close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О свойствах модулей блоков членов ряда a1ksinkx.

код для вставкиСкачать
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 2
УДК 517.518.4
О СВОЙСТВАХ МОДУЛЕЙ
БЛОКОВ
P1
ЧЛЕНОВ РЯДА
k sin kx
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва
Email: sergeyAltel@yandex.ru
On PropertiesP
of the Moduli of Blocks of the Terms
1
of the Series
sin kx
k
Получено необходимое и достаточное условие интегрируемости
со степенным весом суммы модулей блоков исследуемого ряда.
A necessary and sufficient condition is obtained ensuring the
integrability with the power weight of the sum of the moduli of blocks
of the terms of series under investigation.
Ключевые слова: блоки членов ряда, степенной вес.
Key words: blocks of the terms a series, power weight.
С. А. Теляковский
S. A. Telyakovskii
Доклад автора на 16 Саратовской зимней школе, прочитанный в январе 2012 года, был посвящён
свойствам рядов из абсолютных величин блоков членов ряда
∞
X
1
sin kx,
k
(1)
k=1
играющего важную роль при изучении функций ограниченной вариации.
Пусть Λ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел 1 = n1 < n2 < . . . , для
которой сходится ряд
∞
X
1
.
n
j=1 j
С помощью последовательности Λ строится ряд из модулей блоков членов ряда (1)
¯
−1
∞ ¯ nj+1
X
¯
¯ X 1
¯
sin kx¯¯.
¯
k
j=1
(2)
k=nj
Ряд (2) сходится при всех x и его сумма, которую обозначим gΛ (x), непрерывна на (0, π].
В настоящей статье приводится доказательство одного результата, представленного в докладе.
Остальные утверждения доклада обоснованы в [1].
Теорема. При γ ∈ (0, 1) интеграл
Zπ
dx
(3)
gΛ (x) γ
x
0
сходится в том и только том случае, когда сходится ряд
∞
X
j=1
¢γ
1 ¡
nj+1 − nj .
(4)
nj+1
Доказательство теоремы по схеме рассуждений из работы Р. М. Тригуб [2] опирается на следующее предложение.
Лемма. Если 1 6 α 6 β и γ ∈ (0, 1), то для интеграла
I = I(α, β; γ) :=
Zπ
| sin αx| · | sin βx|
dx
x1+γ
0
справедливы оценки
c1 (γ)αγ 6 I(α, β; γ) 6 c2 (γ)αγ ,
где положительные величины c1 (γ) и c2 (γ) зависят только от γ.
c Теляковский С. А., 2013
°
(5)
С. А. Теляковский. О свойствах модулей блоков членов ряда
P
1
k
sin kx
Доказательство леммы Удобно записать интеграл I следующим образом:
I = αγ
¯
¯
Zαπ
¯
β ¯ dx
| sin x| · ¯¯ sin x¯¯ 1+γ .
α x
0
Правая оценка (5) устанавливается легко:
I<α
γ
Z∞
dx
| sin x| 1+γ < αγ
x
µ Z1
dx
sin x 1+γ +
x
0
0
Z∞
dx
x1+γ
1
¶
<α
γ
µ Z1
dx 1
+
xγ
γ
0
¶
µ
= αγ
¶
1
1
.
+
1−γ
γ
Для оценки интеграла I снизу уменьшим промежуток интегрирования и воспользуемся тем, что
sin x >
2
x,
π
0 < x 6 1.
Тогда получим:
I>α
γ
Z1
πα/(4β)
Далее,
¯
¯
¯
2
β ¯¯ dx
¯
| sin x| · ¯ sin x¯ 1+γ > αγ
α x
π
Z1
πα/(4β)
β/α
¯
¯
Z
¯
¯
dx
¯ sin β x¯ dx = 2 α
| sin x| γ .
¯
α ¯ xγ
π β 1−γ
x
π/4
β/α
β/α
β/α
2β/α
Z
Z
Z
Z
dx
1
1
dx
dx
dx
2
| sin x| γ >
sin x γ =
(1 − cos 2x) γ = 2−γ
(1 − cos x) γ .
x
x
2
x
2
x
π/4
π/4
π/4
π/2
Покажем, что значение интеграла
2β/α
Z
(− cos x)
dx
xγ
(6)
π/2
положительно. Для этого разобьём промежуток [π/2, 2β/α] на отрезки длины 2π
¸
·
π
π
+ 2kπ, + 2(k + 1)π ,
k = 0, 1, 2, . . . .
2
2
Длина последнего отрезка при этом будет, вообще говоря, меньше 2π.
На интервалах
µ
¶
π
π
+ 2kπ, + (2k + 1)π
2
2
значения косинуса отрицательны. Поэтому
−
(π/2)+2(k+1)π
Z
dx
cos x γ = −
x
(π/2)+2kπ
(π/2)+(2k+1)π
Z
dx
cos x γ −
x
(π/2)+2kπ
=−
(π/2)+(2k+1)π
Z
cos x
(π/2)+2kπ
(π/2)+(2k+1)π
Z
cos(x + π)
dx
=
(x + π)γ
(π/2)+2kπ
µ
1
1
−
xγ
(x + π)γ
¶
dx > 0.
Таким образом оцениваются части интеграла (6) по всем отрезкам указанного разбиения промежутка интегрирования, в том числе и по последнему отрезку.
Значит,
2β/α
β/α
·µ ¶1−γ µ ¶1−γ ¸
·µ ¶1−γ µ ¶1−γ ¸
Z
Z
1
dx
1
2β
π
β
π
1
dx
=
−
=
−
.
| sin x| γ > 2−γ
γ
2−γ
x
2
x
2
(1 − γ)
α
2
2(1 − γ)
α
4
π/4
Математика
π/2
93
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 2
Так как β > α, имеем
µ ¶1−γ µ ¶1−γ ·
µ ¶1−γ ¸µ ¶1−γ
β
π
π
β
−
> 1−
.
α
4
4
α
Из приведенных оценок получаем
I>
·
µ ¶1−γ ¸µ ¶1−γ
1
π
β
1 α
1
−
π β 1−γ 1 − γ
4
α
и лемма доказана.
Доказательство теоремы. Проведя преобразование Абеля, находим:
nj+1 −1
¶·
¸
nj+1 −1 µ
X 1
X
¡
¢
¢
1
1
1 ¡
sin kx =
−
Dk (x) − Dnj −1 (x) +
Dnj+1 −1 (x) − Dnj −1 (x) ,
k
k k+1
nj+1
k=nj
(7)
k=nj
где Dk (x) – сопряжённое ядро Дирихле порядка k.
Так как
k − nj + 1
k + nj
1
sin
x · sin
x,
Dk (x) − Dnj −1 (x) =
sin(x/2)
2
2
то с помощью правой оценки (5) получаем
¯
¶
Zπ ¯ nj+1
−1 µ
¯ X
¡
¢¯ dx
1
1
¯
¯
−
D
(x)
−
D
(x)
k
nj −1
¯
¯ xγ 6
k k+1
0
6 c3 (γ)
k=nj
nj+1 −1 µ
X
k=nj
¶
nj+1 −1
X
¡
¢γ
1
1
1
−
k − nj + 1 < c3 (γ)
.
k k+1
(k + 1)2−γ
k=nj
где c3 (γ) зависит только от γ.
Поэтому используя (7), видим, что для каждого N
¯ Zπ
¯
¯
Zπ X
−1
N
N ¯ nj+1
¯ X
¯ dx ¯¯
¯ dx
¯
¯ X 1
1
¯
¯Dn −1 (x) − Dn −1 (x)¯ ¯ <
¯
sin kx¯¯ γ −
¯
j
j+1
¯
¯
k
x
nj+1
xγ ¯
0
j=1
k=nj
< c3 (γ)
0 j=1
∞
X
k=1
1
< ∞.
(k + 1)2−γ
(8)
Из (8) вытекает утверждение теоремы, так как согласно (5) интеграл
Zπ
0
¯
¯
¯Dnj+1 −1 (x) − Dnj −1 (x)¯ dx
xγ
¡
¢γ
имеет точный порядок nj+1 − nj .
Заметим, наконец, что если положить mj = min (nj , nj+1 − nj ), то приведенное в конце работы [2]
рассуждение О. И. Кузнецовой показывает, что ряды (4) и
∞
X
1 γ
mj
n
j=1 j
(9)
сходятся или расходятся одновременно.
В [1] доказано, что сходимость ряда (9) является достаточным условием сходимости интеграла (3).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-01-00417).
94
Научный отдел
Е. А. Трушкова. Метод глобального улучшения для гамильтоновых систем
Библиографический список
1. Теляковский С. А. О свойствах блоков членов ряP1
sin kx // Украинский мат. журн. 2012. Т. 64,
да
k
№ 5. С. 713–718. [Telyakovskii S. A. On properties of
P1
blocks of the series
sin kx // Ukrainian Math. J.
k
2012. Vol. 64. P. 713–718.]
2. Trigub R. M. A note on the paper of Telyakovskii
«Certain properties of Fourier series of functions with
bounded variation» // East J. on Approx. 2007. Vol. 13,
№ 1. P. 1–6.
УДК 517.97
МЕТОД ГЛОБАЛЬНОГО УЛУЧШЕНИЯ
ДЛЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
С УПРАВЛЯЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Е. А. Трушкова
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН,
Москва
E-mail: katerinatr@mail.ru
Представлена новая модификация метода глобального улучшения управления на базе известного метода В. Ф. Кротова для
задач управления гамильтоновыми системами одного класса.
Проведены расчеты по управлению квантовой динамической
системой, представляющей известную модель вращения плоской молекулы.
Ключевые слова: гамильтонова система, оптимальное управление, метод глобального улучшения.
Global Improvement Method for Hamiltonian Systems
with Controllable Coefficients
E. A. Trushkova
The new modification of global improvement control method for one
class of Hamiltonian systems that is based on the Krotov method
is presented. The calculations for a quantum dynamical system
representing the well studied example of the rotation of a planar
molecule are given.
Key words: Hamiltonian system, optimal control, global improvement method.
1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Широкий и актуальный класс задач изменения квантового состояния атомов и молекул под действием управляемого внешнего поля сводится к задаче оптимального управления гамильтоновой системой с управляемыми коэффициентами (см., например, [1]). А именно уравнение Шрёдингера после разложения волновой функции и соответствующих операторов по полной системе собственных
функций заменяется конечномерной аппроксимацией — динамической системой с управлением, в
которой роль фазовых координат играют коэффициенты разложения волновой функции. Дальнейшее рассмотрение действительной и мнимой части фазовых координат приводит к задаче управления
гамильтоновой системой.
Рассмотрим задачу управления гамильтоновой системой:
ẋ(t) = A (u(t)) x(t),
t ∈ [tI , tF ],
x(tI ) = xI ,
x ∈ R2n ,
u : [tI , tF ] → Rp ,
u(·) ∈ U (m, ulow , uup ),
∗ T
J(x, u) = F (x(tF )) = (x(tF ) − x ) (x(tF ) − x∗ ) → min,
(1)
где x(t) — кусочно дифференцируема, U (m, ulow , uup ) — множество функций, принимающих постоянное значение на полуотрезках [tI + ih, tI + (i + 1)h), i = 0, m − 1, h = (tF − tI )/m и подчиняющихся
ограничениям ulow ≤ u(t) ≤ uup (неравенства понимаются как покоординатные),
Ã
!
0
P (u(t))
A (u(t)) =
,
−P (u(t))
0
P (u) — симметрическая матрица, непрерывная по u, x∗ ∈ R2n — заданная точка. Нетрудно видеть,
что данная задача является задачей наилучшего попадания в заданную точку.
2n
2n
P
P
Система имеет динамический инвариант S =
x2i (tI ) =
x2i (t), следовательно, исходный
i=1
i=1
T
квадратичный функционал качества перепишется в линейном виде F (x(tF )) = (x(tF ) − x∗ ) ×
× (x(tF ) − x∗ ) = S + x∗T x∗ − 2x∗T x(tF ). Всюду в дальнейшем будем предполагать, что x∗T x∗ = S,
c Трушкова Е. А., 2013
°
95
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
124 Кб
Теги
a1ksinkx, членов, модулем, свойства, блоко, ряда
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа