close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О периодических на бесконечности функциях.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
71
MSC 42A99
О ПЕИОДИЧЕСКИХ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ФУНКЦИЯХ
А.А. ыжкова, И.А. Тришина
Воронежский государственный университет,
Университетская пл.,1, Воронеж, Воронежская область, 394036, оссия,e-mail:oemain.vsu.ru
Аннотация. Введен в рассмотрение класс почти периодических на бесконечности ункций. Необходимость рассмотрения таких ункций связана с тем, что они возникают при рассмотрении разностных уравнений. Основные результаты статьи связаны с доказательством
почти периодичности на бесконечности решений разностных уравнений.
Ключевые слова:
периодические на бесконечности ункции,разностные уравнения, спек-
тральная теория.
Пусть R множество вещественных чисел и Х комплексное банахово пространство. Обозначим через Cb = Cb(R, X) банахово пространство ограниченных
ункций x : R ? X с нормой kxk? = sup kx(t)k. Через C0(R, X) обозначим (замкну?R
тое) подпространство ункций из Cb, убывающих на бесконечности,т.е |t|??
lim kx(t)k = 0,
x ? C0 (R, X). В пространстве Cb (R, X) рассмотрим операторы сдвига
1. Введение.
t
S(t) : Cb(R, X) ? Cb(R, X) ,
x ? Cb (R, X).
(S(t)x)(? ) = x(? + t) ,
? ? R,
t ? R,
Используемые результаты из гармонического анализа, ункции и векторов, содержаться в работах [1-7?. Следуя [1?,[6?,[7?, дадим определение медленно меняющейся на бесконечности ункции.
Функция x ? Cb(R, X) называется медленно меняющейся на бесконечности, если S(? )x ? x ? C0(R, X), т.е.
Определение 1.
lim kx(? + t) ? x(? )k = 0
? ??
для любого t ? R .
Примером медленно меняющейся на бесконечности ункции является ункция вида
x(t) = sin(ln(?+ | t |)) ,
t ? R,
? > 0.
абота поддержана грантом оссийского научного онда (проект 14-21-00066, выполняемый в Воронежском государственном университете), ФФИ (проекты 13-01-00378,14-01-31196).
72
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
Множество медленно меняющихся на бесконечности ункций образуют замкнутое
подпространство из Cb (R, X), которое обозначим символом Csl,? = Csl,?(R, X).
Пусть ? > 0. Число ? ? R называется ?-периодом ункции x ? Cb
на бесконечности, если существует такое число ? ? R+, что sup kx(t + ?) ? x(t)k < ?.
|t|>?
Множество ?-периодов ункции x на бесконечности обозначим через ?? (x, ?).
Множество ??(x, ?) называется относительно плотным на R, если
существует такое l ? N, что [t, t + l] ? ??(x, ?) 6= ?, для любого t ? R.
(определение Бора). Функция x ? Cb(R, X) называется почти периодической на бесконечности, если для любого ? > 0 множество ??(x, ?) относительно
плотно на R.
Множество почти периодических на бесконечности ункций обозначим символом
AP? (R, X).
Множество AP?(R, X) образует банахово пространство и банахову алгебру, если X банахова алгебра.
Отметим, что банахово пространство AP (R, X) почти периодических ункций содержится в AP?(R, X).
(аппроксимационное). Функция x ? Cb называется почти периодической, если для любого ? > 0 существуют ункции xk ? Csl,? и числа ?k ? R,
1 ? k ? N такие, что
Определение 2.
Определение 3.
Определение 4
Теорема 1.
Определение 5
kx(t) ?
N
X
xk (t)ei?k t k < ? .
k=0
Можно доказать, что эти определения (Бора и аппроксимационное) эквивалентны.
Ясно,что Csl,?(R, X) ? AP?(R, X).
Функция вида
Теорема 2.
x(t) =
N
X
xk (t)ei?k t ,
t ? R,
x:R?X,
k=1
где ?k ? R, 1 ? k ? m, xk ? Csl,?(R, X), 0 ? k ? N ? 1, является почти периодической
на бесконечности ункцией(x ? AP?(R, X)).
Как отмечалось Csl,?(R, X) ? AP? (R, X), а также t 7? ei? t , 1 ? k ? n, - почти
периодические ункции. Поскольку произведения ?k xk , 1 ? k ? N , также являются
почти периодическими на бесконечности ункциями, то их сумма также является почти
периодической на бесконечности ункцией. k
2.
О
почти
периодических
на
бесконечности
решениях
разностного
В банаховом пространстве Cb(R, X), где конечномерное банахово пространство, рассмотрим разностное уравнение
уравнения.
x(t + 1) = Bx(t) + y(t) ,
t ? R,
(1)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
73
где y ? C0(R, X), B ? End X со свойством ?0 = ?(B) ? iR = {i?1, i?2..., i?m} совокупность простых собственных значений и ?(B) обозначает спектр оператора B .
Каждое ограниченное решение x : R ? X уравнения (1) является почти
периодической на бесконечности ункцией,которое допускает представление вида
Теорема 3.
x(t) =
N
X
xk (t)ei?k t ,
k=1
где xk ? Csl,?, 0 ? ?k < 2?, 0 ? k ? N ? 1.
Спектр оператора B представим в виде:
?(B) = ?0 ? ?in ? ?out ,
где
?0 = ?(B) ? T = {?1 , ?2 , ..., ?m} совокупность собственных значений, лежащих на
окружности T = {? ? C : ? = 1},
?in = {? ? ?(B) : Re? < 1} совокупность собственных значений, лежащих внутри
окружности.
?out = {? ? ?(B) : ? > 1} совокупность собственных значений, лежащих вне
окружности.
В соответствии с этим разбиением спектра рассмотрим проекторы P0, Pin,Pout, которые соответственно построены по спектральным множествам ?0, ?in, ?out. Таким образом, I = P0 + Pin + Pout. Эти проекторы индуцируют разложение X = X0 ? Xin ? Xout
пространства Х, где X0 = ImP0, Xin = ImPin, Xout = ImPout. Эти подпространства являются инвариантными для оператора B и пусть B0 = B|X0, Bin = B|Xin, Bout = B|Xout.
Таким образом, B = B0 ? Bin ? Bout относительно построенного разложения пространства X. К обеим частям уравнения (1) применим проектор Pin,и тогда получим последовательность xin = Pinx, удовлетворяющую равенству
S(1)xin (t) = Bin xin (t) + yin (t) ,
Из (2) следует, что
yin = Pin y ? C0 ,
(I ? Bin S(?1))xin = S(?1)yin .
(2)
(3)
Поскольку kS(?1)k = 1, Bin S(?1)xin(t) = S(?1)Binxin, n ? Z, и спектральный радиус r(Bin) оператора Bin меньше единицы, то оператор I ? BinS(?1) обратим и из (3)
получаем, что
?1
xin (t) = ((I ? Bin S(?1)) S(?1)yin )(t) =
?
X
n
Bin
S(?n(t + 1))yin (t ? 1) .
t=0
Ясно, что xin ? C0(R, X). Аналогичный результат получим при применении проектора
Pout к уравнению (1):
(S(1)xout )(t) = Bout xout (t) + yout (t), yout = Pout y ? C0 .
(4)
74
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
?1
Оператор Bout обратим,и ?(Bout
) = {??1 ; ? ? ?out }, т.е. его спектральный радиус меньше
единицы. Используя перестановочность оператора SN Bout из (4), получим равенства
?1
?1
S(1)Bout
xout (t) = xout (t) + Bout
yout (t) ,
или
?1
?1
(I ? S(1)Bout
)xout (t) = ?Bout
yout (t) ,
Таким образом,
xout (t) = ?(I ?
?1 ?1 ?1
S(1)Bout
) Bout yout (t)
=?
?
X
t ? R,
t ? R.
?1
?1
(Bout
S(1))k Bout
yout (t) ,
yout ? C0 .
n=0
Из этой ормулы следует, что xout ? C0(R, X). Проектор P0 можно представить в виде
P0 = P1 + ... + PN ,
где Pk проектор, и
где | ?k |= 1 , 1 ? k ? N .
Ввиду предполагаемой простоты собственных значений число ?k представимо в виде
?k = ei? , 1 ? k ? N . Применим проектор P0 к разностному уравнению (1) и далее
применим проектор Pk
APk = ?k Pk ,
k
Pk x0 (t + 1) = Pk B0 x0 (t) + Pk y0 (t) ,
где x0(t) = P0x(t), xk (t) = Pk x0(t), k = 1, N .
Следовательно, xk (t + 1) = ?k xk (t) + yk (t), где xk (t) = Pk x0(t), k = 1, N, t ? R. Сделав
замену xk (t) = e?i? t xk (t), t ? R, 0 ? ?k < 2? получим
k
xek -медленно
x
ek (t + 1) = xek (t) + yek (t) ,
t ? R,
меняющаяся последовательность,а xk (t) отличается от xek (t) по ормуле
(1) на множитель ei? t. Поскольку yek ? C0 и S(1)xek ? xek ? C0. Следовательно, xek , где
1 ? k ? m медленно меняющиеся на бесконечности последовательности. k
Литература
1. Баскаков А.., Калужина Н.С. Теорема Берлинга для ункций с существенным спектром из однородных пространств и стабилизация решений параболических уравнений //
Матем. заметки. 2012. 92:5. C.643661.
2. Баскаков А.. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп
в спектральном анализе линейных операторов // Функциональный анализ. 2004. СМФН, 9, МАИ, М. C.3151.
3. Баскаков А.., Криштал И.А. армонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства // Изв. АН. Сер. матем. 2005. 69:3. C.354.
4. Баскаков А.. армонический анализ линейных операторов / Воронеж: Издательство
Воронежского гос. ун-та, 1987.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
75
5. Дуплищева А.Ю. О периодических на бесконечности решениях разностных уравнений //
Вестник ВУ. Серия: Физика. Математика. 2012. ќ1. C.110-117.
6. Баскаков А.. Исследование линейных диеренциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений // УМН. 2013. 68:1(409). C.77128.
7. Баскаков А.., Калужина Н.С., Поляков Д.М. Медленно меняющиеся на бесконечности
полугруппы операторов // Известия вузов. Математика. 2014. ќ7. C.314.
ABOUT PERIODIC FUNCTIONS AT INFINITY
A.A. Ryzhkova, I.A. Trishina
Voronezh State University,
Universitetskaja Sq., 1, Voronezh, 394036, Russia,e-mail: oemain.vsu.ru
Abstrat. The lass of almost periodi funtions at innity is introdued. Neessity of suh
funtions related to the fat that they arise when studying dierene equations. Main results of the
artile are related to the proof of almost periodiity at innity of dierene equations solutions.
Key words:
periodiity at innity, dierene equations, spetral theory.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
182 Кб
Теги
бесконечности, функция, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа