close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О некоторых автоморфизмах групп E7 8 (q) q нечетно.

код для вставкиСкачать
Вестник Нижегородского университета
им.
Н.И.Елисеев
Лобачевского, 2007, № 1, с. 156–161
В.М. Галкин,
М.Е.
156
МАТЕМАТИКА
УДК 512.54
О НЕКОТОРЫХ АВТОМОРФИЗМАХ ГРУПП E7,8 (q), q НЕЧЕТНО
 2007 г.
В.М. Галкин, М.Е. Елисеев
Нижегородский государственный технический университет
vestnik_nngu@mail.ru
Поступила в редакцию 26.12.2006
Доказывается, что на конечных простых группах
автоморфизма
ϕ
−1
со свойством: xϕ ( x ) ∈ sTs
−1
свойством: xϕ ( x −1 ) ∈ sTs −1 ⇒ x ∈ T . Здесь T
– подгруппа ϕ -неподвижных элементов.
Теория ϕ -групп по существу совпадает с
теорией
конечных
леводистрибутивных
квазигрупп (ЛДК). Именно множество левых
смежных классов G (ο) = Π /T превращается в
ЛДК, если положить x ο y = xϕ ( x −1 y ) mod T .
Обратно, по заданной ЛДК G (ο) можно
построить
ϕ -группу Π , хотя и не
единственным способом. Существует, однако,
единственное с точностью до изоморфизма
представление G (ο) = Π /T с минимальной
группой Π . Последняя изоморфна коммутанту
группы
левых
трансляций
£′(G )
£(G ) = 〈 La = ( x α a ο x) | a, x ∈ G〉 . Фактор
£ / £′ абелев и порождается образом La .
Автоморфизм ϕ есть сопряжение фиксированной левой трансляцией Le . Если же
отправляться от ϕ -группы Π и перейти от нее
к ЛДК G (ο) = Π /T , то получение коммутанта
£′(G ) производится в два этапа. Сначала от Π
к
нормальному
нечетно, нет нетождественного
⇒ x ∈ T = 〈 y ∈ E7,8 (q) | ϕ ( y ) = y〉 .
Под ϕ -структурой на конечной группе Π
понимается задание автоморфизма ϕ со
переходим
E7,8 ( q), q
делителю
нормальному делителю S , содержащемуся в
T . Последний обязательно лежит в центре Π1 .
В свое время одним из авторов было
выдвинуто предположение о разрешимости
группы левых трансляций ЛДК [1]. Оно,
очевидно,
адекватно
утверждению
о
разрешимости подгруппы Π1 в произвольной
ϕ -группе. Это утверждение, называемое далее
ϕ -теоремой,
представляется
весьма
привлекательным, поскольку включает в себя
теорему Фейта – Томпсона о разрешимости
группы нечетного порядка, теорему о
разрешимости
группы
с
регулярным
автоморфизмом и теоремы Фишера о
разрешимости группы левых трансляций
конечной
дистрибутивной
квазигруппы.
Удается свести доказательство ϕ -теоремы к
рассмотрению простых групп, т.е. к проверке
того, что ϕ -структура на простой группе
тривиальна. Эта проверка к настоящему
времени проведена и, значит, ϕ -теорема
доказана [1, 4–10]. В настоящей работе
излагается не опубликованная ранее проверка
групп из заголовка. Доказательство дается в
П.3. В П.1 приводятся дополнительные
сведения о ϕ -группах и ЛДК, а в П.2 сведения
о
группах
представляют
E7,8 .
интерес
По-видимому,
из-за
они
отсутствия
Π1 = 〈 xϕ ( x −1 | x ∈ Π 〉 (главная подгруппа), а подобной информации в литературе на русском
затем Π1 факторизуется по наибольшему языке.
1. Основное свойство ϕ -групп описывается
следующим предложением [1, 2].
О некоторых автоморфизмах групп Е7,8(q), q нечетно
Предложение 1. ϕ -свойство наследуется
при переходе к ϕ -инвариантным подгруппам и
ϕ -инвариантным
факторгруппам
по
нормальным делителям.
Доказательство. Первая часть предложения
очевидна. Прямое доказательство второй части
достаточно громоздко. Проще воспользоваться
следующими
рассуждениями.
Несложно
показать [1], что эпиморфный образ конечной
квазигруппы (не обязательно ЛДК) при
гомоморфизме в произвольный группоид есть
квазигруппа. Если J < Π − ϕ -инвариантный
нормальный делитель, то гомоморфизму
Π → Π /J соответствует эпиморфизм Π /T в
группоид, строящийся по Π /J , последней есть
ЛДК, а потому Π /J − ϕ -группа. Что касается
ϕ -неподвижных элементов в Π /J , то таковые
заполняют образ T при гомоморфизме.
Действительно, ϕ ( x ) ≡ x mod T ⇒ x−1ϕ( x) ∈ J ,
т.е. 1 ο x −1 лежит в квазигруппе
J/J ∩ T .
Отсюда x ∈ J mod T , x = it c i ∈ J , t ∈ T и
образ x в Π /J совпадает с образом t .
−1
Имеется один полезный способ выделения
ϕ -инвариантных подгрупп. Пусть t ∈ T , C (T )
– централизатор и
– нормализатор
N (t )
группы 〈t 〉 . Разумеется, обе подгруппы C (T ) и
N (t ) ϕ -инвариантны. Имеет место следующее
утверждение, которое будем называть C − N -
конструкцией.
Предложение 2. Индекс
( N (T ) : C (T ))
делит | T | .
Доказательство.
Действительно,
квазигруппу, соответствующую N (t ) , можно
получить из главной подгруппы N1 (t ) =
−1
s
= 〈 xϕ ( x −1 ) | x ∈ N (t )〉 . Но xtx = t , при
некотором s . Действуя на это равенство
автоморфизмом
ϕ , с учетом
t ∈T ,
убеждаемся, что xϕ ( x −1 ) ∈ C (t ) . Поскольку
порядок квазигруппы равен ( N ( t ) : N (t ) ∩ T ) =
= ( N1 (t ) : N1 (t ) ∩ T ) ,
= ( N ∩ T : N1 ∩ T )
( N : C) =
то
делит
N : N1
делит | T | .
C : N1
|T |.
( N : N1 ) =
Значит и
Иногда знание порядка автоморфизма ϕ
позволяет
получить
арифметическую
информацию о подгруппе T . В ЛДК
157
инвариантом является структура разложения на
независимые
циклы
левой
трансляции
La = ( x → a ο x) как перестановке элементов
G (ο) .
Это
−1
b a ,
Laοb = La L L
следует
из
равенства
эквивалентного закону левой
дистрибутивности a ο(b ο x ) = = ( a οb) ο( a ο x ) .
Трансляция
La
имеет
единственный
неподвижный элемент, равный a . Если
неединичные циклы в La имеют четные длины,
то порядок ЛДК, очевидно, нечетен. В
представлении G (ο) = Π /T одна из левых
трансляций есть ( x α 1 ο x = ϕ ( x) mod T ) и
мы получаем следующее
Предложение 3. Если порядок ϕ есть
степень двойки, то подгруппа T содержит
силовскую 2-подгруппу.
Случай, когда ϕ 2 = id имеет особое
значение. В соответствующей квазигруппе
тогда выполняется левый закон ключей
a ο(a ο x) = x . В [3] доказано, что группа
левых
трансляций
симметрической
квазигруппы разрешима. В качестве следствия
получаем
Предложение 4. Если в ϕ -группе Π
выполняется условие ϕ 2 = id , то Π не
может быть простой группой.
2. Общие свойства группы Шевалле
предполагаются известными [14, 12, 15]. К ним
мы относим описание автоморфизмов, а также
связь
с
алгебраическими
группами.
Используются стандартные обозначения xα (t )
для корневых подгрупп, U = 〈 xα ( t ) | α > 0〉 ,
H = 〈 hα (t )〉 для унипотентной и картановской
подгрупп, W ≅ N ( H )/H для группы Вейля.
Удобно работать с универсальными группами,
факторизация которых по их центрам дает
простые группы. Центры универсальных групп
E6 (q ),2 E6 (q ), E7 (q ), E8 (q )
равны
соответственно Z (3,q −1) ,
Z (3,q+1) , Z 2 при q
нечетном и 1. Нам понадобится значение
структуры групп Вейля.
Предложение 5. [14].
W(E6 ) ≅ B2 (3)⋅ 2 ≅2 A3(4)⋅ 2 ,
W ( E7 ) ≅ 2 ⋅ C 3 (2) ,
W ( E8 ) ≅ (2 ⋅ D4 (2)) ⋅ 2 .
В.М. Галкин, М.Е. Елисеев
158
Отметим еще, что
содержат
и
W ( E7 )
W ( E8 ) и
w0 ∈ W , переводящий корень в
w0 (α ) = −α . В W ( E6 )
противоположный:
C 0 (σ 3 ) = 〈 x ± (4+ 5) (t1 ), x ± (6+ 7) (t 2 ), x ± (2+ 3+ 4+ 5) (t 3 ),
x ±1 (t 4 ), x±(3+4) (t 5 ), x± (5+6) (t 6 ), x ±(2+ 4) (t 7 ), H 〉 .
такого элемента нет [11]. Аналог группы Вейля
Нетрудно видеть, что C 0 (σ 2 ) = E6 ⋅ Z q −1 , где
Wσ = W ( 2 E6 )
E 6 = 〈 x ±1 (t1 ), x ± 3 (t 2 ), x ± (6+ 7) (t 3 ), x ± (4+ 5) (t 4 ),
имеет
тип
Ее
F4 ([14]).
структура указана в [11]: Wσ = ( Z ⋅ Σ 4 ) ⋅ Σ 3 .
3
2
x± (2+ 4) (t 5 ), x ±(5+ 6) (t 6 )〉 ,
Приведем информацию о централизаторах
0
инволюций в простых группах E7 и E8 [11]. а фактор C (σ 2 )/E6 порождается образом
Наличие центра Z в универсальной группе подгруппы 〈 h5 (t )〉 . Указанная группа E6
2
W ( E7 )
заставляет
выделять
два
типа
имеет следующую диаграмму
инволюций в соответствующей простой группе.
Каждая из них сопряжена инволюции из
картановской подгруппы H , то есть имеет вид
σ = h1 (ε 1 )...h7 (ε 7 ) , где ε i = ±1 . Число таких
E6
α4+5
α3
α2+4
α5+6
α6+7
элементов равно 27 = 128, и сопряженные
элементы объединяются в орбиты относительно
действия
W ( E7 ) .
Выделим
элемент
Группа же
σ1 = hα (−1) , где α – максимальный корень.
〈 x ± (4+5) (t1 ), x ±(6 +7) (t 2 ), x ± (2+3+ 4+5) (t 3 ), x ±1 (t 4 ),
Его централизатор в универсальной группе
строится в соответствии с теоремой 3.9 из [13]:
x ±(3+ 4) (t 5 ), x ± (5+6) (t 6 ), x ±(2+ 4) (t 7 )〉 ,
C 0 (σ 1 ) = 〈 x±α (t1 ), x± 2 (t2 ), x±3 (t3 ) x± 4 (t4 ),
x±5 (t5 ), x± 6 ( t6 ), x±7 ( t7 ), H 〉 .
Длина орбиты σ 1 в H
α1
равна индексу
Указанные
выше 128 элементов распадаются на орбиты
длин 1, 1, 63, 63 элементов 1,c =
= h2 ( −1)h5 ( −1) h7 ( −1) – элемент центра, σ 1 и
σ 1c соответственно. При переходе к простой
группе мы имеем единственный класс
инволюций I-го рода с представителем σ 1 .
При описании инволюций II-го рода, то есть
представляемых в универсальной группе
элементами, квадраты которых равны c –
центральному элементу, приходится различать
два случая: q ≡ 1 (mod 4) и q ≡ −1 (mod 4). В
первом случае инволюции можно поместить в
H , взяв
σ 2 h2 (i )h5 (i )h7 (i ) ,
σ 3 = σ 1σ 2 ( i = −1 ∈ Fq ).
Их централизаторы в универсальной группе
C 0 (σ 2 ) = 〈 x ±1 (t1 ), x ±3 (t 2 ), x ± (6 + 7) (t 3 ),
x± (4 + 5) (t 4 ), x ± (2 + 4) (t 5 ), x ± (5+ 6) (t 6 ), H 〉
C 0 (σ 3 ) совпадает с группой
изоморфной A7 (то есть H ⊂ A7 ). Группа A7
A7
(W ( E7 ) : W ( A1 ) × W ( D6 )) = 63 .
α1
α4+5
α2+4
α6+7
α2+3+4+5
α3+4
имеет диаграмму
Число инволюций II-го рода в H равно
27 = 128 . Орбиты σ 2 и σ 3 имеют длины
(W ( E7 )/W ( E6 )) = 56 и (W (E7 )/W ( A7 )) = 72 ,
то есть имеется два класса инволюций II-го
рода с представителями σ 2 и σ 3 .
Труднее получается описание централизаторов инволюций в случае q ≡ −1(4) ,
поскольку инволюции второго рода нельзя
выбрать в подгруппе H . Группа E7 ( q )
вкладывается в алгебраическую группу E 7 ( q) ,
как
подгруппа
неподвижных
элементов
полевого
автоморфизма
(автоморфизма
Фробениуса), который возводит в степени q
аргументы корневых подгрупп. Инволюции IIго рода в E7 ( q ) сопряжены таковым же в
картановской подгруппе
H ⊂ E 7 , то есть
О некоторых автоморфизмах групп Е7,8(q), q нечетно
159
p -подгруппы Π p ,
сопряжены введенным выше элементам σ 2 и
инвариантной силовской
σ3 .
следуя рассуждениям Томпсона [16]. По
теореме Силова, Π p сопряжена с ϕ (Π p ) , то
Инволюции
следующим
в
E7 ( q )
получаются
образом.
Пусть
r1 , r5 , r7
–
ϕ (Π p ) = a −1ϕa . Из регулярности ϕ
следует, что
a представимо в виде
подходящим представителем из N (H ) при a = sϕ ( s −1 ) . Тогда ϕ ( s −1Π p s ) = s −1Π p s , то
изоморфизме W ( E 7 ) ≅ N ( H )/H так, что есть Π ϕ -инвариантна.
отражения относительно корней 2, 5, 7 в
W ( E7 ) , w = r1r5 r7 . Можно отождествить w с
λ (σ i ) = wσ i w−1 (i = 2,3) ,
где
λ
есть
p
–
автоморфизм Фробениуса. По известной
теореме Ленга w можно представить в виде
w = ( sλs −1 ) −1 с s ∈ E 7 . Тогда σ i = s −1σ i s –
λ -инвариантны, то есть лежат в E7 (q ) и
являются там инволюциями II-го рода.
Элементы, перестановочные с σ i , имеют вид
Π p выберем U . Ее нормализатор N (U ) ϕ -инвариантен, причем
N (U )/U ≅ H , а так как H и U – холловские
подгруппы, то ϕ -инвариантной можно выбрать
и H . Ее нормализатор N (H ) и фактор
также ϕ -инвариантны и
N ( H )/H ≅ W
автоморфизм ϕ на W регулярен. Но это
В качестве
s −1 xs , где x перестановочен с σ i в E 7 . λ - невозможно, так как доказано ранее, что
инвариантность
s −1 xs
означает,
что автоморфизм ϕ на группах C3 (2), D4 (2)
−1
Возникшее
противоречие
λ ( x ) = wxw . Из диаграмм, приведенных тождественен.
доказывает нерегулярность ϕ .
выше для C 0 (σ 2 ) и C 0 (σ 3 ) , видно, что w
2) Показываем наличие в T инволюции.
действует на них как графовый автоморфизм и
Предложение 7. T содержит полупростые
выделение элементов x с λ ( x ) = wxw −1
производится
в
Следовательно,
C 0 (σ 3 ) =
результате
скручивания.
C 0 (σ 2 ) = 2 E6 (q ) ⋅ Z q +1
и
= 2 A7 ( q ) . Появление множителя
Z q +1 объясняется скручиванием множителя
h5 (t ) .
Наконец, из-за связности централизатора
полупростого
элемента
в
односвязной
алгебраической группе следует, что классы
инволюций в E 7 не распадаются при переходе
к E7 ( q ) , то есть в последней (простой группе)
имеется три класса инволюций σ 1 (I-го рода) и
σ 2 ,σ 3 (II-го рода).
3. В этом пункте докажем, что автоморфизм
ϕ на группах E7,8 (q) ( q четно) тождественен.
Доказательство
будет
проводиться
по
следующей схеме.
1) Показываем, что | T |> 1 .
ϕ
Предложение
6.
Автоморфизм
нерегулярен.
Доказательство. Предположим противное,
то есть, что ϕ действует на группе Π
регулярно. Покажем сначала существование ϕ -
элементы.
Доказательство. Пусть это не так, тогда T
состоит из одних унипотентов. Выбирая
образующие подходящим образом, можно
добиться включения T ⊆ U .
Рассмотрим
максимальную
ϕинвариантную p -подгруппу Γ , содержащую
T . Пусть Γ не совпадает с U , тогда
нормализатор N (Γ ) содержит Γ , но не
совпадает с ней, как известно из теории p групп. Тогда N (Γ ) / Γ – группа с регулярным
автоморфизмом. В ней, в соответствии с [16],
имеются
ϕ -инвариантные
силовские
подгруппы, то есть в N (Γ ) / Γ есть ϕ инвариантная p -подгруппа. Поднимая ее в
N (Γ ) , находим p -подгруппу, большую, чем
Γ
–
противоречие
с
выбором
Γ.
Следовательно, Γ совпадает с U .
Рассматриваем N (U ) = HU = B . Тогда
N (U )/U = H – группа с регулярным
автоморфизмом ϕ и N ( H )/H = W – также
группа
с
регулярным
автоморфизмом.
Последнее невозможно в силу неразрешимости
групп W ( E7 ( q)) и W ( E8 ( q )) . Следовательно,
В.М. Галкин, М.Е. Елисеев
160
предположение о том, что T состоит из
унипотентов, было неверным и в T есть
полупростой элемент.
Ранее
указывалось,
что
W ( E7,8 (q))
содержит w0 = −1 . Это, по рассуждениям из
[4],
влечет
сопряженность
полупростого
обратным:
t ~ t −1 . Тогда
C (t ) ⊂ N (〈 (t )〉 ) и индекс ( N : C ) четен. По
элемента
с
группа) разрешима и на ней может быть
ϕ -структура,
задаваемая
нетривиальная
сопряжением 3-элементом. Без ограничения
общности можно считать, что это сопряжение
элементом xα (t ) . Таким образом, в отличие от
случая q > 3, к внутренней части ϕ может
добавляться
сопряжение элементом
Рассмотрим группу
xα (t ) .
A2 =< x±1 (t1 ), xµα (t2 ) > .
(C − N ) -конструкции это влечет наличие в T
Она ϕ -инва-риантна, так как выдерживает
инволюции.
3) Далее рассматривается централизатор
инволюции из T . Это ϕ -подгруппа, и она
достаточно велика для получения детальной
информации об автоморфизме ϕ . Удается
сопряжение элементами xα (t ) , h и h , а также
диагональный автоморфизм (последние меняют
лишь аргументы). Но группа A2 (3) проста,
поэтому в составе ϕ нет сопряжения
унипотентом и имеют место вышеприведенные
рассуждения.
Если же в T имеется σ 2 или σ 3 , то
доказать, что T содержит силовскую 2подгруппу из Π . В свою очередь, это позволяет
показать,
что
ϕ 2 = 1 . Последнее, по
предложению 4, доказывает тождественность ϕ .
Предложение
8.
На
группах
автоморфизм ϕ тождественен.
E7 ( q )
~
обязательно есть и σ 1 . Действительно, в
составе каждого из централизаторов имеется
неразрешимая
ϕ -инвариантная
группа
( E6 ( q) ( q ≡ 1(4) ) или
Доказательство. Пусть в T находится одна
из инволюций, описанных в пункте 2.
Централизатор такой инволюции
ϕинвариантен, в композиционном ряде каждого
из централизаторов имеется простая ϕ -группа,
на ней автоморфизм ϕ должен действовать
тривиально, как отмечалось во введении. Тогда
у ϕ отсутствует полевая часть, и он есть
композиция диагонального и внутреннего
автоморфизмов.
Рассмотрим C (σ 1 ) = ( A1 ο D6 ) ⋅ Z 2 . При
2
E6 (q )(q ≡ −1(4)) для
σ 2 , A7 (q)(q ≡ 1(4)) , или
2
A7 (q )( q ≡ −1(4))
для σ 3 , действие ϕ на которой тождественно и
в T есть h1 ( −1) . Так как элемент h1 ( −1)
сопряжен с hα (−1) , то, меняя обозначения
корней, можно считать, что hα ( −1) ∈ T . Далее
переходим к рассмотрению σ 1 .
Предложение
9.
На
группах
E8 (q)
автоморфизм ϕ тождественен.
Доказательство.
Так
как
в
составе
q > 3 группа A1 (q) неразрешима. Ввиду ϕ - централизатора имеется неразрешимая группа,
инвариантности групп A1 ( q) и D6 ( q) и их то, рассуждая так же, как и выше, заключаем,
ϕ нет полевой части. Таким образом, ϕ –
неразрешимости
действие
ϕ
на
них что у
тривиально, поэтому диагональная часть на
xi (t )(i > 1)
тождественна,
x1 (t ) α x1 (c1t ),
c12 = 1 . Внутренняя есть сопряжение элементом
из Z (( A1 ο D6 ) ⋅ Z 2 ) ≅ Z 2 × Z 2 . Непосредственно
~
проверяется, что это группа Z 2 × Z 2 = h h , где
h = h1 (ε 1 )h3 (ε 1 )h5 (ε 1 ) , h~ = h1 (ε 2 ) h3 (ε 2 )h6 (ε 2 ) ,
ε 1 , ε 2 = ±1 . Тогда ϕ 2 = 1 , что по указанной
выше теореме влечет ϕ = 1 .
Пусть теперь
q = 3 . Тогда группа
A1 = SL2 (3) ≅ Q8 ⋅ Z 3 ( Q8 – кватернионная
внутренний автоморфизм. Тогда ϕ ( x ) = sxs −1 ,
s ∈ G , более того, так как sσs −1 = σ , то
s ∈ C (σ ) , а значит, лежит в центре C (σ ) ,
ввиду ϕ -инвариантности последнего.
Если в T имеется σ 1 , то в T попадет и σ 2 .
Действительно, в состав s могут войти
h3 (τ ), Z (E7 ) и x1 (t ) . Так как Z ( E7 ) ⊂ H и
h1 (−1) x1 (t )h1−1 (−1) = x1 ((−1) 2 t ) = x1 (t ) ,
σ 2 выдерживает действие s .
то
О некоторых автоморфизмах групп Е7,8(q), q нечетно
Таким образом, в T есть σ 2 . Сопрягающий
элемент
s ∈ Z (C (σ 2 )) .
проверяется,
что
Непосредственно
Z (C (σ 2 )) = Z 2 × Z 2 =
= h1 ( ±1), h8 ( ±1) . Тогда s 2 = 1 ⇒ ϕ 2 = 1 и по
161
М.Е. Елисеев // Вестник ННГУ. Сер. Математика.
2004. Вып. 2.
7.
Елисеев,
М.Е.
О
ϕ -структуре на
ортогональных группах чётной характеристики и
группах
E6,7,8 (q ) ,
2
E6 (q ) :
Дис. … канд. ф.-м.
указанной выше теореме заключаем, что ϕ = 1 .
наук / М.Е. Елисеев. СПб.: СПбГУ. 2005.
8. Елисеев, М.Е. О некоторых автоморфизмах
Список литературы
групп E 6 (q) , 2 E 6 (q) , q четно / М.Е. Елисеев. Деп.
в ВИНИТИ 16.02.2004, № 258. В2004.
9. Лещева, С.В. О ϕ -структуре на группе
1.
Галкин,
В.М.
Леводистрибутивные
квазигруппы: Дис. … докт. ф.-м. наук / В.М. Галкин.
М.: МГУ, 1991.
2.
Галкин,
В.М.
Леводистрибутивные
квазигруппы конечного порядка / В.М. Галкин //
Квазигруппы и лупы. Кишинев: Штиинца, 1979.
3. Галкин, В.М. О симметрических квазигруппах /
В.М. Галкин // УМН, 1984. Т. 39, вып. 6. С. 191–192.
4. Галкин, В.М. О некоторых автоморфизмах на
ортогональных группах в нечетной характеристике /
В.М. Галкин, Н.В. Мохнина // Математические
заметки. М.: 2001. Т. 70, вып. 1.
5. Елисеев, М.Е. О некоторых автоморфизмах
групп
E7,8 (q) , q
четно / М.Е. Елисеев // Матема-
тический вестник педвузов и университетов
Волго-Вятского региона. Киров: ВятГГУ. вып. 6.
2004.
6. Елисеев, М.Е. О ϕ -структуре на простых
ортогональных группах в четной характеристике /
Sp2 n (q)
в четной характеристике / С.В. Лещева,
О.В. Суворова. Деп. в ВИНИТИ 1997, № 844. В97.
10. Лещева, С.В. Группы F4 ( q ) , 2 F4 ( q) и их
специальные автоморфизмы / С.В. Лещева. Деп. в
ВИНИТИ 1997, № 1096. В97.
11. Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли / Н.
Бурбаки. М.: Мир, 1972.
12. Горенстейн, Д. Конечные простые группы /
Д. Горенстейн. М.: Мир, 1985.
13. Семинар по алгебраическим группам. М.:
Мир, 1973.
14. Стейнберг, Р. Лекции о группах Шевалле /
Р. Стейнберг. М.: Мир, 1975.
15. Carter, R.W. Simple groups and simple Lie
algebras / R.W. Carter. // J. London Math. Soc., 1965,
№ 158. P. 193–240 (русский пер. Сб. Математика,
10:5, 1966).
ON ϕ -STRUCTURE OF SIMPLE GROUPS E7,8 (q), q IN ODD CHARACTERISTIC
V.M. Galkin, М.Е. Yeliseev
ϕ with property: xϕ ( x −1 ) ∈ sTs −1 ⇒ x ∈ T (T
E7,8 ( q), q odd, is proved.
Nonexistence of nontrivial automorphism
of fixed elements) on simple groups
– subgroup
162
В.М. Галкин, М.Е. Елисеев
16. Thomson, J.G. Finite groups with fixed-pointfree automorphisms of prime order / J.G. Thomson. //
Proc. Nat. Amer Sci USA, 1959, 45. P. 578–581.
17. Liebeck, Martin W. Exepcional groups of Lie
type / M.W. Liebeck, J. Saxl. // Proc. Lond. Math. Soc.
1987, 55, № 2. P. 299–330.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
162 Кб
Теги
автоморфизмы, группы, некоторые, нечетн
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа