close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О представлении типа Стайнспринга для n-наборов вполне положительных отображений в гильбертовых c -модулях.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2014, № 11, c. 42–49
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
М.А. ПЛИЕВ, И.Д. ЦОПАНОВ
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ТИПА СТАЙНСПРИНГА ДЛЯ n-НАБОРОВ
ВПОЛНЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ
C -МОДУЛЯХ
Аннотация. В работе устанавливается вариант теоремы Стайнспринга для n-наборов вполне
положительных отображений в гильбертовых C -модулях.
Ключевые слова: гильбертовы C -модули, C -алгебры, -гомоморфизмы, вполне положительные отображения, n-вполне положительные отображения.
УДК: 517.98
Введение
Вполне положительные отображения, действующие в операторных алгебрах, являются
полезным инструментом исследования в квантовой механике и теории квантовых вычислений. Пусть A и B — C -алгебры. Вполне положительное отбражение ϕ : A → B —
это линейное отображение такое, что [ϕ(aij )]ni,j=1 — положительный элемент в C -алгебре
Mn (B) всех n × n-квадратных матриц с элементами из B, для всех положительных матриц
[(aij )]ni,j=1 в Mn (A), n ∈ N. В.Ф. Стайнспринг в работе [1] показал, что вполне положительное отображение ϕ : A → L(H) из алгебры A в алгебру L(H) линейных, ограниченных
операторов в гильбертовом пространстве H, можно представить в форме ϕ(·) = S π(·)S,
где π — представление алгебры A в гильбертовом пространстве K и S — линейный ограниченный оператор из H в K. Структура n-вполне положительных отображений, понимаемых
как квадратные n × n-матрицы, элементы которых линейные положительные отображения
из C -алгебры A в L(H), была исследована в работе [2].
Гильбертовы C -модули являются обобщением как гильбертовых пространств, так и C алгебр. В работе [3] установлен аналог теоремы Стайнспринга для вполне положительных
отображений в гильбертовых C -модулях. Позднее в [4] сняты некоторые технические ограничения. В [5] изучена проблема с точки зрения теории C -соответствий. В работах [6], [7]
установлена ковариантная версия теоремы Стайнспринга и доказан некомутативный вариант теоремы Радона–Никодима. В [8] доказан вариант теоремы Стайнспринга для гильбертовых модулей над локальными C -алгебрами. В данной статье найдем аналог теоремы
Стайнспринга для n-наборов вполне положительных отображений, действующих в гильбертовых C -модулях.
Поступила 17.04.2013
Первый автор поддержан грантом Российского фонда фундаментальных исследований, № 14-0191339.
42
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ТИПА СТАЙНСПРИНГА
43
1. Предварительные сведения
Приведем некоторые предварительные сведения, необходимые для дальнейшего. Цель
данного раздела — зафиксировать терминологию, обозначения и ввести требуемые понятия. Все необходимые сведения о C -алгебрах, гильбертовых C -модулях и вполне положительных отображениях можно найти в [9]–[12].
1.1. Гильбертовы пространства будем обозначать через H1 , H2 , K1 , K2 . Соответствующие внутренние произведения и индуцированные ими нормы обозначаются через ·, · и · соответственно. Будем полагать, что внутренние произведения линейны по второй переменной и сопряженно-линейны по первой. Пространство линейных ограниченных операторов,
действующих из H1 в H2 обозначается через L(H1 , H2 ) и L(H1 ) := L(H1 , H1 ). C -алгебры
будем обозначать через A, B и т. д.
Напомним, что для C -алгебры A элемент x ∈ A называется положительным, если
x = x и σ(x) ⊂ R+ , где σ(x) — спектр элемента x.
Через Mn (A) обозначим -алгебру всех матриц над алгеброй A, где сложение и умножение матриц, а также умножение на элемент основного поля задаются так же, как и в случае
скалярных матриц. Известно, что Mn (A) также является C -алгеброй ([10], теорема 3.4.2).
Линейное отбражение ϕ : A → B называется вполне положительным, если линейное отображение ϕn : Mn (A) → Mn (B), заданное формулой ϕn ([aij ]ni,j=1 ) = [ϕ(aij )]ni,j=1 , является
положительным для всех n ∈ N.
Квадратную n × n-матрицу линейных отображений (ϕij )ni,j=1 из A в B можем рассматривать как линейное отображение [ϕ] : Mn (A) → Mn (B) матричных алгебр, заданное формулой [ϕ]((aij )ni,j=1 ) = (ϕij (aij ))ni,j=1 . Будем говорить, что матрица (ϕij )ni,j=1 — n-вполне
положительное отображение из A в B, если [ϕ] — вполне положительное отображение из
Mn (A) в Mn (B).
Пусть [ϕij ]ni,j=1 — n-вполне положительное отображение из A в B. Обозначим через Dij
матрицу, все элементы которой нули, за исключением элемента, находящегося на (i, j) ). Отсюда выводим, что
позиции и равного d. Тогда имеем [ϕ](Dij ) = [ϕ](Dij
ϕij (d) = ϕji (d ).
Предгильбертовым A-модулем называется комплексное векторное пространство V , которое также является правым A-модулем, снабженное полуторалинейной формой ·, · :
V × V → A, удовлетворяющее следующим свойствам:
(0.1) x, x ≥ 0 для любого x ∈ V ;
(0.2) x, y = y, x для любых x, y ∈ V ;
(0.3) x, x = 0 ⇔ x = 0 для любого x ∈ V ;
(0.4) x, ya = y, xa для любых x, y ∈ V ; a ∈ A.
Будем говорить, что V — гильбертов A-C -модуль, или просто C -модуль, если V является
банаховым пространством относительно нормы
x := x, x, x ∈ V.
Гильбертов C -модуль V называется полным, если двусторонний замкнутый идеал V, V A ,
порожденный {x, yA : x, y ∈ V }, совпадает с A. Далее будем полагать, что все гильбертовы
C -модули являются полными. Отметим, что пространство L(H1 , H2 ) является гильбертовым L(H1 )-модулем для любых гильбертовых пространств H1 , H2 относительно следующих
операций:
(0.6) внешнее умножение (T, S) → T S : L(H1 , H2 ) × L(H1 ) → L(H1 , H2 );
(0.7) внутреннее произведение (T, S) → T S : L(H1 , H2 ) × L(H1 , H2 ) → L(H1 ).
44
М.А. ПЛИЕВ, И.Д. ЦОПАНОВ
Представлением гильбертова C -модуля V на паре гильбертовых пространств H1 и H2 называется отображение Ψ : V → L(H1 , H2 ) такое, что существует -представление π алгебры A в гильбертовом пространстве H1 и для любых x, y ∈ V справедлива формула
Ψ(x), Ψ(y) = π(x, y). В случае полноты C -модуля V ассоциированое с Ψ представление π однозначно. Представление Ψ : V → L(H1 , H2 ) называется невырожденным, если
[Ψ(V )(H1 )] = H2 и [Ψ(V ) (H2 )] = H1 (через [Y ] обозначим замкнутое подпространство
гильбертова пространства Z, порожденное подмножеством Y ⊂ Z). Линейное отображение Φ : V → L(H1 , H2 ) называется вполне положительным отображением гильбертовых C -модулей, если существует линейное вполне положительное отображение C -алгебр
ϕ : A → L(H1 ) такое, что Φ(x), Φ(y) = ϕ(x, y) для любых x, y ∈ V .
2. Основной результат
Рассмотрим гильбертов C -модуль V над C -алгеброй A и пусть H1 , H2 — гильбертовы
пространства. Пусть Φi , i ∈ {1, . . . , n}, — отображения Φi : V → L(H1 , H2 ).
Набор n-отбражений Φ = (Φ1 , . . . , Φn ) называется вполне положительным, если существует
n-вполне положительное отображение [ϕ] из A в L(H1 ) такое, что [Φi (x), Φj (y)]ni,j=1 =
[ϕij x, y]ni,j=1 для любых x, y ∈ V . Сформулируем основной результат.
Теорема 2.1. Пусть A — унитальная C -алгебра, V — гильбертов C -модуль, [ϕij ]ni,j=1 :
A → L(H1 ) — n-вполне положительное отображение и Φ = (Φ1 , . . . , Φn ), Φi : V →
L(H1 , H2 ), i ∈ {1, . . . , n}, — [ϕ]-вполне положительный n-набор. Тогда существует следующий набор данных : (π, S1 , . . . , Sn , K1 ), (Ψ, W1 , . . . , Wn , K2 ), где
(1) K1 и K2 — гильбертовы пространства;
(2) Ψ : V → L(K1 , K2 ) — представление V на гильбертовых пространствах K1 и K2 ,
π : A → L(K1 ) — -гомоморфизм, ассоциированный с Ψ, Si : H1 → K1 — изометрические
линейные операторы, Wi : H2 → K2 — коизометрические линейные операторы для любого
i ∈ {1, . . . , n} такие, что
ϕij (a) = Si πA (a)Sj для любого a ∈ A; i, j ∈ {1, . . . , n},
и
Φi (x) = Wi Ψ(x)Si для любых x ∈ V и каждого i ∈ {1, . . . , n}.
Доказательство. Докажем существование π, K1 и S1 , . . . , Sn . Обозначим через (A ⊗ H1 )n
прямую сумму n-копий алгебраического тензорного произведения A ⊗ H1 . Отметим, что
произвольный элемент векторного пространства (A ⊗ H1 )n имеет вид
m1
mn
a1s ⊗ ξ1s , . . . ,
ans ⊗ ξns и m = max{m1 , . . . , mn }.
s=1
s=1
Дополнив суммы при необходимости нулями, можем полагать, что произвольный элемент
m
(ais ⊗ ξis )ni=1 . Рассмотрим теперь на
пространства (A ⊗ H1 )n можно представить как
s=1
векторном пространстве (A ⊗ H1 )n отображение ·, ·0 : (A ⊗ H1 )n × (A ⊗ H1 )n → C, заданное
формулой
m
s=1
(ais ⊗
ξis )ni=1 ,
m,l l
n
n
(bjt ⊗ ηjt )j=1 =
ξis , ϕij (ais bjt )ηjt .
t=1
0
s,t=1 i,j=1
Оно является C-линейным по второй переменной и сопряженно-линейным по первой. Кроме
того, справедливо равенство
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ТИПА СТАЙНСПРИНГА
m
(ais ⊗ ξis )ni=1 ,
s=1
m,l n
l
(bjt ⊗ ηjt )nj=1
=
ξis , ϕij (ais bjt )ηjt =
0
t=1
=
45
m,l
s,t=1 i,j=1
n
ηjt , (ϕij (ais bjt )) ξis s,t=1 i,j=1
l
m
n
=
(bjt ⊗ ηjt )j=1 ,
(ais ⊗ ξis )ni=1
t=1
s=1
0
для любых (ais ⊗ ξis )ni=1 , (bjt ⊗ ηjt )nj=1 ∈ (A ⊗ H1 )n . Наконец, имеет место еще одно важное
свойство отображения ·, ·0 , позволяющее задать на подходящем фактор-пространстве (A⊗
H1 )n скалярное произведение
m
(ais ⊗ ξis )ni=1 ,
s=1
m
(ais ⊗ ξis )ni=1 ≥ 0.
0
s=1
Неотрицательность в последнем неравенстве обеспечивается тем, что [ϕ] является вполне
положительным отображением из Mn (A) в Mn (L(H1 )). Пусть теперь
M := {ζ ∈ (A ⊗ H1 )n : ζ, ζ0 = 0}.
Используя неравенство Коши–Шварца, получаем, что M — подпространство в (A ⊗ H1 )n .
Тогда на фактор-пространстве (A ⊗ H1 )n /M можно задать скалярное произведение ζ1 +
M, ζ2 + M := ζ1 , ζ2 0 . Пополнение (A ⊗ H1 )n /M относительно нормы, заданной скалярным произведением, обозначим через K1 . Обозначим через ξi элемент в (A ⊗ H1 )n , где
i-я компонента имеет вид 1 ⊗ ξ и на остальных позициях стоят нули. Теперь отображения
Si : H1 → K1 можем задать формулой
Si (ξ) = ξi + M.
Обозначим через ξa,i такой элемент пространства (A ⊗ H1 )n /M , что i-я компонента имеет
вид a ⊗ ξ и на остальных позициях находятся нули. Пусть a ∈ A. Рассмотрим линейное
отображение π(a) : (A ⊗ H1 )n → (A ⊗ H1 )n , заданное формулой π(a)(ai ⊗ ξi )ni=1 = (aai ⊗
ξi )ni=1 . Оператор π(a) можно продолжить по непрерывности до линейного отображения из
K1 в K1 . При этом сохраним то же обозначение π(a). Доказательство того факта, что
π(a) является представлением алгебры A в гильбертовом пространстве K1 , проводится по
той же схеме, что и доказательство теоремы 3.3.2 из [13]. Непосредственно проверяется,
что π(ai )Si ξi = ξi,a + M . Таким образом, подпространство K1 , порожденное элементами
π(ai )Si ξi , i ∈ {1, . . . , n}, ξi ∈ H1 , ai ∈ A есть в точности (A ⊗ H1 )n /M .
Введем пространство K2 := [{Ψi (V )(H1 )}], i = 1, . . . , n. Теперь оператор Ψ : V →
L(K1 , K2 ) можем задать формулой
m
m
π(a1s )S1 ξ1s , . . . ,
π(ans )Sn ξns :=
Ψ(x)
s=1
s=1
:=
m
s=1
Φ1 (xa1s )ξ1s + · · · +
m
s=1
Φn (xans )ξns =
n m
Φi (xais )ξis ,
i=1 s=1
где x ∈ V , ais ∈ A, ξis ∈ H1 , 1 ≤ s ≤ m, m ∈ N. Покажем, что линейное отображение Ψ(x)
ограничено. Действительно, имеют место формулы
2
2 m
m
m
m
Ψ(x)
π(a1s )S1 ξ1s , ...,
π(ans )Sn ξns =
Φ1 (xa1s )ξ1s +· · ·+
Φn (xans )ξns =
s=1
s=1
s=1
s=1
46
М.А. ПЛИЕВ, И.Д. ЦОПАНОВ
=
m n
Φi (xais )ξis ,
s=1 i=1
n
m =
m n
Φj (xajr )ξjr =
r=1 j=1
ξis , ϕij (xais , xajr )ξjr =
s,r=1 i,j=1
ξis , Φi (xais ) Φj (xajr )ξjr =
s,r=1 i,j=1
n
ξis , Si π(ais x, xajr )Sj ξjr =
s,r=1 i,j=1
=
=
m
m n
m
n
π(ais )Si (ξis ), π(x, x)π(ajr )Sj ξjr =
s,r=1 i,j=1
m n
m n
π(ais )Si (ξis ), π(x, x)
π(ajr )Sj ξjr
≤
s=1 i=1
r=1 j=1
m n
m n
2
2
2
π(ai,r )Si ξi,r ≤ x π(ai,r )Si ξi,r ≤ π(x, x) .
r=1 i=1
r=1 i=1
Таким образом, оператор Ψ(x) ограничен на плотном подпространстве и, следовательно,
может быть продолжен на все пространство K1 . Для продолженного оператора сохраним
то же обозначение. Покажем, что отображение Ψ является представлением гильбертовых
C -модулей. Рассмотрим x, y ∈ V ; ais , bjr ∈ A; ξis , ηjr ∈ H1 ; 1 ≤ i, j ≤ n; 1 ≤ s ≤ l, 1 ≤ r ≤ m;
n, m ∈ N. Тогда можем записать
n
n
m l π(bj,r )Sj ηj,r ,
π(ai,s )Si ξi,s =
Ψ(x) Ψ(y)
r=1 j=1
s=1 i=1
=
n
m Φj (ybjr )ηjr ,
r=1 j=1
=
l m
n
n
l Φi (xais )ξis =
s=1 i=1
Φi (xais ) Φj (ybjr )ηjr , ξis =
s=1 r=1 i,j=1
l m n
ϕij (xais , ybjr )ηjr , ξis =
s=1 r=1 i,j=1
=
l m
n
Si π(ais x, yajr )Sj ηjr , ξis =
s=1 r=1 i,j=1
n
n
m l π(bj,r )Sj ηj,r ,
π(ai,s )Si ξi,s .
= π(x, y)
r=1 j=1
s=1 i=1
Таким образом, равенство Ψ(x) Ψ(y) = Ψ(x), Ψ(y) = π(x, y) выполняется на плотном
множестве. Отсюда в силу непрерывности получаем, что операторы Ψ(x), Ψ(y) и π(x, y)
совпадают на всем пространстве K1 . Заметим, что K2 ⊂ H2 . Обозначим замкнутое подпространство [Φi (V )(H1 )] пространства H2 через K2i . Пусть Wi := PK2i , i ∈ {1, . . . , n}, — ортогональный проектор на подпространство K2i . Тогда получаем, что оператор Wi : K2i → H2
является оператором включения. Следовательно, Wi Wi = IK2i для любого i ∈ {1, . . . , n}.
Для любых x ∈ V и ξ ∈ H1 имеем Φi (x)(ξ) = Wi Ψ(x)Si (ξ), i ∈ {1, . . . , n}.
Пусть [ϕ] и Φ такие же, как в теореме 2.1. Будем говорить, что набор данных
(π, S1 , . . . , Sn , K1 ), (Ψ, W1 , . . . , Wn , K2 ) является представлением Стайнспринга для (ϕ, Φ),
), i ∈ {1, . . . , n}, обозначим
если выполняются условия (1)–(2) теоремы 2.1. Через K2i (K2i
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ТИПА СТАЙНСПРИНГА
47
замкнутые подпространства [Ψ(V )Si (H1 )] ([Ψ (V )Si (H1 )]). Такое представление называется
минимальным если
1) K1 = [{π(A)Si (H1 ) : i = 1, . . . , n}],
2) K2 = [{Ψ(V )Si (H1 ) : i = 1, . . . , n}].
Теорема 2.2. Пусть [ϕ] и Φ такие же, как и в теореме 2.1. Предположим, что
(π, S1 , . . . , Sn , K1 ), (Ψ, W1 , . . . , Wn , K2 ) и (π , S1 , . . . , Sn K1 ), (Ψ , W1 , . . . , Wn , K2 ) — минимальные представления Стайнспринга. Тогда существуют унитарные операторы U1 :
K1 → K1 , U2 : K2 → K2 такие, что
(1) U1 Si = Si ∀i ∈ {1, . . . , n}; U1 π(a) = π (a)U1 ∀a ∈ A.
(2) U2 Wi = Wi ∀i ∈ {1, . . . , n}; U2 Ψ(x) = Ψ (x)U1 ∀x ∈ V .
Для всех a ∈ A, x ∈ V , i ∈ {1, . . . , n} коммутативна диаграмма
S
i
→
H1 −−−−
⏐
⏐
Id
π(a)
K1 −−−−→
⏐
⏐U
1
S
Ψ(x)
W
K1 −−−−→
⏐
⏐U
1
π (a)
K2 ←−−i−−
⏐
⏐U
2
H2
⏐
⏐
Id
W
Ψ (x)
i
H1 −−−−
→ K1 −−−−→ K1 −−−−→ K2 ←−−i−− H2
Доказательство. Докажем существование унитарного оператора U1 : K1 → K1 . На первом
шаге зададим U1 на плотном подпространстве — линейном пространстве, порожденном
множеством {π(A)Si (H1 ); i = 1, . . . , n}:
m m n
n
π(ais )Si (ξis ) :=
π (ais )Si (ξis ) ,
U1
s=1 i=1
s=1 i=1
где ais ∈ A, ξis ∈ H1 , m ∈ N. Прямым вычислением проверяется, что оператор U1 является изометрией. Продолжение оператора U1 по непрерывности на все пространство K1
обозначим тем же символом. Тогда U1 — унитарный оператор, удовлетворяющий условию
(1). Зададим теперь оператор U2 на плотном подпространстве (линейном пространстве),
порожденном множеством {Ψ(V )Si (H1 ) : i = 1, . . . , n}:
m
m
Ψ(x1s )S1 ξ1s + · · · +
Ψ(xns )Sn ξns :=
U2
s=1
s=1
:=
m
Ψ
(x1s )S1 ξ1s
s=1
+ ··· +
m
Ψ (xns )Sn ξns ,
s=1
Si , Si
— изометрические операторы
где xis ∈ V , ξis ∈ H1 , m ∈ N. Используя тот факт, что
для любого i ∈ {1, . . . , n}, имеем
m
m
Ψ(xis )Si ξns =
Ψ (xis )Si ξns ,
U2
s=1
s=1
.
K2i
Теперь можем записать
и, следовательно, U2 (K2i ) =
m
2
m
=
Ψ
(x
)S
ξ
+
·
·
·
+
Ψ
(x
)S
ξ
1s
1s
ns
ns
1
n
s=1
=
n m
i=1 s=1
s=1
Ψ
(xis )Si ξis ,
n m
j=1 r=1
Ψ
(xjr )Sj ξjr
=
n
m Ψ (xis )Si ξis , Ψ (xjr )Sj ξjr =
s,r=1 i,j=1
48
М.А. ПЛИЕВ, И.Д. ЦОПАНОВ
m n
m n
=
ξis , Si π (xis , xjr )Sj (ξjr )
ξis , ϕij (xais , xajr )(ξjr ) =
s,r=1 i,j=1
s,r=1 i,j=1
n
n
m m ξis , Si π(xis , xjr )Sj (ξjr )
Ψ(xis )Si ξis , Ψ(xjr )Sj ξjr =
=
s,r=1 i,j=1
s,r=1 i,j=1
n n m
m
Ψ(xis )Si ξis ,
=
i=1 s=1
Ψ(xjr )Sj ξjr =
j=1 r=1
m
m
s=1
s=1
=
Ψ(x1s )S1 ξ1s + · · · +
2
Ψ(xns )Sn ξns .
Отсюда получаем, что U2 — изометрия, и оператор U2 может быть продолжен на все пространство K2 . Сохраним для продолженного оператора то же обозначение. Оператор U2 является унитарным. Отметим, что (π, S1 , . . . , Sn , K1 ), (Ψ, W1 , . . . , Wn , K2 ) (π , S1 , . . . , Sn K1 ),
(Ψ , W1 , . . . , Wn , K2 ) — представления Стайнспринга для ([ϕ], Φ). Следовательно, для любого i ∈ {1, . . . , n} имеем
Φi (x) = Wi Ψ(x)Si = Wi Ψ (x)Si = Wi U2 Ψ(x)Si .
Далее,
(Wi − Wi U2 )Ψ(x)Si = 0 ⇒ (Wi − Wi U2 )Ψ(x)Si (ξ) = 0 ∀x ∈ V, ξ ∈ H1 , i ∈ {1, . . . , n}.
Таким образом, U2 Wi = Wi для любого i ∈ {1, . . . , n}. Наконец, установим, что U2 Ψ(x) =
Ψ (x)U1 на плотном подпространстве
n
m π(ais )Si (ξis ); ais ∈ A, ξis ∈ H1 , m ∈ N .
s=1 i=1
Напомним, что каждое представление Ψ : V → L(K1 , K2 ) гильбертовых C -модулей
A-линейно в следущем смысле: Ψ(xa) = Ψ(x)π(a) для любых x ∈ V и a ∈ A. Используя тот факт, что Ψ и Ψ — представления гильбертовых C -модулей, ассоциированные с π
и π соответственно, получаем
n
n
m m π(ais )Si (ξis ) = U2
Ψ(xais )Si ξis =
U2 Ψ(x)
s=1 i=1
=
m n
s=1 i=1
s=1 i=1
m m n
n
Ψ (xais )Si ξis = Ψ (x)
π (ais )Si (ξis ) = Ψ (x)U1
π(ais )Si (ξis ) .
s=1 i=1
Таким образом, в силу непрерывности равенство U2 Ψ(x) =
пространстве K1 .
s=1 i=1
Ψ (x)U1 выполняется
на всем
Авторы выражают глубокую благодарность профессору Марии Джойте за обсуждения
и комментарии. Авторы также искренне признательны рецензенту за ценные замечания,
позволившие улучшить качество текста.
Литература
[1] Stinespring F. Positive functions on C -algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 6 (2), 211–216 (1955).
[2] Heo J. Completely multi-positive linear maps and representations on Hilbert C -modules, J. Operator Theory
41 (1), 3–22 (1999).
[3] Asadi M.B. Stinespring’s theorem for Hilbert C -modules, J. Operator Theory 62 (2), 235–238 (2009).
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ТИПА СТАЙНСПРИНГА
49
[4] Bhat R., Ramesh G., Sumesh K. Stinespring’s theorem for maps on Hilbert C -modules, J. Operator Theory
68 (1), 173–178 (2012).
[5] Skeide M. A factorization theorem for ϕ-maps, J. Operator Theory 68 (2), 543–547 (2012).
[6] Joita M. Covariant version of the Stinespring type theorem for Hilbert C -modules, Cent. Eur. J. Math. 9 (4),
803–813 (2011).
[7] Joita M. Comparision of completely positive maps on Hilbert C -modules, Preprint, arXiv: 1201.0593v1.
[8] Малиев И.Н., Плиев М.А. О представлении типа Стайнспринга для операторов в гильбертовых модулях над локальными C -алгебрами, Изв. вузов. Матем., № 12, 51–58 (2012).
[9] Мануйлов В.М., Троицкий Е.В. C -гильбертовы модули (Факториал, М., 2001).
[10] Мерфи Д. C -алгебры и теория операторов (Факториал, М., 1997).
[11] Lance E.C. Hilbert C -modules. A toolkit for operator algebraists (Cambridge University Press, 1995).
[12] Paulsen V. Completly bounded maps and operator algebras (Cambridge University Press, 2002).
[13] Joita M. Completely positive linear maps on pro-C -algebras (University of Bucharest Press, 2008).
М.А. Плиев
старший научный сотрудник,
Южный Математический институт Российской Академии наук,
ул. Маркуса, д. 22, г. Владикавказ, 362027, Россия,
e-mail: plimarat@yandex.ru
И.Д. Цопанов
научный сотрудник,
Южный Математический институт Российской Академии наук,
ул. Маркуса, д. 22, г. Владикавказ, 362027, Россия,
e-mail: i.tsopanov@globalalania.ru
M.A. Pliev and I.D. Tsopanov
On representation of Stinespring’s type for n-tuple completely positive maps in Hilbert
C -modules
Abstract. We prove an analog of Stinesping’s theorem for n-tuple of the completely positive maps
in Hilbert C -modules.
Keywords: Hilbert C -modules, C -algebras, -homomorphisms, completely positive maps, ncompletely positive maps.
M.A. Pliev
Senior Researcher,
Southern Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences,
22 Markus str., Vladikavkaz, 362027 Russia,
e-mail: plimarat@yandex.ru
I.D. Tsopanov
Researcher,
Southern Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences,
22 Markus str., Vladikavkaz, 362027 Russia,
e-mail: i.tsopanov@globalalania.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
195 Кб
Теги
типа, гильбертовы, модуля, положительная, отображений, стайнспринга, представление, наборов, вполне
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа