close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений.

код для вставкиСкачать
Р.Ю. Леонтьев. О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений
УДК 517.9
ББК 22.16
© Р.Ю. Леонтьев
Россия, Иркутск, Иркутский государственный университет
E-mail: lev_roma@bk.ru
О РЕШЕНИЯХ МАКСИМАЛЬНОГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассматривается нелинейное операторное уравнение F ( x, λ ) = 0 с условием F (0,0) = 0 .
Fx (0,0) не является непрерывно обратимым. Строятся непрерывные решения
x(λ ) → 0 при λ → 0 в открытом множестве S линейного нормированного пространства Λ .
Нуль принадлежит границе множества S .
Оператор
Ключевые слова: секториальная окрестность, банахово пространство, линейное нормированное пространство, теорема о неявном операторе.
© R.Yu. Leontyev
Russia, Irkutsk, Irkutsk State University
E-mail: lev_roma@bk.ru
SOLUTIONS OF NONLINEAR EQUATIONS
WITH MAXIMUM SMALLNESS ORDER
We consider nonlinear operator equation F ( x, λ ) = 0 with condition F (0,0) ≡ 0 . Operator
Fx (0,0) is not continuously invertible. We construct continuous solutions x(λ ) → 0 as λ → 0 in
open set S of normed linear space Λ . Zero belongs to frontier of the set S .
Key words: Banach space, Implicit Operator Theorem, sectarian neighborhood, nonlinear operator
equation, normed linear space.
В работе, продолжающей исследования работ [1, 2], рассматривается нелинейное операторное уравнение вида:
F ( x, λ ) = 0 ,
(1)
где F : X × Λ → Y , X , Y – банаховы пространства, Λ – линейное нормированное пространство. Предполагается, что F (0,0) = 0 , оператор F ( x, λ ) имеет частную производную
Фреше по первому аргументу Fx ( x, λ ) , а линейный оператор Fx (0, λ ) имеет ограниченный
обратный оператор Fx−1 (0, λ ) при λ ∈ S , где S ⊂ Λ – открытое множество, границе которого принадлежит точка λ = 0 . В дальнейшем любое подобное множество будем называть
секториальной окрестностью нуля. Будем считать, что оценка для оператора Fx−1 (0, λ )
известна и имеет следующий вид:
 1 
 при S ∋ λ → 0 ,
Fx−1 (0, λ ) = O
(2)
 a (λ ) 
где функционал a (λ ) → +0 при λ → 0 .
Основная цель исследования – поиск достаточных условий существования и единственности малого решения уравнения (1) x(λ ) → 0 при S ∋ λ → 0 и предложить способ нахождения этого решения. Следует отметить, что при данной постановке задачи теорема о неявном операторе не выполняется, поскольку из условия (2) вытекает, что оператор Fx (0,0)
не является непрерывно обратимым.
Пусть Ω = {( x, λ ) ∈ X × Λ, x ≤ a (λ )r , λ ∈ S } , где константа r > 0 . Далее уравнение (1)
будем рассматривать только на множестве Ω .
Справедлива следующая теорема:
77
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009/9
Теорема 1. Пусть для уравнения вида (1) в области Ω выполнены условия:
1) оператор F ( x, λ ) и его производная Фреше Fx ( x, λ ) непрерывны на Ω ;
2) линейный оператор Fx (0, λ ) имеет ограниченный обратный при λ ∈ S и выполнена
оценка (2);
3) Fx ( x, λ ) − Fx (0, λ ) ≤ L(λ ) x при λ ∈ S , причем L(λ ) → 0 при S ∋ λ → 0 ;
4) ∃ элемент V0 ∈ X такой, что линейное уравнение
Fx (0, λ ) x = F (a (λ )V0 , λ )
(3)
имеет решение x * (λ ) , и выполнена оценка x * (λ ) = o(a (λ )) при S ∋ λ → 0 .
Тогда ∃ секториальная окрестность нуля S o ⊂ S такая, что ∀λ ∈ S 0 в шаре
x − a (λ )V0 ≤ a(λ ) ρ
существует
единственное
решение
уравнения
(1)
вида
x(λ ) = a (λ )V (λ ) , где V (λ ) → V0 при S 0 ∋ λ → 0 .
Доказательство. Приведем уравнение (1) к эквивалентному виду с помощью эквивалентных преобразований:
x = x − Fx−1 (0, λ ) F ( x, λ ) .
(4)
В уравнении (4) сделаем замену x(λ ) = a(λ )V (λ ) . Получим:
1
V =V −
Fx−1 (0, λ ) F (a (λ )V , λ ) .
(5)
a (λ )
Оператор, стоящий в правой части уравнения (5) обозначим Φ(V , λ ) :
1
Φ(V , λ ) ≡ V −
Fx−1 (0, λ ) F (a (λ )V , λ ) .
(6)
a (λ )
Покажем, что существует секториальная окрестность нуля S0' ⊂ S такая, что ∀λ ∈ S 0' и
для некоторой фиксированной константы 0 < ρ < r оператор (6) является сжимающим в
шаре V − V0 ≤ ρ . Действительно, применяя стандартные оценки и формулу конечных
приращений Лагранжа, имеем следующую цепочку неравенств:
1
Φ(V1 , λ ) − Φ (V2 , λ ) = (V1 − V2 ) −
Fx−1 (0, λ )[F (a (λ )V1 , λ ) − F (a (λ )V2 , λ )] =
a (λ )
(вынесем оператор Fx−1 (0, λ ) )

1
[F (a(λ )V1, λ ) − F (a(λ )V2 , λ )] =
= Fx−1 (0, λ ) Fx (0, λ )(V1 − V2 ) −
a (λ )


(поскольку операторы F ( x, λ ) и Fx ( x, λ ) непрерывны, то воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа)


1 1
= Fx−1 (0, λ ) Fx (0, λ )(V1 − V2 ) −
Fx (a (λ )(V1 + Θ(V2 − V1 )), λ )dΘa (λ )(V1 − V2 ) =
∫
a (λ ) 0


1
= Fx−1 (0, λ ) ∫ [Fx (0, λ ) − Fx (a(λ )(V1 + Θ(V2 − V1 )), λ )]dΘ(V1 − V2 ) ≤
0
1
≤ Fx−1 (0, λ ) ∫ Fx (0, λ ) − Fx (a (λ )(V1 + Θ(V2 − V1 )), λ ) dΘ (V1 − V2 ) ≤
0
(воспользуемся условием 3) теоремы 1)
1
≤ Fx−1 (0, λ ) ∫ a (λ ) L(λ ) V1 + Θ(V2 − V1 ) dΘ (V1 − V2 ) ≤
0
78
Р.Ю. Леонтьев. О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений
≤ Fx−1 (0, λ ) a (λ ) L(λ ) ∫ [ V1 − V0 + V0 + Θ V2 − V0 + V0 − V1 ]dΘ (V1 − V2 ) ≤
1
0
(поскольку V − V0 ≤ ρ , то)
≤ Fx−1 (0, λ ) a (λ ) L(λ ) ∫ (ρ + V0 + 2 ρΘ )dΘ (V1 − V2 ) =
1
0
(вычисляем определенный интеграл)
= Fx−1 (0, λ ) a (λ ) L(λ ) (2 ρ + V0
) (V1 − V2 )
= q (λ ) (V1 − V2 ) .
Поскольку имеет место оценка (2), то ∃ постоянная C > 0 такая, что ∀λ ∈ S будет выполнено Fx−1 (0, λ ) a (λ ) ≤ C . Далее, поскольку L(λ ) → 0 при S ∋ λ → 0 , то выбором значения λ ∈ S величину L(λ ) можно сделать сколь угодно малой. Но тогда ∃ секториальная
окрестность нуля S0' ⊂ S такая, что ∀λ ∈ S0' будет выполнено 0 < q (λ ) < 1 и оператор (6)
∀λ ∈ S0' в шаре V − V0 ≤ ρ будет сжимающим.
Теперь покажем, что ∃ секториальная окрестность нуля S0 ⊂ S0' такая, что ∀λ ∈ S0
значения оператора Φ(V , λ ) не выходят из шаров Φ(V , λ ) − V0 ≤ ρ при V − V0 ≤ ρ . Действительно, в силу сжимаемости оператора Φ(V , λ ) , имеем следующую цепочку неравенств:
Φ(V , λ ) − V0 ≤ Φ(V , λ ) − Φ(V0 , λ ) + Φ (V0 , λ ) − V0 ≤ q V − V0 + Φ(V0 , λ ) − V0 ≤
(подставляем Φ(V , λ ) из тождества (6))
≤ qρ + Φ(V0 , λ ) − V0 ≤ qρ +
1
Fx−1 (0, λ ) F (a (λ )V0 , λ ) ≤
a (λ )
(используем условие 4) теоремы)
x* (λ )
1
−1
*
Fx (0, λ ) Fx (0, λ ) x (λ ) = qρ +
≤ qρ +
.
a (λ )
a (λ )
Поскольку из 4) условия теоремы x* (λ ) = o(a (λ )) при S ∋ λ → 0 , то ∃ секториальная
окрестность нуля S 0 ⊂ S 0' такая, что ∀λ ∈ S0
x* (λ ) a (λ ) ≤ (1 − q ) ρ , и значения операто-
ра Φ(V , λ ) не выходят из шаров Φ(V , λ ) − V0 ≤ ρ ∀λ ∈ S0 при V − V0 ≤ ρ .
Тогда на основании принципа сжимающих отображений уравнение (5) ∀λ ∈ S 0 в шаре
V − V0 ≤ ρ будет иметь единственное решение V (λ ) → V0 при S 0 ∋ λ → 0 . И это решение можно найти методом последовательных приближений по формуле:
Vn = Φ (Vn −1 , λ )
(7)
при любом начальном приближении из шара V − V0 ≤ ρ . Но тогда и уравнение (1)
∀λ ∈ S 0
будет
иметь
единственное
решение
вида
x(λ ) = a (λ )V (λ )
x − a (λ )V0 ≤ a(λ ) ρ , где V (λ ) → V0 при S 0 ∋ λ → 0 . Теорема доказана.
Далее будем полагать, что оператор F ( x, λ ) имеет вид:
F ( x, λ ) = B ( λ ) x + R ( x, λ ) + b ( λ ) ,
в
шаре
(8)
где B (λ ) = B + a (λ ) A + ω (λ ) , ω (λ ) = o(a (λ )) . Следующая лемма дает достаточные условия, при которых выполняется условие 4) теоремы 1.
Лемма 1. Пусть для уравнения (8) в области Ω выполнены условия:
1) b(λ ) = a 2 (λ )b2 + ξ (λ ) , где ξ (λ ) = o(a 2 (λ )) ;
79
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009/9
 1 
 при S ∋ λ → 0 ;
2) оператор B (λ ) непрерывно обратим при λ ∈ S и B −1 (λ ) = O
 a (λ ) 
3) уравнение Bx = b2 + A(c , ϕ ) имеет решение x0 , где ϕ ∈ N (B ) , c – постоянный вектор;
4) R (a (λ )(c, ϕ ), λ ) = o(a 2 (λ )) при S ∋ λ → 0 ;
5) Rx (0, λ ) = 0 , R (0,0) = 0 , b(0) = 0 .
Тогда уравнение (3) из условия 4) теоремы 1 имеет требуемое решение при V0 = (c , ϕ ) .
Доказательство. Подставим в уравнение (3) V0 = (c , ϕ ) . Тогда с учетом (8) имеем:
B (λ ) x = B (λ )a (λ )(c , ϕ ) + R (a (λ )(c , ϕ ), λ ) + b(λ )
или
B (λ ) x = ( B + a (λ ) A + ω (λ ))a (λ )(c , ϕ ) + R (a (λ )(c , ϕ ), λ ) + b(λ ) .
Поскольку ϕ ∈ N ( B ) , то используя условие 1) леммы 1 и несложные преобразования из
предпоследнего выражения получаем:
B (λ ) x = a 2 (λ )( A(c , ϕ ) + b2 ) + ω (λ )a (λ )(c , ϕ ) + R (a (λ )(c , ϕ ), λ ) + ξ (λ )
Так как имеет место условие 3) леммы 1, то из последнего выражения получаем:
B(λ ) x = a 2 (λ ) Bx0 + ω (λ )a(λ )(c ,ϕ ) + R(a(λ )(c ,ϕ ), λ ) + ξ (λ ) .
Все преобразования проводятся на множестве Ω . Это значит, что λ ∈ S . Поэтому оператор
B (λ ) непрерывно обратим и получаем:
{
}
x = B −1 (λ ) a 2 (λ ) Bx0 + ω (λ )a(λ )(c , ϕ ) + R(a(λ )(c , ϕ ), λ ) + ξ (λ ) .
Очевидно, что мы выписали явный вид решения уравнения (3) при V0 = (c , ϕ ) . Обозначим
это решение x* (λ ) . Теперь покажем, что x* (λ ) = o(a (λ )) при S ∋ λ → 0 . Для этого воспользуемся тождеством B ≡ B (λ ) − a (λ ) A − ω (λ ) :
{
}
x* (λ ) = B −1 (λ ) a 2 (λ )( B (λ ) − a(λ ) A − ω (λ )) x0 + ω (λ )a(λ )(c ,ϕ ) + R(a(λ )(c ,ϕ ), λ ) + ξ (λ )
или
x* (λ ) = a 2 (λ ) x0 + B −1 (λ ) a 2 (λ )(− a (λ ) A − ω (λ ) )x0 + ω (λ )a (λ )(c , ϕ ) + R (a (λ )(c , ϕ ), λ ) + ξ (λ ) (9)
Далее из условий 1), 2), 4) леммы 1 и (8) несложно заметить, что второе слагаемое выражения (9) при S ∋ λ → 0 имеет оценку:
B −1 (λ ) a 2 (λ )(− a (λ ) A − ω (λ ) )x0 + ω (λ )a (λ )(c , ϕ ) + R (a (λ )(c , ϕ ), λ ) + ξ (λ ) = o(a (λ )) .
{
}
{
}
А следовательно и x* (λ ) = o(a (λ )) при S ∋ λ → 0 . Лемма доказана.
Для уравнений вида (8) из теоремы 1 и леммы 1 получаем следующий результат:
Следствие 1. Пусть для уравнения вида (8) в области Ω выполнены условия:
1) оператор R ( x, λ ) непрерывен на Ω и имеет на Ω непрерывную частную производную Фреше R x ( x, λ ) ;
2) оператор B (λ ) имеет ограниченный обратный, причем B −1 (λ ) = O (1 / a (λ )) при
S ∋ λ →0;
3) R x ( x, λ ) ≤ L(λ ) x , где L(λ ) → 0 при S ∋ λ → 0 ;
4) b(λ ) = a 2 (λ )b2 + ξ (λ ) , где ξ (λ ) = o(a 2 (λ )) ;
5) уравнение Bx = b2 + A(c , ϕ ) , где ϕ ∈ N ( B ) , c – постоянный вектор, имеет решение
x0 ;
6) R (a (λ )(c, ϕ ), λ ) = o(a 2 (λ )) при S ∋ λ → 0 ;
7) Rx (0, λ ) = 0 , R (0,0) = 0 , b(0) = 0 .
80
Р.Ю. Леонтьев. О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений
Тогда ∃ секториальная окрестность нуля S o ⊂ S
x − a (λ )(c , ϕ ) ≤ a(λ ) ρ
существует
единственное
такая, что ∀λ ∈ S 0 в шаре
решение
уравнения
(1)
вида
x(λ ) = a (λ )V (λ ) , где V (λ ) → (c , ϕ ) при S 0 ∋ λ → 0 .
Доказательство. Преобразуем уравнение (8), используя условие 2) следствия 1 и замену
x(λ ) = a (λ )V (λ ) . Получим:
V =−
1
B −1 (λ ){R ( a (λ )V , λ ) + b (λ )}.
a (λ )
Обозначим оператор в правой части выражения (10), как Φ (V , λ ) :
1
Φ(V , λ ) = −
B −1 (λ ){R (a (λ )V , λ ) + b(λ )}.
a (λ )
(10)
(11)
Покажем, что ∃ секториальная окрестность нуля S0' ⊂ S такая, что в шаре V − (c , ϕ ) ≤ ρ ,
где 0 < ρ < r - некоторая фиксированная константа, оператор (11) является сжимающим.
Действительно, имеем цепочку неравенств:
1
Φ(V1 , λ ) − Φ (V2 , λ ) = −
B −1 (λ ){R (a (λ )V1 , λ ) − R (a (λ )V2 , λ )} ≤
a (λ )
(поскольку операторы R ( x, λ ) и Rx ( x, λ ) непрерывны, то воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа)
1
1
−1
≤
B (λ ) ∫ Rx (a(λ )(V2 + Θ(V1 − V2 )), λ ) dΘ a(λ )(V1 − V2 ) ≤
a (λ )
0
1
≤ B −1 (λ ) ∫ Rx (a (λ )(V2 + Θ(V1 − V2 )), λ ) dΘ V1 − V2 ≤
0
(используем условие (3) следствия 1)
1
≤ B −1 (λ ) a (λ ) L(λ ) ∫ V2 + Θ(V1 − V2 ) dΘ V1 − V2 ≤
0
(поскольку V − (c , ϕ ) ≤ ρ , то)
≤ B −1 (λ ) a (λ ) L(λ )(2 ρ + (c , ϕ )) V1 − V2 ≤ q (λ ) V1 − V2 .
Так как выполнена оценка (2) следствия 1, то ∃ постоянная C > 0 такая, что
a (λ ) B −1 (λ ) ≤ C при λ ∈ S . Далее, поскольку L(λ ) → 0 при S ∋ λ → 0 , то выбором значения λ ∈ S величину q (λ ) можно сделать сколь угодно малой. Но тогда ∃ секториальная
окрестность нуля S0' ⊂ S такая, что ∀λ ∈ S0' будет выполнено 0 < q (λ ) < 1 и оператор (11)
∀λ ∈ S0' в шаре V − (c , ϕ ) ≤ ρ будет сжимающим.
Покажем теперь, что ∃ секториальная окрестность нуля S0 ⊂ S0' такая, что ∀λ ∈ S0
значения
оператора
Φ(V , λ )
не
выходят
из
шаров
Φ(V , λ ) − (c , ϕ ) ≤ ρ
при
V − (c , ϕ ) ≤ ρ . Действительно в силу сжимаемости оператора Φ(V , λ ) имеем следующую
цепочку неравенств:
Φ(V , λ ) − (c , ϕ ) ≤ qρ + Φ ((c ,ϕ ), λ ) − (c ,ϕ ) ≤
≤ qρ + −
≤ qρ + −
1
B −1 (λ ){R (a (λ )(c , ϕ ), λ ) + b(λ )}− (c , ϕ ) ≤
a (λ )
1
B −1 (λ ){R (a (λ )(c , ϕ ), λ ) + b(λ ) + a (λ ) B (λ )(c , ϕ )} ≤
a (λ )
81
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009/9
(воспользуемся условием 4) следствия 1 и тождеством B ( λ ) ≡ B + a ( λ ) A + ω ( λ ) , с
учетом, что ϕ ∈ N ( B ) )
{
}
1
B −1 (λ ) R (a (λ )(c , ϕ ), λ ) + a 2 (λ )b2 + ξ (λ ) + a (λ )(a (λ ) A + ω (λ ))(c , ϕ ) ≤
a (λ )
(используем условие 5) следствия 1)
1
≤ qρ + −
B −1 (λ ) R (a (λ )(c , ϕ ), λ ) + a 2 (λ ) Bx0 + ξ (λ ) + a (λ )ω (λ )(c , ϕ ) ≤
a (λ )
(воспользуемся тождеством B ( λ ) ≡ B + a ( λ ) A + ω ( λ ) )
≤ qρ + −
{
}
{
}
1
B −1 (λ ) R (a(λ )(c , ϕ ), λ ) + a 2 (λ )( B (λ ) − a (λ ) A − ω (λ )) x0 + ξ (λ ) + a (λ )ω (λ )(c , ϕ ) ≤
a (λ )
(выполним преобразования и применим правило треугольника для норм)
≤ qρ + −
≤ qρ + a (λ ) x0 +
{
}
B −1 (λ ) R (a (λ )(c , ϕ ), λ ) + a 2 (λ )(− a (λ ) A − ω (λ )) x0 + ξ (λ ) + a (λ )ω (λ )(c , ϕ )
.
a (λ )
Далее из условий 2), 4), 6) следствия 1 и (8) несложно заметить, что второе и третье
слагаемые последнего выражения при S ∋ λ → 0 стремятся к нулю. Следовательно, выбором λ ∈ S 0' их можно сделать в сумме сколь угодно малыми. Но тогда ∃ секториальная
окрестность нуля S 0 ∈ S 0' такая, что ∀λ ∈ S0 будет выполняться:
a (λ ) x0 +
{
}
B −1 (λ ) R (a(λ )(c , ϕ ), λ ) + a 2 (λ )(− a (λ ) A − ω (λ )) x0 + ξ (λ ) + a(λ )ω (λ )(c , ϕ )
≤ (1 − q ) ρ
a (λ )
и значения оператора Φ (V , λ ) не выходят из шаров Φ (V , λ ) − (c , ϕ ) ≤ ρ ∀λ ∈ S0 при
V − (c , ϕ ) ≤ ρ .
Тогда на основании принципа сжимающих отображений уравнение (10) ∀λ ∈ S 0 в шаре
V − (c , ϕ ) ≤ ρ
будет иметь единственное решение такое, что
V (λ ) → (c , ϕ )
при
S 0 ∋ λ → 0 . И это решение можно найти методом последовательных приближений по
формуле Vn = Φ (Vn −1 , λ ) при любом начальном приближении из шара V − (c , ϕ ) ≤ ρ . Но
тогда и уравнение (8) ∀λ ∈ S 0 будет иметь единственное решение вида x(λ ) = a (λ )V (λ ) в
шаре x − a(λ )(c , ϕ ) ≤ a(λ ) ρ , где V (λ ) → (c , ϕ ) при S 0 ∋ λ → 0 . Следствие доказано.
Пример 1. Покажем, что уравнение
1
1
3
∫ tsx( s) ds + λx(t ) − λ ∫ x ( s) ds − f (t , λ ) = 0 ,
0
0
где x(t ) ∈ C[0,1] , f (t , λ ) = m(t )λ , m(t ) ∈ C[0,1] , S - проколотая окрестность нуля, имеет не2
прерывное решение xλ (t ) → 0 при S ∋ λ → 0 .
Обозначим левую часть уравнения F ( x, λ ) . Здесь дифференциал Фреше имеет вид:
1
1
0
0
Fx ( x, λ )h = ∫ tsh( s )ds + λh(t ) − 3λ ∫ x 2 ( s )h( s )ds .
При этом
−1
Fx (0, λ )h =
h(t )
λ
−
1
3t
∫ sh( s)ds .
(3λ + 1)λ 0
1
−1
Из (12) очевидно, что Fx (0, λ ) = O  при S ∋ λ → 0 .
λ
 
82
(12)
Р.Ю. Леонтьев. О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений
Проверим, что выполняются все условия теоремы 1. Действительно, F ( x, λ ) и Fx ( x, λ )
непрерывные операторы по x и λ . Далее Fx (0, λ ) непрерывно обратим при λ ≠ 0 и вы-
1
−1
полнена оценка Fx (0, λ ) = O  , 0 < λ < r . Следовательно условие 2) теоремы 1 выλ
 
полнено. Проверяем условие 3) теоремы 1:
1
Fx ( x, λ ) − Fx (0, λ ) = 3λ ∫ x 2 ( s)[⋅]ds ≤ L(λ ) x ,
0
где L(λ ) = Cλ , C -константа, и L(λ ) → 0 при S ∋ λ → 0 .
Проверяем последнее условие теоремы 1. Покажем, что при
3t 1
V0 (t ) = m(t ) −
∫ sm( s)ds
3λ + 1 0
(13)
уравнение (3) из условия 4) теоремы 1 будет иметь требуемое решение x* (λ ) такое, что
будет выполняться оценка x* (λ ) = o(λ ) при S ∋ λ → 0 . Выпишем вид уравнения (3) для
рассматриваемого примера:
1
1
1
0
0
0
2
4
2
∫ tsx( s) ds + λx(t ) = λ ∫ tsV0 ( s) ds + λ V0 (t ) − λ ∫ V0 ( s) ds − m(t )λ = 0 .
3
(14)
Если подобрать V0 (t ) так, чтобы выполнилось равенство:
1
∫ tsV0 ( s) ds + λV0 (t ) = m(t )λ ,
(15)
0
то уравнение (14) примет вид:
1
1
0
0
4
∫ tsx( s) ds + λx(t ) = −λ ∫ V0 ( s) ds ,
3
(16)
решением которого будет:
 3λ3t
1
x* (t ) = 
− λ3  ∫ V03 ( s)ds .
(17)
 6λ + 2
0
Осталось получить V0 (t ) . Решив уравнение (15), получим выражение (13). Далее, очевидно, что условие 4) теоремы 1 выполнено, поскольку уравнение (14) имеет решение вида
(16), где V0 (t ) имеет вид (13) и выполнена оценка x* (λ ) = o(λ ) при S ∋ λ → 0 . Следовательно, по теореме 1 данное уравнение будет иметь непрерывное решение x(λ ) → 0 при
S ∋ λ →0.
Литература
1. Леонтьев Р.Ю. Теоремы о неявном операторе в секториальных квазиокрестностях и минимальные
ветви решений нелинейных уравнений // Вестник Южно-Уральского государственного университета. –
2008. – № 15 (115). – С. 37 – 41.
2. Сидоров Н.А. Минимальные ветви решений нелинейных уравнений и асимптотические регуляризаторы // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. – Донецк, 2004. – С. 161 – 164.
References
1. Leontyev R.Yu. Implicit Function Theorem in Sectorial Quasi-neighborhoods and minimal branches of
solutions // Vestnik Yuzhno-Uralskogo gosudarstvennogo universiteta. – 2008. – № 15(115). – P. 37 – 41.
2. Sidorov N.A. Minimal branches of solutions of nonlinear equations and asymptotic normalizers // Nelineynie granichnie zadachi: Sb. nauchn. tr. – Donetsk, 2004. – P. 161 – 164.
83
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
157 Кб
Теги
нелинейные, уравнения, малости, решения, максимальной, порядке
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа