close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О построении математических моделей для решения задач динамики упругих летательных аппаратов.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
Том XXXVI
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
2005
№3—4
УДК 629.7.015.4:533.6.013.42
О ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ УПРУГИХ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
С. В. МОРГУНОВ
Показано, как исходная система уравнений движения упругой системы, составленная
методом конечных элементов или другим аналогичным методом, при условии, что известно
некоторое число ее тонов собственных колебаний, в число которых входят все имеющиеся
у нее «нулевые» тона, может быть расщеплена на две подсистемы уравнений. Одна из них
описывает движения по упомянутым выше известным тонам колебаний, а другая — по
остальным степеням свободы. Приведены соответствующие выкладки и итоговые
соотношения. Преимущество такого преобразования состоит в отсутствии инерционных и
жесткостных связей между полученными подсистемами уравнений. Одно из применений
предлагаемого подхода показано на примере построения уравнений движения для
исследования динамики полета с учетом упругих деформаций летательного аппарата, а также
на примере построения уравнений для исследования динамической аэроупругости.
Под математической моделью будем подразумевать совокупность дифференциальных
уравнений, описывающих динамику упругого летательного аппарата. Всегда стремятся
уменьшить число таких уравнений, обеспечив в то же время приемлемую точность. Ниже
излагается один из подходов, позволяющий реализовать эту задачу — задачу построения
математических моделей минимальной размерности для решения задач динамики упругих
летательных аппаратов.
1. Расщепление уравнений движения упругого летательного аппарата на две
подсистемы уравнений. Будем исходить из того, что в основе описания летательного аппарата
как упругой системы лежит метод конечных элементов или любой другой метод, приводящий к
уравнениям движения в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго
порядка
M ⋅ 
x + A⋅x =
P.
(1)
Здесь x — вектор-столбец обобщенных координат из N компонент; М, А — соответственно
матрица обобщенных масс и матрица обобщенных жесткостей; P — вектор-столбец внешних
сил, являющийся функцией параметров потока, ориентации летательного аппарата относительно
потока и поля сил тяжести, отклонения органов управления, а также упругих перемещений.
Предполагаем, кроме того, что известны n низших собственных тонов колебаний,
характеризуемых собственными векторами f и собственными частотами ω. Таким образом,
( N × n ) — матрица F, столбцами которой являются собственные векторы f, и ( n × n ) —
диагональная матрица Ω, по диагонали которой расположены собственные частоты ω,
удовлетворяют соотношению
102
(2)
A⋅F − M
Ω ⋅F⋅ 2 =
0.
Будем считать, что матрица F содержит все без исключения «нулевые» тона (тона, которым
соответствует ω =0).
Уравнение (1) можно рассматривать как условие равенства нулю N-мерного вектора сил:
Y = A ⋅ x + M ⋅ 
x − P.
(3)
Если N-мерное пространство сил разделить на два или большее число подпространств, то
равенство нулю какого-либо вектора эквивалентно равенству нулю его проекций на эти
подпространства. Исходя из этих представлений, введем N-мерное пространство сил, обозначив
его R. Представим R в виде объединения n-мерного подпространства R1 с базисными векторами,
являющимися столбцами матрицы M ⋅ F, и (N − n)-мерного подпространства R 2 , дополняющего
R1 до R. В соответствии с этим любой вектор сил Y может рассматриваться как сумма
Y
= Y1 + Y2 ,
(4)
где Y1 ∈ R1 , Y2 ∈ R 2 . Компоненту Y1 вектора Y определим соотношением
Y1 = M ⋅ F ⋅ p,
(5)
где p — n-мерный вектор координат вектора Y в R1 , а компоненту Y2 — соотношением
F T ⋅ Y2 =
0.
(6)
Соотношения (4) — (6) позволяют однозначно определить векторы p, Y1 и Y2 для любого
вектора Y:
p=
(F
T
⋅M ⋅F
)
−1
⋅ F ⋅ Y,
T
=
Y
1 E1 ⋅ Y,
(7)
T
Y=
2 E 2 ⋅ Y.
Здесь
(
E1 =F ⋅ F T ⋅ M ⋅ F
)
−1
⋅ F T ⋅ M,
(8)
E2= E − E1.
С учетом (7) уравнение (1) может быть заменено следующей эквивалентной системой
уравнений:
E1T ⋅ ( M ⋅ 
x + A ⋅ x )= E1T ⋅ P,
ET2 ⋅ ( M ⋅ 
x + A ⋅ x )= ET2 ⋅ P.
(9)
Обратимся теперь к N-мерному пространству всевозможных перемещений x, обозначив его
через U. Будем считать столбцы матрицы F базисными векторами n-мерного подпространства U1. Введем также (N−n)-мерное подпространство U 2 , дополняющее U1 до U. В соответствии
с этим произвольный вектор-столбец x перемещений представим в виде суммы
=
x x1 + x 2 ,
(10)
103
где x1 = F ⋅ q ∈ U1 , x 2 ∈ U 2 . В свою очередь, q – n-мерный вектор координат вектора x1 в U1.
Определим вектор x 2 из условия его ортогональности с базисом F через матрицу M:
FT ⋅ M ⋅ x2 =
0.
(11)
Путем несложных преобразований получим следующие выражения для векторов q, x1 и x 2
через вектор x:
q=
(F
T
⋅M ⋅F
)
−1
⋅ F T ⋅ M ⋅ x,
x=
1 E1 ⋅ x,
(12)
x=
2 E 2 ⋅ x.
Подставляя (12) в (9), а также учитывая, что x = F ⋅ q + x 2 , F T ⋅ M ⋅ x 2 =
x 2 ∈ U 2 , после
0, 
несложных преобразований придем к уравнениям:
 + m ⋅ Ω 2 ⋅ q = F T ⋅ P,
m ⋅q
ET2 ⋅ A ⋅ x 2 = ET2 ⋅ P − ET2 ⋅ M ⋅ 
x2 ,
(13)
где m = F T ⋅ M ⋅ F.
Пусть известна такая матрица A1 , что
A1 ⋅ x ≠ 0,если x ∈ U1,
A1 ⋅ x 0,если x ∈ U 2.
=
(14)
Поскольку мы предполагаем, что x 2 ∈ U 2 , то второе из уравнений (13) не нарушится, если
записать его в виде:
(15)
ET2 ⋅ A ⋅ E + A1 ⋅ x 2 = ET2 ⋅ P − ET2 ⋅ M ⋅ x2 .
(
)
(
)
Нетрудно показать, что det ET2 ⋅ A ⋅ E + A1 ≠ 0, в силу чего из (15) вытекает следующее
уравнение для вектора перемещений x 2 :
x 2 = S ⋅ P − S ⋅ M ⋅ x2 ,
(16)
где
S=
(E
T
2
⋅ A ⋅ E2 + A1
)
−1
⋅ ET2 .
В соответствии с (14) в качестве матрицы A1 можно использовать матрицу a ⋅ E1 , где a —
произвольный множитель, в качестве которого можно взять, например, след матрицы A.
Подведем итог изложенному выше. Если динамика упругой системы описывается
матричным уравнением (1) и известно некоторое число ее тонов собственных колебаний, в число
которых входят все «нулевые» тона, то уравнение (1) можно «расщепить» на два следующих
эквивалентных системе (1) уравнения:
 =− q 2 ⋅m + F−1 ⋅ PT ⋅ ,
qΩ
x 2 = S ⋅ P − S ⋅ M ⋅ 
x2 .
При этом полный вектор перемещений определяется соотношением
x = F ⋅ q + x2 .
104
(17)
Уравнения (17) связаны друг с другом только через вектор обобщенных сил P, если его
компоненты зависят от перемещений x. Жесткостные и инерционные связи при этом отсутствуют.
Заметим, что при определенных условиях второе из уравнений (17) можно представить
в виде сходящегося ряда
x2 = S ⋅ P − S ⋅ M ⋅ S ⋅
d2P
dt 2
+ (S ⋅ M ) ⋅ S ⋅
2
d4P
dt 4
− (S ⋅ M ) ⋅ S ⋅
3
d6 P
dt 6
+ ,
(18)
который можно использовать, например, для построения различных методов конденсации.
Ограничившись таким замечанием и не развивая эту тему дальше, остановимся на двух примерах
использования уравнений (17).
2. Математическая модель для исследования динамики полета с учетом упругих
деформаций. Пусть речь идет о построении математической модели, предназначенной для
исследования траекторных, длиннопериодических и короткопериодических движений
летательного аппарата. Переменные аэродинамические силы, действующие на летательный
аппарат, порождены в данном случае именно этими движениями и имеют соответствующие
частотные
спектры.
В большинстве случаев частоты этих движений существенно меньше самых низких частот
собственных упругих колебаний летательного аппарата. Приняв в качестве столбцов матрицы F
формы только «нулевых» тонов (это означает, что в первом из уравнений (17) Ω = 0), вполне
обоснованно можно считать упругие перемещения, соответствующие компонентам вектора x 2 ,
квазистатическими. А это, в свою очередь, означает, что во втором из уравнений (17) можно положить x2 = 0.
Пусть известна математическая модель для вектора аэродинамических сил в виде
зависимости (оператора)
P =αP (δ ,x ,
2
),
(19)
где α — вектор-столбец параметров, характеризующих обтекание летательного аппарата как
жесткого целого; δ — вектор-столбец отклонений органов управления. Вектор α является
функцией обобщенных перемещений q, обобщенных скоростей q , а также вектора скорости

потока v.
Уравнения, описывающие динамику упругого летательного аппарата, приобретут
следующий вид:
 = αF Tδ⋅ Px( , ,
m ⋅q
x 2= αS ⋅δP (x , ,
2
2
).
),
(20)
Жесткий летательный аппарат описывается этими же уравнениями (20), если положить
в них x 2 = 0.
Таким образом, в рассмотренном случае уравнения движения упругого летательного
аппарата аналогичны по структуре уравнениям жесткого и отличаются от последних только
наличием дополнительных аэродинамических сил, обусловленных упругими квазистатическими
перемещениями. Форма записи уравнений движения жесткого летательного аппарата может и не
совпадать с формой записи первого из уравнений (20). Но это не меняет сказанного. Отметим,
что если положение в пространстве как жесткого, так и деформированного летательных
аппаратов определять пространственным положением их главных осей инерции, то не будет
отличия в определении для них углов атаки, скольжения, тангажа, крена и т. п.
Отдельным является вопрос о разрешении второго уравнения (20) относительно x 2 . Это во
многом зависит от вида оператора Pα( ,δ ,x 2 ) .
Существуют ситуации, когда собственная частота одного или нескольких тонов упругих
колебаний близка к частотам короткопериодических движений. Тогда в разряд динамических
105
степеней свободы кроме «нулевых» тонов должны быть включены и эти тона упругих колебаний.
Все остальные степени свободы, очевидно, следует считать квазистатическими. При этом к
уравнениям, описывающим динамику жесткого летательного аппарата, нужно добавить
динамические уравнения, описывающие упругие перемещения по упомянутым тонам
собственных колебаний. Все остальные перемещения, как и раньше, следует считать
квазистатическими. В этом случае целесообразно представить матрицу F в виде F = Fж Fу  , где
Fж соответствует «нулевым» тонам, а Fy — упругим. Вместо уравнений (13) получим тогда
следующие уравнения:
(
T
α
mж ⋅ q
ж =δFжF ⋅ Pq , x,
 у +αΩδу2 ⋅ m
mу ⋅ q
Fуq
= FуT x⋅ P
(
x 2у=
αSу⋅δP F2, q,
у
(
⋅
у
, ,
x⋅
+
2
),
⋅
у
+
у
2
),
(21)
).
+
Первое из этих уравнений, как и прежде, идентично уравнению движения жесткого
летательного аппарата.
Существует еще одна, менее очевидная, ситуация. Может оказаться, что хотя частота
собственных колебаний в пустоте по какому-либо тону значительно выше частот
короткопериодических движений, в конкретных условиях полета она из-за влияния так
называемой аэродинамической жесткости сближается с частотами короткопериодических
движений. И в этом случае соответствующая степень свободы также должна быть переведена в
разряд динамических, т. е. математическая модель приобретет вид (21).
Как следует из (20), для определения квазистатических перемещений и, следовательно,
аэродинамических сил в каждый момент движения необходимо решить уравнение
x 2= αS ⋅δP (x , ,
2
),
в котором неизвестное квазистатическое перемещение x 2 содержится как справа, так и слева.
Аналогичная ситуация и с уравнениями (25).
Во многих случаях возможна линеаризация оператора Pα( ,δ ,x 2 ) в отношении упругих
перемещений, т. е. представление его в следующем виде:
Pα( ,δ ,x=
( ,δ
2) P α
) +B
x⋅ 2 .
(22)
Здесь B — так называемая матрица аэродинамической жесткости. Выражение для вектора
x 2 приобретет следующий вид:
x2 =
( E −αS ⋅δB )−1 ⋅ S ⋅ P (
,
),
(23)
а вместо уравнений (20) получим следующее матричное уравнение:
 = F T ⋅ E +αB ⋅δ( E − S ⋅ B )−1 ⋅ S  ⋅ P ( ,
m ⋅q


).
(24)
Отличие этого уравнения от уравнения для жесткого летательного аппарата состоит только
в наличии множителя перед оператором Pα( ,δ ) .
Используя линеаризованный аэродинамический оператор (22) и в уравнениях (21),
приведем их к следующему виду:
−1
ж = FжТ ⋅ α
mж ⋅ q
E +δB ⋅ (BE −FS ⋅ qB ) ⋅ S  ⋅  P ( ,


 у + Ω у2
mу ⋅ q
106
⋅ mу =
FуT
−1
)+
⋅
у
⋅
у
,
⋅ E + B ⋅ ( E − S ⋅ B ) ⋅ S  ⋅  P ( α, δ ) + B ⋅ Fу ⋅ q у  .


(25)
3. Задачи динамической аэроупругости. Как правило, это задачи аэроупругой
устойчивости, основной целью которых является получение ответа на вопрос, устойчивы ли
упругие колебания в некотором диапазоне частот. Эти задачи обычно решают в приращениях,
поэтому будем использовать только линейные операторы. Кроме того, в отличие от задач
динамики полета, в которых мы не учитывали как конструкционное, так и аэродинамическое
демпфирование, в этих задачах оба вида демпфирования нужно учитывать. Далее, при их
решении можно, во-первых, пренебречь степенями свободы, соответствующими «нулевым»
тонам. Во-вторых, можно считать квазистатическими те степени свободы, которым
соответствуют осцилляторы (формы колебаний) с собственными частотами, существенно
превышающими верхнюю границу рассматриваемого частотного диапазона.
В соответствии со сказанным в первом из уравнений (17) можно отбросить все степени
свободы, соответствующие «нулевым» тонам, а вектор-столбец аэродинамических сил P
представить как линейную функцию упругих перемещений и упругих скоростей (скоростями
квазистатических перемещений пренебрежем):
P = B ⋅ ( F ⋅ q + x 2 ) + D ⋅ F ⋅ q .
(26)
Здесь B и D — соответственно матрицы аэродинамической жесткости и аэродинамического
демпфирования. Кроме того, в левую часть первого из уравнений (17) необходимо ввести слагаемое
1
⋅ Ω ⋅ Δ ⋅ q ,
π
описывающее силы вязкого конструкционного трения (здесь ∆ — диагональная (n × n)-матрица
логарифмических декрементов колебаний, определяемых, как правило, экспериментально), а во
втором из уравнений (17) нужно принять x2 = 0.
После исключения из (17) вектора квазистатических перемещений x 2 придем к
окончательному виду уравнения для исследований динамической аэроупругости:
−1
 + 1Δ⋅ q ⋅ Ω⋅  +q 2m
qΩ
⋅ = F −1 ⋅ ET ⋅B +E ⋅S( B− ⋅ S) ⋅B F⋅ ( q ⋅ D⋅ F+ q ⋅ ⋅  ) .


π
Как видим, учет квазистатических перемещений не меняет структуру уравнений движения,
а лишь приводит к возникновению перед аэродинамическим оператором матрицы-множителя
 E + B ⋅ ( E − S ⋅ B )−1 ⋅ S  .


Приведенные выше примеры можно интерпретировать как некую разновидность
конденсации.
ЛИТЕРАТУРА
1. М о р г у н о в С. В.
Частично-ортогональные системы координат и их
использование в задачах динамики упругих систем // Ученые записки ЦАГИ. — 1976. Т. VII,
№ 5.
2. М о р г у н о в С. В., С е м е н о в А. С. Влияние упругих деформаций конструкции
на нагружение летательного аппарата в полете // ТВФ. — 1970, № 4.
3. Г а н т м а х е р Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука. — 1968.
_________________
Рукопись поступила 9/II 2004 г.
107
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
176 Кб
Теги
динамика, построение, решение, математические, упругие, летательных, аппаратов, моделей, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа