close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О применении проекционного метода к парным интегральным операторам с однородными ядрами.

код для вставкиСкачать
2002
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (483)
УДК 517.968
О.Г. АВСЯНКИН
О ПРИМЕНЕНИИ ПРОЕКЦИОННОГО МЕТОДА К ПАРНЫМ
ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРАМ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ
В современной математике все большее значение приобретают различные проекционные методы решения тех или иных уравнений (см., напр., [1]{[3]). В настоящее время довольно полно
описаны условия применимости проекционных методов к операторам типа свертки, Тeплица,
сингулярным интегральным операторам. В [4] и [5] рассматривались проекционные методы для
интегральных операторов с однородными ядрами.
Основная цель данной работы | получить критерий применимости проекционного метода
к многомерным парным интегральным операторам с ядрами, однородными степени (;n) и инвариантными относительно всех вращений в Rn Rn . Для таких операторов вводится понятие
символа, в терминах которого и формулируется вышеупомянутый критерий.
В статье используются p
следующие обозначения: Rn | n-мерное евклидово пространство;
x = (x1 ; : : : ; xn ) 2 Rn ; jxj = x21 + + x2n; x0 = x=jxj; x y = x1 y1 + + xn yn; dx = dx1 : : : dxn ;
e1 = (1; 0; : : : ; 0); n;1 = fx 2 Rn : jxj = 1g; R_ | компактификация R одной бесконечно удаленной точкой; Z+ | множество всех целых неотрицательных чисел; Z+_ R | компактификация
множества Z+ R одной бесконечно удаленной точкой; Ym () | сферические гармоники порядка m; dn (m) | размерность пространства сферических гармоник порядка m:
dn (m) = (n + 2m ; 2) (nm+!(nm;;2)!3)! ;
Pm(t) | многочлены Лежандра, определяемые следующим образом:
(
t);
n = 2;
Pm (t) = cos(mm arccos
;
1
(
n
;
2)
=
2
(Cm+n;3 ) Cm
(t); n > 3;
где Cm(n;2)=2 (t) | многочлены Гегенбауэра.
1. Пусть X и Y | банаховы пространства, A 2 L(X; Y ), fP1 ;2 g и fQ1 ;2 g (0 < 1 < 1, 1 <
2 < 1) | семейства проекторов, действующих в X и Y соответственно. Будем предполагать,
что проекторы P1 ;2 и Q1;2 сходятся в сильной операторной топологии при 1 ! 0 и 2 ! 1 к
единичным операторам IX и IY соответственно. Рассмотрим уравнение
Q1 ;2 AP1 ;2 x = Q1;2 y:
(1)
Определение 1. Будем говорить, что к оператору A применим проекционный метод по системе проекторов (P1 ;2 ; Q1 ;2 ) при 1 ! 0 и 2 ! 1, если
1) существуют такие числа 1 2 (0; 1) и 2 2 (1; 1), что при всех 1 < 1 и 2 > 2 для любого
y 2 Y уравнение (1) имеет единственное решение x1 ;2 2 P1 ;2 X ;
2) при 1 ! 0 и 2 ! 1 решение x1 ;2 стремится по норме пространства X к решению x 2 X
уравнения Ax = y.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект Є 00-01-00046a.
3
Класс операторов, к которым применим проекционный метод по системе проекторов
(P1 ;2 ; Q1 ;2 ), обозначим через fP1 ;2 ; Q1 ;2 g. Если X = Y и P1 ;2 = Q1 ;2 , то будем писать
fP1 ;2 g вместо fP1 ;2 ; P1 ;2 g.
Определение 1 эквивалентно тому, что оператор A обратим, при 0 < 1 < 1 и 2 < 2 < 1
операторы Q1 ;2 AP1 ;2 как операторы, действующие из P1 ;2 X в Q1 ;2 Y , обратимы, и операторы
(Q1 ;2 AP1 ;2 );1 Q1 ;2 при 1 ! 0 и 2 ! 1 сильно сходятся к A;1 .
Очевидно, все основные теоремы о проекционных методах, доказанные в [1] для случая однопараметрического семейства проекторов, сохраняют справедливость и для исследуемого здесь
случая. В дальнейшем будем ссылаться на результаты [1], предполагая, что они переформулированы в соответствии с определением 1.
n
2. В пространстве Lp (R ), 1 < p < 1, рассмотрим интегральный оператор
(K')(x) =
Z
Rn
k(x; y)'(y) dy; x 2 Rn ;
(2)
предполагая, что ядро k(x; y) удовлетворяет условиям
1 . однородности степени (;n), т. е.
k(x; y) = ;n k(x; y) 8 > 0;
2 . инвариантности относительно группы SO(n) вращений пространства Rn , т. е.
k(!(x); !(y)) = k(x; y) 8 ! 2 SO(n);
3 . суммируемости, т. е.
Z
k = n jk(e1 ; y)j jyj;n=p dy < 1:
Определим в
Lp ( R n )
R
проектор P по формуле
(
(P')(x) = '(x); jxj 6 1;
0;
jxj > 1;
и положим Q = I ; P . Рассмотрим оператор
A = I ; K1 P ; K2 Q;
где 2 C , а K1 и K2 | операторы вида (2). Символом оператора A назовем пару функций
(1 (m; ), 2 (m; )), заданных на компакте Z+_ R равенствами
j (m; ) = ;
Z
Rn
kj (e1 ; y)Pm (e1 y0 )jyj;n=p+i dy; j = 1; 2:
Далее, в пространстве Lp (Rn ), 1 < p < 1, определим проектор P1 ;2 (0 < 1 < 1, 1 < 2 < 1)
по формуле
(
(P1 ;2 ')(x) = '(x); 1 < jxj < 2 ;
0;
jxj < 1 или jxj > 2:
Нетрудно видеть, что s ; lim
!0 P1 ;2 = I .
21!1
Наша задача | изучить вопрос о применимости к оператору A проекционного метода по
системе проекторов (P1 ;2 ; P1 ;2 ). Для этого в пространстве Lp (Rn ) рассмотрим интегральное
уравнение, порождаемое оператором A,
'(x) =
Z
jyj61
k1 (x; y)'(y) dy +
4
Z
jyj>1
k2 (x; y)'(y) dy + f (x):
(3)
Поскольку функция kj (x; y), j = 1; 2, удовлетворяет условию 2 , то существует такая функция
k0j (r2 ; 2 ; t), что kj (x; y) = k0j (jxj2 ; jyj2 ; x0 y0 ) ([6], с. 36). Учитывая это и переходя в уравнении
(3) к сферическим координатам x = r, y = , получим
Z 1Z
1 D ; () d d +
(r) =
0
n;1
r
1
r
+
где
Легко проверить, что
Z
1Z
1
n;1
1 D ; () d d + F (r); (4)
r 2 r
(r) = '(r)r(n;1)=p ; F (r) = f (r)r(n;1)=p ;
Dj (; t) = k0j (1; 2 ; t)(n;1)=p0 :
1Z 1
Z
;1
0
jDj (; t)j;1=p (1 ; t2)(n;3)=2 d dt < 1:
(5)
Умножая уравнение (4) на Ym (), интегрируя по единичной сфере и применяя формулу Функа{
Гекке ([6], с. 43), получим бесконечную диагональную систему одномерных интегральных уравнений
Z 1
Z 1
1
1
(r) =
D
() d +
D () d + F (r); r 2 (0; 1); (6)
m
r m1 r
где m 2 Z+, = 1; 2; : : : ; dn (m),
0
m (r) =
Z
m
1
r
m2
m
r
(r)Ym () d; Fm (r) =
Z
m
F (r)Ym () d;
n;1
n;1
Z 1
(
n
;
1)
=
2
Dj (; t)Pm (t)(1 ; t2 )(n;3)=2 dt;
Dmj (r) = 2;; n;1 ;1
2
Рассмотрим в Lp (0; 1), 1 < p < 1, оператор
Z 1
Z 1
1
(A g)(r) = g(r) ;
D g() d ; 1 D
m
0
m1
r
r
1
r
j = 1; 2:
m2
g() d; r 2 (0; 1):
r
Из условия (5) сразу следует, что функция Dmj (), j = 1; 2, удовлетворяет условию суммируемости. Символом оператора Am является пара функций (m1 ( ); m2 ( )), заданных равенствами
mj ( ) = ;
1
Z
0
Dmj ();1=p+i d; 2 R; j = 1; 2:
Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем
mj () = ;
Z
Rn
kj (e1 ; y)Pm (e1 y0)jyj;n=p+i dy; 2 R;
т. е. mj ( ) = j (m; ) при фиксированном значении m.
e
Лемма. Если A 2 fP1 ;2 g, то Am 2 fP
1 ;2 g для всех m 2 Z+.
Доказательство. Пусть A 2 fP1 ;2 g. Тогда, как уже было отмечено выше, оператор A
обратим, операторы P1 ;2 AP1 ;2 как операторы, действующие в P1 ;2 (Lp (Rn )), обратимы для
достаточно малых 1 и достаточно больших 2 , и s ; lim
(P1 ;2 AP1 ;2 );1 P1 ;2 = A;1 .
1 !0
2 !1
Если оператор A обратим в Lp (Rn ), то для любой функции f (x) 2 Lp (Rn ) уравнение (3) имеет
единственное решение. Тогда, учитывая связь между уравнением (3) и системой (6), получаем,
5
что каждое из уравнений системы (6) имеет единственное решение при любом свободном члене.
Следовательно, оператор Am обратим в Lp (0; 1) для любого m 2 Z+.
Аналогично, если \усеченный" оператор P1 ;2 AP1 ;2 обратим в P1 ;2 (Lp (Rn )), то и оператор
Pe1;2 Am Pe1 ;2 обратим в Pe1;2 (Lp (0; 1)).
Наконец, из условия s; lim
(P1 ;2 AP1 ;2 );1 P1 ;2 =A;1 следует s; lim
(Pe1 ;2 Am Pe1 ;2 );1 Pe1 ;2 =
1 !0
1 !0
2 !1
2 !1
A;m1 . Значит, Am 2 fPe1 ;2 g для всех m 2 Z+.
Основным результатом данной работы является
Для того чтобы оператор A 2 fP1 ;2 g, необходимо и достаточно, чтобы его
символ (1 (m; ), 2 (m; )) удовлетворял условиям
1) 1 (m; ) 6= 0, 2 (m; ) 6= 0 8 (m; ) 2 Z+_ R;
2) ind 1 (m; ) = ind 2 (m; ) = 0 8 m 2 Z+,
где ind f (m; ) | индекс функции f (m; ) при фиксированном значении m.
Теорема.
Если A 2 fP1 ;2 g, то по лемме оператор Am 2
fP1 ;2 g для любого m 2 Z+. Учтем вид символа оператора Am и применим легко проверяемую эквивалентность
H 2 fPe1 ;2 g () fk () 6= 0 8 2 R_ ; ind k () = 0; k = 1; 2g;
Доказательство. Необходимость.
e
где f1 ( ); 2 ( )g | символ оператора H . Тем самым получили условия 1) и 2).
Достаточность. Представим оператор A в виде
A = P (I ; K1 )P + Q(I ; K2 )Q + T;
где T = ;QK1 P ; PK2 Q. Поскольку для любого оператора K вида (2) операторы PKQ и QKP
являются компактными в Lp (Rn ) [4], то T | компактный оператор. Положим A0 = P (I ;
K1 )P + Q(I ; K2 )Q и покажем, что A0 2 fP1 ;2 g. Введем обозначения
I ; K1 = P (I ; K1 )P im P = A0 im P ;
I ; K2 = Q(I ; K2 )Qim Q = A0 im Q ;
P1 = P1;2 im P ; P2 = P1;2 im Q:
Так как 1 (m; ) 6= 0 8 (m; ) 2 Z+_ R и ind 1 (m; ) = 0 8 m 2 Z+, то оператор I ; K1 обратим
[4]. Тогда I ;K1 2 fP1 g [5]. Аналогично доказывается, что I ;K2 2 fP2 g. В силу теоремы
о поблочной применимости проекционного метода ([1], с. 93) оператор A0 2 fP1 ;2 g.
Далее, из условий 1) и 2) теоремы следует, что оператор A обратим. Поскольку A0 2 fP1 ;2 g
и оператор A = A0 + T обратим, то по теореме о возмущении компактным оператором ([1], с. 94)
оператор A 2 fP1 ;2 g.
В заключение приведем критерий применимости проекционного метода к оператору I ; K ,
где K определяется из (2). Учитывая, что I ; K = I ; KP ; KQ, и применяя теорему, получаем
Для того чтобы оператор I ; K 2 fP1 ;2 g, необходимо и достаточно, чтобы
его символ (m; ) удовлетворял условиям
1) (m; ) 6= 0 8 (m; ) 2 Z+_ R,
2) ind (m; ) = 0 8 m 2 Z+.
Следствие.
6
Литература
1. Гохберг И.Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. {
М.: Наука, 1971. { 352 с.
2. Bottcher A., Silbermann B. Analysis of Toeplitz operators. { Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg,
New York. { 1990. { 512 p.
3. Prodorf S., Silbermann B. Numerical analysis for integral and related operator equations. {
Birkhauser Verlag. Basel, Boston, Berlin. { 1991. { 476 p.
4. Авсянкин О.Г. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами: Дис. : : : канд.
физ.-матем. наук. { Ростов-на-Дону, 1997. { 145 с.
5. Авсянкин О.Г., Карапетянц Н.К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени (;n) ядрами // Докл. РАН. { 1999. { Т. 368. { Є 6. { С. 727{729.
6. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения.
{ Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовск. ун-та, 1988. { 192 с.
7. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. { Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовск. ун-та, 1984. { 208 с.
Ростовский государственный
университет
Поступила
14.06.2001
7
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
166 Кб
Теги
однородные, парные, ядрами, метод, интегральная, оператора, проекционное, применению
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа