close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О некоторых зависимостях для определения давления на поверхности плоского или осесимметричного тела.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
т о м
УДК
ЗАПИСКИ
XX/V
ЦАГИ
М2
1993
533.6.011.31.5: 532.582.33
О НЕКОТОРЫХ ЗАВИСИМОСТЯХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ДАВЛЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
ПЛОСКОГО ИЛИ
ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА
В. П. Котенев
Предлагается метод определения давления на известной линии тока
1IЕ'lIулевой кривизны. Рассмотрены примеры плоских и осесимметри'lНЫХ
течений газа.
Для оценки изменения
газодинамических
параметров
вдоль
поверхности тел,
обтекаемых стационарным потоком невязкого газа, применяются приближенные зави­
симости, основанные на результатах численных расчетов. Так, в [1] на основании
данных таблиц [2] предлагаются формулы для распределения давления по поверхно­
сти сферы или цилиндра. Более общие результаты можно получить, рассматривая
уравнения газовой динамики внезависимых переменных «давление-функция тока»,
которые
используются,
например,
при
исследовании
плоских
установившихся
движе­
ний газа [3]. Переменные такого типа применяются и при рассмотрении нестационар­
liblX одномерных течений [4]. На основе независимых переменных «давление - две
функции тока» изучаются пространственные сверхзвуковые течения газа на больших
расстояниях от обтекаемого тела [5]. В работе [6] динамические переменные исполь­
зуются для поиска единой аналитической формы
описания
приближенных методов
расчета, возможности оценки точности и построения высших приближений.
В данной работе для уравнений газовой динамики, записанных в переменных
«давление - функция тока», получено
разложение решения в ряд по приращению
давления.
Это
интегрирования
метричном
1.
разложение
решения
использовано
вдоль
линии
тока
для
на
создания
поверхности
эффективного
тела
в
плоском
алгоритма
и
осесим­
течении.
Установившиеся течения невязкого газа около поверхности тела описываются
системой уравнений Эйлера.
Расc:vIOТРИМ
неортогональную
систему
х!
=
р,
с
контравариантными
координатами:
'х 2 = ~
и базисными векторами
g!
Здесь 1jJ -
r, Z -
функция тока, т. е. d~
цилиндрические
или
= grad р,
= _
декартовы
g2 = grad~.
pvr' dz
+
риг' dr;
координаты;
~
", u - проекции вектора скорости V на радиальное и осевое
ственно или на декартовы оси; р давление, р ПЛОТIЮС1Ъ.
ДЛЯ плоских движений газа у=о, для осесимметричных у=
Заметим, что
-.
направления
соответ­
1.
-~
(g2. V) -
о.
]39
J3
этих переменных уравнение неразрывности у довлетворяется тождественно,
условия сохранения энтропии S для совершенного газа с показателем адиабаты у
вдоль линии тока (1jJ=сопst) принимает вид:
дS
др =0,
а векторное уравнение движения:
(1)
гдеуg=
__
г"
Введем
-+
(V·g1)p
функцию
(р,
6
угол
1jJ) -
между
вектором
ке поверхности и осью тела (линии тока). Тогда
и = V cos 6,
Из уравнения
v = V sin 6,
скорости
-v и
V=
2
в
исследуемой
точ­
+v 2 •
следует:
(1)
~
дV~
1
_
V=-_
др
или
р
дV
1
-=--.
др
(2)
дV
Далее, так как д2Vv=~(дV17\_дVдV,
др2
др
др
)
др др
то
2
J V 17др2
где М
М2-
1_
--р2172
р )2,
V2(дд 6
(3)
местное число Маха.
-
Аналогично можно получить:
дЗV
др3
v=
_1_
дМ2 .~
р2 V2 др
~
дЗ
_1_
р3 V4
(М2 _
1)(2M2 _ 3) _ 3 [V2
2-
д 4 V 17 = ~ __р _+ ~ _1_ [_ дМ2
дjJ4
3 дрЗ
+ _.1_ (М2 _
р2
1)
V.
др
3 p2V2
(2М2 _ З) (3М2 _
(_1_
pVJ
4)]
2
д6 д 6 _..!.. (д6)2]
др др2
+ (6М2 _
+ (М2 -
р2 VЗ
+ 2"( "(-
7)
1)2
Р
др
1
~)
Р
;
(4)
+
+ 12 дО ~
.
Р др др2
_3V2(д26)2_4V2д6 д 3 б+ V2(~)4 _ 6(M2-1)(~)2.
др2
др дрЗ
Предполагая вектор скорости
V
др
р2 V2
дифференцируемым
(5)
др
необходимое
число раз,
при условиях справедливости интеграла Бернулли и сохранения энтропии вдоль ли­
нии тока (тела), находим связь между давлением р и углом наклона 6 касательной
к телу ненулевой кривизны в виде ряда:
~ ~
(V. V a)
=
2
Vo
1 (J2V~)
+ (JV~)
др V (/ Ар + 21 др2 V О Ар2 + ...
k~
(д V
~ ) Ар k
... _t- _1_
k'
k V
. др
о
Заметим,
'p=const
что
для
достижения
для функции
6=6
такой
-+ О (~p k+l ).
же точности
с
ряда
k
Тейлора
при
(р, 1jJ) требуется знание производной (J : ) в точке раздр
J k - 16'
ложения, тогда как в (6) достаточно знать ( ~),
др
о
140
помощью
(6)
т. е.
на
о
порядок
меньше.
Тем
не
менее
применение
(6)
в качестве решения должно быть обеспечено знанием
д 6 )
(,др
m о
т
1;
начальной точке
(точке разложения)
производных
высокого
порядка
m.
в этом случае задача представляется тривиальной.
2. Из (6) с учетом (2), (3), (4) следуют формулы:
vn+1V n cos (6 n + l ,
6n )
= 2
2
[V~ + (ддр
V v)
~p~] . n 2
2
\1"-1
V" cos (6 n_ l , 6n ) +
О (!1р').
V n + 1 V" cos (6 n + J • оп) = V"_I V n cos (6'1_1' О") -~
!J.P
- 2 [ pn
-
!1Р3 ]
(дЗ V ~)
др з V n 3!
+
о (!1р5)
или
Vn+1V"COS(On+I,6n)=2
r
2
м; - 1 Vn2(дО)
2\ -2-f!1р2'
д
{Vn + '--2Г-LpnVn
,Р n
+ О (!1р<);
- V n - 1 V n cos (On_l' 6,,)
Vn + 1 V n
соs(б n + 1 , оп) =
Рn Vn \ Р n
РIl
+ 3 V; (~~) (д 6)
2
др
I!РОИЗВОДНЫХ
(On_l' Оn)-
!1р + [ __ -2~ {~M)2 + -i-т (M~ -- 1) (2M~ -- 3)1
-- 2 {
Соотношения (7),
нию узлах (n-l,
V n_ 1 V n cos
(7)
(8)·
n др 2 n
Рn Vn
_~ (~)2] !13!РЗ } -j
Рn
др
О (!1р5).
(8)
11
ИСПО,1ЬЗУЮТ
на
n, n+ 1)
б)
,(д
( -дО)
др n
др
2
2
значения параметров в раВIIООТСТОНЩИХ по давле­
линии тока, а для конечно-разностной аппроксимации
применяются
централыше
разности.
Форму,lЬ!
(7), (8)
11
"'ффективны для пошаГОЕОГО продвижения решения вдоль линии тока (поверхности
тела) не нулевой кривизны. Они были использованы для определения даВ,j!ения
на
поверхности
сферы,
цилиндра,
эллипсоида
вращения
с
полуосями
а = 2Ь = 2с.
В качестве начальных данных задавались
8_1=8
(ро-/!"р) ,
80=8
('ро) и
6,=6 (Ро+/!"р) ,
Здесь давление ро соответствует сферическому (полярному)
углу 0=200, и /!"р­
выбранный шаг продвижения решения вдоль линии тока. При этом для сферы и ци­
линдра использованы данные работы [1], а в случае эллипсоида проведена параболи­
"еская
аппроксимация
таблиц
[2] в окрестности критической точки. Значения
Н 2 =0 (ро+2/!"р) , ... , Оn=О (ро+n/!"р) , ... получены с помощью (7), (8). Был реали­
зован следующий простейший алгоритм. При местных числах М.< 1 применялась фор2
2
~'Ула (8) с тем изменением, что вместо • -д' ИСПОJIьзовались д,,
др n
р2 n
р n-!
др2 n-l
т. е. ошибка lIа одном шаге возрастала до О (,'\р4). При местных числах М> 1 на шаге
предиктор применялась формула (7), которая сводилась к решению квадратного урав­
( дв ')
(д О)
(дО)
нения Д,1Я неизвестной ~01l=Оn+1-01l' а на шаге корректор-формула
IIO,
(д б
)
(8). Очевид­
что возможны И другие подходы к применению данных соотношений.
На рис. 1 приведены результаты работ [1, 2], причем сплошная линия соответ­
ствует сфере, пунктирная - цилиндру, штрихпунктирная - эллипсоиду. Здесь же кру­
жочками обозначены значения давления, полученные по
(7), (8). Потенциальность
обтекания при М=
<1
заранее не предполагалась. Сравнение результатов
свидетель­
ствует о хорошей точности представленных соотношений.
3. Пусть известна зависимость р= р (О) дЛЯ некоторой линии тока неНУJlевой
кривизны. Тогда можно предполагать, что эта же зависимость должна быть справед­
,пива на любой другой линии тока, имеющей с данной общую начальную часть и со­
пряжение достаточной степени гладкости.
Так, например, на рис. 2 изображено семейство осесимметричных тел, получен­
ных
путем
сопряжения
без
разрыва
кривизны
сферы
с
параболоидом
вращения.
Здесь же даны условные знаки для обозначения давления на графиках. Зависимости
р=р(8) заметно отличаются друг от друга, тем не менее зависимость в виде р=р(О)
хорошо описыв~еТСil ОДНQЙ КрИ130Й Д/!iI KQHKpeTIIQrQ ЧЩJ1'-1
!j набега!Ощем ПОто­
!\е (рис, 3),
MQ\J
141
Рис.
I
70·
60·
Рис.
!43
2
в'
Рис.
-JQ'
4
е
РИС,
Q
143
На рис.
лом,
4
даны контуры трех осесимметричных тел с общим сферическим нача­
переходящим
в участки, где зависимость цилиндрического
радиуса
от
координаты задана в виде экспонент и, наконец, параболическими участками.
сопряжение
Здесь
имеет
гладкость
также
приведены
третьего
порядка,
условные
-
второе
обозначения.
без
разрыва
Линейные
осевой
Первое
КРИВИЗНЫ.
размеры
отнесены
к радиусу затупления сферы. Как показано на рис. 5, зависимость в виде р= р
всех тел практически одна и та же, тогда как кривые р=р (г) существенно
для
разли­
(8)
чаются.
4.
Введенная в п.
вдоль линии тока т.
Кроме того,
скорости
V
замена координат
1
невырождена, если
дав<~ение переменно
е.
ИЗ.~оженное
дО
~ О, или
неприменимо в тех
д6
др ~ О, или
др -+
оБJIaСТЯХ течения
газа, где
модуль
=.
Таким образом, получены формулы, связывающие разные точки на плоском или
осесимметричном теле (линии тока) и позволяющие определить на его поверхности
давление
и
другие
Отметим,
ра:четов
по
параметры
что
течения
применение
сравнению
с
газа.
данных
известными
соотношений
методами
типа
значите.%НО
повышает точность
«касательных
клиньев»,
тельных конусов» И другими приближенными
подходами, устанавливающими
ветствие между давлением и местным углом наклона линии тока. При
этом
расчета
затрат
составляет несколько
памяти
секунд дЛЯ
ЭВМ
типа
БЭСМ-6 и
не
требует
«каса­
соот­
время
больших
машины.
ЛИТЕРАТУРА
П о к р о в с к ий А.
1.
мости
при
для определения
произвольном
МЖГ.
-
1985,
N~
Н.,
Ф Р о л о в
давления
числе
Маха
на
Л.
Г.
поверхности
набегающего
Приб,lиженные
сферы
ИJШ
потока/ /Изв.
зависи­
цилиндра
АН
СССР.
2.
2. Л ю б и м о в А. Н., Р У с а н о в В. В. Течения газа око~1O тупых
М.: Наука, 1970, т. 2
3. С е д о в Л. И. Плоские задачи гидродииамики и аэродинамики.­
М.: Наука, 1966.
4. Р о ж Д е с т в е н с к и й Б. Л., Я н е н к о Н. Н. Системы квазили­
нейных уравнений и их приложения к газовой динамике. - М.: Наука,
1968.
5. Д у л о в В. Г., Р У Д а к о в А. И. Пространственные сверхзвуко­
Te:l. -
вые течения на больших расстояниях от тела конечного Объема/ /СО АН
СССР. ПМТФ. - 1976, N~ 3.
6. Д У л о в В. Г. О некоторых
дач
оптимизации
IfМТф. - 1976, N~
в
гиперзвуковой
постановках
пространственных за­
аэродинамике/ /СО
АН
Рукопись поступила
144
СССР.
5.
23/1 1991
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
197 Кб
Теги
зависимости, давления, плоского, тела, определение, осесимметричных, некоторые, поверхности
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа