close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О приближении оператора дифференцирования в пространстве l 2 на полуоси.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2013, № 5, c. 3–12
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
В.В. АРЕСТОВ, М.А. ФИЛАТОВА
О ПРИБЛИЖЕНИИ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ L2 НА ПОЛУОСИ
Аннотация. В работе приводится оценка сверху, близкая к оценке снизу, величины наилучшего приближения оператора дифференцирования (первого порядка) линейными ограниченными операторами на классе дважды дифференцируемых функций в пространстве вещественнозначных измеримых функций, квадрат которых суммируем на полуоси, улучшающая
известную ранее оценку Е.Е. Бердышевой. Для обоснования оценки используется конкретный
оператор, определяемый и изучаемый в данной работе.
Ключевые слова: задача Стечкина, оптимальное восстановление, оператор дифференцирования, полуось.
УДК: 517.518 : 517.983
1. Постановка задачи. Предыстория. В данной работе обсуждается задача о наилучшем приближении оператора дифференцирования (первого порядка) линейными ограниченными операторами на классе дважды дифференцируемых функций в пространстве
L2 = L2 (0, ∞) вещественнозначных, измеримых функций f, квадрат которых суммируем
на полуоси (0, ∞), наделенном нормой
∞
1/2
2
|f (t)| dt
.
f = f L2 (0,∞) =
0
Точнее, пусть W22 = W22 (0, ∞) есть пространство функций f ∈ L2 (0, ∞), определенных,
непрерывно дифференцируемых на [0, ∞), производная f которых локально абсолютно
непрерывна на полуоси [0, ∞), а вторая производная принадлежит пространству L2 (0, ∞). В
W22 = W22 (0, ∞) выделим класс Q22 = Q22 (0, ∞) функций f , обладающих свойством f ≤ 1.
Пусть далее B = B2 (0, ∞) есть множество линейных ограниченных операторов в пространстве L2 (0, ∞), а B(N ) — множество операторов S ∈ B, норма которых ограничена числом
N > 0: SL2 →L2 ≤ N . Для конкретного оператора S ∈ B величина
U (S) = sup{f − Sf : f ∈ Q22 (0, ∞)}
(1)
есть уклонение оператора S от оператора дифференцирования в пространстве L2 (0, ∞) на
классе Q22 . Задача, рассматриваемая в данной работе, состоит в исследовании величины
E(N ) = inf {U (S) : S ∈ B(N )}
(2)
Поступила 22.02.2012
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-01-00462) и Министерства образования и науки Российской Федерации (госзадание
№ 1.1544.2011).
3
4
В.В. АРЕСТОВ, М.А. ФИЛАТОВА
наилучшего приближения в пространстве L2 (0, ∞) на классе Q22 оператора дифференцирования множеством B(N ) линейных ограниченных операторов, нормы которых ограничены
числом N > 0.
Задача (2) является частным случаем более общей задачи о наилучшем приближении
неограниченного линейного оператора линейными ограниченными операторами на некотором классе элементов, возникшей в работе С.Б. Стечкина [1] в 1967 году. Задаче Стечкина
к настоящему времени посвящено большое число исследований ([2]–[4]). Наиболее полно
она изучена для оператора дифференцирования порядка k на классе n раз дифференцируемых функций в пространствах Lp (I), 1 ≤ p ≤ ∞, на числовой оси I = (−∞, ∞) и полуоси
I = [0, ∞) при 0 ≤ k < n. В частности, Ю.Н. Субботин и Л.В. Тайков [5] решили последнюю
задачу в пространстве L2 (−∞, +∞) для произвольных k и n, 0 < k < n. В пространстве
L2 (0, ∞) даже в случае k = 1, n = 2 точное решение этой задачи, т. е. решение задачи (2),
неизвестно.
Г. Харди, Дж. Литтлвуд и Г. Полиа ([6], гл. VII, § 7.8) доказали, что на множестве
W22 (0, ∞) имеет место точное неравенство
f 2 ≤ 2 f · f ,
f ∈ W22 (0, ∞).
(3)
Этот результат породил ряд глубоких исследований; отметим работы Т. Като [7], В.Д. Эверитта с коллегами (см. работу [8] и приведенную в ней библиографию), М.К. Квонга, А. Зеттла [9], Н.П. Купцова [10], А.П. Буслаева [11] и др. Обзоры результатов, относящихся к неравенству (4) и близким проблемам, имеются в [9], [3].
Для n ≥ 2 через W2n = W2n (0, ∞) обозначим пространство функций f ∈ L2 (0, ∞), которые
n − 1 раз непрерывно дифференцируемы на полуоси [0, ∞); более того, производная f (n−1)
порядка n − 1 локально абсолютно непрерывна на этой полуоси, а производная f (n) порядка
n принадлежит пространству L2 (0, ∞). При 0 < k < n на множестве W2n имеет место
неравенство Колмогорова
f (k) ≤ Kf α f (n) β ,
f ∈ W2n (0, ∞),
(4)
k
n−k
, β =1−α= ,
n
n
с конечной константой K. Обозначим через K = Kk,n точную (наименьшую возможную)
√
константу в неравенстве (4). Результат (3) означает, что если k = 1, n = 2, то K1,2 = 2.
Для произвольных значений k, n (0 < k < n) константу Kk,n обстоятельно исследовал
Н.П. Купцов [10]. Более общую задачу изучал А.П. Буслаев [11], методы исследования работы [11] являются развитием методов Г. Харди, Дж. Литтлвуда и Г. Полиа ([6], гл. VII, § 7.8)
и будут использоваться ниже в данной работе.
Из точного неравенства (3) с помощью рассуждений, восходящих к С.Б. Стечкину [1]
следует (см., например, [3], § 4, формула (4.6)), что для величины (2) имеет место оценка
снизу
1
.
E(N ) ≥
2N
Задачу
(2) изучали А.Л. Рублев [12] и Е.Е. Бердышева [13]. В [12] показано, что E(N ) ≤
√
1/( 3 4N ), а в [13] доказано, что
1
.
(5)
E(N ) ≤ √
3N
Оба эти результата были получены с помощью конкретных операторов. Для обоснования
оценки (5) использован оператор B : L2 → L2 . Для функции f ∈ L2 (0, ∞) на полуоси [0, ∞)
α=
О ПРИБЛИЖЕНИИ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В L2 (0, ∞)
5
рассматривается дифференциальная задача
y (4) + y = f,
(6)
y ∈ L2 [0, ∞),
(7)
y (0) = y (0) = 0.
(8)
Оператор B определяется формулой
Bf = y ,
где y есть решение задачи (6)–(8).
В данной работе приводится оценка сверху величины наилучшего приближения (2), улучшающая оценку (5); а именно, будет доказана
Теорема. Величина наилучшего приближения в задаче (2) удовлетворяет неравенству
E(N ) ≤
4
.
7N
(9)
Доказательство теоремы осуществляется с помощью оператора, построенного следующим образом. Для функции f ∈ L2 (0, ∞) рассматривается задача
y (4) − 2y + y = f,
(10)
y ∈ L2 (0, ∞),
(11)
y (0) = y (0) = 0.
(12)
Как будет показано ниже, для любой функции f ∈ L2 (0, ∞) эта задача имеет единственное
решение y. Оператор T определяется равенством
T f = y − y ,
f ∈ L2 (0, ∞).
(13)
2. Исследование оператора (10)–(13). В дальнейшем символом T будет обозначен оператор (10)–(13). В приведенных ниже двух леммах доказывается, что этот оператор определен на всем пространстве L2 (0, ∞), вычисляются его норма и величина уклонения (1). Для
доказательства лемм применяются методы Г. Харди, Дж. Литтлвуда, Г. Полиа ([6], гл. VII,
§ 7.8), которые в дальнейшем развивались в [11]. Отметим, что в работах [12] и [13] использовались те же соображения.
Лемма 1. Для любой функции f ∈ L2 (0, ∞) задача (10)–(12) имеет единственное решение,
формулой (13) определен линейный ограниченный оператор в пространстве L2 (0, ∞) и
4
.
T L2 →L2 =
7
Доказательство. Общее решение задачи (10) есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения y (4) − 2y + y = 0 и частного решения неоднородного уравнения (10). Общее решение однородного уравнения имеет вид
y(x) = C1 e−x + C2 xe−x + C3 ex + C4 xex .
Из условия (11) следует C3 = C4 = 0. Таким образом, решением однородного уравнения
будет функция y(x) = C1 e−x + C2 xe−x .
6
В.В. АРЕСТОВ, М.А. ФИЛАТОВА
Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения (10) в классе W24 . Для этого
продолжим f четным образом на всю числовую ось; эту функцию будем обозначать тем же
символом f или fc . Применим оператор Фурье
∞
g(x)e−2πitx dx
g(t) =
−∞
к уравнению (10). Получим уравнение
(2πit)4 y(t) − 2(2πit)2 y(t) + y(t) = f(t),
из которого найдем
f(t)
.
1 + 8π 2 t2 + 16π 4 t4
Функция y, очевидно, принадлежит пространству L2 (−∞; ∞). Следовательно, функция
∞
f(t)
e2πixt dt
yp (x) =
2
2 + 16π 4 t4
1
+
8π
t
−∞
y(t) =
также принадлежит пространству L2 (−∞; ∞) и является частным решением неоднородного уравнения (10). Обозначим h(t) =
функции f имеет место равенство
fc (t)
1+8π 2 t2 +16π 4 t4
для −∞ < t < ∞. В силу четности
∞
yp (x) = 2
h(t) cos(2πxt)dt.
0
Таким образом, функция yp — вещественнозначная и удовлетворяет (10).
Итак, решение задачи (10), (11) имеет вид
∞
−x
−x
h(t) cos(2πxt)dt.
y(x) = C1 e + C2 xe + 2
(14)
0
Потребуем, чтобы функция (14) удовлетворяла граничным условиям (12). Отсюда для
коэффициентов C1 , C2 получаем систему двух линейных уравнений
∞
2
h(t)t2 dt,
C1 − 2C2 = 8π
0
−C1 + 3C2 = 0.
Последняя система имеет единственное решение. В результате получаем, что решением
задачи (10)–(12) будет функция
∞
∞
h(t) cos(2πxt)dt + e−x (3 + x)8π 2
h(t)t2 dt.
y(x) = 2
0
0
y
y выглядит так:
Окончательно, оператор T f = −
∞
h(t)(4π 2 t2 − 1)t sin(2πxt)dt − 16π 2 e−x
T f = 4π
0
∞
h(t)t2 dt.
(15)
0
Для вычисления нормы оператора T воспользуемся методом Г. Харди, Дж. Литтлвуда,
Г. Полиа и А.П. Буслаева. Рассмотрим функционал
∞
(4)
(y − 2y + y)2 − λ2 (y − y )2 dx = f 2L2 (0,∞) − λ2 T f 2L2 (0,∞)
J(y) =
0
О ПРИБЛИЖЕНИИ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В L2 (0, ∞)
7
на множестве функций y ∈ W24 таких, что y (0) = y (0) = 0. Найдем наибольшее значение λ, при котором этот функционал неотрицателен. Для этого определим неотрицательный
функционал
∞
(4)
2
y + Ay + By + Cy + y dx.
K(y) =
0
Взяв по частям интегралы в J(y), K(y), и учитывая, что y (0) = y (0) = 0, получаем
представления
∞
(4) 2
(y ) + (A2 − 2B)(y )2 + (B 2 − 2AC + 2)(y )2 + (C 2 − 2B)(y )2 + y 2 dx−
K(y) =
0
− (BC − A)(y (0))2 + C(y(0))2 y (0)y(0) ,
∞
(4) 2
(y ) + (4 − λ2 )(y )2 + (6 − 2λ2 )(y )2 + (4 − λ2 )(y )2 + y 2 dx + 4y (0)y(0).
J(y) =
0
Если коэффициенты A, B, C удовлетворяют системе
A2 − 2B = 4 − λ2 ,
B 2 − 2AC = 4 − 2λ2 ,
(16)
C 2 − 2B = 4 − λ2 ,
то выполняется соотношение J(y) = K(y) + L(y), где
L(y) = (BC − A)(y (0))2 + C(y(0))2 + 2(B + 2)y (0)y(0).
Для того чтобы функционал J(y) был неотрицательным, достаточно, чтобы квадратичная
форма L(y) переменных y (0) и y(0) была неотрицательно определенной.
Рассмотрим решение системы (16) следующего вида: A = C = α, (B + 2)2 = 4α2 , где α —
вещественное число (второй возможный случай A = −C приводит только к тривиальному
решению B = −2, A = C = λ = 0). Коэффициенты A, B, C для рассматриваемого решения
системы должны быть положительными, в противном случае квадратичная форма L(y) не
будет положительно определенной, поэтому A = C = α, B = 2α − 2, где α > 1.
Теперь, если выполнено неравенство (BC − A)C − (B + 2)2 ≥ 0, то L(y) будет неотрицательно определенной (выражение BC − A будет положительным, поскольку C = α > 1).
Подставим в это неравенство решение системы (16). Имеем α2 (2α − 7) ≥ 0. Тогда α ≥ 72 . В
итоге, наибольшее значение λ, при котором J(y) ≥ 0, достигается при α = 72 и равно 74 .
Следовательно,
7
y − y : y ∈ W24 , y = 0, y (0) = y (0) = 0 ≤
.
T = sup
(4)
4
y − 2y + y
7
2
функционалы K(y) и L(y) принимают вид
2
∞
7 7 (4)
y + y + 5y + y + y dx,
K(y) =
2
2
0
7
L(y) = (2y (0) + y(0))2 .
2
Из доказательства леммы 1 и определения (13) оператора T следует, что если функция
y является решением уравнения
7
7
(17)
y (4) + y + 5y + y + y = 0
2
2
При α =
8
В.В. АРЕСТОВ, М.А. ФИЛАТОВА
и удовлетворяет условиям
y(0) + 2y (0) = 0,
y (0) = y (0) = 0,
(18)
то на ней функционалы K(y) и L(y) обращаются в нуль. Общее решение уравнения (17)
имеет вид
√
√ 3
7x
7x
y = C1 e−x + C2 xe−x + e− 4 x C3 sin
+ C4 cos
;
4
4
здесь C1 , C2 , C3 , C4 — произвольные вещественные константы. Учитывая граничные условия (18), окончательно получаем
√ √
√
√
7x
7x
−x
− 34 x
+ 2 7 cos
, C ∈ R.
6 sin
y(x) = C − 7xe + e
4
4
Отсюда следует, что оператор T на функциях
√ √
7x √
7x
− 7 cos
3 sin
4
4
− 34 x
f (x) = y (4) (x) − 2y (x) + y(x) = C · e
при C ∈ R, C = 0, достигает своей нормы.
Найдем значение величины уклонения
U (T ) = sup{f − T f L2 (0,∞) : f ∈ W22 (0, ∞), f ≤ 1}
для оператора T , определенного формулами (13), (15).
Лемма 2. Для оператора T , определенного формулами (13), (15), имеет место равенство
4
.
(19)
U (T ) =
7
Доказательство. Поскольку f = y (4) − 2y + y, T f = y − y , то
f − T f = y (5) − y ,
Следовательно,
U (T ) = sup
f = y (6) − 2y (4) + y .
y (5) − y 6
(6)
(4)
: y ∈ W2 , y − 2y + y = 0, y (0) = y (0) = 0 . (20)
y (6) − 2y (4) + y Дальнейшие рассуждения полностью аналогичны доказательству леммы 1. Обозначим
z = y . Наряду с U (T ) рассмотрим величину
z − z 4
(4)
: z ∈ W2 , z − 2z + z = 0, z(0) = z (0) = 0 .
U (T ) = sup
z (4) − 2z + z
(T ).
Очевидно, U (T ) ≤ U
На множестве функций z ∈ W24 со свойством z(0) = z (0) = 0 определим функционал
∞
(4)
(z − 2z + z)2 − λ2 (z − z )2 dx = f 2L2 (0,∞) − λ2 f − T f 2L2 (0,∞) .
J1 (z) =
0
Нас интересует наибольшее значение λ, при котором этот функционал неотрицателен.
Введем неотрицательный функционал
∞
2
(4)
z + Az + Bz + Cz + z dx.
K1 (z) =
0
О ПРИБЛИЖЕНИИ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В L2 (0, ∞)
9
Так же, как и в доказательстве предыдущей леммы, убеждаемся, что если коэффициенты
A, B, C удовлетворяют системе
A2 − 2B = 4 − λ2 ,
B 2 − 2AC = 4 − 2λ2 ,
C 2 − 2B = 4 − λ2 ,
то выполняется равенство J1 (z) = K1 (z) + L1 (z), где
L1 (z) = (AB − C)(z (0))2 + A(z (0))2 + 2(B + 2)z (0)z (0).
Таким образом, задача симметрична задаче из леммы 1 и наибольшее λ, при котором
L1 (z) неотрицательно определена, вновь равно 74 . Тогда A = C = 72 , B = 5 и
2
∞
7
7
z (4) + z + 5z + z + z dx,
K1 (z) =
2
2
0
7
L1 (z) = (2z (0) + z (0))2 .
2
(T ) ≤ 4 .
Следовательно, U
7
Легко видеть, что если функция z является решением уравнения
7
7
(21)
z (4) + z + 5z + z + z = 0
2
2
и удовлетворяет условиям z (0) + 2z (0) = 0, z(0) = z (0) = 0, то на ней в выражении (20)
(T ) достигается верхняя грань. Решая уравнение (21) с этими граничными
для величины U
условиями, получаем функции
√ √
√
7x
7x
−x
− 34 x
+ 21 cos
, c ∈ R,
(22)
7 sin
z(x) = c − (7x + 21)e + e
4
4
(T ) достигается верхняя грань. Отсюда следует равенство
на которых при c = 0 в U
(T ) = 4 .
U
7
В (20) верхняя грань реализуется на функциях y ∈ W26 , связанных с функциями (22)
соотношением y = z. Как легко убедиться,
√ √
√
1 −3x
7x
7x
−x
− 21 cos
, C ∈ R.
y(x) = C (−7x − 35)e − e 4 31 7 sin
4
4
4
(T ) = 4 и уклонение (19) оператора T достигается на функциях
Следовательно, U (T ) = U
7
√ √
√
7x
7x
(4)
− 34 x
+ 21 cos
7 sin
f (x) = y (x) − 2y (x) + y(x) = C · e
4
4
при C ∈ R, C = 0.
3. Доказательство теоремы. В силу лемм 1 и 2
4
4
≤
.
E
7
7
10
В.В. АРЕСТОВ, М.А. ФИЛАТОВА
Это есть частный случай неравенства (9) при N = 47 . Переход к произвольному значению
N > 0 осуществляется хорошо известным способом [1]. Пусть S — линейный ограниченный
оператор в пространстве L2 (0, ∞), для которого величина уклонения (1) конечна. По оператору S при h > 0 построим оператор Sh , используя следующее правило. Функции f ∈ L2 ,
параметру h > 0 сопоставим функцию
1
fh (x) = f (hx), x ∈ (0, ∞).
h
Теперь оператор Sh зададим формулой
x
, f ∈ L2 .
(23)
(Sh f )(x) = (Sfh )
h
Нетрудно проверить [1], что справедливы два соотношения:
S
, U (Sh ) = hU (S).
h
В частности, для оператора T , определенного в (10)–(12), формулой (23) сопоставляется
оператор Th , обладающий свойствами
4
4
−1
, U (Th ) = h
.
Th = h
7
7
По N > 0 выберем параметр h = h(N ) > 0 так, чтобы
4
= N,
Th = h−1
7
т. е. возьмем h = h(N ) = N −1 47 . В результате получаем
Sh =
U (N ) ≤ U (Th(N ) ) =
4
.
7N
Тем самым теорема доказана.
4. Оптимальное дифференцирование функций, заданных с ошибкой. Задача
(2) связана не только с точным неравенством (3), но также с задачей оптимального дифференцирования функций (или задачей оптимального восстановления оператора дифференцирования на функциях) из пространства W22 (0, ∞), заданных с известной погрешностью в
L2 (0, ∞) (см., например, [1]–[3], [14]). Пусть R есть одно из следующих трех множеств отображений из L2 (0, ∞) в L2 (0, ∞): множество B = B2 (0, ∞) всех линейных ограниченных операторов, множество L = L2 (0, ∞) всех линейных операторов или множество O = O2 (0, ∞)
всех однозначных отображений.
Для оператора S ∈ R и числа δ ≥ 0 полагаем
Uδ (S) = sup{f − Sη : f ∈ Q22 , η ∈ L2 (0, ∞), f − η ≤ δ}.
Тогда
Eδ (R) = inf{Uδ (S) : S ∈ R}
(24)
Q22 (0, ∞),
заесть величина ошибки оптимального дифференцирования функций из класса
данных с известной погрешностью δ с помощью множества методов восстановления R.
Поскольку имеют место вложения B ⊂ L ⊂ O, то справедливы неравенства
Eδ (O) ≤ Eδ (L ) ≤ Eδ (B).
О ПРИБЛИЖЕНИИ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В L2 (0, ∞)
11
Как частный случай общих результатов, восходящих к С.Б. Стечкину, справедлива следующая цепочка неравенств (см., например, [3], п.п. 2.1, 4.1, 4.4):
√
2δ ≤ Eδ (R) ≤ inf{E(N ) + N δ : N ≥ 0}, δ > 0.
Применяя оценку (9), получаем
Следствие. Для величины оптимального восстановления (24) с помощью каждого из трех
множеств методов B, L , O справедливы оценки
√
δ
, δ > 0.
2δ ≤ Eδ (R) ≤ 4
7
Авторы признательны Е.Е. Бердышевой, внимательно прочитавшей работу и сделавшей
ряд полезных замечаний.
Литература
[1] Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов, Матем. заметки 1 (6), 137–148 (1967).
[2] Арестов В.В., Габушин В.Н. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными,
Изв. вузов. Матем., № 11, 42–68 (1995).
[3] Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные
задачи, УМН 51 (6), 89–124 (1996).
[4] Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения (Наук. думка, Киев, 2003).
[5] Субботин Ю.Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение оператора дифференцирования в пространстве
L2 , Матем. заметки 3 (2), 157–164 (1968).
[6] Харди Г., Литтлвуд Дж., Полиа Г. Неравенства (Ин. лит., М., 1948).
[7] Kato T. On an inequality of Hardy, Littlewood, and Pólya, Adv. Math. 7 (3), 217–218 (1971).
[8] Everitt W.D., Zettl A. On a class of integral inequalities, J. London Math. Soc. 17, 291–303 (1978).
[9] Kwong M.K., Zettl A. Norm inequalities for derivatives and differences (Lecture Notes in Mathematics 1536,
Springer-Verlag, Berlin, 1992).
[10] Купцов Н.П. Колмогоровские оценки для производных в L2 [0, ∞), Тр. МИАН СССР 138, 94–117 (1975).
[11] Буслаев А.П. Об одной экстремальной задаче, связанной с неравенствами для производных, Вестник
Московск. ун-та, Сер. матем., механ., № 3, 67–77 (1978).
[12] Рублев А.Л. О приближении оператора диференцирования на классе дважды дифференцируемых функций в пространстве L2 (0, ∞), Тр. ин-та. матем., механ. УрО РАН, 4, 162–170 (1996).
[13] Berdysheva E.E. On the best approximation of the differentiation operator in L2 (0, ∞), East J. Approx. 2
(3), 281–287 (1996).
[14] Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения (Наука,
М., 1978).
В.В. Арестов
профессор, заведующий кафедрой математического анализа и теории функций,
Уральский федеральный университет,
пр. Ленина, д. 51, г. Екатеринбург, 620000, Россия;
ведущий научный сотрудник,
Институт математики и механики Уральского отделения
Российской Академии наук,
ул. С. Ковалевской, д. 16, г. Екатеринбург, 620990, Россия,
e-mail: Vitalii.Arestov@usu.ru
12
В.В. АРЕСТОВ, М.А. ФИЛАТОВА
М.А. Филатова
доцент, кафедра математического анализа и теории функций,
Уральский федеральный университет,
пр. Ленина, д. 51, г. Екатеринбург, 620000, Россия,
e-mail: Maria.Filatova@usu.ru
V.V. Arestov and M.A. Filatova
Approximation of differentiation operator in the space L2 on semiaxis
Abstract. We establish an upper bound for the error of the best approximation of the first order
differentiation operator by linear bounded operators on the set of twice differentiable functions in
the space L2 on the half-line. This upper bound is close to a known lower bound and improves
the previously known upper bound due to E.E. Berdysheva. We use a specific operator that is
introduced and studied in the paper.
Keywords: Stechkin problem, optimal recovery, differential operator, half-line.
V.V. Arestov
Professor, Head of the Chair of Mathematical Analysis and Function Theory,
Ural Federal University,
51 Lenin Ave., Yekaterinburg, 620000 Russia;
Leading Scientific Researcher,
Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences,
16 S. Kovalevskaya str., Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: Vitalii.Arestov@usu.ru
M.A. Filatova
Associate Professor, Chair of Mathematical Analysis and Function Theory,
Ural Federal University,
51 Lenin Ave., Ekaterinburg, 620000 Russia,
e-mail: Maria.Filatova@usu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
202 Кб
Теги
приближение, пространство, оператора, дифференцированный, полуоси
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа