close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О периодических решениях однородной системы уравнении в частных производных первого порядка.

код для вставкиСкачать
Кажанова И.Г.
Актюбинский государственный университет им. К. Жубанова
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В настоящей работе изучен вопрос о существовании периодических решений однородной
системы совместных уравнений в частных производных первого порядка с одинаковыми главными частями.
1. Постановка задачи. Рассмотрим систему уравнений в частных производных первого порядка вида:
(1)
H [y ] = Ay
Здесь A – постоянная (n Ч n) ? матрица;
x = ( x1 , x2 ) ? вектор независимых переменных,
y = y ( x) ? n ? вектор искомых функций, а оператор
H [y ] =
где
D( y )
D( x)
D( y )
? Q( x) ,
D( x)
? Q1 ( x) ?
??
? Q2 ( x) ?
– матрица Якоби, Q( x) = ??
x?G
?
?
? = ? ? Q2 ( x )
2
? ?x ?
1
?
? Q( x)
?
?
?
?
для ?x ? E2 , где Q( x) = Q12 ( x) + Q22 ( x) .
Цель работы – изучить вопрос о существовании ?-периодических решений системы (1).
2. Необходимые сведения. Приведем сначала некоторые сведения, которые будут необходимы в дальнейшем. С этой целью рассмотрим скалярное уравнение в частных производных вида:
H [V ] ?< Q( x) ? gradV > = 1,
V = V ( x) ,
(2)
где знаком < ? > обозначено скалярное произи
ведение векторов Q( x) = (Q1 ( x), Q2 ( x))
? ?V ?V
gradV = ??
,
? ? x1 ? x2
?
?? . Непосредственной провер?
кой можно убедиться, что функция
!'"
Q1 (t , x2 )
?
Q(t , x2 )
2
dt +
x2
?
0
Q2 (0, ?)
d?
2
Q (0, ?)
(3)
является решением уравнения в частных производных (2).
Справедливы следующие леммы и следствие.
Лемма 2.1. Для того чтобы функция V (x) в
(3) была ? -периодической, необходимо и достаточно выполнения следующего соотношения
?1
которое вещественное число.
I. Выполняется равенство
x1
0
?
– мат-
рица-столбец. Матрица Q(x) определена в E 2 ,
E 2 – двухмерное евклидово пространство.
Предположим, что:
I) Матрица Q(x) ? H ? (класс непрерывных ?-периодических функций, ? = (?1 , ?2 ) –
постоянный вектор, ?k > 0 – некоторые вещественные числа, (k = 1,2) );
II) inf Qk ( x) ? ? > 0 , для ?x ? G , где ? ? не-
? ?? Q1 ( x)
? x 2 ? Q( x) 2
?
V ( x) =
0
?2
Q1 (t , x2 )
Q(t , x2 )
2
dt + n ?
Q2 (0, ?)
Q(0, ?)
0
2
d? = 0 ,
(4)
для ?x ? E 2 , ?n ? N , N ? множество натуральных чисел.
Доказательство. Необходимость. Действительно, предположим, что функция V (x)
? ? -периодична. Докажем справедливость
соотношения (4). Очевидно, что для функции
V (x) выполняется
V ( x + n?) = V ( x) ,
(5)
?x ? E2 ;
здесь
и
далее
для
( x + n?) = ( x1 + ?1 , x2 + n?2 ), n – любое натуральное число. Из (3), вспоминая периодичность
функций Qk ( x), (k = 1,2) , получим:
V ( x + n?) =
x1 +?1
?
0
=
?1
?
0
n?2
?
0
Q1 (t , x2 )
Q(t , x2 )
Q1 (t , x2 )
Q(t , x2 )
2
Q2 (0, ?)
Q(0, ?)
2
dt +
2
dt +
?
0
x1 +?1
?
?1
d? +
x2 + n?2
x2 + n?2
?
n?2
Q2 (0, ?)
Q(0, ?)
Q1 (t , x2 )
2
Q (t , x2 )
Q2 (0, ?)
Q(0, ?)
2
2
d? =
dt +
d?
(6)
Теперь преобразуем второй и четвертый
интегралы в (6):
x1 + ?1
1) В интеграле ?
?1
Q1 (t , x2 )
Q (t , x 2 )
2
dt
, сделав заме-
ну t = ? + ?1 и учитывая периодичность функции Q1 ( x1 , x2 ) , а затем в полученном интеграле
заменив ? снова на t , будем иметь:
??????? ??? ?10/???????`2006 ????? 2
Кажанова И.Г.
О периодических решениях однородной системы уравнений...
x1
Q1 (t , x2 )
?
2)
x2 + n?2
?
Аналогично
Q2 (0, ?)
Q(0, ?)
n?2
2
Q(t , x 2 )
0
d?
2
dt
(61)
из
интеграла
получим:
?1 =
x2
Q2 (0, ?)
?
Q(0, ?)
0
d?
2
(62)
Запишем (6) с учетом (61), (62) и (3) в следующем виде:
?1
Q1 (t , x2 )
?
V ( x + n?) = V ( x) +
dt +
2
Q(t , x2 )
0
n?2
?
Q2 (0, ?)
Q(0, ?)
0
2
d?
(7)
Откуда, учитывая (5), получим:
?1
?
0
Q1 (t , x 2 )
2
Q(t , x 2 )
?2
dt + n ?
Q2 (0, ?)
Q(0, ?)
0
2
d? = 0
Тем самым необходимость леммы 2.1
доказана.
Достаточность. Пусть выполняется условие (4). Покажем, что функция V (x) является ? -периодической.
В самом деле, из (7), учитывая (4), имеем:
V ( x + n?) = V ( x) ,
то есть функция V (x) ? ? -периодична. Достаточность доказана.
Лемма 2.1 доказана.
Лемма 2.2. Если справедливо соотношение
?1
?
0
?1
то ?
0
Следствие 2.1. Если не выполняется условие (8) (или условия (9)), то функция V (x)
представима в виде:
(10)
V ( x) = ?1 x1 + ? 2 x2 + ?( x) ,
где
Q1 (t , x 2 )
Q(t , x 2 )
Q1 (t , x2 )
Q(t , x2 )
2
2
?2
Q2 (0, ?)
dt + n ?
Q(0, ?)
0
?2
dt = 0 , ?
0
Q2 (0, ?)
Q(0, ?)
2
2
d? = 0 ,
(8)
d? = 0,
?x ? E2 , ?n ? N ,
или
1
?1? 2
1
?2
?1 ?2
??
0 0
?2
Q1 ( x)
Q( x)
dx1dx 2 = 0
2
Q2 (0, x 2 )
?
Q(0, x 2 )
0
2
dx 2 = 0
(9)
Таким образом, уравнение (2) имеет ? периодическое решение, если средние значения функций
Q1 ( x)
Q( x)
2
и
Q2 (0, x 2 )
Q(0, x 2 )
2
в прямоуголь-
нике 0 ? x ? ?k и в сегменте [0, ?2 ] соответственно обращаются в нуль, (k = 1,2) .
1
?1? 2
?2 =
?1?2
??
0 0
1
?2
?2
?
0
Q1 ( x)
Q( x)
2
dx1 dx 2
Q2 (0, ?)
Q(0, ?)
2
,
d? ,
а ?(x) – некоторая ? -периодическая функция.
Доказательство леммы 2.2 и следствия
2.1 очевидны.
3. Однородная система. Рассмотрим систему уравнений в частных производных (1).
Будем изучать структуру интегральной матрицы системы (1) в зависимости от собственных значений ? s матрицы A .
«Малым» интегралом системы (1) назовем структуру вида:
(11)
y ( x) = Y ( x) ? C ,
где матрица Y (x) является нормальной интегральной матрицей однородной системы
уравнений в частных производных (1), C –
произвольный постоянный n -вектор.
Найдем частные решения однородной системы (1). Будем искать их в следующем виде:
(12)
y = ? exp(? R( x)) ,
где ? ? постоянный n -вектор, ? ? постоянная
величина, а R(x) – неизвестная функция. Для
определения этих неизвестных, подставляя
(12) в (1), получим:
(13)
? ? H [ R( x)] = A?
В последней системе число неизвестных
больше, чем количество уравнений. Поэтому
выберем неизвестную функцию R(x) так, чтобы выполнялось следующее соотношение:
(14)
H [ R( x)] = 1
(в противном случае всегда можно нормировать).
Из (13), учитывая (14), будем иметь:
(15)
( A ? ? E)? = 0 ,
где E – единичная матрица.
Итак, неизвестные ? и ? определяются
из (15) классическим способом [1].
Из (14), учитывая (2) и (3), находим функцию
R( x) = V ( x)
(16)
??????? ??? ?10/???????`2006 ????? 2
!'#
Естественные науки
Таким образом, все неизвестные ? , ? и
R(x) определены. Тем самым, определены
частные решения (12) системы (1). Далее займемся построением фундаментальной системы решений (ФСР) однородной системы в
частных производных (1).
Рассмотрим следующие случаи:
Первый случай. Пусть собственные значения ? s матрицы A – различные и действительные числа. Обозначим их через ?1 ,..., ? n .
Подставив ? s , (1 ? s ? n) вместо ? в (15), получим систему алгебраических уравнений:
(17)
( A ? ? s E)? = 0
для определения вектора ? .
Известно [1], что ранг матрицы ( A ? ? s E )
равен n ? 1 , т. е. r = n ? 1 . Поэтому решение системы (17) определяется с точностью до постоянного множителя C0 . Пусть
?1( s ) ,..., ? (ns )
(18)
есть решение системы (17) (запись в координатной форме).
Следовательно, собственному значению
? s матрицы A соответствует решение вида:
y1( s ) ( x) = ?1( s ) e ? sV ( x ) , ..., y n( s ) ( x) = ? (ns ) e ? sV ( x )
(19)
системы уравнений в частных производных
(1). Меняя s от 1 до n, получим n частных решений системы (1) в следующем виде:
y1(1) ( x) = ?1(1) e ?1V ( x ) , ..., y n(1) ( x) = ? (n1) e ?1V ( x )
...............................................................
y1( n ) ( x) = ?1( n ) e ? nV ( x ) , ..., y n( n ) ( x) = ? (nn ) e ? nV ( x )
(20)
Докажем, что эти функции образуют
ФСР системы (1). С этой целью составим
матрицу:
? ?1(1) e ?1V ( x )
?
Y ( x) = ?
...
? ( n ) ? nV ( x )
? ?1 e
?
? (n1) e ?1V ( x ) ??
?
...
?
... ? (nn ) e ? nV ( x ) ?
?
...
...
(21)
Действительно, имеем
?1(1)
...
det Y ( x) = e (?1 +...+? n )V ( x )
... ? (n1)
... ... ? 0
,
... ? (nn )
?1( n )
Так как функция e (? +...+? )V ( x ) не обращается в нуль в любой точке x ? E2 , а постоянные
числа ? (ks ) , (k , s = 1, n) всегда можно выбрать так,
чтобы
1
!'$
?1(1)
...
?1( n)
... ? (n1)
... ... ? 0
... ? (nn )
в силу произвольности постоянного C0 . Т. е.
матрица Y (x) является интегральной матрицей системы (1).
Таким образом, «малый» интеграл системы (1) определяется формулой:
y1 ( x) = C1?1(1) e ?1V ( x ) + ... + C n ? (n1) e ?1V ( x )
...............................................................
y n ( x) = C1?1( n ) e ? nV ( x ) + ... + C n ? (nn ) e ? nV ( x )
где
,
(22)
– произвольные постоянные.
Пусть на основании следствия 2.1 функция V ( x) = ?1 x1 + ? 2 x2 + ?( x) , ?1 ? 0 , ? 2 ? 0 , тогда функции (22) не являются периодическими. Если
С k = 0, то функции y s ? 0 будут периодическими, (k , s = 1, n) .
Пусть V ( x) = ?( x) является периодической
функцией, т. е. удовлетворяет условию леммы 2.1. В этом случае получаем семейство ? периодических решений.
Следовательно, имеет место следующее
утверждение.
Утверждение 3.1. Пусть: 1) Cобственные
значения ? s матрицы A – различные и действительные числа, ( s = 1, n) ; 2) Выполняются условия I ? III. Тогда:
если V ( x) = ?1 x1 + ? 2 x2 + ?( x) , ?1 ? 0 , ? 2 ? 0 , то
система (1) в качестве ? -периодического решения имеет тривиальную функцию, т. е.
y ( x) ? 0 ;
если V ( x) = ?( x) ? ? -периодическая, то система (1) имеет семейство ? -периодических
решений.
Второй случай. Пусть собственные значения матрицы A различны, но среди них
имеются комплексные числа. В дальнейшем
будем считать, что ?1 ,..., ? m – действительные
числа, а ? m+1 ,..., ? n – комплексные числа, т. е.
C1 , ..., Cn
? m+1 = a m+1 + ibm+1 , ? m+ 2 = a m+1 ? ibm+1
...........................................................
n
? n?1 = a n + ibn ,
? n = a n ? ibn
,
(23)
причем a m+1 ,..., bn ? 0 – некоторые вещественные числа, а i = ? 1 – мнимая единица. За-
??????? ??? ?10/???????`2006 ????? 2
Кажанова И.Г.
О периодических решениях однородной системы уравнений...
метим, что комплексные собственные значения матрицы A будут взаимно сопряженными, так как элементы матрицы A – действительные числа.
Методика определения решений однородной системы (1), соответствующих
?1 ,..., ? m , уже известна. Поэтому более подробно остановимся на нахождении действительных частных решений системы (1), соответствующих комплексным собственным значениям матрицы A.
В самом деле, подставив ? m+1 = am+1 + ibm+1
вместо ? в (15) и рассуждая так же, как в предыдущем случае, получим решение системы
(1) в следующем виде:
( m+1)
( m +1)
y1( m+1) ( x) = ( ?11
) ? exp(( a m+1 + ibm+1 )V ( x) )
+ i?12
....................................................................................
y n( m+1) ( x) = ( ? (nm1 +1) + i ?(nm2 +1) ) ? exp(( a m+1 + ibm+1 )V ( x) )
, (24)
( m +1)
где ?11
,..., ?(nm2 +1) – некоторые действительные
числа.
Из (24), применив формулу Эйлера, получим:
y k( m +1) ( x) =
[
]
= e am +1V ( x ) ? ? (km1 +1) cos bm +1V ( x) ? ? (km2 +1) sin bm +1V ( x) +
[
+ i e am +1V ( x ) ? ? (km1 +1) sin bm+1V ( x) + ? (km2 +1) cos bm+1V ( x)
], (25)
(k = 1,..., n) .
Однако функции (25) являются комплексными.
В настоящей работе рассматриваются
только действительные функции. Поэтому из
комплексных решений (25) системы (1) выделим ее действительные решения. Для этого рассмотрим следующую лемму:
Лемма 3.1. Пусть n-вектор ? функция
z ( x) = ?( x) + i?( x)
является решением системы (1), где ?(x) , ?(x)
– действительные n-вектор – функции.
Тогда вектор – функции ?(x) и ?(x) будут
также решениями уравнения (1).
Доказательство проводится по схеме работы [2].
Из (25), на основании леммы 3.1, получим два действительных решения системы (1)
в виде:
( m+1)
yk
( m+ 2)
yk
[
? [?
](26)
V ( x)](27)
( x) = e am +1V ( x ) ? ? (km1 +1) cos bm+1V ( x) ? ? (km2 +1) sin bm+1V ( x)
( x) = e am +1V ( x )
( m +1)
k1
sin bm+1V ( x) + ? (km2 +1) cos bm+1
Аналогично можно построить действительные частные решения системы (1),
соответствующие корню ? m+ 2 = am+1 ? ibm+1 , и
они отличаются от функций (26), (27) только знаками. Поэтому их рассматривать не
будем.
Итак, паре сопряженных собственных
значений am+1 ± ibm+1 матрицы A будут соответствовать два действительных частных решениях (26) и (27) системы (1).
Решения системы (1), соответствующие
другим комплексным числам в (23), определяются также вышеуказанным способом.
Таким образом, в этом случае можно
также построить интегральную матрицу Y (x) системы (1) и тем самым ее «малый»
интеграл.
Пусть a ? 0 , тогда:
1) если функция V ( x) = ?1 x1 + ? 2 x2 + ?( x) , ?1 ? 0 ,
? 2 ? 0 , тогда функции (26) и (27) не являются
периодическими. Они будут периодическими только в случае Сk = 0, т. е. получим тривиальное решение y s ? 0 , (k , s = 1, n) ;
2) если функция V ( x) = ?( x) – периодическая, т. е. удовлетворяет условию леммы 2.1.
В этом случае получаем семейство ? -периодических решений.
Пусть a = 0 , т. е. среди собственных значений матрицы A имеются чисто мнимые.
Тогда «малый» интеграл системы (1) получим в виде:
y k ( x) = C1 ? (k11) e ?1V ( x ) + ... + C m ? (km1 ) e ? mV ( x ) +
[
[?
]
sin b V ( x) + ?
cos b V ( x) ]+
+C
+ ... + C [? cos b V ( x) ? ? sin b V ( x) ]+
+ C [? sin b V ( x) + ? cos b V ( x) ] ,
+ C m+1 ? (km1 +1) cos bm+1V ( x) ? ? (km2 +1) sin bm+1V ( x) +
m+ 2
( m +1)
k1
n ?1
n
(n)
k1
( m +1)
k2
(n)
k2
m +1
( n)
k1
n
n1
( n)
k2
m +1
n
n
(28)
( k = 1, n) .
Если функция V ( x) = ?1 x1 + ? 2 x2 + ?( x) , ?1 ? 0 ,
? 2 ? 0 , тогда функции (28) не являются периодическими. Они будут периодическими только в случае Сk = 0, (k = 1, m) .
Если V ( x) = ?( x) является периодической
функцией, т. е. удовлетворяет условию леммы 2.1, то в этом случае получаем семейство
? -периодических решений.
Следовательно, имеет место следующее
утверждение.
??????? ??? ?10/???????`2006 ????? 2
!'%
Естественные науки
Утверждение 3.1. Пусть: 1) Cобственные
значения ? s матрицы A различные и среди них
имеются комплексные числа, т. е. числа вида
a ± ib ( s = 1, n) ; 2) Выполняются условия I ? III.
Тогда:
Если a ? 0 , то
1) V ( x) = ?1 x1 + ? 2 x2 + ?( x) , ?1 ? 0 , ? 2 ? 0 , тогда
функции (26) и (27) не являются периодическими. Они будут периодическими только в
случае Сk = 0, т. е. получим тривиальное решение y s ? 0 , (k , s = 1, n) .
2) V ( x) = ?( x) – периодическая. В этом случае система (1) имеет семейство ? -периодических решений.
Если a = 0 , то
1) V ( x) = ?1 x1 + ? 2 x2 + ?( x) , ?1 ? 0 , ? 2 ? 0 , то
система (1) имеет ? -периодическое решение
(28), когда Сk = 0, (k = 1, m) ;
2) V ( x) = ?( x) ? ? -периодическая, то система (1) имеет семейство ? -периодических решений.
Третий случай. Случай кратных корней
изучается способом аналогичным, как в [2].
Список использованной литературы:
1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1958.
2. Тажимуратов И.Т., Кубенова Ш.И. Введение в теорию линейных систем уравнений в частных производных первого
порядка с одинаковыми главными частями. Актобе: УМО, 2000.
!'&
??????? ??? ?10/???????`2006 ????? 2
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
119 Кб
Теги
первого, однородные, уравнения, частных, система, производной, решения, порядке, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа