этого нужно, что следует из теоремы 5, задать постоянные матрицы F1 , F2 , F3 , удовлетворяющие соотношениям (9){(11), произвольные вещественные числа , , и матрицы Ae0 , Aek ,
Bek , Ae2k , Be2k формулами (13){(17) соответственно.
Далее, из теоремы 5 следует, что если линейная система x0 (t) = Ae(t)x(t) имеет матрицант
требуемого вида, то Ae(t) имеет вид
Ae(t) = Ae + Ae cos 2k t + Be sin 2k t + Ae cos 4k t + Be sin 4k t;
0
k
2k
2k
!
!
!
!
причем матрицы Ae0 , Aek , Bek , Ae2k , Be2k задаются формулами (13){(17) соответственно. При этом
k
возможны следующие три ситуации:
A) если = = = 0, то Ae(t) = Ae0 | постоянная матрица;
B) если = = 0, 6= 0, то Ae(t) = Ae0 + Aek cos 2k
t + Bek sin 2!k t, причем jAek j = jBek j 6= 0;
!
C) если 2 + 2 6= 0. Заметим, что этот случай пока до конца не исследован.
Теорема 6. Для того чтобы матрицант линейной системы с постоянной матрицей имел
требуемый вид, необходимо и достаточно, чтобы
;1 ; где U = U ; jU j = 1; J = 0 ;1 :
UJ
Ae0 = ; k
1 0
!
Далее рассматривается линейная система
2k t x(t);
e sin
x0(t) = Ae0 + Aek cos 2k
t
+
B
(I)
k
!
!
причем jAek j = jBek j 6= 0, что соответствует ситуации B).
Теорема 7. Для того чтобы линейная система (I) имела матрицант требуемого вида,
необходимо и достаточно, чтобы имели место соотношения
Sp Aek = Sp Bek = Sp Aek Bek = 0;
jAek j = jBek j < 0;
Ae0 = Aek Bek ;
причем
1
1
k
k
2= e ; q
;
+q
:
(18)
!jAk j
;jAek j !jAek j
;jAek j
Доказательство. Необходимость. Так как матрицант (t) данной системы имеет требуемый вид, то в силу теоремы 5 существуют вещественные числа , , и постоянные невырожденные матрицы F1 , F2 , F3 , удовлетворяющие условиям (9){(11) такие, что выполняются
соотношения (12){(17). По условию, две из четырех матриц Aek , Bek , Ae2k , Be2k нулевые, а остальные
две невырожденные. Легко видеть, что это может быть тогда и только тогда, когда = = 0
и=
6 0. Таким образом, имеем
1
;
2
j
F
+
F
j
k
1
2
e
A0 = 2jF + F j ; !jF + F j F1;
1
2
1
2
e
Ak = F2 ;
Bek = ;F3;
25
откуда следует Sp Ae0 = Sp Aek = Sp Bek = 0. Так как F3 = jF1 +1 F2 j F1 F2 , то Sp F1 F2 = 0 и
F2 F3 = jF +1 F j F2 F1F2 = ; jF +1 F j F1 F22 = jF jF+2 jF j F1 :
1
2
1
2
1
2
Отсюда следует, что Ae0 = Aek Bek , где | вещественное число.
Так как F12 = Ak Bk; Ak Bk; = ;jAk j2 I , F1 F2 = jAk j F3 , то jF1 j = jF1 + F2 j2 > 0, и тогда
jF2 j = jF3 j < 0, т. е. jAek j = jBek j < 0. Таким образом, для доказательства теоремы осталось
убедиться, что удовлетворяет условию (18).
Имеем Aek Bek = ;2 F2 F3 = ;2 jF1jF+2Fj 2 j F1 , следовательно,
2jF1 + F2 j ; 1 :
= 1 ;2jF2jF+1 +F Fj 2 j ; !jF k+ F j (;1) jF12+jFFj2 j = !k
+
2
jF2 j
22 jF2 j
1
2
1
2
2
Далее,
jF + F j (1 ; jF + F j) = jF + F j ; jF + F j2 = jF + F j ; jF j = jF j = 1 jAe j:
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 k
Таким образом,
jF1 + F2j является корнем квадратного
уравнения y2 ; y + ;2 jAek j = 0, т. е. либо
p
p
jF1 + F2 j = ; 22;4jA~k j ,pлибо jF1 + F2 j = + 22;4jA~k j .
2
~
Если jF1 + F2 j = ; 2;4jAk j , то
p
q
; 2 ;4jA~k j ; 1
2 ; 4jAek j
k
k
= e +
=
;
!jAk j
2jAek j
!jAek j
2jAek j
и, т. к. =
6 0, jAek j < 0, то
q
;4jAe j
> ke ; e k = ke + q 1 :
!jAk j
2jAk j
!jAk j
;jAek j
p2 ;4jA~ j
+
k
Если же jF1 + F2 j =
, то
2
p
q
+ 2 ;4jA~k j ; 1
2 ; 4jAek j
k
k
= e +
=
+
!jAk j
2jAek j
!jAek j
2jAek j
и, следовательно, < !jkA~k j ; p;j1 A~ j .
k
Отметим, что в рассмотренных выше теоремах матрицы F1 , F2 , F3 связаны с матрицами A0 ,
Ak , Bk соотношениями F1 = Ak Bk;, F2 = Bk A;0 , F3 = Ak A;0 , где A; | матрица, присоединенная к
матрице A, и образуют линейно независимую систему. Если же они образуют линейно зависимую
2k
систему, то необходимо A0 = 0 и F (t) = I cos 2k
! t + Bk sin ! t.
Теорема 8.
Для того чтобы линейная система имела матрицант вида
2k t eRt ;
X (t) = I cos 2k
t
+
B
sin
k
!
!
необходимо и достаточно чтобы Ae(t) имела вид
4k t
e
Ae(t) = Ae0 + Ae2k cos 4k
t
+
B
sin
2
k
!
!
и выполнялись соотношения
Sp Ae2k = Sp Be2k = Sp Ae2k Be2k = 0;
26
jA2k j = jB2k j < 0;
A0 = A2k B2k :
e
e
e
e
e
B заключение отметим, что, кроме ситуации C), удается полностью описать класс периодических систем второго порядка, матрицант X (t) которых имеет вид X (t) = F (t)eRt , где F (t) 2 !1 .
Полученные результаты дают возможность явно находить преобразование, приводящее произвольную систему из этого класса к системе с постоянной матрицей и саму эту матрицу, т. е.
решение получается в замкнутой форме. Отметим, что большинство полученных результатов
интегрируемости в замкнутой форме не следуют из результатов Н.П. Еругина [4], [5] и являются
новыми, т. к. он рассматривал системы вида
x0(t) = [A1 '1(t) + A2'2 (t)]x(t);
где A1 и A2 | постоянные матрицы (произвольного порядка), a '1 (t) и '2 (t) | скалярные
функции, при этом матрицы A1 и A2 удовлетворяют условию
A1 (A2 A1 ; A1 A2) ; (A2 A1 ; A1A2 )A1 = 0:
(19)
В данной работе встречаются системы
2
k
4
k
4
k
2
k
0
e
e
e
e
e
x (t) = A + A cos t + B sin t + A cos t + B sin t x(t);
k
2k
2k
!
!
!
!
причем в большинстве случаев Ae0 6= 0, а в том случае, когда Ae0 = 0, матрицы Ak и Bk не
0
k
удовлетворяют условию (19). Так, система
x0(t) = 01 ;01 + 01 10 cos t + 10 ;01 sin t
удовлетворяет всем условиям из теоремы 7 и поэтому имеет матрицант требуемого вида. В то же
время, не представляет труда проверить, что матрицы A1 = [ 01 10 ], B1 = [ 10 ;01 ] не удовлетворяют
условию (19). Действительно,
A1 (B1 A1 ; A1 B1 ) ; (B1 A1 ; A1 B1) A1 = ;4 I 6= O:
Литература
1. Floquet G. Sur les equations dierentielles lineaires a coecients periodiques // Ann. de l'Ecole
Norm. Ser. 2. { 1883. { V. 12. { P. 47{88.
2. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения // Собр. соч., 1956. { T. 2. { 472 с.
3. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими
коэффициентами и их приложения. { М.: Наука, 1972.- 718 с.
4. Еругин Н.П. Метод Лаппо{Данилевского в теории линейных дифференциальных уравнений.
{ Л.: Изд-во ЛГУ, 1956. { 108 c.
5. Еругин Н.П. Замечание к статье Л.М. Шифнера // Изв. АН СССР. Сер. матем. { 1941. {
Є 5. { C. 377{380.
6. Исаенко Ю.Я. Об одном классе линейных периодических дифференциальных уравнений на
плоскости, интегрируемых в конечном виде // Дифференц. и интегральные уравнения. Тезисы докл. международн. научн. конф. { Челябинск, 1999. { С. 55.
Воронежский государственный
педагогический университет
Поступила
14.11.2002
27
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
147 Кб
Теги
матрицант, вида, имеющих, система, требуемого, плоскости, линейный, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа