close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О норме минимального линейного проектора в c[0 ).

код для вставкиСкачать
1999
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 10 (449)
УДК 517.518
В.П. СКЛЯРОВ
О НОРМЕ МИНИМАЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОЕКТОРА В
C [0;
1
)
Будем определять норму в C [0; 1) равенством
kF k = sup x=2jF (x)je;x=2 :
x0
Параметр здесь фиксирован и 0. Пусть Pn | множество алгебраических многочленов
степени не выше n, а Un | совокупность линейных ограниченных операторов, отображающих
C [0; 1) в Pn так, что Tp = p, если T 2 Un и p 2 Pn. Положим
Mn = Tinf
kT k:
2Un
Вероятно, первая попытка оценить скорость роста Mn была сделана в [1]. Из результатов данной
работы следует, что при любом 0 верно неравенство
Mn Cn = :
Однако с помощью [2] легко заметить, что при = 0 и = 1=2 верхняя граница для Mn может
быть уменьшена до величины порядка ln n. Ниже будет показано, что это можно сделать при
любом 0. Введем обозначения
n
n ; q (x)k; L (x) = 1 x; ex d (xn e;x ); < ;1;
en = q2inf
k
x
n
Pn;1
n!
dxn
Z 1
n + 1 + ) ;
d(n; ) = x e;x[Ln(x)] dx = ;(;(
n + 1)
1 6
+
2
;(z ) =
1
Z
0
0
tz; e;t dt; un(x; ) = d; = (n; )x
1
1 2
=
+1 2
e;x2= Ln(x ):
2
2
Равенства вида An; = O(an ) будем использовать тогда и только тогда, когда имеет место двусторонняя оценка c1 an An; c2 an с константами c1 , c2 , не зависящими от n и . Штрих везде
далее используется для обозначения производной по переменной x, при этом там, где это не
может вызвать недоразумений, параметр в списке аргументов будем опускать. Пусть x , s |
положительные нули функций un (x) и u0n (x), занумерованные в порядке возрастания. Очевидно,
0 < s1 < x1 < s2 < x2 < < xn < sn+1 . Пусть точки t 2 [s ; s +1 ] выбраны так, что имеют
место равенства
8
>
max ju00 (x)j; = 1; 2; : : : ; n;
<
s xsn+1 n
00
jun (t )j = > max ju00 (x)j; = n + 1; t 2 [s ; x ]:
:
n+1
n+1 n+1
sn+1 xxn+1 n
Здесь xn+1 | наибольший корень уравнения p(x) = n ; x2 ; (2 ; 41 )=x2 = 0, n = 4n + 2 + 2.
Числа s и x определим равенствами
jun(s; ; 1=2)j = max
jun(s ; ; 1=2)j; ju0n(x ; + 1=2)j = max
ju0n (x ; + 1=2)j;
где s = s (n; ; 1=2), x = x (n ; 1; + 1=2). Основные результаты этой работы содержатся в
следующих теоремах.
31
Теорема 1. Наименьшее по порядку уклонение от нуля в пространстве C [0; 1) достигается на многочлене
Qn (x) = (n ; 1)!f(n + ; x)Ln; = (x) ; (n + ; 1)Ln; = (x)g;
при этом en = O(n!n ;2 1 ).
Теорема 2. Пусть Ln [F ] | интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для
функции F (x) по нулям многочлена, указанного в теореме 1. Если Ln [F ] рассматривать как
оператор, действующий из C [0; 1] в C [0; 1], то для его нормы справедливо равенство kLn k =
O(ln n).
+1 2
1
+1 2
2
Прежде чем доказывать эти утверждения, убедимся в справедливости следующих лемм.
1
величины xx+1
, ss+1
лежат на отрезке вида [1; c5 ].
Лемма 1. 1. При jj >
2
p
4
2
2. Если x 0 = maxf0; ; 1=4g, то разность x +1 ;x возрастает вместе с номером .
3. При любом фиксированном числе ! для x +1 ! имеют место равенства x +1 ; x =
O(n;1=2), a xn+1 ; xn = O(n;1=6) и xn ; xn;1 = O(n;1=6).
4. Величины jun (s )j растут вместе с номером , если s 0 , и убывают при s < 0 , при
этом jun (s )j = O(n;1=4 ), если s !.
5. Величины ju0n (x )j убывают вместе с номером , если
x 0, и возрастают при x < 0 .
0
) c .
6. При jj > 1=2 имеет место неравенство 0 < c6 uu0nn(x(x+1
7
)
00 (x)j.
7. ju0n (x )j ju00n (t )j(x ; s ), здесь ju00n (t )j = smax
j
u
xx n
00 ) c .
8. При jj > 1=2 имеет место неравенство 0 < c8 uu00nn(s(s+1
9
)
u00 (t )
n
9. Если jj > 1=2, то 1 u00n (s ) j c10 .
Здесь и далее константы ci не зависят ни от n, ни от .
Доказательство. Вначале заметим, что un (x) есть решение дифференциального уравнения
([3], 5.1.2, с. 109)
u00 (x) + p(x)u(x) = 0:
(1)
Если положить n = (2 ; 1=4)1=2 ;n 1=2 , то все значения p(x) на отрезке [0; n ] будут отрицательными, поэтому точка первого экстремума функции un (x) ; s1 лежит правее n , и все числа
следует из оценок для нулей многочленов
p(s ) одного знака. Ограниченность отношений xx+1
xx;+11 доказывает вторую часть утверЛагерра ([3], 6.31.11, с. 138). Очевидное неравенство ss+1
ждения п. 1 для = 2; 3; : : : ; n. То же самое для = 1 получаем из оценки ss21 xn2 . Пункт 2
леммы есть результат применения теоремы 1.82.2 из ([3], с. 33) к уравнению (1). Первая часть
п. 3 следует из асимптотической формулы ([3], 8.22.4, с. 206)
;=
;(n + + 1) J ([ x] = ) + " (x);
x= e;x= Ln(x) = 4n
n
;(n + 1) n
2
2
где
2
1 2
(
(2)
= = ; =
;
j"n (x)j c xx= n n; = ;; c0 <n x cx n;!;;
5 4
3
2
3 4
2+2
1
4
3 4
4
1
а вторая часть есть следствие асимптотических формул для больших нулей ([3], 6.32.4, с. 141).
Пункт 4 получаем применением теоремы Сонина к уравнению (1), а п. 5 | интегрированием
очевидного тождества
f[u0n (x)] g0 + p(x)fun (x)g = 0
2
2
32
2
(3)
по отрезку [x ; x +1 ]. Для доказательства п. 6 заметим, что величины x; ;3=2 ju0n (x )j убывают
с ростом . Это проверяется так же, как и п. 5, поскольку x; ;3=2 ju0n (x )j = z 0 (x ), где z (x) =
d;1=2 (n; )e;x=2Ln(x) есть решение уравнения
+
1
1
n
00
0
z (x) + x z (x) + 4x ; 4 z(x) = 0:
Пункт 6 эквивалентен наличию двух оценок вида
0
0
c11 uu0 n(x(x ) ) ; uun0(x(x+1) ) c12:
n +1
n Если x +1 0 , то первая оценка следует из п. 5, а вторая вытекает из п. 1 и очевидного равенства
;3=2 0
u0 (x +1 ) x ;;3=2 x;+1
un (x+1) :
n
=
u0n(x ) x+1
x; ;3=2u0n (x ) При x 0 вторая оценка становится очевидной, а для получения первой находим из (3)
[u0n (x)]2 = 2
Z
1
x ; ;x 1=4 un(x)dx;
2
xR +1 2
1 4
2
u0n(x ) 1 + x
:
xnR+1 u0n(x )
x ; 2;x3 = un(x)dx
+1
3
x
x ; 2;x3 = un(x)dx
2
1 4
x +1
2
Используя выпуклость функции u2n (x) на отрезках [xi ; xi+1 ], получаем
0
un (x+1) 2 1 + 2 x+1 ; x 1 + 2 xn ; xn;1 c :
u0n (x )
xn+1 ; x+1
xn+1 ; xn 13
Если же 0 2 (x ; x +1 ), то, повторяя предыдущие выкладки, нетрудно придти к неравенству
0
2
u (x +1 )
n
c n;1=2 :
;
1
14
0
un(x )
Таким образом, п. 6 доказан. Пункт 7 | следствие теоремы Лагранжа, а для доказательства
п. 8, проинтегрировав (3) по отрезку [s ; s +1 ], получим
Z s
2
+1 ;
1
=
4
2
2
p(s )u (s ) ; p(s )u (s ) = ;2
x;
u2 (x)dx:
+1
n +1
n n
x
Следовательно, p(s )un (s ) возрастает с ростом номера , если s , и убывает | в противном случае. Поэтому при s имеем
= un (s ) u00 (s ) p
(
s
)
n
(4)
1 p(s ) u (s ) u00 (s ) = p(sp(s ))jjuun ((ss )j )j pp(s(s ) ) :
n n n Поскольку в этом случае p(s) убывает, a jp0 (s)j возрастает, то
p(s ) 1 + p0(s )(s ; s ) 1 + 2 x (x ; x; ) :
p(s )
p(s )
p(s )
3
s
2
+1
0
0
1 2
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
Это приводит к неравенству
+1
+1
1
+1
p(s ) 1 + 2 xn (xn ; xn; ) :
p(s )
p(sn )
;
=
В том, что xn ; sn = O(n ), можно убедиться так же, как это делалось при оценке
аналогичной величины в ([2], с. 59). Поскольку xn < n , то
p(sn ) xn ; sn ; s; 1=4 c n = :
n
+1
+1
+1
+1
1
+1
1 6
+1
2
+1
2
+1
2
+1
2
+1
33
2
+1
15
1 3
) c . Если s
Учитывая, что x +1 (x +1 ; x ;1 ) = O(n1=3 ), получаем p(ps(s+1
16
+1 0 , то функция
)
p(s) возрастает, поэтому
p(s ) 1; p(s+1) 1 + 22 ; 1 s+1 ; s :
p(s+1)
p(s )
4 s3 p(s )
p
Функция s2 p(s) возрастает на отрезке [0; n =2], поэтому
p(s ) 1; p(s+1) 1 + 22 ; 1 s+1 ; s 1 + c n;1=2 c :
17 3
p(s+1 )
p(s )
4 s31 p(s1 )
s1(n ; s21) 18
Если 0 2 (s ; s +1 ), то
p(s )
jp0()j(s+1 ; s ) c n;3=2;
;
1
19
p(s+1) p(s+1)
а равенство
Z 1
2
p(s )u2n (s ) = 2
x ; ;x31=4 u2n(x)dx;
s
полученное интегрированием (3) по промежутку [s ; 1], точно так же, как при доказательстве
п. 6, влечет оценку
p(s )u2n (s ) ; 1 c n;1=2:
p(s )u2 (s ) 20
+1
n +1
Все это вместе с (4) дает неравенство
u00n(s ) ; 1 c n; = :
u00n(s ) 21
+1
1 2
Этим завершено доказательство п. 8. Для доказательства п. 9 заметим, что на отрезке [sn+1 ; xn+1 ]
функция ju00n (x)j = p(x)jun (x)j убывает, следовательно, tn+1 = sn+1 , а при = 1; 2; : : : ; n имеем
(
00
u (t ) (p(s )=p(s +1 ))1=2 ; s 0 ;
n
00
un(s )
p(s+1)=p(s )
; s 0 :
Лемма 2. Справедливо неравенство
n!d1=2 (n; ; 1=2)jun (s; ; 1=2)j en (n ; 1)!d1=2 (n ; 1; + 1=2)ju0n;1 (x; + 1=2)j: (5)
Доказательство. Это утверждение легко следует из теоремы Валле-Пуссена [4] и пп. 4, 5
леммы 1.
Доказательство теоремы 1. Из пп. 3, 4, 5 леммы 1 следует, что
q
q
4
;
1=2
s = maxf0; ( ; 1)g + O(n ); x = 4 ( + 1) + O(n;1=2):
Поэтому, воспользовавшись еще раз асимптотической формулой (2), находим, что обе части
неравенства (5) суть величины одного порядка. Поскольку n;=2 ;(n + + 1=2) = O(n!n;(;1)=2 ),
то осталось заметить, что
p
Qn(x) = x;=2ex=2u0n;1 ( x; + 1=2)(n ; 1)!d1=2 (n ; 1; + 1=2);
и теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Нетрудно заметить, что узлами интерполирования в этом
случае служат числа s2 , a s | положительные нули функции u0n;1 (x; +1=2). При этом kLn k =
max
(x), где
x0 n
n(x) =
n
X
=1
x = e; x;s2 = Y x ; si :
s
i6 s ; si
2
(
2
2
) 2
=
34
2
2
Отсюда находим
n(x) =
Здесь
n X
=1
n
2s u0n;1 (x) X
2
u00n;1(s )(x2 ; s2 ) =1 jl (x)j := 2n (x):
0
ln(x) = u00 u(sn;)((xx); s ) :
n; Оценим сверху n (x), предполагая вначале, что x > sn . Поскольку при = 0; 1=2 утверждение
теоремы следует из результатов работы [2], то везде далее считаем, что > 0. Для этого случая
легко заметить, что jln; (x)j jln; (x)j jln (x)j, т.к. величины ju00n; (s )j убывают с ростом 1
1
2
1
1
(см. доказательство п. 8 леммы 1). Поэтому
nX
; u0 (x )(s ; s ) 0 (xn )(s ; s )
u
n n
;
n;
n (x) 3 +
3+c
00
0
un; (s )(s ; s )(xn ; s )
un; (x )(xn ; s ) Z xn;2
nX
; s ;s
ds c ln n:
3+c
c
xn ; s
xn ; s
s1
Если x 2 [sp ; sp ], то представим n (x) в виде
nX
;3 =1
1
3
22
3
+1
1
22
+1
+1
=1
23
+1
1
1
24
=1
+1
n (x) =
p;4
X
=1
+
pX
+5
=p;3
+
n
X
=p+6
:= I1 + I2 + I3 :
(6)
Оценку для I1 получаем так же, как в предыдущем случае, а во второй сумме легко оценить
каждое слагаемое
00
jln (x)j c25 uu00n;1((ssp;3)) c26 :
n;1 p+5
С помощью теоремы Лагранжа замечаем, что если x 2 [s ; x ], то
ju0n;1 (x)j ju00n;1 (t )j(x ; x;1 );
если же x 2 [x ; s +1 ], то
ju0n;1(x)j ju00n;1(t )j(x+1 ; x ):
Отсюда находим, используя пп. 2, 3, 8, 9 леммы 1,
ju0n;1(x )j c27 ju00n;1 (s+1)j(x+1 ; x ):
Вернемся к оценке I3 в (6)
n
n 0 (xp )
X
X
(n ; x2p+1 )(xp+1 ; xp )
u
n
;
1
c
I3 c28
29
00
2
2
=p+6 (n ; s ;2 ; ( + 1)=s ;2 )(x ;1 ; sp+1 )
=p+6 un;1 (s ;2 )(x ;1 ; sp+1 )
nX
;1 (x2 ; x2p+1 )(xp+1 ; xp )
(n ; x2 )(xp+1 ; xp )
c29
+
2
2
(n ; s2 ;1 ; ( + 1)=s2 ;1 )(x ; sp+1 ) :
=p+5 (n ; s ;1 ; ( + 1)=s ;1 )(x ; sp+1 )
Нетрудно заметить, что величины s2 (n ; s2 ) ограничены снизу константой, которая зависит
разве что от и не зависит ни от , ни от n,
s2 (n ; s2 ) minfx23(n ; x24); x2n;2 (n ; x2n)g:
Вторая величина под знаком минимума имеет порядок n4=3, а для первой, используя асимпто2
2
тические формулы для нулей многочленов Лагерра ([5], 22.16.8, с. 594), имеем nlim
!1 x3 (n ; x4 ) =
j2 +1=2;3 . Здесь j;3 | третий положительный нуль функции Бесселя J(x). Теоремы Штурма и
дифференциальное уравнение для функций Бесселя ([3], 1.8.9, с. 31) приводят к неравенствам
35
j; ; 1=4, j
2
2
1
2
оценка
( + 1) + =2. Таким образом, при достаточно большом n имеет место
n ; s ; (s+ 1) (n ; s ) ( +=1)4+ =2 21 (n ; s ):
=;
+1 2 3
2
2
2
2
Продолжаем оценивать
n;
; (x ; x )(xp ; xp ) X x ;x
xp ; xp + nX
;
p
2
c
+
x
;
s
(
;
x
)(
x
;
s
)
x
;
s
p
n
p
p
p
p
p
nX
; x ;x xn ; sp + ln xn ; xp c ln n:
+
c
ln
xn ; x
sp ; sp
xn ; xn;
p
И, наконец, в последнем случае x 2 [0; s ]. Вместо (6) используем разбиение
I 2c
3
nX
;1
29
= +5
1
+1
+1
2
2
2
= +5
1
1
+1
+1
29
+1
+1
30
= +5
= +5
+1
+4
+1
1
+1
+5
1
31
1
n (x) =
pX
+5
=1
+
n
X
=p+6
:= I4 + I5 :
Легко заметить, что оценка I5 совпадает с оценкой I3 в предыдущем случае, а при x 2 [0; s1 ]
jl5 (x)j jl4 (x)j jl3 (x)j jl2 (x)j jl1 (x)j, поэтому для завершения доказательства достаточно показать, что величина
max jl1 (x)j = jl1 (t )j
0xs2
не растет с ростом номера n. Из определения l1 (x) и уравнения (1) нетрудно получить дифференциальное уравнение
0
0 (x ; s1 )l100 (x) + 2 ; pp((xx)) (x ; s1 ) l10 (x) + (x ; s1)p(x) ; pp((xx)) l1 (x) = 0:
Выполнив в нем подстановку x = s1 , находим
2l10 (x) = p0 (s1 )=p(s1 ) > 0:
Таким образом, точка t лежит правее s1 , поэтому
jl10 (t)j u00(t1 )=u00(s1) c32:
Легко проверяемое неравенство kLn k n (x21 ) c33 ln n теперь позволяет утверждать, что
kLnk = O(ln n).
Можно показать, что если в роли узлов интерполирования выступают нули многочленов
+1=2
Лагерра
pn и p6 n.Ln (x) или Ln (x), то нормы операторов Ln в этом случае растут соответственно как
Литература
1. Gorlich E., Markett G. Projections with norms smaller than those of the ultraspherical and Laguerre
partial sums // Funct. Anal. and Approximat. Proc. Conf. Oberwolfach, Aug. 9{16, 1980. Basel
e.a., 1981. { P. 189{202.
2. Скляров В.П. О выборе узлов интерполирования в пространстве C (;1; 1) // Изв. вузов.
Математика. { 1993. { Є 11. { C. 57{61.
3. Ceгe Г. Ортогональные многочлены. { М.: Физматгиз, 1962. { 500 с.
4. Дзядык B.K. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. { М.:
Наука, 1975. { 511 с.
5. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. { М.: Наука, 1979. { 832 с.
Саратовский государственный
университет
Поступила
05.01.1995
36
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
164 Кб
Теги
норм, проектора, линейного, минимальное
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа