close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О некоторых семействах комплексных прямых достаточных для голоморфного продолжения функций.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2011, № 4, c. 72–80
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421100123 \0035
А.М. КЫТМАНОВ, С.Г. МЫСЛИВЕЦ
О НЕКОТОРЫХ СЕМЕЙСТВАХ КОМПЛЕКСНЫХ ПРЯМЫХ,
ДОСТАТОЧНЫХ ДЛЯ ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Аннотация. Эта статья содержит некоторые результаты, связанные с голоморфным продолжением функций, заданных на границе ограниченной области, в эту область. Речь пойдет о
функциях, удовлетворяющих условию Морера.
Ключевые слова: голоморфное продолжение, условие Морера, интеграл Бохнера–Мартинелли.
УДК: 517.55
Abstract. The paper is devoted to some results connected with the generalized boundary Morera
property of holomorphic continuations of functions given on the boundary of a bounded domain.
Keywords: holomorphic continuation, Morera condition, Bochner–Martinelli integral.
Пусть D ⊂ Cn (n > 1) — ограниченная область со связной гладкой границей ∂D класса C 2 .
Рассмотрим комплексные прямые
lz,b = {ζ ∈ Cn : ζj = zj + bj t, j = 1, . . . , n, t ∈ C},
(1)
проходящие через точку z ∈ Cn в направлении вектора b = {b1 , . . . , bn } ∈ CPn−1 (направление b определяется с точностью до умножения на комплексное число λ = 0).
По теореме Сарда для почти всех z ∈ Cn и почти всех b ∈ CPn−1 пересечение ∂D ∩
lz,b представляет собой набор конечного числа кусочно-гладких кривых (за исключением
вырожденного случая, когда ∂D ∩ lz,b = ∅).
В работе [1] доказан следующий граничный аналог теоремы Морера.
Теорема 1 (Й. Глобевник, Э.Л. Стаут). Пусть функция f ∈ C(∂D) непрерывна на границе
области D и для почти всех z ∈ Cn и почти всех b ∈ CPn−1 выполняется
f (z1 + b1 t, . . . , zn + bn t) dt = 0,
(2)
∂D∩lz,b
тогда функция f голоморфно продолжается в область D до функции F ∈ C(D). (Если
∂D ∩ lz,b = ∅, то интеграл в (2) считается равным нулю.)
Заметим, что без условия связности границы области теорема 1, очевидно, неверна.
Поступила 28.09.2009
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты 08-01-00844 и 08-01-90250.
72
О НЕКОТОРЫХ СЕМЕЙСТВАХ КОМПЛЕКСНЫХ ПРЯМЫХ
73
В этой же работе [1] была поставлена задача о нахождении достаточных семейств комплексных прямых L = {lz,b }, для которых из условия (2) для lz,b ∈ L следует голоморфная
продолжимость функции f в область D. Например, является ли таким достаточным семейством множество LV прямых lz,b , пересекающих некоторое открытое множество V ⊂ D
(V ⊂ Cn \ D)?
В работах [2], [3] на этот вопрос был дан положительный ответ. Сформулируем этот
результат.
Теорема 2 (А.М. Кытманов, С.Г. Мысливец). Пусть для фиксированного m и функции
f ∈ C(∂D) выполнено условие
f (z1 + b1 t, . . . , zn + bn t)tm dt = 0
∂D∩lz,b
для почти всех прямых lz,b вида (1), пересекающих открытое множество V ⊂ D (либо
открытое множество V ⊂ Cn \ D). Тогда функция f голоморфно продолжается в область D.
При m = 0 теорема 2 была доказана М.Л. Аграновским и А.М. Семеновым в работе [2].
С данной проблемой близка проблема о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения. Функция f ∈ C(∂D) обладает одномерным свойством голоморфного
продолжения вдоль комплексной прямой l (l ∩ ∂D = ∅), если существует функция fl со
следующими свойствами:
a) fl ∈ C(D ∩ l),
b) fl = f на множестве ∂D ∩ l,
c) функция fl голоморфна во внутренних (относительно топологии l) точках множества
D ∩ l.
Условие одномерного голоморфного продолжения является более сильным, чем условие
Морера. Обзор по этой тематике можно найти в [4].
В данной работе рассматриваем в качестве достаточного множества множество комплексных прямых, пересекающих росток вещественно аналитического многообразия вещественной размерности (2n − 2).
Как показано в [5], семейство комплексных прямых L, проходящих через любое конечное множество точек, не является достаточным для голоморфного продолжения как для
функций с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль этого семейства, так
и тем более для функций со свойством Морера.
Приведем пример, принадлежащий Й. Глобевнику, показывающий, что существуют многообразия такие, что семейство комплексных прямых, проходящих через них, также не
является достаточным для голоморфного продолжения.
Пусть B = {(z, w) ∈ C2 : |z|2 + |w|2 < 1} — единичный шар в C2 . Рассмотрим функцию f (z, w) = z 2 /z на границе шара. Очевидно, f ∈ C(∂B). Обозначим через L семейство
комплексных прямых, пересекающих множество Γ = {(0, w) : |w| < 1}, т. е. часть комплексной прямой {z = 0}, лежащую в шаре. Покажем, что функция f обладает одномерным
свойством голоморфного продолжения вдоль прямых из L.
Действительно, произвольную прямую l из L можно записать в виде
z = at,
w = w0 + bt,
|w0 | < 1.
74
А.М. КЫТМАНОВ, С.Г. МЫСЛИВЕЦ
Тогда на сфере ∂B выполняется соотношение
(|a|2 + |b|2 )tt + w0 b t + w 0 bt − 1 + |w0 |2 = 0.
(3)
Поэтому на ∂B
t=
1 − |w0 |2 − w0 bt
.
(|a|2 + |b|2 )t + w0 b
При b = 0
t=
1 − |w0 |2
.
|a|2 t
Тогда функция f на ∂B ∩ l примет вид
f=
at2 ((|a|2 + |b|2 )t + w0 b)
,
1 − |w0 |2 − w 0 bt
а при b = 0
f=
at3 |a|2
.
1 − |w0 |2
Покажем, что эти функции голоморфны в B ∩ l. Для b = 0 это очевидно. При b = 0 особой
точкой функции f будет
1 − |w0 |2
.
t0 =
w0 b
Подставляя эту точку в левую часть уравнения (3), получим
(|a|2 + |b|2 )
(1 − |w0 |2 )2
+ 1 − |w0 |2 > 0,
|w0 b|2
поэтому точка прямой l, соответствующая t0 , лежит вне шара B.
Следовательно, функция f обладает свойством одномерного голоморфного продолжения
вдоль всех прямых l ∈ L (и значит, свойством Морера), но она не продолжается голоморфно
в B, так как не является CR-функцией на ∂B.
Покажем, что для вещественно аналитических функций такая ситуация невозможна.
Случай вещественно аналитических функций f и вещественно аналитических границ
рассматривался в работе М. Аграновского [6], но с нашими результатами его результаты не
пересекаются.
Пусть D ⊂ Cn (n > 1) — ограниченная область со связной вещественно аналитической
границей вида
D = {z ∈ Cn : ρ(z) < 0},
где ρ(z) — вещественно аналитическая, вещественнозначная функция в окрестности множества D такая, что dρ∂D = 0. Отождествим Cn с R2n : z = (z1 , . . . , zn ), где zj = xj + iyj ,
xj , yj ∈ R, j = 1, . . . , n.
Пусть Γ — росток вещественно аналитического многообразия вещественной размерности
(2n − 2). Будем считать, что 0 ∈ Γ и в некоторой окрестности нуля многообразие Γ имеет
вид
Γ = {ζ ∈ Cn : Φ(ζ) + iΨ(ζ) = 0},
О НЕКОТОРЫХ СЕМЕЙСТВАХ КОМПЛЕКСНЫХ ПРЯМЫХ
75
где Φ, Ψ — вещественно аналитические функции в окрестности точки нуль. Здесь ζ =
(ζ1 , . . . , ζn ) и ζj = ξj + iηj , ξj , ηj ∈ R, j = 1, . . . , n. Условие гладкости многообразия Γ
заключается в том, что
⎛
∂Φ
⎜ ∂ξ1
rang A = rang ⎜
⎝ ∂Ψ
∂ξ1
...
...
∂Φ
∂ξn
∂Ψ
∂ξn
∂Φ
∂η1
∂Ψ
∂η1
...
...
⎞
∂Φ
∂ηn ⎟
⎟=2
∂Ψ ⎠
∂ηn
в каждой точке ζ ∈ Γ.
Рассмотрим комплексные прямые вида (1), положим bj = cj + idj , cj , dj ∈ R, j = 1, . . . , n,
и t = u + iv, u, v ∈ R. Тогда в вещественных координатах прямые lz,b будут задаваться
следующим образом:
lz,b = {ξ, η ∈ Rn : ξj = xj + cj u − dj v, ηj = yj + dj u + cj v, j = 1, . . . , n}.
(4)
Лемма 1. Пусть вектор b0 = (b01 , . . . , b0n ) ∈ CPn−1 такой, что D ∩ l0,b0 = ∅. Тогда существует ε > 0, при котором для всех z таких, что |z| < ε, и для всех b таких, что
|b − b0 | < ε, пересечение D ∩ lz,b = ∅.
Доказательство. Пересечение Γ ∩ lz,b задается системой уравнений
ϕz,b (u, v) = Φ(ξ1 , . . . , ξn , η1 , . . . , ηn ) = 0,
ψz,b (u, v) = Ψ(ξ1 , . . . , ξn , η1 , . . . , ηn ) = 0,
где ξj и ηj задаются равенствами (4).
Можно считать, что вектор b0 выбран так, что определитель
∂ϕ0,b0
∂u
|J| = ∂ψ0,b0
∂u
∂ϕ0,b0 ∂v (0, 0) = 0.
∂ψ0,b0 ∂v
Действительно, поскольку
n
n
∂ϕ0,b0
∂Φ
∂Φ
=
cj +
dj ,
∂u
∂ξj
∂ηj
j=1
∂ϕ0,b0
=−
∂v
∂ψ0,b0
=
∂u
j=1
n
j=1
n
j=1
∂ψ0,b0
=−
∂v
∂Φ
∂Φ
dj +
cj ,
∂ξj
∂ηj
n
∂Ψ
cj +
∂ξj
n
j=1
j=1
n
j=1
∂Ψ
dj ,
∂ηj
∂Ψ
∂Ψ
dj +
cj ,
∂ξj
∂ηj
n
j=1
(5)
76
А.М. КЫТМАНОВ, С.Г. МЫСЛИВЕЦ
то определитель (5) равен
n
n ∂Φ
n ∂Φ
n ∂Φ
∂Φ
cj +
dj −
dj +
cj j=1 ∂ξj
∂η
∂ξ
∂η
j
j
j
j=1
j=1
j=1
|J| = n
=
n
n
n
∂Ψ
∂Ψ
∂Ψ ∂Ψ
j=1 ∂ξj cj + j=1 ∂ηj dj − j=1 ∂ξj dj + j=1 ∂ηj cj ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ
⎛
⎜
∂ξj ∂ξk ∂ξj ∂ηk ∂ηj
⎜
d
c
d
−c
+
c
−
d
=
j
j
j
j
k
k
∂Ψ ∂Φ ∂Ψ ∂Φ ∂Ψ
⎝
j,k
∂ξj ∂ξk
∂ξj ∂ηk
∂ηj
∂Φ
∂Φ ∂η
∂ξk
+ dj ck j
∂Ψ
∂Φ ∂ξk
∂ηj
∂Φ ⎞
∂ηk ⎟
⎟ . (6)
∂Φ ⎠
∂ηk
Предположим, что выражение (6) равно нулю для всех b таких, что D ∩ l0,b = ∅ и множество таких b является открытым множеством в CPn−1 . Тогда выражение (6) тождественно равно нулю, так как оно является вещественно аналитической функцией относительно
bj = cj +idj . Без ограничения общности можем считать, что b1 = 1+i0. Поэтому выражение
(6) примет вид
⎞
⎛
∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ n
⎜
∂ξ1 ∂ξk ∂ξ1 ∂ηk ⎟
∂ξ1 ∂η1 ⎜
⎟
|J| = +
⎝−dk ∂Ψ ∂Ψ + ck ∂Ψ ∂Ψ ⎠ +
∂Ψ
∂Ψ
k=2
∂ξ1 ∂η1
∂ξ1 ∂ξk
∂ξ1 ∂ηk
∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ⎞
⎛
n
⎜
∂ξj ∂ξk ∂ξj ∂ηk ∂ηj ∂ξk ∂ηj ∂ηk ⎟
⎜
⎟
+
⎝−cj dk ∂Ψ ∂Ψ + cj ck ∂Ψ ∂Ψ − dj dk ∂Ψ ∂Ψ + dj ck ∂Ψ ∂Ψ ⎠ ≡ 0.
j,k=2
∂ξj ∂ξk
∂ξj ∂ηk
∂ηj ∂ξk
∂ηj ∂ηk
Следовательно, определители всех миноров второго порядка матрицы A равны нулю, что
противоречит гладкости Γ в точке 0. Тем самым существует вектор b0 такой, что |J| = 0 и
прямая l0,b0 ∩ D = ∅.
Лемма 2. Пусть для некоторого z и для всех ζ, b таких, что D ∩ lz,b = ∅, функция ρ,
задающая область D, удовлетворяет условиям
n
∂ρ
bj = 0,
(7)
∂ζj
j=1
тогда кривые ∂D ∩ lz,b являются гладкими и аналитически зависят от параметра b.
Доказательство. Рассмотрим функцию ρz,b (t) = ρ(z1 + b1 t, . . . , zn + bn t), тогда
∂ρ ∂ρ
∂ρ ∂ρ
=
,
,
.
grad ρz,b (t) =
∂t ∂t
∂t ∂t
Поэтому grad ρz,b (t) = 0 тогда и только тогда, когда ∂ρ
∂t = 0. Следовательно, условие глад=
0,
поскольку
кости кривой D ∩ lz,b эквивалентно условию ∂ρ
∂t
∂ρ ∂ρ
=
bj = 0,
∂t
∂ζj
n
j=1
то лемма доказана.
О НЕКОТОРЫХ СЕМЕЙСТВАХ КОМПЛЕКСНЫХ ПРЯМЫХ
77
Условиям леммы 2, например, удовлетворяют сильно звездные относительно точки z ∈ D,
строго выпуклые, строго линейно выпуклые области в Cn .
Обозначим через A(∂D) класс вещественно аналитических функций на границе области D.
Теорема 3. Пусть область D ⊂ Cn удовлетворяет условиям (7) для точек z, лежащих в окрестности многообразия Γ такого, что Γ ∩ ∂D = ∅. Пусть функция f ∈ A(∂D)
удовлетворяет обобщенным условиям Морера, т. е.
f (z1 + b1 t, . . . , zn + bn t)tm dt = 0
(8)
∂D∩lz,b
для любых z ∈ Γ, b ∈ CPn−1 и фиксированного целого неотрицательного числа m, тогда
функция f голоморфно продолжается в область D.
Доказательство. Введем ядро Бохнера–Мартинелли
ζ − zk
(n − 1)! (−1)k−1 k
dζ[k] ∧ dζ,
U (ζ, z) =
(2πi)n
|ζ − z|2n
n
k=1
где dζ = dζ1 ∧ · · · ∧ dζn , а dζ[k] получается из dζ вычеркиванием дифференциала dζ k .
Известно [7], что в координатах b и t ядро U (ζ, z) имеет вид
U (ζ, z) = λ(b) ∧
dt
,
t
(9)
где λ(b) — дифференциальная форма типа (n − 1, n − 1) в CPn−1 , не зависящая от t, а точка
z∈
/ ∂D.
Рассмотрим интеграл
(ζ − z)α f (ζ)U (ζ, z),
Fα (z) =
∂Dζ
где α = (α1 , . . . , αn ) —произвольный мультииндекс такой, что α = α1 + · · · + αn = m + 1
и (ζ − z)α = (ζ1 − z1 )α1 · . . . · (ζn − zn )αn . Из теоремы Фубини и представления (9) получим
α
b λ(b)
f (z1 + b1 t, . . . , zn + bn t)tm dt.
Fα (z) =
CPn−1
∂D∩lz,b
По условиям теоремы 3 и леммы 1 имеем
f (z1 + b1 t, . . . , zn + bn t)tm dt = 0
∂D∩lz,b
для всех z с достаточно малым |z| и b, близких к b0 . Поскольку по лемме 2 и условиям
теоремы 3 этот интеграл является вещественно аналитической функцией от b, то он равен
нулю тождественно. Следовательно,
(ζ − z)α f (ζ)U (ζ, z) ≡ 0
(10)
Fα (z) =
∂Dζ
для всех z таких, что |z| < ε.
78
А.М. КЫТМАНОВ, С.Г. МЫСЛИВЕЦ
Перепишем функцию Fα (z) в другом виде. Введем дифференциальные формы Us (ζ, z)
([8], а также [7]):
(−1)s (n − 2)!
Us (ζ, z) =
(2πi)n
s−1
(−1)j
ζ j − zj
dζ[j, s]+
|ζ − z|2n−2
j=1
+
n
j−1
(−1)
j=s+1
Легко проверить, что
ζ j − zj
dζ[s, j] ∧ dζ.
|ζ − z|2n−2
1
∂
Us (ζ, z) = U (ζ, z)
ζs − zs
zs , s = 1, . . . , n. Тогда условие (10) можно переписать в виде
при ζs =
f (ζ)∂ (ζ − z)β Us (ζ, z) ≡ 0
(11)
∂Dζ
для z таких, что |z| < ε, и для всех мономов (ζ − z)β с β = m.
Покажем, что условие (11) выполнено и для мономов (ζ − z)γ с γ < m. Действительно,
рассмотрим такой моном (ζ − z)γ c γ = m − 1. Тогда условие (11) выполнено для мономов
вида
(ζ − z)β (ζk − zk ), k = 1, . . . , n,
так как степень этих мономов равна m.
Справедливо равенство
∂
((ζ − z)γ (ζk − zk )Us (ζ, z)) = (γk + 1)(ζ − z)γ Us (ζ, z)−
∂ζk
− (n − 1)(ζ − z)γ
(ζk − zk )(ζ k − z k )
Us (ζ, z). (12)
|ζ − z|2
Складывая равенства (12) по k, получим
n
∂
((ζ − z)γ (ζk − zk )Us (ζ, z)) = (γ + 1)(ζ − z)γ Us (ζ, z).
∂ζk
(13)
k=1
Поскольку условие (11) можно дифференцировать по z при |z| < ε, а производные по z и
ζ выражения (13) отличаются только знаком, то из (13) следует, что степень монома в (11)
можно уменьшить на единицу. Уменьшая последовательно эту степень, придем к условиям
f (ζ)∂Us (ζ, z) ≡ 0
∂Dζ
для |z| < ε и s = 1, . . . , n, т. е.
(ζs − zs )f (ζ)U (ζ, z) ≡ 0
∂Dζ
для |z| < ε и s = 1, . . . , n.
Применяя к левой части равенства (14) оператор Лапласа
=
∂2
∂2
+ ··· +
,
∂z1 ∂z 1
∂zn ∂z n
(14)
О НЕКОТОРЫХ СЕМЕЙСТВАХ КОМПЛЕКСНЫХ ПРЯМЫХ
получим
∂
∂z s
79
f (ζ)U (ζ, z) ≡ 0
∂Dζ
для |z| < ε и s = 1, . . . , n.
Здесь воспользовались гармоничностью ядра U (ζ, z) и тождеством
(gh) = h g + g h +
n
n
∂g ∂h ∂g ∂h
+
.
∂z j ∂zj
∂zj ∂z j
j=1
j=1
Следовательно, интеграл Бохнера-Мартинелли от f
f (ζ)U (ζ, z)
F (z) = F(0,...,0) (z) =
∂Dζ
является функцией, голоморфной в окрестности нуля.
Если Γ ⊂ Cn \ D, то F (z) ≡ 0 вне D, и тогда функция f голоморфно продолжается в
область D [7].
Если Γ ⊂ D, то функция F голоморфна в D и граничные значения F совпадают с f
[7].
При m = 0 условия (8) превращаются в граничное условие Морера [1]
f (z1 + b1 t, . . . , zn + bn t) dt = 0.
(15)
∂D∩lz,b
Следствие 1. Пусть область D удовлетворяет условиям теоремы 3, а функция f ∈ A(∂D)
удовлетворяет условию (15) для любых z ∈ Γ и b ∈ CPn−1 , тогда f голоморфно продолжается в D.
Следствие 2. Пусть область D удовлетворяет условиям теоремы 3, а функция f ∈ A(∂D)
обладает одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль комплексных прямых,
пересекающих Γ, тогда f голоморфно продолжается в D.
Литература
[1] Globevnik J., Stout E.L. Boundary Morera theorems for holomorphic functions of several complex variables,
Duke Math. J. 64 (3), 571–615 (1991).
[2] Аграновский М.Л., Семенов А.М. Граничные аналоги теоремы Гартогса, Сиб. матем. журн. 32 (1),
168–170 (1991).
[3] Кытманов А.М., Мысливец С.Г. Об одном граничном аналоге теоремы Морера, Сиб. матем. журн. 36
(6), 1350–1353 (1995).
[4] Kytmanov A.M., Myslivets S.G. Higher-dimensional boundary analogs of the Morera theorem in problems of
analytic continuation of functions, J. Math. Sci. 120 (6), 1842–1867 (2004).
[5] Кытманов А.М., Мысливец С.Г. О семействах комплексных прямых, достаточных для голоморфного
продолжения, Матем. заметки 83 (4), 545–551 (2008).
[6] Agranovsky M. Propagation of boundary CR foliations and Morera type theorems for manifolds with attached
analytic discs, Adv. Math. 211, 284–326 (2007).
[7] Кытманов А.М. Интеграл Бохнера–Мартинелли и его применения (Наука, Новосибирск, 1992).
[8] Martinelli E. Sopra una dimonstrazione de R. Fueter per un theorema Hartogs, Comment. Math. Helv. 15,
340–349 (1943).
80
А.М. КЫТМАНОВ, С.Г. МЫСЛИВЕЦ
А.М. Кытманов
профессор, директор Института математики, Сибирский федеральный университет,
пр. Свободный, д. 79, Красноярск, 660041,
e-mail: kytmanov@lan.krasu.ru
С.Г. Мысливец
профессор, кафедра высшей математики,
Сибирский федеральный университет,
пр. Свободный, д. 79, Красноярск, 660041,
e-mail: simona@lan.krasu.ru
A.M. Kytmanov
Professor, Director of Institute of Mathematics, Siberian Federal University,
79 Svobodnyi Ave., Krasnoyarsk, 660041 Russia,
e-mail: kytmanov@lan.krasu.ru
S.G. Myslivets
Professor, Chair of Higher Mathematics,
Siberian Federal University,
79 Svobodnyi Ave., Krasnoyarsk, 660041 Russia,
e-mail: simona@lan.krasu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
179 Кб
Теги
достаточно, продолжение, комплексная, функции, голоморфном, некоторые, прямые, семейство
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа