close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О непрерывной зависимости решений неявных дифференциальных уравнений от импульсных воздействий.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 19, вып. 2, 2014
УДК 517.911
О НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЙ
НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОТ И М П У Л Ь С Н Ы Х ВОЗДЕЙСТВИЙ
©
E.C. Жуковский, А.В. Козадаев
Ключевые слова: неявное дифференциальное уравнение; непрерывная зависимость решений от момента импульсного воздействия; накрывающие отображения метрических
пространств.
Рассматривается неявное дифференциальное уравнение, решение которого в заданный
момент времени испытывает импульсное воздействие, зависящее от значения решения
в этой точке. Для получения условий непрерывной зависимости решения от его начального значения и момента импульсного воздействия используется метрическое пространство кусочно абсолютно непрерывных функций, имеющих не более одного скачка
в любой точке. Метод исследования основан на результатах о накрывающих отображениях метрических пространств.
Рассмотрим импульсную дифференциальную систему, относительно которой предполагаем, что ее решение есть функция х : [a, b] ^ R n , возможно имеющая один разрыв первого рода
в заданной точке т G [a, b), где непрерывна слева, а величина скачка Д х(т) = х(т + 0) — х(т)
зависит от значения решения в этой точке. В остальных точках отрезка [a, b] эта функция
удовлетворяет дифференциальному уравнению неявного вида.
Итак, пусть заданы удовлетворяющие условиям Каратеодори функции
f : [a, b] х R n x R n ^ Rm,
p
:
[a, b] x R n x R n ^
Rk.
Исследуемую импульсную дифференциальную систему можно записать в следующем виде
f (t, x, X) = 0,
t G [a,b],
x(a) = A,
р(т,х(т), Д х(т)) = 0.
(1)
Нас интересуют условия непрерывной зависимости решения от начального его значения A и
момента т импульсного воздействия.
Пусть ЬП — банахово пространство измеримых существенно ограниченных функций
y :[a,b] ^ R n с нормой \\y\\Ln = vrai sup t e аь] \y(t)\; AC^ — банахово пространство абсолютно непрерывных функций х : [a, b] ^ R n , имеющих существенно ограниченную производную
х G Ь П, с нормой \\х\\.сп = \х^)\ + \\х\\г„ .
оо
L
o
Следуя работам [1]—[3] определим метрическое пространство, в котором будем искать решения системы (1), следующим образом.
Для произвольного т G [a,b) обозначим xT :[a,b] ^ { 0 , 1 } характеристическую функцию полуинтервала
(Т,Ь],
т . е . xT (t)
=
|
0
если
t
G (a, b]'
Определим пространство Sn
Sn = {хT,S : [a, b] ^ R n , Xт,s(t) = XT (t)s
"функций-
\ т G [a,b), s G R n }
с метрикой
b
P
S
(хТ1,
S1 ,хТ2, S2 ) = J
\ х Т1, S1 ( t )
— хТ2
, S2
(t)\dt.
369
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 19, вып. 2, 2014
Теперь определим пространство SACП функций x : [a,b] ^ R n , каждая из которых может
иметь разрыв не более чем в одной любой точке т Е [a,b), где непрерывна слева и имеет
предел справа. Любой элемент x Е SACП представим в виде суммы двух функций
x — x
Расстояние в SAC'n
+
xT g,
где x Е ACn,
Хт
g
Е
S .
определим равенством
PSACn
(x1,x2)
— max{yx'l
x2
\\аСП '
Ps"
(xTl,gl
,xT2,g2
)}•
Относительно этой метрики пространство SACП является полным [2].
Нам потребуется понятие условно накрывающего отображения, предложенное и исследованное в работах [4]-[6].
Пусть (X,pX),
(Y, pY) - метрические пространства, U С X, W С Y, а> 0.
О п р е д е л е н и е 1 [4]. Отображение F: X ^ Y называют а -накрывающим
относительно
множеств U, W, если для каждого шара BX (u, r) С U имеет место включение
BY (F(u), a r ) р| W С F (Bx (u, r ) ) .
О п р е д е л е н и е 2 [5], [6]. Отображение F : X ^ Y называют условно а -накрывающим
относительно множеств U, W, если оно является а -накрывающим относительно множеств
U и
Wf)F(U)•
Эти понятия и результаты [4]-[9] об уравнениях с накрывающими отображениями метрических пространств мы используем для исследования системы (1).
Пусть задан x 0 Е SACП, тогда x 0 — x 0 + xTo g o, где x 0 Е AC^,
xTo go — xT0 s 0 Е Sn. Предположим, что эта функция удовлетворяет системе
f (t, x°(t),x°(t))
— 0,
t Е [a,b],
р(т0 ,x0(T0),s0)
— 0.
(2)
Наша задача заключается в определении условий, гарантирующих близость (в метрике пространства SAC'n ) решения системы (1) функции x0, если его начальное значение A и момент
"удара" т близки, соответственно, величинам x0(a) и т0.
Пусть заданы положительные числа R, v, 5. Для любого п Е T(5) — [т0 — 5, т0 + 5] П [a, b]
положим xn — x 0 + xn,go.
Для каждого t Е [a,b] определим множества
m—
U
BRn (xn(t),v),
U(t) — B mn ( x 0 ( t ) , R ) .
пет ( 6 )
Далее, положим
V — BRn (s0,v),
Т е о р е м а . Пусть выполнены следующие
W — BRk
(0,v).
условия:
1) при почти всех t Е [a,b], любом x Е Q(t) отображение f (t,x, •) : R n ^ R m является
условно накрывающим относительно U(t) и всего пространства R m , кроме того, имеет
место включение 0 Е f t, x, U(t) '
2) при почти всех t Е [a,b], любом y Е U(t) отображение f (t, •, y): R n ^ R m является
липшицевым на множестве
Q(t);
3) при любых п Е T(5),
u Е BRk ^(т0), v) отображение ф(п, и, •) : R n ^ Rk
является
накрывающим относительно множеств
V, W, кроме того, имеет место включение 0 Е
Е <p(n,u,V)'
4) отображение
•,s0):[a,b] х R n ^ Rk непрерывно в точке ( т 0 , x 0 ( т 0 ) ) .
370
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 19, вып. 2, 2014
Тогда существуют такое положительное е, что для произвольных A £ BRn ( x ° ( a ) , e ) , т £
£ T(e) система (1) имеетрешение
х(А,т) £ SAC^ такое, что при A ^ x°(a), т ^ т° имеет
место сходимость pSAcn (х(А,т),х°)
^ 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Zhukovskiy E.S., Zhukovskaya T.V. About the correctness of impulsive functional differential equations / /
Functional Differential Equations. Ariel University Center of Samaria. Ariel, Israel, 2008. V. 15. № 3-4. P. 339-348.
2. Жуковский Е.С., Скопинцева О.В. О корректности дифференциального уравнения, испытывающего
импульсные воздействия на заданной линии. / / Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и
технические науки. 2012. Т. 17. № 1. С. 45-48.
3. Жуковский Е.С., Пеньков Б.Д., Скопинцева О.В. Об одном подходе к исследованию дифференциальных уравнений, подвергающихся импульсным воздействиям в нефиксированные моменты времени / / Вестник
Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 3. С. 735-737.
4. Arutyunov A., Avakov E., Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces
and coincidence points / / J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5. №. 1. P. 105-127.
5. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной / / Дифференциальные уравнения.
2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
6. Arutyunov A.V., Zhukovskii E.S, Zhukovskii S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra
gathers / / Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. P. 1026-1044.
7. Арутюнов А.В., Жуковским Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не
разрешенных относительно производной / / Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
8. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems / / Applicable
Analysis. 2011. V. 90. №. 6. P. 889-898.
9. Арутюнов А.В., Жуковский
С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными огра-
ничениями / / Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1561-1570.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 14-01-00877, № 14-01-97504).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Zhukovskiy E.S., Kozadayev A.V.
ON CONTINUOUS DEPENDENCE OF SOLUTIONS TO IMPLICIT DIFFERENTIAL EQUATIONS
ON IMPULSES
We study an implicit differential equation, a solution of which undergoes, at the given moment of time,
an impulse depending on the solution value at this point. To obtain the conditions of continuous dependence
of solution on its initial value and on the impulse moment, we use the metric space of piecewise absolutely
continuous functions having no more then one jump at any point. The investigation method is based on the
results on covering maps of metric spaces.
Key words: implicit differential equation; continuous dependence of solutions on impulse instant; covering
map of metric spaces.
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина,
г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры
и геометрии, e-mail: zukovskys@mail.ru
Zhukovsky Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian
Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Algebra and Geometry Department, e-mail:
zukovskys@mail.ru
Козадаев Алексей Владимирович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра алгебры и геометрии, e-mail: zukovskys@mail.ru
Kozadayev Alexey Vladimirovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov,
Russian Federation, Postgraduate Student, Algebra and Geometry Department, e-mail: zukovskys@mail.ru
371
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
85 Кб
Теги
непрерывного, решение, уравнения, дифференциальной, неявных, воздействия, зависимости, импульсные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа