close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О нелинейном интегральном уравнении первого рода.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 11 (462)
УДК 517.968
А.М. ДЕНИСОВ, А. ЛОРЕНЦИ
О НЕЛИНЕЙНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ ПЕРВОГО РОДА
Работа посвящена исследованию одного нелинейного интегрального уравнения первого рода. Хорошо известно, что к интегральным уравнениям первого рода сводятся многие обратные
задачи для дифференциальных уравнений (напр., [1], [2]). При исследовании обратных коэффициентных задач для нелинейных дифференциальных уравнений возникают интегральные уравнения первого рода относительно неизвестной функции, аргументом которой является заданная
функция двух переменных [3]. Линейные интегральные уравнения такого типа были изучены
в [4]. В данной работе доказывается существование и единственность решения нелинейного интегрального уравнения первого рода, в котором аргумент неизвестной функции представляет
собой заданную функцию двух переменных.
Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение
Z
l
K (x; t; '(u(x; t))) dx = f (t);
где функции K (x; t; s), u(x; t) заданы, а '(z ) неизвестна.
0
t 2 [0; T ];
(1)
Предположим, что
u; ux; ut; uxt; uxx 2 C ([0; l] [0; T ]);
u(x; 0) = 0; uxt(x; 0) > 0; x 2 [0; l];
ux(x; t) > 0; ut(x; t) const > 0; x 2 [0; l]; t 2 (0; T ];
и функция uxx(x; t)[ux (x; t)]; может быть продолжена так, что
uxx(x; t)[ux (x; t)]; 2 C ([0; l] [0; T ]):
(2)
(3)
(4)
1
1
Далее предполагаем, что
f 2 C ([0; T ]);
1
(5)
(6)
а функция K (x; t; s) удовлетворяет следующим условиям для любых x 2 [0; l], t 2 [0; T ], s1 ; s2 2
R:
K; Kx; Kt 2 C ([0; l] [0; T ] R);
(7)
jK (x; t; s1 ) ; K (x; t; s2)j k1 (x; t)js1 ; s2j;
(8)
jKx(x; t; s1 ) ; Kx(x; t; s2)j k2 (x; t)js1 ; s2j;
(9)
jKt (x; t; s1 ) ; Kt (x; t; s2 )j k3 (x; t)js1 ; s2j;
(10)
где ki 2 C ([0; l] [0; T ]) (i = 1; 2; 3). Кроме того, уравнение
Z
имеет решение s0 2 R.
l
0
K (x; 0; s) dx = f (0)
(11)
Работа выполнена при частичной поддержке Итальянского министерства научных и технологических
исследований и Российского фонда фундаментальных исследований (проект 96-15-96181).
34
Замечание. Из уравнения (1) следует, что значение '(0) любого непрерывного решения
этого уравнения удовлетворяет условию
Z
l
0
K (x; 0; '(0)) dx = f (0):
(12)
Из условия (4) следует, что для любого t 2 (0; T ] существует функция y(z; t), обратная к
u(x; t), т. е. y(u(x; t); t) = x. Сделав замену переменной z = u(x; t) в интегральном уравнении (1),
получим
Z
u(l;t)
u(0;t)
K (y(z; t); t; '(z))[ux (y(z; t); t)]; dz = f (t); t 2 (0; T ]:
1
(13)
Важно отметить, что функция (ux (y(z; t); t));1 имеет особенность при t = 0. Линейные интегральные уравнения первого рода с двумя переменными пределами интегрирования и ядром
регулярным при t = 0 изучались в [5], [6].
Докажем теорему существования и единственности решения уравнения (1) для достаточно
малых значений t. Введем функции
(x; t) = ut(x; t)ux (l; t)[ut (l; t)ux (x; t)]; ;
u
u
u
xt (l; t)
x (l; t) uxx (x; t)ut (x; t)
xt (x; t)
(x; t) = u (l; t) + u (x; t) u (l; t)u (x; t) ; u (l; t) :
(14)
1
t
Теорема 1.
t 2 [0; T ]
C ([0; T ] R),
любого
x
t
x
(15)
t
Пусть выполнены условия (2){(11). Предположим, что функция K (l; t; s) для
имеет обратную функцию G(t; z ) (т. е. G(t; K (l; t; s)) = s) такую, что G 2
jG(t; z ) ; G(t; z )j g(t)jz ; z j 8t 2 [0; T ]; 8z ; z 2 R;
1
где
2
1
2
1
2
(16)
g 2 C ([0; T ]), и
Z
l
q = g(0) k (0; 0)(0; 0) + (k (x; 0)(x; 0) + k (x; 0)j (x; 0)j) dx < 1:
1
0
2
1
Тогда существует T0 2 (0; T ] такое, что уравнение
решение ' 2 C ([0; u(l; T0 )]).
(17)
(1) имеет для t 2 [0; T0 ] единственное
Доказательство. Пусть уравнение (1) имеет решение такое, что ' 2 C ([0; u(l; T )]). Тогда
для t 2 (0; T ] функция ' является решением уравнения (13). Умножив (13) на ux (l; t), получим
Z
u(l;t)
u(0;t)
K (y(z; t); t; '(z))ux (l; t)[ux (y(z; t); t)]; dz = f (t)ux(l; t); t 2 (0; T ]:
1
Дифференцируя (18), получим следующее интегро-функциональное уравнение:
K (l; t; '(u(l; t)))ut (l; t) ; K (0; t; '(u(0; t)))ux (l; t)ut (0; t)[ux (0; t)]; ;
1
35
(18)
;
Z
u(l;t)
u(0;t)
+
Kx(y(z; t); t; '(z))ux (l; t)ut (y(z; t); t)[ux (y(z; t); t)]; dz +
2
Z
Z
u(l;t)
Kt(y(z; t); t; '(z))ux (l; t)[ux (y(z; t); t)]; dz +
1
u(0;t)
u(l;t)
K (y(z; t); t; '(z))uxt (l; t)[ux (y(z; t); t)]; dz +
u ;t
Z u l;t
+
K (y(z; t); t; '(z)) [u (uyx(z;(l;tt)); t)] u ;t
x
u
(
y
(
z;
t
)
;
t
)
u
(
y
(
z;
t
)
;
t
)
xx
t
; uxt(y(z; t); t) dz = f 0(t)ux(l; t) + f (t)uxt(l; t): (19)
u (y(z; t); t)
+
1
(0 )
(
)
2
(0 )
x
Любое решение уравнения (19) такое, что ' 2 C ([0; u(l; T )]), удовлетворяет уравнению (18),
в котором правая часть заменена на f (t)ux (l; t) + c, где c | некоторая постоянная. Сделав в
интеграле обратную замену переменных z = u(x; t), получим уравнение
Z
l
0
K (x; t; '(u(x; t))) dx ; f (t) = c[ux (l; t)]; ; t 2 (0; T ]:
1
(20)
Переходя в (20) к пределу при t ! 0+ и учитывая условие (3), получим c = 0. Следовательно, функция ' является решением уравнений (18) и (1). Таким образом, уравнения (1) и (19)
эквивалентны.
Сделав в интегралах, входящих в левую часть (19), замену переменной z = u(x; t), поделив
обе части этого уравнения на ut (l; t) и использовав обозначения (14),(15), получим интегрофункциональное уравнение, эквивалентное (19)
K (l; t; '(u(l; t))) ; K (0; t; '(u(0; t)))(0; t) ;
+
Z
l
0
Z
l
0
Kx(x; t; '(u(x; t)))(x; t) dx +
Kt (x; t; '(u(x; t)))ux (l; t)[ut (l; t)]; dx +
1
+
Z
l
0
K (x; t; '(u(x; t))) (x; t) dx = F (t); t 2 (0; T ]; (21)
где
F (t) = [f 0(t)ux(l; t) + f (t)uxt(l; t)][ut (l; t)]; :
(22)
1
Введя новую переменную = u(l; t), можем переписать (21) следующим образом:
K (l; ( ); '( )) = K (0; ( ); '(u(0; ( ))))(0; ( )) +
;
+
Z
l
0
;
Z
l
0
Kx(x; ( ); '(u(x; ( ))))(x; ( )) dx ;
Kt (x; ( ); '(u(x; ( ))))ux (l; ( ))[ut (l; ( ))]; dx ;
1
Z
0
l
K (x; ( ); '(u(x; ( )))) (x; ( )) dx + F ( ( )); 2 (0; u(l; T )]; (23)
где ( ) | функция, обратная к функции u(l; t).
36
Определим в пространстве C ([0; u(l; T )]) нелинейный оператор A следующим образом:
A' = G ( ); K (0; ( ); '(u(0; ( ))))(0; ( )) +
+
Z
;
l
0
;
Z
Z
l
0
Kx(x; ( ); '(u(x; ( ))))(x; ( )) dx ;
Kt (x; ( ); '(u(x; ( ))))ux (l; ( ))[ut (l; ( ))]; dx ;
1
l
0
K (x; ( ); '(u(x; ( )))) (x; ( )) dx + F ( ( )) ; 2 [0; u(l; T )]: (24)
Пусть постоянная T0 2 (0; T ].Рассмотрим в пространстве C ([0; u(l; T0 )]) нелинейное операторное
уравнение
' = A':
(25)
Из условий (2){(7) и непрерывности функции G следует, что оператор A отображает C ([0; u(l; T0 )])
в себя. Докажем теперь, что оператор A является сжимающим при достаточно малом T0 . Для
любой пары функций '1 ; '2 2 C ([0; u(l; T0 )]), используя (8){(10), (16), (24), имеем оценку
kA' ; A' kC
1
2
k ' ; ' kC
([0;u(l;T0 )])
+
1
Z
l
0
2
g(t) k1(0; t)(0; t) +
([0;u(l;T0 )]) max
t2[0;T ]
0
fk2 (x; t)(x; t) + k3 (x; t)ux (l; t)(ut (l; t));1 + k1(x; t)j (x; t)jg dx
: (26)
Учитывая непрерывность функций g, ki (i = 1; 2; 3), , , условие (17) и оценку (26), получим,
что существует T0 2 (0; T ] такое, что оператор A является сжимающим в C ([0; u(l; T0 )]). Следовательно, уравнение (25) имеет единственное решение в этом пространстве. Так как уравнения
(25) и (23) эквивалентны, то уравнение (23) имеет единственное решение в C ([0; u(l; T0 )]). Таким
образом, уравнение (1) имеет единственное решение ' 2 C ([0; u(l; T0 )]) для t 2 [0; T0 ].
Перейдем к доказательству существования и единственности решения уравнения (1) на всем
отрезке [0; T ].
Теорема 2.
Если выполнены условия теоремы 1, то существует единственная функция
' 2 C ([0; u(l; T )]), являющаяся решением уравнения (1) при t 2 [0; T ].
Доказательство. Из теоремы 1 следует существование и единственность функции ' 2
C ([0; u(l; T )]), являющейся решением уравнения (1) при t 2 [0; T ].
Рассмотрим уравнение (1) при t 2 [T ; T ]. На этом отрезке уравнение (1) эквивалентно урав0
0
0
0
нению (19). Используя обозначения (14), (15) и (22), можно переписать (19) в виде
K (l; t; '(u(l; t))) ; K (0; t; '(u(0; t)))(0; t) ;
;
+
+
Z
Z
Z
u(l;t)
u(0;t)
u(l;t)
u(0;t)
u(l;t)
u(0;t)
Kx(y(z; t); t; '(z))(y(z; t); t)[ux (y(z; t); t)]; dz +
1
Kt(y(z; t); t; '(z))ux (l; t)[ux (y(z; t); t)ut (l; t)]; dz +
1
K (y(z; t); t; '(z)) (y(z; t); t)[ux (y(z; t); t)]; dz = F (t); t 2 [T ; T ]: (27)
1
37
0
Введем функцию
B (t; z; s) = Kx(y(z; t); t; s) u((yy((z;x;tt));;tt)) ;
x
; Kt(y(z; t); t; s) u (y(z;uxt()l;; tt))u (l; t) ; K (y(z; t); t; s) u ((yy((z;z;tt));;tt)) : (28)
x
t
x
Используя (28) и функцию ( ), обратную к функции u(l; t), запишем (27) следующим образом:
K (l; ( ); '( )) = K (0; ( ); '(u(0; ( ))))(0; ( )) +
Z
+
B ( ( ); z; '(z)) dz + F ( ( )); 2 [u(l; T ); u(l; T )]: (29)
0
u(0; ( ))
Рассмотрим уравнение (29) для 2 [u(l; T0 ); 1 ], где 1 | корень уравнения u(0; ( )) = u(l; T0 ),
если u(0; (u(l; T ))) > u(l; T0 ) и 1 = u(l; T ), если u(0; (u(l; T ))) u(l; T0 ). Так как функция '
известна на отрезке [0; u(l; T0 )], то из (29) получим уравнение
Z
K (l; ( ); '( )) =
B ( ( ); z; '(z)) dz + F ( ); 2 [u(l; T ); ];
1
0
1
(30)
u(l;T0 )
где известная функция F1 определяется формулой
u(Zl;T0 )
F ( ) = F ( ( )) + K (0; ( ); ' (u(0; ( ))))(0; ( )) +
1
0
B ( ( ); z; ' (z)) dz:
0
(31)
u(0; ( ))
Используя функцию G(t; z ), обратную к функции K (l; t; s), можем преобразовать уравнение (30)
следующим образом:
'( ) = G ( );
Z
B ( ( ); z; '(z)) dz + F ( ) ; 2 [u(l; T ); ]:
1
0
1
(32)
u(l;T0 )
Учитывая условие (16) и применяя принцип сжимающих отображений, убедимся, что уравнение
(32) имеет единственное решение '1 2 C ([u(l; T0 ); 1 ]).
Определим функцию
(
'2 ( ) = '0 ( ); 2 [0; u(l; T0 )];
(33)
'1 ( ); 2 [u(l; T0 ); 1]:
Из (29){(33) следует, что эта функция принадлежит C ([0; 1 ]) и является решением уравнения
(29) для 2 (0; 1 ].
Пусть число 2 является корнем уравнения u(0; ( )) = 1 , если u(0; (u(l; T ))) > 1 , и
2 = u(l; T ), если u(0; (u(l; T ))) 1. Повторяя предыдущую процедуру, можем доказать, что
уравнение (29) имеет единственное решение, непрерывное на отрезке [0; 2 ]. Следовательно, повторив подобную процедуру конечное число раз, докажем, что существует единственная функция ' 2 C ([0; u(l; T )]), являющаяся решением уравнения (1) при [0; T ].
Пусть условие (17) теоремы 1 не выполнено. Рассмотрим другое условие разрешимости уравнения (1). Введем функции
1(x; t) = (x; t) uut ((x;l; tt)) ; 1(x; t) = (x; t) uut ((x;l; tt)) :
t
t
38
Пусть все условия теоремы 1, за исключением
Теорема 3.
того,
(17), выполнены. Пусть, кроме
K (x; t; s) = Q(x; t; s)s; G(t; z) = G (t; z)z; f (t) = f (t)t;
где функции Q, G , f таковы, что
Q; Qx; Qt 2 C ([0; l] [0; T ] R); G 2 C ([0; T ] R); f 2 C [0; T ]:
1
1
(34)
1
1
1
Если
Z
1
1
l
q = g(0) k (0; 0) (0; 0) + [k (x; 0) (x; 0) + k (x; 0)j (x; 0)j] dx < 1;
1
1
Доказательство.
дующей формуле:
( ) = ;1 G
1
1
(35)
1
2
Z
l
0
Определим в пространстве C ([0; u(l; T )]) нелинейный оператор D по сле-
;
;
2
0
(1) имеет единственное решение, представимое в виде '(z ) = (z )z , где
то уравнение
C ([0; u(l; T )]).
D
1
( ); K (0; ( ); (u(0; ( )))u(0; ( )))(0; ( )) +
+
Z
l
0
Z
0
l
Kx x; ( ); (u(x; ( )))u(x; ( )) (x; ( )) dx ;
Kt x; ( ); (u(x; ( )))u(x; ( )) ux(l; ( ))[ut (l; ( ))]; dx ;
1
K x; ( ); (u(x; ( )))u(x; ( )) (x; ( )) dx + F ( ( )) ; 2 [0; u(l; T )]: (36)
Функция D принадлежит C ((0; u(l; T )]) для любой 2 C ([0; u(l; T )]). Используя условия (34),
имеем
lim (D )( ) = G1 0; K (0; 0; 0)(0; 0) +
!0
Z
l
0
Kx(x; 0; 0)(x; 0) dx ;
Z
l
0
K (x; 0; 0) (x; 0) dx ;
lim
! Q(0; ( ); (u(0; ( )))u(0; ( ))) (u(0; ( )))u(0; ( ))(0; ( )) +
1
;
+
Z
l
0
0
Z
l
0
Qx(x; ( ); (u(x; ( )))u(x; ( ))) (u(x; ( )))u(x; ( ))(x; ( )) dx ;
Q(x; ( ); (u(x; ( )))u(x; ( ))) (u(x; ( )))u(x; ( )) (x; ( )) dx + F ( ( )) =
;
= G1 0; K (0; 0; 0)(0; 0) +
Z
l
0
Z
l
0
Kx(x; 0; 0)(x; 0) dx ;
K (x; 0; 0) (x; 0) dx Q(0; 0; 0) (0) (0; 0) +
Z
1
;
Z
l
0
l
0
Qx(x; 0; 0) (0) (x; 0) dx ;
1
Q(x; 0; 0) (0) (x; 0) dx + 2f (0)uxt (l; 0)(ut (l; 0)); :
1
1
2
Следовательно, D 2 C ([0; u(l; T )]) для любой 2 C ([0; u(l; T )]).
Рассмотрим в пространстве C ([0; u(l; T0 )]) нелинейное операторное уравнение
=D ;
39
(37)
где T0 2 (0; T ]. Из (8){(10), (16), (36) следует, что
kD ; D kC
1
2
([0;u(l;T0 )])
+
Z
l
0
k ; kC
1
2
; t)
max
g(t) k1(0; t)(0; t) uu(0
([0;u(l;T0 )])
t2[0;T ]
(l; t) +
0
t) dx: (38)
(k2 (x; t)(x; t) + k3 (x; t)ux (l; t)(ut (l; t));1 + k1 (x; t)j (x; t)j) uu((x;
l; t)
Учитывая непрерывность функций g, ki (i = 1; 2; 3), 1 , 1 и неравенства (35), (38), убеждаемся, что существует T0 2 (0; T ] такое, что оператор D является сжимающим в пространстве
C ([0; u(l; T0 )]). Используя принцип сжимающих отображений, получим, что уравнение (37) имеет единственное решение 2 C ([0; u(l; T0 )]). Из (36), (37) следует, что '( ) = ( ) является
решением уравнения (1) на отрезке [0; u(l; T0 )]. Применяя теорему 2, установим, что существует
единственная функция '( ) = ( ), являющаяся решением уравнения (1) на отрезке [0; T ].
Рассмотрим в заключении некоторые примеры.
Примеры. Пусть функция f удовлетворяет условию (6), а
s
(39)
K (x; t; s) = (ax + bt + a) s + 1 + (t + d)jsj ; a > 0; b > 0; d > 0;
u(x; t) = (x)(t);
(40)
где функции (x) и (t) удовлетворяют следующим условиям:
2 C ([0; l]); (x) > 0; 0(x) > 0 8x 2 [0; l];
(41)
0
2 C ([0; l]); (0) = 0; (t) > 0 8t 2 [0; T ]:
(42)
Функция K (x; t; s), определяемая формулой (39), удовлетворяет условиям (7){(11) с функциями
k (x; t) = 2(ax + bt + a);
(43)
k (x; t) = 2a:
(44)
Из (39) также следует, что функция K (l; t; s) для неотрицательных s, имеет обратную функцию
p
(
t
+
d
)
;
2
+
(t + d) + 4 ;
G(t; z) =
(45)
2(t + d)
2
1
1
2
2
где
2
= al + zbt + a :
(46)
g(t) = al + 1bt + a :
(47)
Из (45), (46) следует, что в этом случае
Вычислим постоянную q, входящую в условие (17). Из (40){(44), (47) следует, что
0 (l) (0) Z l (x) 00 (x)j 2
j
q = (l + 1)(l) 0(0) + 0(x) 1 + (1 + x) 0(x) dx :
0
Рассмотрим два частных случая функции (x). Пусть
(x) = 10x + exp(cx) (c > 0);
(x) = (x + 1) ( > 0):
40
(48)
(49)
(50)
Если функция (x) определяется формулой (49), то из (48), (49) следует, что
Z l
2(10
+
c
exp(
cl
))
1
10x + exp(cx) +
q = (l + 1)(10l + exp(cl)) 10 + c +
10 + c exp(cx)
0
+ exp(cx))c2 exp(cx) dx: (51)
+ (x + 1) (10x(10
+ c exp(cx))2
Правая часть в формуле (51) стремится к 1 ; (9l ; 1)=(10l2 + 11l + 1) при c ! 0. Следовательно,
q < 1 при 9l > 1 и достаточно малых c. Таким образом, для таких l, c и любой функции f ,
удовлетворяющей условию (6), уравнение (1) имеет единственное решение ' 2 C ([0; (T )(10l +
exp(cl))]).
Рассмотрим теперь случай (50). Из (48), (50) следует, что
Zl
q = (l +2 1)2 1 + (1 + j ; 1j) (x + 1) dx =
0
= 1 + (l + 1);2 + j ; 1j[1 ; (l + 1);2 ] > 1 8; l 2 R+ :
Таким образом, основное условие теоремы 1 не выполнено. Применим в этом случае теорему 3.
Из (40){(44), (47) следует, что
0 (l) (0)2 Z l (x)2 2
0
00
q1 = (l + 1)(l)2 0(0) + 0 (x)2 (x) + (1 + x)j (x)j dx :
0
Вычислим эту постоянную для случая (50)
Zl
2
+1
q1 = (l + 1)+2 1 + (1 + j ; 1j) (x + 1) dx =
0
j ; 1j) + 2( + 1 ; j ; 1j) (l + 1);;2:
= 2(1 + +
2
+2
Неравенство q1 < 1 выполнено для , близких к 1, и достаточно больших l. Следовательно,
для такой пары чисел (; l) и функции f , удовлетворяющей условию (35), уравнение (1) имеет
единственное решение, представимое в виде '(z ) = z (z ), где 2 C ([0; (l + 1) (T )]).
Литература
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. { М.: Наука, 1987.
2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической
физики и анализа. { М.: Наука, 1980. { 286 c.
3. Денисов А.М. Единственность решения задачи определения нелинейного коэффициента системы уравнений в частных производных в малом и в целом // Сиб. матем. журн. { 1995. {
Т. 36. { Є 5. { С. 60{71.
4. Denisov A.M. On an integral equation of the rst kind // Comput. Math. and Model. { 1998. {
V. 9. { Є 4. { P. 283{286.
5. Денисов А.М., Коровин С.В. Об интегральном уравнении 1 рода типа Вольтерра // Вестн.
Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернет. { 1992. { Є 3. { С. 22{28.
6. Denisov A.M., Lorenzi A. On a special Volterra integral equation of the rst kind // Boll. U.M.I. {
1995. { V. 9. { Є 7. { P. 443{457.
Московский государственный
университет им. М.В. Ломоносова
Миланский университет
Поступила
07.02.2000
41
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
164 Кб
Теги
первого, нелинейные, рода, уравнения, интегральная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа