close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О локализации метода направляющих функций в задаче о периодических решениях дифференциальных включений.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2009, № 5, c. 23–32
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
С.В. КОРНЕВ, В.В. ОБУХОВСКИЙ
О ЛОКАЛИЗАЦИИ МЕТОДА НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧЕ
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ВКЛЮЧЕНИЙ
Аннотация. В данной работе предлагается некоторое развитие методов обобщенной и интегральной направляющих функций в задаче о существовании вынужденных колебаний в
нелинейных объектах, описываемых дифференциальными включениями.
Ключевые слова: направляющая функция, дифференциальное включение, периодическая задача, топологическая степень совпадения.
УДК: 517.927
Abstract. In this paper we consider the problem on the existence of forced oscillations in nonlinear
objects governed by differential inclusions. We propose certain modifications of the methods of
generalized and integral guiding functions.
Keywords: guiding function, differential inclusion, periodic problem, topological coincidence degree.
1. Введение. Метод направляющих функций, разработанный М.А. Красносельским,
А.И. Перовым, Н.А. Бобылевым и др. (см. [1]–[3]), является одним из наиболее эффективных
средств решения задач о периодических колебаниях (см., например, [4]–[6]). В классических
работах по методу направляющих функций, как правило, предполагается, что эти функции
являются гладкими на всем фазовом пространстве (см., например, [1]–[4], [7]). Это условие
может представиться ограничительным, например, в таких ситуациях, когда направляющие
потенциалы различны в различных областях пространства.
В данной статье, следуя идеям работ [8] и [9], мы предлагаем некоторое развитие метода
направляющих функций в задаче о существовании вынужденных колебаний в нелинейных
объектах, описываемых дифференциальными включениями. В частности, проверка основного условия для направляющей функции проходит уже на более “тонко” определенных
областях, чем в классических ситуациях (ср., например, [1], [2], [4]).
Некоторые другие обобщения метода направляющих функций на негладкий случай см.,
например, в [6], [7], [10].
Пусть символы Kv(Rn ) и P (Rn ) обозначают соответственно совокупности всех непустых
выпуклых компактных и непустых подмножеств Rn .
Поступила 10.01.2007
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований, гранты №№ 08-01-00192, 07-01-00137.
23
24
С.В. КОРНЕВ, В.В. ОБУХОВСКИЙ
Мы будем рассматривать периодическую задачу для дифференциального включения следующего вида:
x (t) ∈ F (t, x(t)),
(1)
x(0) = x(T ),
(2)
предполагая, что мультиотображение F : R×Rn → Kv(Rn ) удовлетворяет указанным ниже
условиям (по поводу терминологии см., например, [4], [11]):
(Ft ) мультифункция F T -периодична по первому аргументу (T > 0):
F (t, x) = F (t + T, x) для всех
t ∈ R, x ∈ Rn
(очевидно, это условие позволяет рассматривать мультиотображение F лишь на множестве [0, T ] × R2 );
(F1 ) для каждого x ∈ Rn мультифункция F (·, x) : [0, T ] → Kv(Rn ) имеет измеримое
сечение;
(F2 ) почти для каждого t ∈ [0, T ] мультиотображение F (t, ·) : Rn → Kv(Rn ) полунепрерывно сверху;
(F3 ) существует такая функция α(·) ∈ L1+ [0, T ], что
F (t, x) := max y ≤ α(t)(1 + x)
y∈F (t,x)
для всех x ∈
Rn
и почти всех t ∈ [0, T ].
Замечание 1.1. Для выполнения условия (F1 ) достаточно, чтобы для каждого x ∈ Rn
мультифункция F (·, x) была измерима (см., например, [4]).
Замечание 1.2. При выполнении условий (F1 ), (F2 ) говорят, что мультиотображение F
удовлетворяет верхним условиям Каратеодори.
Замечание 1.3. При выполнении условий (F1 )–(F3 ) определен мультиоператор суперпозиции PF : C([0, T ]; Rn ) → P (L1 ([0, T ]; Rn )), сопоставляющий каждой функции x(·) множество
всех суммируемых сечений мультифункции F (t, x(t)). Известно, что этот мультиоператор
замкнут (см., например, [4]).
Под решением задачи (1), (2) будем понимать абсолютно непрерывную функцию x(·),
удовлетворяющую условию периодичности (2) и включению (1) почти всюду.
Для изучения задачи (1), (2) мы будем использовать топологическую степень совпадения
пары отображений в следующей ситуации (см., например, [12]–[15]).
Пусть E1 , E2 — банаховы пространства, U ⊂ E1 — открытое ограниченное множество,
l : dom l ⊆ E1 → E2 — линейный фредгольмов оператор нулевого индекса.
Далее, пусть G : U → Kv(E2 ) — l-компактный полунепрерывный сверху мультиоператор
такой, что lx ∈
/ Gx для всех x ∈ ∂U .
Тогда определена целочисленная топологическая характеристика — степень совпадения
deg(l, G, U ) пары (l, G), которая обладает всеми основными свойствами топологической степени (см., например, [12]–[16]). Напомним некоторые из них.
10 . Аддитивная зависимость от области. Если {Uj }j∈J — семейство открытых непересекающихся подмножеств U такое, что
Uj ,
l(x) ∈
/ G(x) для всех x ∈ dom l ∩ U \
j∈J
то
deg(l, G, U ) =
j∈J
deg(l, G, U j ).
О ЛОКАЛИЗАЦИИ МЕТОДА НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ
25
20 . Гомотопическая инвариантность. Если l — компактное мультиотображение G : (dom l∩
U ) × [0, 1] → K(E2 ) такое, что
l(x) ∈
/ G(x, λ) для всех (x, λ) ∈ (dom l ∩ ∂U ) × [0, 1] ,
то степень совпадения deg l, G(·, λ), U не зависит от λ ∈ [0, 1].
30 . Принцип сужения отображения. Если U1 ⊂ U — открытое множество такое, что
l(x) ∈
/ G(x) для всех x ∈ dom l ∩ U \ U1 ,
то
deg l, G, U = deg l, G, U1 .
40 . Свойство точки совпадения. Если
deg l, G, U = 0,
то существует точка совпадения x ∈ dom l ∩ U :
l(x) ∈ G(x).
В частности, когда l — тождественный оператор, то степень совпадения является классической топологической степенью.
Напомним некоторые понятия негладкого анализа (см., например, [17]–[20]). Для x0 ∈ Rn
и ν ∈ Rn обобщенная производная V 0 (x0 ; ν) функции V в точке x0 по направлению ν
задается выражением
V (x + tν) − V (x)
,
lim
V 0 (x0 ; ν) = x→x
0
t
t→0+
где x ∈ Rn . Тогда обобщенный градиент ∂V (x) функции V в точке x0 определяется следующим образом:
∂V (x0 ) = x ∈ Rn : (x, ν) ≤ V 0 (x0 ; ν) для всех ν ∈ Rn .
Известно, что мультиотображение ∂V имеет выпуклые компактные значения и полунепрерывно сверху (см., например, [17], [18]). В частности, это означает, что для каждой непрерывной функции x : [0, T ] → Rn множество суммируемых сечений мультифункции ∂V (x(t))
непусто. Напомним (см., например, [18]), что локально липшицева функция V : Rn → R
называется регулярной, если для каждого x ∈ Rn и ν ∈ Rn существует производная по направлению и V (x, ν) = V 0 (x, ν). Известно, в частности, что выпуклые функции являются
регулярными.
Пусть G ⊂ Rn — непустое множество. Обозначим символом CT пространство непрерывных T -периодических функций x : R → Rn с нормой xC = sup x(t), и пусть L1T
t∈[0,T ]
— пространство суммируемых T -периодических функций f : R → Rn с нормой f L1 =
T
T
f (s)ds. Обозначим теперь
0
Γ(G) := {x ∈ CT : x(t) ∈ G для всех t ∈ [0, T ]}.
Для функции V :
Rn
→ R, M ⊂ R и для любого r ∈ R пусть
V −1 (M ) := {x ∈ Rn : V (x) ∈ M },
Vr := {x ∈ Rn : V (x) > r}.
Для M ⊂ Rn символом χM обозначается характеристическая функция множества M и
Mδ = ∪ B n (x, δ), где B n (x, δ) ⊂ Rn — открытый шар с центром в точке x и радиусом
x∈M
δ > 0.
26
С.В. КОРНЕВ, В.В. ОБУХОВСКИЙ
2. Обобщенная направляющая функция на заданном множестве. Развивая понятия, введенные в [7] и [8], дадим следующие определения.
Определение 2.1 (ср. [7]). Регулярная функция V : G → R называется прямым потенциалом на G, если
(υ, υ) > 0 для всех υ, υ ∈ ∂V (x), x ∈ G.
Определение 2.2. Прямой потенциал V : G → R называется обобщенной негладкой направляющей функцией на G для включения (1), если для каждых x ∈ G, υ ∈ ∂V (x) и
t ∈ [0, T ] выполнено
(υ, y) ≥ 0
(3)
хотя бы для одного y ∈ F (t, x).
Справедлива
Теорема 2.1. Пусть V : Rn → R — такая регулярная функция, что выполняются следующие условия:
(i) V0 является непустым, открытым и ограниченным множеством;
(ii) V является обобщенной негладкой направляющей функцией для включения (1) на
множестве V −1 (0);
(iii) 0 ∈
/ ∂V (x) для всех x ∈ V −1 (0);
(iv) deg(∂V, V0 ) = 0.
Тогда включение (1) имеет T -периодическое решение x(·) ∈ Γ(V0 ).
Для доказательства теоремы нам понадобится (см. [19])
Лемма 2.1. Пусть V : Rn → R — регулярная функция, x : [0, T ] → Rn — абсолютно
непрерывная функция. Тогда функция V (x(t)) также является абсолютно непрерывной и
справедливо равенство
t
V 0 (x(s), x (s))ds, t ∈ [0, T ].
V (x(t)) − V (x(0)) =
0
Доказательство теоремы 2.1. Покажем сначала, что утверждение теоремы справедливо,
когда условия (ii) и (iii) предполагаются выполненными на множестве V −1 ([0, ε]).
Определим мультиотображение B : Rn → P (Rn ) следующим образом:
B(x) = {y ∈ Rn : (γ(x)υ, y) ≥ 0 для всех υ ∈ ∂V (x)} ,
0, если x ∈
/ V −1 ([0, ε1 ]),
0 < ε1 < ε.
где γ(x) =
1, если x ∈ V −1 ([0, ε1 ]),
Рассмотрим вспомогательное дифференциальное включение
x (t) ∈ FB (t, x(t)) = F (t, x(t)) ∩ B(x(t)).
(4)
Отметим, что правая часть включения (4) удовлетворяет верхним условиям Каратеодори.
Для включения (4) соотношение (3) будет справедливо уже для всех y ∈ FB (t, x) и решения включения (4) будут являться решениями исходного включения (1).
Для k ∈ N положим
M k = sup ∂V (x) : x ∈ B n (k) ,
где ∂V (x) = sup{υ, υ ∈ ∂V (x)}, а B n (k) — замкнутый шар в Rn с центром в нуле и
радиусом k. Следуя [7], определим отображение η : Rn → R:
η(x) = 1 + (x − k) M k+2 + (k + 1 − x) M k+1 ,
k ≤ x ≤ k + 1.
О ЛОКАЛИЗАЦИИ МЕТОДА НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ
27
Нетрудно видеть, что отображение η непрерывно и удовлетворяет условию
η(x) ≥ max {1, ∂V (x)} для всех x ∈ Rn .
Мультиотображение Y : Rn → Kv(Rn ), определенное равенством
Y (x) =
∂V (x)
,
η(x)
полунепрерывно сверху и удовлетворяет условию Y (x) ≤ 1 для всех x ∈ Rn .
Зададим гомотопию H : [0, T ] × Rn × [0, 1] → Kv(Rn ) следующим образом:
H(t, x, λ) = (1 − λ)Y (x) + λFB (t, x(t)).
Рассмотрим периодическую задачу
x (t) ∈ H(t, x, λ),
λ ∈ [0, 1),
x(0) = x(T ).
(5)
(6)
Пусть λ ∈ [0, 1) и x — некоторое решение (5)–(6) такое, что x ∈ Γ(V0 ). Покажем, что
x ∈ Γ(V0 ), т. е. V (x(t)) > 0 для всех t ∈ [0, T ]. Предположим, что при некотором τ ∈ [0, T ]
/ ∂V (x(τ )).
имеем V (x(τ )) = 0. Это означает, что x(τ ) ∈ V −1 (0), и в силу условия (iii) 0 ∈
Следовательно, найдется δ > 0 такое, что
0∈
/ ∂V (x(t)) для всех t ∈ [τ − δ, τ + δ] ∩ [0, T ].
Предположим без ограничения общности τ − δ ∈ (0, T ) и V (x(t)) ∈ [0, ε] для всех t ∈
[τ − δ, τ ]. Тогда, применяя лемму 2.1, имеем
τ
V 0 (x(t), x (t))dt ≥
0 ≥ V (x(τ )) − V (x(τ − δ)) =
τ −δ
τ τ
(1 − λ)
(υ(t), υ(t)) + λ(υ(t), f (t)) dt > 0
(υ(t), x (t))dt =
≥
τ −δ
τ −δ η(x(t))
для каждых υ(t), υ(t) ∈ ∂V (x(t)) и f (t) ∈ FB (t, x(t)). Получили противоречие. Таким образом, или задача (1)–(2) имеет решение на ∂Γ(V0 ) и в этом случае теорема доказана, или
для любого λ ∈ [0, 1] задача (5)–(6) не имеет решения на ∂Γ(V0 ).
Определим оператор
l : dom l := {x ∈ CT : функция x абсолютно непрерывна} ⊂ CT → L1T
lx = x
и при каждом λ ∈ [0, 1] мультиоператор суперпозиции G(·, λ) = PH (·, λ) : CT → P (L1T ).
Нетрудно проверить, что l — линейный фредгольмов оператор нулевого индекса и G(·, λ) —
семейство l-компактных мультиоператоров.
Запишем (5) в абстрактном виде
lx ∈ G(x, λ),
или
(7)
υ
+ λf
η(x)
при каждом υ ∈ ∂V (x), f ∈ PFB . По свойству гомотопической инвариантности топологической степени совпадения (см. п. 20 )
lx = (1 − λ)
deg(l, H(·, 1), Γ(V 0 )) = deg(l, H(·, 0), Γ(V 0 )).
28
С.В. КОРНЕВ, В.В. ОБУХОВСКИЙ
Из условий (i) и (iv) следует
| deg(l, H(·, 0), Γ(V 0 ))| = | deg(∂V, V 0 )| = 0.
Тогда из свойства существования точки совпадения (см. п. 40 ) заключаем, что
l(x) ∈ G(x, λ) для x ∈ Γ(V0 ).
(ii) Пусть теперь условия (ii) и (iii) имеют место на множестве V −1 (0).
/ ∂V (x) для всех x ∈ V −1 (0), то найдется
Так как V −1 (0) — компактное множество и 0 ∈
−1
δ > 0 такое, что 0 ∈
/ ∂V (x) для всех x ∈ V (0)δ . Подберем функцию ν ∈ C 1 (Rn , [0, 1]) так,
−1
чтобы ν = 1 на V (0)δ/2 и ν = 0 на Rn \ V −1 (0)δ .
Так как мультиотображение F удовлетворяет верхним условиям Каратеодори, то (см.,
например, [5]) для каждого εm > 0 существует мультиотображение Fεm : R × Rn → Kv(Rn )
такое, что
(а) мультиотображение Fεm T -периодично по первому аргументу;
(б) Fεm (t, z) ⊂ F (t, z) почти для всех (t, z) ∈ R × Rn ;
(в) существует замкнутое подмножество Jεm промежутка J = [0, T ] такое, что µ(J \Jεm ) ≤
εm (где µ — мера Лебега) и мультиотображение Fεm |Jεm ×Rn полунепрерывно сверху;
(г) если u, w : J → Rn измеримы и w(t) ∈ F (t, u(t)) почти для всех t ∈ J, то w(t) ∈
Fεm (t, u(t)) почти для всех t ∈ J.
Образуем множество θm =
∞
∞
∪
i=m+1
Jεi такое, что µ(θm ) <
1
m , θm+1
∞
⊂ θm для каждого m ∈ N
/ ∩ θm и множество [0, T ] \ θm
и µ( ∩ θm ) = 0. Таким образом, lim χθm (t) = 0 для всех t ∈
m→∞
m=1
m=1
является компактным.
Построим для каждого m ∈ N и (t, x) ∈ [0, T ] × Rn мультиотображение
1
η(x)
α(t)(1 + x)∂V (x)χθm (t) +
Y (x),
Fm (t, x) = FB (t, x) + ν(x)
(υ, υ)
m
где υ, υ ∈ ∂V (x) и функция α(·) та же, что и в условии (F3 ). Нетрудно видеть, что мультиотображения Fm также удовлетворяют верхним условиям Каратеодори.
Покажем, что для каждого дифференциального включения
x (t) ∈ Fm (t, x(t))
(8)
−1 ([0, ε]).
условие (ii) выполнено на множестве V
Действительно, для каждых (t, x) ∈ θm × V −1 (0)δ/2 ∩ V 0 , υ, υ ∈ ∂V (x) и ym ∈ Fm (t, x)
имеем
η(x)
1
1
α(t)(1 + x)∂V (x)χθm (t) +
(υ, υ) > 0,
(υ, ym ) = (υ, yB ) +
η(x) (υ, υ)
m
так как ν = 1 на V −1 (0)δ/2 .
Пусть теперь t ∈ [0, T ] \ θm . Тогда для каждых x ∈ V −1 (0), υ, υ ∈ ∂V (x) и ym ∈ Fm (t, x)
получаем
ν(x) η(x)
1
α(t)(1 + x)∂V (x)χθm (t) +
(υ, υ) > 0.
(υ, ym ) = (υ, yB ) +
η(x) (υ, υ)
m
Так как мультиотображение
(t, x) −◦ {(υ, ym ) : υ ∈ ∂V (x), ym ∈ Fm (t, x)}
является полунепрерывным сверху на компактном множестве ([0, T ] \ θm ) × V0 , то найдется
εn > 0 такое, что
(υ, ym ) ≥ 0
О ЛОКАЛИЗАЦИИ МЕТОДА НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ
29
для каждых t ∈ [0, T ] \ θm , x ∈ V −1 [0, εn ], υ ∈ ∂V (x) и ym ∈ Fm (t, x). Таким образом,
для ε = min(εn , δ/2) условие (ii) будет выполнено на множестве V −1 ([0, ε]) и по доказанному каждое из дифференциальных включений (8) будет иметь T -периодическое решение
x∗m (·). Переходя к пределу при m → ∞, получаем искомое решение x∗ (·) включения (1) как
предельную точку последовательности x∗m (·) решений включения (8).
3. Интегральная направляющая функция на заданном множестве. Развивая
понятия, введенные в [21] и [8], дадим следующее
Определение 3.1 (ср., например, [22]). Прямой потенциал V : G → R называется интегральной негладкой направляющей функцией на G для включения (1), если
T
(υ(s), f (s))ds ≥ 0
0
для всех υ(s) ∈ ∂V (x(s)), f (s) ∈ F (s, x(s)), x ∈ Γ(G).
Замечание 3.1. Всякая обобщенная негладкая направляющая функция на G для включения (1) является интегральной негладкой направляющей функцией на G. Обратное, вообще
говоря, не верно.
Справедлива
Теорема 3.1. Пусть V : Rn → R — регулярная функция такая, что выполняются следующие условия:
(i) V0 и Vr являются непустыми, открытыми, ограниченными множествами,
T
(υ, υ)
, − max
|(υ, f (t))|dt ,
r = min − T max
u∈V −1 (0) η(u)
u∈V −1 (0) 0
υ, υ ∈ ∂V (u), f (t) ∈ F (t, u) — произвольные сечения;
(ii) V является интегральной негладкой направляющей функцией для включения (1) на
множестве Rn \ V0 ;
(iii) 0 ∈
/ ∂V (x) для всех x ∈ Rn \ V0 ;
(iv) deg(∂V, V 0 ) = 0.
Тогда включение (1) имеет T -периодическое решение x ∈ Γ(Vr ∪ V −1 (r)).
Доказательство. Снова рассмотрим гомотопию H : [0, T ] × Rn × [0, 1] → Kv(Rn ), заданную
следующим образом:
H(t, x, λ) = (1 − λ)Y (x) + λF (t, x(t)).
Пусть x — некоторое решение задачи
x (t) ∈ H(t, x, λ),
x(0) = x(T ).
λ ∈ [0, 1),
(9)
(10)
Если допустить V (x(t)) ≤ 0 при всех t ∈ [0, T ], то, учитывая периодичность решения и
предположение (ii), получим
T
T
0
V (x(s), x (s))ds ≥
(υ(s), x (s))ds =
0 = V (x(T )) − V (x(0)) =
0
0
T
T
(υ(s), υ(s))
ds + λ
(υ(s), f (s))ds > 0,
= (1 − λ)
η(x(s))
0
0
где υ(s), υ(s) ∈ ∂V (x(s)), f (s) ∈ F (s, x(s)).
30
С.В. КОРНЕВ, В.В. ОБУХОВСКИЙ
Из полученного противоречия следует, что найдется t0 ∈ [0, T ] такое, что
(11)
V (x(t0 )) > 0,
т. е. x(t0 ) ∈ V0 . Если
V (x(t)) ≥ 0 для всех t ∈ [0, T ],
то из предположения (i) мы имеем априорную оценку для решения включения (9). В противном случае, найдется τ ∈ [0, T ] такое, что V (x(τ )) < 0 и, следовательно,
min V (x(t)) = V (x(τ )) < 0.
(12)
t∈[0,T ]
Из (11) и (12) вытекает существование σ ∈ [0, T ] такого, что или
σ < τ,
0 > V (x(t)) для t ∈ (σ, τ ],
V (x(σ)) = 0,
(13)
или
τ < σ, V (x(σ)) = 0, 0 > V (x(t)) для t ∈ [τ, σ).
Для определенности рассмотрим случай, когда выполняется (13) (другой случай аналогичен). Предположим сначала, что τ = 0 (и τ = T ) и для каждого положительного целого n
такого, что τ + n1 < T определим непрерывную функцию xn : [0, T ] → Rn как
⎧
⎪
x(σ),
если t ∈ [0, σ];
⎪
⎪
⎨x(t),
если t ∈ (σ, τ ];
xn (t) =
⎪
x(τ + n(σ − τ )(t − τ )), если t ∈ (τ, τ + n1 ];
⎪
⎪
⎩
x(σ),
если t ∈ (τ + n1 , T ].
В случае, когда τ = 0 и функция V (x(·)) достигает своего минимума в точках 0 и T ,
определим xn (·) для достаточно больших n таких, что 0 + n1 < σ, следующим образом:
⎧
1
⎪
⎨x(τ + n(σ − τ )t), если t ∈ [0, n ];
xn (t) = x(σ),
если t ∈ ( n1 , σ];
⎪
⎩x(t),
если t ∈ (σ, T ].
В каждом случае xn (·) является последовательностью непрерывных и T -периодических
функций таких, что V (x(τ )) ≤ V (xn (t)) ≤ 0, сходящейся на [0, T ] к функции ξ(·), определенной как
x(t), если t ∈ [σ, τ ];
ξ(t) =
x(σ), если t ∈ [0, T ] \ [σ, τ ],
и такой, что V (x(τ )) ≤ V (ξ(t)) ≤ 0. Из условия (ii) для всех достаточно больших n имеем
T
(υ(s), f (s))ds ≥ 0, υ(s) ∈ ∂V (xn (s)), f (s) ∈ F (s, xn (s)).
(14)
0
Но тогда
и мы получаем
τ +
0<
σ
T
(υ(s), f (s))ds ≥ 0,
υ(s) ∈ ∂V (ξ(s)), f (s) ∈ F (s, ξ(s)),
(15)
0
[0,T ]\[σ,τ ]
τ
≤
(υ(s), x (s))ds ≤
0
V (x(s), x (s))ds +
σ
где υ(s) ∈ ∂V (ξ(s)), f (s) ∈ F (s, ξ(s)).
[0,T ]\[σ,τ ]
(1 − λ)
(υ(s), υ(s)) + λ(υ(s), f (s)) ds,
η(x(s))
О ЛОКАЛИЗАЦИИ МЕТОДА НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ
31
Откуда ввиду леммы 2.1, условия (i) и соотношений (14), (15) имеем
(1 − λ)
−
(υ(s), υ(s)) − λ(υ(s), f (s)) ds ≥
V (x(τ )) >
η(x(s))
[0,T ]\[σ,τ ]
T
(υ, υ)
, − max
|(υ, f (t))|dt = r,
≥ min − T max
u∈V −1 (0) η(u)
u∈V −1 (0) 0
где υ, υ ∈ ∂V (u), f (t) ∈ F (t, u).
Следовательно, неравенство V (x(t)) > r верно для возможных решений включения (9) и
для всех t ∈ [0, T ].
Таким образом, или задача (1)–(2) имеет решение на ∂Γ(Vr ) и в этом случае теорема
доказана, или для любого λ ∈ [0, 1] задача (9)–(10) не имеет решения на ∂Γ(Vr ). Рассматривая включение, аналогичное (7), и повторяя приведенные в доказательстве теоремы 2.1
рассуждения, получаем
deg(l, H(·, 1), Γ(V r )) = deg(l, H(·, 0), Γ(V r )),
| deg(l, H(·, 0), Γ(V r ))| = | deg(∂V, V r )| = 0.
Тогда утверждение теоремы следует из свойства 40 .
Литература
[1] Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. – M.: Наука,
1966. – 332 с.
[2] Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. – M.: Наука, 1975.
– 322 с.
[3] Красносельский М.А., Перов А.И. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и
почти-периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР.
– 1958. – Т. 12. – № 2. – С. 235–238.
[4] Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных
отображений и дифференциальных включений. – М.: КомКнига, 2005. – 216 с.
[5] Deimling K. Multivalued differential equations. – Berlin–New York: Walter de Gruyter, 1992. – 260 p.
[6] Górniewicz L. Topological fixed point theory of multivalued mappings. – Dordrecht–Boston–London: Kluwer
Acad. Publ., 1999. – 399 p.
[7] De Blasi F.S., Górniewicz L., Pianigiani G. Topological degree and periodic solutions of differential inclusions
// Nonlinear Anal. – 1999. – V. 37. – P. 217–245.
[8] Mawhin J., Ward James R. jr. Guiding-like functions for periodic or bounded solutions of ordinary differential
equations // Discrete and continuous dynamical systems. – 2002. – V. 8. – № 1. – P. 39–54.
[9] Mawhin J., Thompson H.B. Periodic or bounded solutions of Caratheodory systems of ordinary differential
equations // J. Dyn. Diff. Eq. – 2003. – V. 15. – № 2–3. – P. 327–334.
[10] Filippakis M., Gasinski L., Papageorgiou N.S. Nonsmooth generalized guiding functions for periodic
differential inclusions // Nonlinear Diff. Eq. Appl. – 2006. – V. 13. – № 1. – P. 43–66.
[11] Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions
in Banach spaces. – Berlin–New York: Walter de Gruyter, 2001. – 231 p.
[12] Mawhin J.L. Topological degree methods in nonlinear boundary value problems // CBMS Regional Conf. Ser.
Math., Amer. Math. Soc. Providence, R. I. – 1977. – № 40.
[13] Pruszko T. A coincidence degree for L-compact convex-valued mappings and its application to the Picard
problem for orientor fields // Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. – 1979. – V. 27. – № 11–12. – P. 895–902.
[14] Pruszko T. Topological degree methods in multi-valued boundary value problems // Nonlinear Anal.: Theory,
Meth. and Appl. – 1981. – V. 5. – № 9. – P. 959–973.
[15] Tarafdar E., Teo S.K. On the existence of solutions of the equation Lx ∈ N x and a coincidence degree theory
// J. Austral. Math. Soc. – 1979. – V. A28. – № 2. – P. 139–173.
[16] Корнев С.В., Обуховский В.В. О некоторых вариантах теории топологической степени для невыпуклозначных мультиотображений // Сб. тр. матем. факультета ВГУ. – Воронеж, 2004. – Вып. 8. –
С. 56–74.
[17] Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. – М.: Наука, 1988. – 280 c.
32
С.В. КОРНЕВ, В.В. ОБУХОВСКИЙ
[18] Бобылев Н.А., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах. – М.:
Магистр, 1998. – 658 c.
[19] Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. – М.: Наука, 1981. – 384 с.
[20] Емельянов С.В., Коровин С.К., Бобылев Н.А., Булатов А.В. Гомотопии экстремальных задач. – М.:
Наука, 2001. – 350 с.
[21] Fonda A. Guiding functions and periodic solutions to functional differential equations // Proc. Amer. Math.
Soc. – 1987. – V. 99. – № 1. – P. 79–85.
[22] Kornev S., Obukhovskii V. On some developments of the method of integral guiding functions // Functional
Diff. Eq. – 2005. – V. 12. – № 3–4. – P. 303–310.
С.В. Корнев
доцент, кафедра алгебры и геометрии,
Воронежский государственный педагогический университет,
394043, г. Воронеж, ул. Ленина, д. 86,
e-mail: kornev_vrn@rambler.ru
В.В. Обуховский
профессор, кафедра алгебры и топологических методов анализа,
Воронежский государственный университет,
394006, г. Воронеж, Университетская пл., д. 1,
e-mail: valerio@math.vsu.ru
S.V. Kornev
Associate Professor, Chair of Algebra and Geometry,
Voronezh State Pedagogical University,
86 Lenin str., Voronezh, 394043 Russia,
e-mail: kornev_vrn@rambler.ru
V.V. Obukhovskii
Professor, Chair of Algebra and Topological Methods of Analysis,
Voronezh State University,
1 Universitetskaya sq., Voronezh, 394006 Russia,
e-mail: valerio@math.vsu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
201 Кб
Теги
дифференциальной, метод, включение, функции, локализации, задачи, решения, направляющие, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа