close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О связи граничных значений задачи Гурса с нормальными производными третьего порядка.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 10 (449)
1999
УДК 517.954
А.Н. МИРОНОВ
О СВЯЗИ ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЗАДАЧИ ГУРСА
С НОРМАЛЬНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Пусть u(x; y) является в области D = (0; x1 ) (0; y1 ) решением задачи Гурса для уравнения
uxy + aux + buy + cu = 0
(1)
с условиями u(x; 0) = (x), u(0; y) = '(y), '(0) = (0), где a; b 2 C 3(D), c 2 C 2(D ), a2 + b2 +
c2 6= 0. В данной статье устанавливается связь между (x), '(y) и нормальными производными
(x) = uyyy (x; 0), (y) = uxxx(0; y). Ранее, в работах [1], [2], исследовалась связь (x) и '(y) с
нормальными производными первого и второго порядка.
Остановимся на соотношениях между (y) и '(y). Используем систему
ux + bu = v; vy + av = ku;
(2)
эквивалентную уравнению (1) ([3], с. 134), в которой k = by + ab ; c | один из инвариантов
Римана. Решая второе уравнение из (2) как линейное относительно v, найдем
Z 0
v(x; y) = [ux (x; 0) + b(x; 0)u(x; 0)] exp
a(x; )d +
y
Z Zy
+ k(x; )u(x; ) exp
a(x; )d d: (3)
y
0
Продифференцируем дважды первое уравнение системы (2)
uxxx = vxx ; bvx + (b2 ; 2bx )v ; (b3 ; 3bbx + bxx )u :
(4)
Исходя из (3), получим
vx(x; y) = F (x; 0; y) uxx(x; 0) + bx(x; 0)u(x; 0) + b(x; 0)ux (x; 0) +
Z y
Z0
+ (ux (x; 0) + b(x; 0)u(x; 0)) ax (x; )d +
kx (x; ) +
y
0
Z
Zy
+ k(x; ) ax (x; )d F (x; ; y)u(x; )d + k(x; )F (x; ; y)ux (x; )d;
y
0
Z y
F (x; y; y0 ) = exp
a(x; )d :
y0
Учитывая, что ux = v ; bu, запишем
Zy
Zy
k(x; )F (x; ; y)ux (x; )d = [ux(x; 0) + b(x; 0)u(x; 0)]F (x; 0; y) k(x; )d ;
0
Z
Zy
Z 0
; b(x; )k(x; )F (x; ; y)u(x; )d + k(x; )F (x; ; y) k(x; )F (x; ; )u(x; )dd:
0
0
0
23
Меняя местами пределы интегрирования в двойном интеграле по формуле Дирихле, окончательно получаем
vx(x; y) = F (x; 0; y) uxx(x; 0) + bx(x; 0)u(x; 0) + b(x; 0)ux (x; 0) +
Z 0
Zy
+ (ux (x; 0) + b(x; 0)u(x; 0))
ax (x; )d + k(x; )d +
y
0
Z Z y
Zy
+
kx(x; ) + k(x; )
ax(x; )d + k(x; )d ; b(x; ) F (x; ; y)u(x; )d: (5)
y
0
Aналогично, дифференцируя (5), получаем выражение для vxx.
Подставив значения v, vx, vxx в уравнение (4) и полагая в полученной формуле x = 0, найдем
интегральное уравнение типа Вольтерра для определения '(y) через (y)
Zy
A(0; y)E (y)'(y) + B (; y)E ( )'( )d = C (y) :
(6)
0
Здесь
A = ;b + 3bbx ; bxx; E (y) = exp
3
B (; y) = p( ) + kx (0; )
Z
y
0
Z
y
0
a(0; )d ;
m( )d + k(0; )(q(y) + r(; y));
C (y) = (y)E (y) ; '(0)g(y) ; 0 (0)f (y) ; 00 (0)
f (y) = n(y) ; b(0; 0)b(0; y) + 2bx (0; 0) ; 2b(0; 0)
g(y) = bxx (0; 0) + bx(0; 0)
Z
Z
p( ) = kxx(0; ) ; kx(0; )
+ k(0; )
Z
0
y
0
Z
y
0
y
0
m( )d ; (0);
ax(0; )d;
m( )d ; b(0; 0) + b(0; 0)n(y);
0
Z
m( )d + 3b(0; ) +
axx (0; )d +
Z
Z
0
2
ax(0; )d ; 2b(0; )
Z
Z
Z
0
ax (0; )d +
+ b (0; ) ; bx (0; ) ; 2 kx (0; )d ; k(0; ) ax(0; 1 )d1 d ;
0
0
0
Z y
2 Z y
Zy
Z
q(y) = lx( )d +
ax (0; )d + k(0; ) l(1 )d1 d ;
0
0
0
0
Zy
; b(0; y) l(0; )d + b(0; y)b(0; 0) ; 2bx(0; 0);
Z y 0
Z Zy
r(; y) = 2
k(0; )d ; ax(0; )d
ax(0; )d ; b(0; ) +
0
0
0
Z Zy
Z
Z
+ b(0; y)
k(0; )d ; ax(0; )d ; k(0; ) l(1 )d1 d;
0
0
0
0
m(y) = m1 (0; y)a(0; y)b(0; y) ; c(0; y) ; 2ax(0; y); l(y) = m(y) + ax (0; y);
Z y
2
Zy
Zy
n(y) = ; axx (0; )d +
ax(0; )d + b(0; y) ax (0; )d + b2 (0; y) ;
0
0
0
Z
Zy
Zy
Z
; 2bx (0; y) + 2 kx(0; )d + k(0; ) 2 ax(0; )d + l( )d ; b(0; y) d:
2
0
y
0
24
0
Полученное уравнение является нагруженным. Поскольку значения '(0), 0 (0), 00 (0) не могут
быть найдены из уравнения (6) (оно при y = 0 обращается в тождество), то эти константы
рассматриваются далее как произвольные.
Исследование (6) приводит к следующим результатам.
1. Пусть A(0; y) 6= 0. Тогда '(y) выражается через (y) с помощью резольвенты уравнения (6)
и может зависеть от одной, двух или трех констант. При этом зависимость от '(0) всегда имеет
место, т. к. условие g(y) 0 противоречит условию A(0; y) 6= 0 (см. (6) при y = 0). Зависимости
же от 0 (0), 00 (0) может и не быть (напр., m( ) 0 при f (y) 0).
Если
B (; y) = s1( )s2 (y);
(7)
то решение уравнения (6) представляется в явном виде
Z y C ( )s ( ) Z s ( )s ( ) 1
1
1
2
'(y) = A(0; y) C (y) ; s2(y)
A(0; ) exp y A(0; ) d d :
0
Варианты реализации (7) следующие:
Ry
1) p( )+ kx (0; ) m( )d = r1 ( )r2 (y), k(0; )(q(y)+ r(; y)) = r3 ( )r4 (y) и при этом выполняется
0
один из случаев r1 = r3 , r2 = r4 , r1 0, r2 0, r3 0, r4 0;
Ry
2) p( ) + k(0; )(q(y) + r(; y)) = r1 ( )r2 (y) и имеет место одно из условий r1 = kx , r2 = m( )d ,
0
r1 0, r2 y 0, kx 0, m 0;
R
3) kx (0; ) m( )d + k(0; )(q(y) + r(; y)) = r1 ( )r2 (y) и выполняется одно из условий p = r1 ,
0
p 0, r1 0, r2 0.
2. Пусть теперь A(0; y) 0.
Если при этом выполняется (7) и B (; y) 6= 0, то получаем
C (y) 0
(8)
'(y) = s (y) s (y)1E (y) ;
2
1
причем следует потребовать (y) 2 C 1[0; y1 ]. Функция '(y) из (8) может зависеть от одной{трех
констант либо вовсе не зависеть от произвольных постоянных.
Если (7) не имеет места, то дифференцируем (6). Приходим к новому интегральному уравнению
Zy
A1(y)E (y)'(y) + B1 (; y)E ( )'( )d = C 0(y);
(9)
0
A1(y) = B (y; y) = kxx(0; y) ; 3b(0; y)kx (0; y) + 3(b2 (0; y) ; bx(0; y))k(0; y);
B1 (; y) = By (; y) = k(0; )p1 (y) + m(y)q1( );
Zy
p1(y) = m(y) l( )d + m1x(0; y) + hx (0; y) ; b(0; y)h(0; y);
0
Z q1( ) = kx (0; ) ; k(0; )
l( )d + 2b(0; ) ;
0
C 0 (y) = E (y)[0 (y) + a(0; y)(y)] ; 00 (0)m(y) ; 0 (0)f 0 (y) ; '(0)g0 (y);
h = ax + ab ; c | второй инвариант Римана. Опять считаем, что (y) 2 C [0; y ], полагая
A (y) 6= 0. При y = 0 уравнение (9) дает соотношение между 00 (0), 0 (0), '(0), а именно,
[A (0) + g0 (0)]'(0) + m(0) 00 (0) + f 0 (0) 0 (0) = 0 (0) + a(0; 0)(0):
1
1
1
25
1
Рассмотрев восемь вариантов уравнения (9), получим, что '(y) выражается через резольвенту (9) и может как вообще не зависеть от произвольных постоянных, так и зависеть от одной,
двух или трех констант.
Если B1 (; y) = s1 ( )s2 (y), то '(y) получаем в явном виде (имеем шесть случаев: k 0,
p1 0, m 0, q1 0, k = q1, p1 = m).
3. Дальнейшее исследование уравнения (6) в случае, если A1 (y) 0, проводится аналогично
п. 2. При этом рассуждения должны проводиться многократно. А именно, потребуется исследовать уравнение
Zy
Ai (y)E (y)'(y) + Bi (; y)E ( )'( )d =
0
= (E (y)(y))(i) ; 00 (0)m(i;1) (y) ; 0 (0)f (i) (y) ; '(0)g(i) (y); i = 2; 3; : : : ; (10)
где
Ai (y) = Bi;1 (y; y) = k(0; y)p(1i;2) (y) + m(i;2) (y)q1 (y);
Bi (; y) = Bi;1 y (; y) = k(0; )p(1i;1) (y) + m(i;1) (y)q1 ( );
i
i;1
f (i) (y) = n(i)(y) ; b(0; 0) @ b(0; y) ; 2b(0; 0) @ ax(0; y) ;
@yi
@yi
g i (y) = bx (0; 0)m i; (y) + b(0; 0)n i (y);
причем следует считать (y) 2 C i [0; y ], a; b 2 C i (D ), c 2 C i (D). Уравнение (10) при данном
i получается дифференцированием уравнения при i ; 1 в случае, если Ai; (y) 0. Структура
( )
(
1)
( )
+1
1
1
уравнений (10) совершенно аналогична структуре уравнения (9), следовательно, рассуждения
п. 2 с очевидными изменениями переносятся на уравнения (10). При каждом значении i = 2; 3; : : :
могут быть выделены различные случаи зависимости от произвольных постоянных.
Исследование связи между (x) и (x) проводится аналогично вышеизложенному. Чтобы
получить для этого аналог (6), надо в (6) поменять ролями переменные x и y, функции a и b, и
заменить (y), 00 (0), 0 (0), '(0), k(0; y) соответственно на (x), '00 (0), '0 (0), (0), h(x; 0).
Установленные результаты позволяют исследовать для уравнения (1) вопросы разрешимости
характеристических задач с нормальными производными до третьего порядка включительно в
граничных условиях. Так, задача с условиями
uxxx(0; y) = (y); uyyy (x; 0) = (x)
допускает регулярное решение, которое может зависеть от одной до пяти констант либо вовсе
не зависеть от констант.
В заключение заметим, что описанным выше способом можно получить уравнения, связывающие u(x; y) и ее нормальные производные любого порядка на характеристиках.
Литература
1. Zhegalov V.I. Relation between the boundary values of Goursat problem and the normal derivatives
// Conditionally Well{Posed Problems. { Moscow: TVP Sc. Publ. { 1994. { P. 346{349.
2. Котухов М.П. О некоторых дифференциальных свойствах решений одного уравнения в частных производных // Изв. вузов. Математика. { 1996. { Є 5. { C. 59{62.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4. Ч.2. { 6-е изд. { М.: Наука, 1981. { 550 с.
Казанский государственный
университет
Поступила
29.10.1997
26
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
116 Кб
Теги
третьего, нормальные, граничных, производными, задачи, значение, порядке, связи, гурса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа